高考数学一轮复习夯基提能作业第八章立体几何第五节直线平面垂直的判定与性质

第五节直线、平面垂直的判定与性质A组基础题组1.(2017课标全国Ⅲ,10,5分)在正方体ABCDA1B1C1D1A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BD C.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC2.如图,在斜三棱柱ABCA1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1A.直线AB上 B.直线BC上C.直线AC上 D.△ABC内部3.已知m,n是两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,有下列四个命题:①若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β;②若m∥α,n∥β,m⊥n,则α∥β;③若m⊥α,n∥β,m⊥n,则α∥β;④若m⊥α,n∥β,α∥β,则m⊥n.其中所有正确的命题是()A.①④ B.②④ C.① D.④4.设a,b是夹角为30°的异面直线,则满足条件“a⊂α,b⊂β,且α⊥β”的平面α,β()A.不存在 B.有且只有一对C.有且只有两对 D.有无数对5.如图,边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G,已知△A'DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形,则下列命题中正确的是()①动点A'在平面ABC上的射影在线段AF上;②BC∥平面A'DE;③三棱锥A'FED的体积有最大值.A.① B.①② C.①②③ D.②③6.如图,已知∠BAC=90°,PC⊥平面ABC,则在△ABC,△PAC的边所在的直线中,与PC垂直的直线是;与AP垂直的直线是.

7.设a,b为不重合的两条直线,α,β为不重合的两个平面,给出下列命题:①若a∥α且b∥α,则a∥b;②若a⊥α且a⊥β,则α∥β;③若α⊥β,则一定存在平面γ,使得γ⊥α,γ⊥β;④若α⊥β,则一定存在直线l,使得l⊥α,l∥β.其中,所有真命题的序号是.

8.如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,∠ACB=90°,D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1,DF交于点E,要使AB1⊥平面C1DF,则线段B1F的长为9.如图,过底面是矩形的四棱锥FABCD的顶点F作EF∥AB,使AB=2EF,且平面ABFE⊥平面ABCD,若点G在CD上且满足DG=GC.求证:(1)FG∥平面AED;(2)平面DAF⊥平面BAF.10.如图,在三棱锥PABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.(1)求证:PA⊥BD;(2)求证:平面BDE⊥平面PAC;(3)当PA∥平面BDE时,求三棱锥EBCD的体积.B组提升题组1.如图,四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=2,BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A'BCD,使平面A'BD⊥平面BCD,则下列结论正确的是()A.A'C⊥BDB.∠BA'C=90°C.CA'与平面A'BD所成的角为30°D.四面体A'BCD的体积为12.如图,PA⊥☉O所在平面,AB是☉O的直径,C是☉O上一点,AE⊥PC,AF⊥PB,给出下列结论:①AE⊥BC;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC,其中真命题的序号是.

