中考数学考点复习：三角形考点解读＋考题精析

三角形

考点解读

1、了解三角形的有关概念，并探索其性质。会证三角形全等

2、能运用有关三角形的知识解决问题。

3、重点、易错点分析：

4、通过证明线段或角相等来考虑三角形的性质和判定；运用勾股定理解决实际问题，三角

形中重要线段的性质和判定。确定边长的取值范围时，容易忽略是不是能构成三角形；等腰

三角形注意解的不唯一性。

考题解析

1.如图，已知△ABC,AB=AC,NA=90。，直角NEPF的顶点P是BC的中点，两

边PE,PF分别交AB,AC于点E、F.给出以下四个结论：

①AE=CF；

②EF=AP；

③4EPF是等腰直角三角形；

A.①②③B.①③C.①③④D.①②③④

【考点】KY：三角形综合题.

【分析】连接AP,判断出△APE^^CPF,可得①③结论正确，同理证明4APF

^△BPE,即可得到④正确；

【解答】解：连接AP,EF,

VAB=AC,ZA=90°,

AAPlBC,

/.ZAPC=90°,

，ZAPF+ZCPF=90",

VZEPF=ZAPE+ZAPF=90°,

，NAPE=NCPF,

在等腰直角三角形ABC中，AP_LBC,

ZBAP=ZCAP=ZC=45°,AP=CP,

，ZBAP=ZC=45"

在AAPE和ACPF中，AP=CP

ZAPE=ZCPF

.,.△APE之△CPF,

•e•SAAPE=SACPF，AE=CF,PE=PF,

VZEPF=90°,

.二△EPF是等腰直角三角形；

即：①③正确；

同理：Z\APF四△BPE,

••SAAPF=SABPE>

•"S四边彩AEPF=SAAPE+SAAPF=-1"SAABC，

即：④正确;

•••△△EPF是等腰直角三角形，

，EF=RPE,

当PELAB时，AP=、QEF,而PE不一定垂直于AB,

AAP不一定等于EF,

...②错误；

故选C.

2.如图，在AABC中，ZC=90°,AC=BC=4,D是AB的中点，点E、F分别在AC、

BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF,连接DE、DF、EF.在此

运动变化的过程中，有下列结论：①4DFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF

不可能为正方形；③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；④点C、

E、D、F四点在同一个圆上，且该圆的面积最小为4n.其中错误结论的个数是

()个.

【考点】KY：三角形综合题.

【分析】①正确.连接CD.只要证明△ADEgACDF(SAS),即可解决问题.

②错误.当E、F分别为AC、BC中点时，四边形CEDF为正方形.

③错误.四边形CEDF的面积=右加=*><94*4=4,为定值.

④错误.以EF为直径的圆的面积的最小值=兀・(2=2n.

【解答】解：连接CD,如图1,

VZC=90°,AC=BC=4,

•••△ABC是等腰直角三角形，

ZA=ZB=45",

•.•D为AB的中点，

/.CD±AB,CD=AD=BD,

AZDCB=ZB=45°,

ZA=ZDCF,

在AADE和aCDF中

'AE=CF

<ZA=ZDCF,

AD=CD

.'.△ADE^ACDF(SAS),

，ED=DF,NCDF=NADE,

VZADE+ZEDC=90°,

NEDC+NCDF=90°,即/EDF=90°,

...△DFE是等腰直角三角形，所以①正确；

当E、F分别为AC、BC中点时，如图2,则AE=CE=CF=BF,DE=AE=CE,

；.CE=CF=DE=DF,

而NECF=90。，

...四边形CDFE是正方形，所以②错误；

VAADE^ACDF,

••SAADE=S^CDF>

"

••S叫边彩CEDF=SZ\CDE+SZ\CDF=SACDE+SZ\ADE=S/\ADC=^SAABC='^X'l■义4X4=4,所以③错误;

VACEF和4DEF都为直角三角形，

.•.点C、D在以EF为直径的圆上，即点C、E、D、F四点在同一个圆上，

•••△DEF是等腰直角三角形，

.•.EF=V2DE,

当DE_LAC时，DE最短，此时DE=^AC=2,

EF的最小值为2/2,

...以EF为直径的圆的面积的最小值=兀・（三・2、02=2n,所以④错误；

故选C.

