高二数学人选修课件时椭圆及其标准方程

高二数学人选修课件时椭圆及其标准方程汇报人：XX20XX-01-17椭圆基本概念与性质椭圆标准方程求解方法椭圆与直线关系椭圆在坐标系中变换复杂图形中椭圆问题处理方法总结回顾与拓展延伸contents目录椭圆基本概念与性质01平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数2a（2a>|F1F2|）的动点P的轨迹叫做椭圆。椭圆定义椭圆是一种圆锥曲线，它描述了一个点到一个固定点的距离与到一条固定直线的距离之比为常数的点的集合。几何意义椭圆定义及几何意义

焦点、焦距和长短轴焦点椭圆的两个焦点是椭圆内部两个特殊的点，它们位于椭圆的长轴上，且到椭圆上任意一点的距离之和等于长轴的长度。焦距两个焦点之间的距离叫做椭圆的焦距，用2c表示。长短轴椭圆的长轴是通过两个焦点且长度等于2a的线段，短轴是与长轴垂直且通过椭圆中心的线段，长度等于2b。到两焦点的距离之和等于长轴长对于椭圆上任意一点P，有|PF1|+|PF2|=2a。到焦点的距离与到准线的距离之比等于离心率对于椭圆上任意一点P和任一焦点F，有|PF|/d=e，其中d是点P到对应准线的距离，e是椭圆的离心率。椭圆上任意一点性质标准方程椭圆的标准方程有两种形式，一种是(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1（横轴在x轴上），另一种是(y^2/a^2)+(x^2/b^2)=1（横轴在y轴上）。参数方程椭圆的参数方程为x=a*cos(t)，y=b*sin(t)，其中t为参数，表示椭圆上任意一点P的坐标。椭圆标准方程形式椭圆标准方程求解方法02方程形式对于形如$Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$的椭圆方程，可以通过直接代入法求解。求解步骤首先根据椭圆的标准方程，将方程化为标准形式，然后直接代入点的坐标进行求解。直接代入法求解对于不能通过直接代入法求解的椭圆方程，可以采用配方法进行求解。首先通过配方将原方程化为完全平方的形式，然后根据完全平方的性质进行求解。配方法求解求解步骤方程形式对于含有参数的椭圆方程，可以采用判别式法进行求解。方程形式首先根据椭圆的标准方程，构造出关于参数的二次方程，然后利用判别式的性质进行求解。求解步骤判别式法求解已知椭圆$C:frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左、右焦点分别为$F_1,F_2$，点$P$在椭圆$C$上，且$PF_1perpPF_2$，$|PF_1|cdot|PF_2|=4$，则椭圆$C$的离心率为____。例题一过椭圆$frac{x^2}{5}+frac{y^2}{4}=1$的右焦点作一条斜率为$2$的直线与椭圆交于$A,B$两点，$O$为坐标原点，则$bigtriangleupOAB$的面积为____。例题二典型例题分析椭圆与直线关系03直线与椭圆相交条件通过联立直线与椭圆方程，消元后得到一元二次方程，根据判别式判断直线与椭圆的位置关系。当判别式大于0时，直线与椭圆相交；当判别式等于0时，直线与椭圆相切；当判别式小于0时，直线与椭圆相离。判别式法通过绘制直线与椭圆的图形，观察它们的位置关系。当直线穿过椭圆内部时，直线与椭圆相交；当直线与椭圆只有一个交点时，直线与椭圆相切；当直线与椭圆没有交点时，直线与椭圆相离。图形法VS切线在切点处的斜率等于椭圆在该点处的导数。对于标准方程为$x^2/a^2+y^2/b^2=1$的椭圆，其在点$(x_0,y_0)$处的导数为$-b^2x_0/a^2y_0$。因此，过点$(x_0,y_0)$的切线方程为$y-y_0=-b^2x_0/a^2y_0(x-x_0)$。判定定理对于给定的直线和椭圆，如果它们满足以下条件之一，则该直线是椭圆的切线：（1）直线在椭圆内部且只与椭圆有一个交点；（2）直线的斜率等于椭圆在交点处的导数。切线性质切线性质及判定定理切线长公式应用举例切线长公式对于标准方程为$x^2/a^2+y^2/b^2=1$的椭圆，过点$(x_0,y_0)$的切线长为$2sqrt{a^2-x_0^2}sqrt{b^2-y_0^2}/ab$。应用举例已知椭圆$x^2/9+y^2/4=1$和点$P(3,2)$，求过点P的切线长。根据切线长公式，过点P的切线长为$2sqrt{9-3^2}sqrt{4-2^2}/3times2=4sqrt{3}/3$。例题101已知椭圆$C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)$的左、右焦点分别为$F_1,F_2$，过$F_1$的直线$l$与C交于$A,B$两点，若$|AF_1|=3|F_1B|$，且$|AB|=4$，则C的离心率为____。分析02本题考查了椭圆的定义、性质以及直线与椭圆的位置关系。首先根据题意设出A、B两点的坐标，然后利用椭圆的定义和性质列出方程组求解出a、c的值，最后根据离心率公式求出离心率。例题203已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为$frac{sqrt{3}}{2}$，且过点$(1,frac{sqrt{5}}{4})$。