3.如图,三棱柱ABCA1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B(1)证明:B1C(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=1,求三棱柱ABCA1B1C14.(2017课标全国Ⅲ,19,12分)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.(1)证明:AC⊥BD;(2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD.若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.答案精解精析A组基础题组1.C∵A1B1⊥平面BCC1B1,BC1⊂平面BCC1B1,∴A1B1⊥BC1,又BC1⊥B1C,且B1C∩A1B1=B1,∴BC1⊥平面A1B1CD,又A1E⊂平面A1B1CD,∴BC1⊥A2.A连接AC1.∵∠BAC=90°,∴AB⊥AC,又AC⊥BC1,BC1∩AB=B,∴AC⊥平面ABC1,又AC⊂平面ABC,∴平面ABC⊥平面ABC1.∵平面ABC1∩平面ABC=AB,∴点C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上,故选A.3.A借助于长方体模型来解决本题,对于①,可以得到平面α,β互相垂直,如图(1)所示,故①正确;对于②,平面α、β可能垂直,如图(2)所示,故②不正确;对于③,平面α、β可能垂直,如图(3)所示,故③不正确;对于④,由m⊥α,α∥β可得m⊥β,因为n∥β,所以过n作平面γ,且γ∩β=g,如图(4)所示,所以n与交线g平行,因为m⊥β,g⊂β,所以m⊥g,所以m⊥n,故④正确.4.D任意作过a的平面α,在b上任取一点M,过M作α的垂线,b与垂线确定的平面β垂直于α,又直线b上有无数个点,则可以有无数个平面β,故有无数对平面α,β,故选D.5.C①中由已知可得平面A'FG⊥平面ABC,所以点A'在平面ABC上的射影在线段AF上.②BC∥DE,根据线面平行的判定定理可得BC∥平面A'DE.③当平面A'DE⊥平面ABC时,三棱锥A'FDE的体积达到最大.故选C.6.答案AB,BC,AC;AB解析∵PC⊥平面ABC,∴PC垂直于直线AB,BC,AC.∵AB⊥AC,AB⊥PC,AC∩PC=C,∴AB⊥平面PAC,∴AB⊥AP,故与AP垂直的直线是AB.7.答案②③④解析①中a与b也可能相交或异面,故不正确;②垂直于同一直线的两平面平行,正确.③中存在γ,使得γ与α,β都垂直.④中只需直线l⊥α且l⊄β就可以.8.答案12解析设B1F=x,因为AB1⊥平面C1DF,DF⊂平面C1DF,所以AB1⊥DF,由已知可得A1B1=2,设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h,则DE=12h.又2×2=h22+(2在Rt△DB1E中,B1E=222-由面积相等得66×x2+229.证明(1)因为DG=GC,AB=CD=2EF,AB∥EF∥CD,所以EF∥DG,EF=DG.所以四边形DEFG为平行四边形,所以FG∥ED.又因为FG⊄平面AED,ED⊂平面AED,所以FG∥平面AED.(2)因为平面ABFE⊥平面ABCD,平面ABFE∩平面ABCD=AB,AD⊥AB,AD⊂平面ABCD,所以AD⊥平面BAF,又AD⊂平面DAF,所以平面DAF⊥平面BAF.10.解析(1)证明:因为PA⊥AB,PA⊥BC,AB∩BC=B,所以PA⊥平面ABC.又因为BD⊂平面ABC,所以PA⊥BD.(2)证明:因为AB=BC,D为AC的中点,所以BD⊥AC.由(1)知,PA⊥BD,又PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC.又因为BD⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面PAC.(3)因为PA∥平面BDE,平面PAC∩平面BDE=DE,所以PA∥DE.因为D为AC的中点,所以DE=12PA=1,BD=DC=2由(1)知,PA⊥平面ABC,所以DE⊥平面ABC.所以三棱锥EBCD的体积V=16BD·DC·DE=1B组提升题组1.B若A成立可得BD⊥A'D,产生矛盾,故A不正确;由题设知:△BA'D为等腰直角三角形,易得CD⊥平面A'BD,所以CD⊥A'B,又A'B⊥A'D,A'D∩CD=D,所以BA'⊥平面A'CD,于是B正确;由CA'与平面A'BD所成的角为∠CA'D=45°知C不正确;VA'BCD=VCA'BD=162.答案①②④解析①因为BC⊥AC,BC⊥PA,PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,又BC⊂平面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC,因为平面PBC∩平面PAC=PC,AE⊥PC,所以AE⊥平面PBC,所以AE⊥BC,故①正确;②由①知AE⊥平面PBC,所以AE⊥PB,AF⊥PB,AF∩AE=A,所以PB⊥平面AEF,所以EF⊥PB,故②正确,③若AF⊥BC,则易得AF⊥平面PBC,则AF∥AE,与已知矛盾,故③错误,由①可知④正确.3.解析(1)证明:设O为B1C与BC1的交点.因为BB1C1C为菱形,所以B1又AO⊥平面BB1C1C,所以B1由于AB⊂平面ABO,故B1C(2)作OD⊥BC,垂足为D,连接AD.作OH⊥AD,垂足为H.由于BC⊥AO,BC⊥OD,故BC⊥平面AOD,所以OH⊥BC.又OH⊥AD,所以OH⊥平面ABC.因为∠CBB1=60°,所以△CBB1为等边三角形,又BC=1,可得OD=34由于AC⊥AB1,所以OA=12B1C=由OH·AD=OD·OA,且AD=OD2+OA2又O为B1C的中点,所以点B1到平面ABC的距离为21故三棱柱ABCA1B1C1的高为214.解析(1)证明:取AC的中点O,连接DO,BO.因为AD=CD,所以AC⊥DO.又由于△ABC是正三角形,所以AC⊥BO.从而AC⊥平面DOB,故AC⊥BD.(2)连接EO.由(1