3.在正方形网格中，^ABC的位置如图所示，则cosB的值为（)

A.£B.返C.返D.返

【考点】KQ：勾股定理；T1：锐角三角函数的定义.

【分析】先设小正方形的边长为1,然后找个与NB有关的RTAABD,算出AB

的长，再求出BD的长，即可求出余弦值.

【解答】解：设小正方形的边长为1,则AB=4近，BD=4,

/.cosZB=-T4=-=^-.

W22

故选B.

4.如图，△ABC、AADE41，C、E两点分别在AD、AB上，且BC与DE相交于

F点，若NA=90。，ZB=ZD=30°,AC=AE=1,则四边形AEFC的周长为何（）

A.2如B.25c.2+V2D.2+73

【考点】KQ：勾股定理；KJ：等腰三角形的判定与性质；K0：含30度角的直角

三角形.

【分析】根据三角形的内角和得到NAED=NACB=60。，根据三角形的外角的性质

得到NB=/EFB=NCFD=ND,根据等腰三角形的判定得到BE=EF=CF=CD,于是得

到四边形AEFC的周长=AB+AC.

【解答】解：VZA=90°,ZB=ZD=30°,

ZAED=ZACB=60°,

VZAED=ZB+ZEFB=ZACD=ZZCFD+ZD=60°,

.*.ZEFB=ZCFD=30o,

ZB=ZEFB=ZCFD=ZD,

，BE=EF=CF=CD,

二四边形AEFC的周长=AB+AC,

VZA=90°,AE=AC=1,

，AB=AB=b，

/.四边形AEFC的周长=2、Q.

故选B.

5.如图，四边形ABCD中，AD〃BC,ZABC+ZDCB=90°,且BC=2AD,以AB、

BC、DC为边向外作正方形，其面积分别为Si、S2>S3,若Si=3,S3=9,则S2的

值为（）

A.12B.18C.24D.48

【考点】KQ：勾股定理.

【分析】根据已知条件得到AB=g,CD=3,过A作AE〃CD交BC于E,则NAEB=

ZDCB,根据平行四边形的性质得到CE=AD,AE=CD=3,由已知条件得到/

BAE=90。，根据勾股定理得到BE=^AB2+AE2=2,（3,于是得到结论.

【解答】解：..0=3,S3=9,

，AB=、n，CD=3,

过A作AE〃CD交BC于E,

则/AEB=NDCB,

VAD/7BC,

二四边形AECD是平行四边形,

，CE=AD,AE=CD=3,

,/NABC+NDCB=90°,

/.ZAEB+ZABC=90",

，NBAE=90°,

•*-BE=VAB2+AE2=2'/3»

BC=2AD,

BC=2BE=4A/5，

.*.S2=(473)2=48,

6.“赵爽弦图"巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，

如图所示的“赵爽弦图"是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个

大正方形，设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若（a+b）2=21,

大正方形的面积为13,则小正方形的面积为（）

【考点】KR：勾股定理的证明.

【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的

面积，利用已知(a+b)2=21,大正方形的面积为13,可以得出直角三角形的面

积，进而求出答案.

【解答】解：如图所示：

(a+b)2=21,

/.a2+2ab+b2=21,

•.•大正方形的面积为13,

2ab=21-13=8,

...小正方形的面积为13-8=5.

故选：C.

7.如图，要测定被池塘隔开的A,B两点的距离.可以在AB外选一点C,连接

AC,BC,并分别找出它们的中点D,E,连接ED.现测得AC=30m,BC=40m,DE=24m,

则AB=()

A.50mB.48mC.45mD.35m

【考点】KX：三角形中位线定理.

【分析】根据中位线定理可得：AB=2DE=48m.