典型例题分析(1)求椭圆C的方程；(2)若过点M(1,1)的直线l交椭圆C于A、B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程。分析：(1)根据题意设出椭圆的标准方程，然后利用离心率和过点的条件列出方程组求解出a、b的值即可得到椭圆的方程。(2)设出A、B两点的坐标和直线l的方程，然后联立直线和椭圆的方程消元得到关于x的一元二次方程，根据韦达定理和中点坐标公式求出直线的斜率即可得到直线的方程。典型例题分析椭圆在坐标系中变换04若椭圆中心从原点平移到点$(h,k)$，则其方程变为$frac{(x-h)^2}{a^2}+frac{(y-k)^2}{b^2}=1$。平移不改变椭圆的形状和大小，只改变其位置。平移公式平移性质平移变换规律伸缩公式若椭圆在$x$轴方向伸缩系数为$m$，在$y$轴方向伸缩系数为$n$，则其方程变为$frac{x^2}{a^2m^2}+frac{y^2}{b^2n^2}=1$。伸缩性质伸缩会改变椭圆的形状，但保持其中心位置不变。伸缩变换规律椭圆关于其中心对称，也关于其长轴和短轴对称。对称性若椭圆关于$x$轴对称，则其方程不变；若关于$y$轴对称，则其方程变为$frac{y^2}{a^2}+frac{x^2}{b^2}=1$。对称公式对称变换规律已知椭圆$frac{x^2}{16}+frac{y^2}{9}=1$，求其经过平移和伸缩变换后的新方程。例题1已知椭圆$frac{(x-2)^2}{9}+frac{(y+1)^2}{4}=1$，判断其对称性质并给出证明。例题2已知椭圆$frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$和点$P(x_0,y_0)$，判断点$P$是否在椭圆上，并给出证明。例题3典型例题分析复杂图形中椭圆问题处理方法05参数方程基本概念椭圆的参数方程是以角度为参数，表示椭圆上任意一点坐标的方程。通过参数方程，可以将椭圆问题转化为三角函数问题进行处理。要点一要点二参数方程的应用利用椭圆的参数方程，可以解决与椭圆相关的最值、范围、交点等问题。同时，参数方程也可以用于描述椭圆的性质和特征，如离心率、焦点等。利用参数方程处理问题极坐标基本概念极坐标是一种用极径和极角表示平面上任意一点位置的方法。对于椭圆问题，可以通过极坐标将椭圆方程转化为关于极径和极角的方程。极坐标的应用利用椭圆的极坐标方程，可以解决与椭圆相关的面积、周长、切线等问题。同时，极坐标也可以用于描述椭圆的形状和大小，如长短轴、离心率等。利用极坐标处理问题向量基本概念向量是既有大小又有方向的量，可以表示空间中的点、线、面等几何元素。对于椭圆问题，可以利用向量工具描述椭圆上的点、切线等。向量的应用利用向量工具，可以解决与椭圆相关的切线、法线、距离等问题。同时，向量也可以用于描述椭圆的对称性和平移性质等。利用向量工具处理问题例题一已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为√3/2，且过点M(4,1)。求椭圆C的方程。例题二过椭圆x^2/9+y^2/4=1内一点P(2,1)作直线l交椭圆于A、B两点，若P是线段AB的中点，求直线l的方程。例题三已知椭圆C1:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√3/3，直线l:y=kx+m与椭圆C1交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2)。若坐标原点O到直线l的距离为√3/2，求△AOB面积的最大值。典型例题分析总结回顾与拓展延伸06平面内与两定点$F_1,F_2$的距离之和等于常数$2a$（$2a>|F_1F_2|$）的点的轨迹叫做椭圆。椭圆定义椭圆标准方程椭圆的性质$frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），其中$a,b$分别为椭圆的长半轴和短半轴。包括对称性、顶点、焦点、准线等性质。030201关键知识点总结回顾椭圆与直线的位置关系在求解椭圆与直线的交点问题时，需要注意消元后二次方程的解的判别式，以及交点个数与判别式符号的关系。参数范围限制在求解椭圆问题时，需要注意参数范围的限制，如离心率的取值范围等。焦点位置判断在求解椭圆方程时，需要注意焦点位置的不同会影响方程的形式，应根据具体情况进行判断。易错难点剖析指正（2019年全国卷I理科数学第20题）已知椭圆$C:frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点分别为$F_1,F_2$，点$P$在椭圆上，且$PF_1perpPF_2,|PF_1|cdot|PF_2|=4$，若点$P$到椭圆$C$的左顶点与右顶点的距离之积为$7$，则椭圆$C$的离心率为____。题目一（2020年全国卷II理科数学第21题）已知椭圆$Gamma:frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点分别为$F_1,F_2$，过点$F_1$的直线与椭圆交于$A,B$两点，若$DeltaABF_2$的周长为$16$，且$cosangleABF_2=frac{1}{3}$，则$Gamma$的离心率为____。题目二高考真题模拟训练双曲线与椭圆类似，双曲线也是由平面截圆锥得到的二次曲线。其标准方程为$