2023年高考数学强基计划模拟题（十九）

2023年高考数学强基计划模拟题（十九）

（满分100分，测试时间：60分钟）

选择题（每题10分）

1.设有复数31=-〈+噂3侬2=COS|TT+凶山|兀，令3=31,32，则复数3+32+

ZZ。D

co3H-----Fco2011=.（）

A.o）B.a）2C.co3D.a）4

2.A48c为等边三角形，边长为3,P为平面外一点,P满足|P*=3,|PB|=4,|PC|=5,

则UpT8c为.（）

A.711B.V10C.yD.y

3.一个盒子里装有红、白、蓝、绿四种颜色的玻璃球，每种颜色的玻璃球至少有一个.

从中随机拿出4个玻璃球，这4个球都是红色的概率为P1，恰好有3个红色和1个白色的

概率为P2,恰好有2个红色、1个白色和1个蓝色的概率为P3,四种颜色各1个的概率为P4,

若恰好有P1=P2=P3=P4,则这个盒子里玻璃球的个数的最小值等于.（）

A.17B.19C.21D.以上选项都不正确

4.已知多项式/一2x3+（m+2）x2-（4m+2）x+4m+1>0恒成立，则m的取值范

围为.（）

A.[0,+8）B.（―8,0]C.[i,l]D.g+8）

5.如图所示，已知正方体4BCD-4B1GD1的棱长为4,点H在棱44]上，且=1.

在侧面BCJB]内作边长为1的正方形EFGG，P是侧面BCG/内一动点，且点P到平面

CDD1G的距离等于线段P尸的长.当点P运动时，的最小值是.（）

6.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点P（2,0）的直线交抛物线于4B两点，直线AF,

8F分别与抛物线交于点C,D.设直线ZB,CD的斜率分别为自，k2,则此等于.（）

A.1B.|C.1D.2

二、解答题（每小题20分）

7、已知a是给定一正实数，考虑满足下列条件的数列：xo=O>xn=xn^+a,或&=

—xn_i-a,n=1,2,­­•,2008.试求表达式|巧+%24----FX2008l的最小值.

8、称自然数m覆盖2987;如果数字2,9,8,7依次序2,9,8,7出现在m的十进制表

示数码中，用k（n）表示覆盖2987的由非零数码构成的n位数的个数.求磔n）除以8所得的

余数.

答案

1.A【解析】根据题意有⑦=COS6TT+|汗)+isin67T+,兀)=85||几+心访|!兀.

因此315=1,于是

21।2011d)(l-a)2011)3(1-0)134x15+1)

+ZU11

3十H--------F6)=------------=———-----------------=0)•

1—0)1—(1)

2.A【解析】aPBC为直角三角形，外心为PC的中点，取PC的中点为M.由于MB|=|/C|=

\AP\=3,因此4点在平面PBC的射影就是点M,则AM就是高手，所以体积为VTL

3.C【解析】不妨设红、白、蓝、绿四种颜色的玻璃球个数分别为小,n2,n3,叫•由题意

可以得到C4nl=C^n2=Cnjn2n3=2713n4,所以n1=2H4+1,%=3n3+2,nx=

4n2+3,故小+的+%+%=2s7j23.注意到%,电，啊,%均为整数，所以七的最小值

为11,Hj+n2+n3+n4=>21.

22

4.A【解析】配方得到广。-1)2+7n(x-2)+(x-I)>0.取x=1代入，得到m20,为

必要条件;反之，若mNO,则原式20.

5.B【解析】在SB】上取点K,使得出/|=1,则HK1面BCG/,连接PK,^\\HP\2=\HK\2+

\PK\2=16+|PK『.

在平面BCGBi上，以CG所在直线为x轴，以GF所在直线为y轴.由题意可知，P点轨迹为抛

物线，其方程为/=2y-l,K点坐标为(0,4).设P(x,y),则M=2y-1(其中xe[―3,1],

"[-另]).

故|PK/=/+(y_4)2=2y-1+y2-8y+16=y2-6y+15.

当y=36[-另]时，|PK扁n=6.故|HP|3n=16+6=22.本题考查正方体和抛物线的综

合应用.

6.B【解析】设直线4B的方程为y=k1(x-2),联立匕2：/：，一？)，得心/一4y—8kl=0.

设%)，5(x2,y2),直线AC的方程为丫=居0-1),联立/=合(”一1"得

2

1(y=4x,

—~—V2—y--=0

77

4(%1-1)打一1'

则以"=-4,故无=?同理知=我故

k-yD-yc_4_4_2k

Q-XD-XC-yD+yc--43+及）一的,

"2

可得"=；.本题考查直线与抛物线相交问题.

化22

7.【答案】设xn=yn•a（n=1,2,•••,2008）,则尢=0,yn+1=yn+1或%一1（九=0,L…，

2007）,总有吟=储_1+2%1T+1,所以2%1T=喏一斤一1一1.于是2（为+为+…+

72008）=y2009~yi~2008.

显见%EZ,由|、20091="2008+11，yf=1»可知为009为奇数,且仅1+…+丫2008I=

||yfoo9-20091.

因为最接近2009的奇数方数是452,所以M+…+'200812：1452-20091=8,故

a

|%1+,,,+%2008（—8a.又当=X3=•••—X1963=a,冷=%4=""=久1964=~2a,%1965=>

/966=2a,…，％2009=45a时，%+…+可取到8a，从而表达式的最小值为8a.

8.【答案】设的表示函数中2第一次出现的位数（从左至右数），a2表示上面的2后面出现的第

一个9的位数，表示上面的9后面出现的第一个8的位数，a4表示上面的8后面出现的第一

个7的位数.则这样的一个覆盖数为（当n>4时）8。「1-8a2-J-1.8a3-a「l.8%-a3T,*-人，

于是所有的n位覆盖数（非零数码）为

ai1

Xl<a1<a2<a3<a4<n8--8叱。「1.8a.8幺又3T.州一叫

在上述求和符号中，仅当%—1=0=a2—l=a3-a2—l=a4-a3—1,即%=1,

a2-ai-1a3-a2-1a4-a3-1

a2=2,a3=3,a