【解答】解：:D是AC的中点，E是BC的中点,

ADE是4ABC的中位线，

ADE-yAB,

VDE=24m,

；.AB=2DE=48m,

故选B.

8.如图，E是4ABC中BC边上的一点，且BE=-1-BC；点D是AC上一点，且AD=-1

A.1B.2C.3D.4

【考点】K3：三角形的面积.

【分析】过D作DG〃AE交CE于G,根据已知条件得到CG=3EG,求得AE=^DG,

CE="G,求出SMBD*MBC=6.由EC=2BE,SAABC=24,得至ISMBE=LABC=8,于

是得到结论.

【解答】解：过D作DG〃AE交CE于G,

・・AD」AC,

4

\CG=3EG,

\AE=4DG,CE=^-CG,

.•EC=2BE,

\BE=2EG,

2

\EF=yDG,

9

•.AF=yDG,

\EF=AF,

S/\ABC=24,

SAABD=^_SCABC=6.

4

VEC=2BE,SAABC=24,

SAABE=47SAABC=8,

=-

S/iABE-SAABD(SAABF+S^BEF)(SAADF+SAABF)=S"EF-SAADF，

即SABEF-SAADF=SAABE-S^ABD=8-6=2.

故选B.

9.如图，在RtZ\ABC中，BC=2,ZBAC=30°,斜边AB的两个端点分别在相互垂

直的射线。M、ON上滑动，下列结论：

①若C、。两点关于AB对称，则0A=2f；

②C、。两点距离的最大值为4；

③若AB平分CO,则ABJ_CO；

jr

④斜边AB的中点D运动路径的长为

其中正确的是①②（把你认为正确结论的序号都填上）.

【考点】KY：三角形综合题.

【分析】①先根据直角三角形30。的性质和勾股定理分别求AC和AB,由对称的

性质可知：AB是OC的垂直平分线，所以OA=AC；

②当OC经过AB的中点E时，OC最大，则C、0两点距离的最大值为4；

③如图2,当NABO=30。时，易证四边形。ACB是矩形，此时AB与CO互相平分,

但所夹锐角为60°,明显不垂直，或者根据四点共圆可知：A、C、B、0四点共

圆，则AB为直径，由垂径定理相关推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这

条弦，但当这条弦也是直径时，即OC是直径时，AB与OC互相平分，但AB与

OC不一定垂直；

④如图3,半径为2,圆心角为90。，根据弧长公式进行计算即可.

【解答】解：在ABC中，VBC=2,ZBAC=30°,

.•.AB=4,AC=742-22=2A/3»

①若C、。两点关于AB对称，如图1,

，AB是OC的垂直平分线，

则OA=AC=2V3;

所以①正确；

②如图1,取AB的中点为E,连接OE、CE,

,/ZAOB=ZACB=90°,

.\0E=CE=7-AB=2,

2

当0c经过点E时，0C最大，

则C、0两点距离的最大值为4；

所以②正确；

③如图2,当/ABO=30。时，ZOBC=ZAOB=ZACB=90°,

二四边形AOBC是矩形，

AAB与0C互相平分，

但AB与0C的夹角为60。、120°,不垂直，

所以③不正确；

④如图3,斜边AB的中点D运动路径是：以。为圆心，以2为半径的圆周的占,

4

l90KX2

则nil：F"H

所以④不正确；

综上所述，本题正确的有：①②；

故答案为：①②.

0AM

10.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,ZBAD=ZBCD=90°,连接AC.若AC=6,

则四边形ABCD的面积为18.

【考点】KD：全等三角形的判定与性质.

【分析】作辅助线；证明△ABM之△ADN,得到AM=AN,aABM与AADN的面

积相等；求出正方形AMCN的面积即可解决问题.

【解答】解：如图，作AMLBC、AN1CD,交CD的延长线于点N；

VZBAD=ZBCD=90°

四边形AMCN为矩形,ZMAN=90°；

VZBAD=90°,

NBAM=NDAN；

在△ABM与4ADN中，

'NBAM=/D研

-NAMB=NAND,

AB=AD

.'.△ABM^AADN(AAS),

，AM=AN(设为人)；AABM与△ADN的面积相等；

四边形ABCD的面积=正方形AMCN的面积；

由勾股定理得：AC2=AM2+MC2,而AC=6；

，2入2=36,入2=18,

故答案为：18.

11.如图，已知在^ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为E,交AC于点D,

若AB=6,AC=9,则Z\ABD的周长是15

【考点】KG：线段垂直平分线的性质.

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DC,根据三角形的周长公式计算

即可.

【解答】解：:DE是BC的垂直平分线，

，DB=DC,

/.△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=15,

故答案为：15.

12.在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别作

DE1AB,DF1AC,垂足分别为E,F,贝UDE+DF=2n.

【考点】KK：等边三角形的性质.

【分析】作AGLBC于G,根据等边三角形的性质得出NB=60。，解直角三角形求

得AG=26，根据S,\ABD+SAACD=SAABC即可得出DE+DF=AG=2方.

【解答】解：如图，作AGLBC于G,

•..△ABC是等边三角形，

/.ZB=60o,

.•.AG=^AB=2、/5，

连接AD,贝USMBD+SAACD=S/\ABC»

...gAB•DE^AC•DF=《BC•AG,

222

VAB=AC=BC=4,

/.DE+DF=AG=2x/3，

故答案为：2，^.

三.解答题（共7小题）

13.已知AABC,AB=AC,D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD=AE,设

ZBAD=a,ZCDE=p.

（1）如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上.

①如果NABC=60°,ZADE=70",那么a=20°,B=10°,②求a,0之间的

关系式.

（2）是否存在不同于以上②中的a,0之间的关系式？若存在，求出这个关系式

（求出一个即可）；若不存在，说明理由.

【考点】KY：三角形综合题.

【分析】（1）①先利用等腰三角形的性质求出NDAE,进而求出NBAD,即可得

出结论；

②利用等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得出结论；

（2）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，同（1）的方法即可得出

结论；

②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，同（1）的方法即可得出结

论.

【解答】解：（1）①•.•AB=AC,ZABC=60°,

AZBAC=60°,

VAD=AE,ZADE=70°,

.,.ZDAE=180°-2ZADE=40°,

/.a=ZBAD=60°-40°=20°,

ZADC=ZBAD+ZABD=60°+20°=80°,

p=ZCDE=ZADC-ZADE=10°,

故答案为：20,10；

②设NABC=x,NAED=y,

；.NACB=x,NAED=y,

在Z\DEC中,y邛+x,

在AABD中，a+x=y+p=p+x+p,

a=2P；

（2）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上,

如图1

设NABC=x,NADE=y,

NACB=x,ZAED=y,

在ZXABD中,x+a邛-y,

在Z^DEC中,x+y+p=180°,

/.a=2P-180°,

②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上,

如图2,同①的方法可得a=180°-20.

E

D

14.问题背景：如图1,等腰AABC中，AB=AC,ZBAC=120°,作ADLBC于点D,

则D为BC的中点，ZBAD=^-ZBAC=60°,于是磐噜

zADAD

迁移应用：如图2,ZXABC和aADE都是等腰三角形，ZBAC=ZDAE=120°,D,E,

C三点在同一条直线上，连接BD.

①求证：4ADB之△AEC；

②请直接写出线段AD,BD,CD之间的等量关系式；

拓展延伸：如图3,在菱形ABCD中，ZABC=120°,在NABC内作射线BM,作点

C关于BM的对称点E,连接AE并延长交BM于点F,连接CE,CF.

①证明4CEF是等边三角形；

②若AE=5,CE=2,求BF的长.

。图3

【考点】KY：三角形综合题；KD：全等三角形的判定与性质.

【分析】迁移应用：①如图②中，只要证明NDAB=NCAE,即可根据SAS解决问

题；

②结论：CD=V3AD+BD.由△DABgZ\EAC,可知BD=CE,在RtAADH中，

DH=AD*cos30°=^AD,由AD=AE,AH_LDE,推出DH=HE,由CD=DE+EC=2DH+BD=«

AD+BD,即可解决问题；

拓展延伸：①如图3中，作BHLAE于H,连接BE.由BC=BE=BD=BA,FE=FC,

推出A、D、E、C四点共圆，推出NADC=NAEC=120。，推出NFEC=60。，推出△

EFC是等边三角形；

②由AE=5,EC=EF=2,推出AH=HE=2.5,FH=4.5,在Rt^BHF中，由NBFH=30。，

可得冬=cos30。，由此即可解决问题.

Dr

【解答】迁移应用：①证明：如图②

VZBAC=ZDAE=120°,

/.ZDAB=ZCAE,

在4DAE和4EAC中，

'DA二EA

"ZDAB=ZEAC,

AB=AC

/.△DAB^AEAC,

②解：结论：CD=VsAD+BD.

理由：如图2-1中，作AH_LCD于H.

；.BD=CE,

在RtAADH中，DH=AD・cos30°=返AD,

2

VAD=AE,AH±DE,

，DH=HE,

CD=DE+EC=2DH+BD=VSAD+BD.

,四边形ABCD是菱形，ZABC=120°,

...△ABD,ABDC是等边三角形，

BA=BD=BC,

VE,C关于BM对称，

，BC=BE=BD=BA,FE=FC,

:.A、D、E、C四点共圆，

/.ZADC=ZAEC=120°,

AZFEC=60",

/.△EFC是等边三角形，

②解:VAE=5,EC=EF=2,

，AH=HE=2.5,FH=4.5,

在RtABHF中，ZBFH=30°,

•,照=cos30°,

BF

4.5

BF=V3=35/3.

V

15.已知：ZSACB和ADCE都是等腰直角三角形，ZACB=ZDCE=90°,连接AE,

BD交于点。，AE与DC交于点M,BD与AC交于点N.

（1）如图1,求证:AE=BD；

（2）如图2,若AC=DC,在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四

对全等的直角三角形.

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形.

【分析】（1）根据全等三角形的性质即可求证4ACE丝ABCD,从而可知AE=BD；

（2）根据条件即可判断图中的全等直角三角形；

【解答】解：（1）•••△ACB和4DCE都是等腰直角三角形，

ZACB=ZDCE=90°,

.*.AC=BC,DC=EC,

NACB+NACD=NDCE+NACD,

/.ZBCD=ZACE,

在^ACE与ABCD中，

'AC=BC

<ZACE=ZBCD

CE=CD

.'.△ACE^ABCD(SAS),

，AE=BD,

(2)VAC=DC,

，AC=CD=EC=CB,

△ACB^ADCE(SAS)；

由(1)可知：NAEC=NBDC,ZEAC=ZDBC

，NDOM=90°,

VZAEC=ZCAE=ZCBD,

.,.△EMC^ABCN(ASA),

，CM=CN,

；.DM=AN,

△AON四△DOM(AAS),

VDE=AB,AO=DO,

.,.△AOB^ADOE(HL)

16.在AABC中，ZABM=45°,AM±BM,垂足为M,点C是BM延长线上一点,

连接AC.

(1)如图1,若AB=3&,BC=5,求AC的长；

(2)如图2,点D是线段AM上一点，MD=MC,点E是AABC外一点，EC=AC,

连接ED并延长交BC于点F,且点F是线段BC的中点，求证：ZBDF=ZCEF.

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KQ：勾股定理.

【分析】(1)先由AM=BM=ABcos45o=3可得CM=2,再由勾股定理可得AC的长;

(2)延长EF到点G,使得FG=EF,证aBIVID之ZXAMC得AC=BD,再证aBFG之

△CFE可得BG=CE,ZG=ZE,从而得BD=BG=CE,即可得NBDG=NG=NE.

【解答】解：(1)VZABM=45°,AM1BM,

AM=BM=ABcos45o=3&X券=3,

则CM=BC-BM=5-3=2,

•*-AC=VAM2+CM2=V22+32=V13；

(2)延长EF到点G,使得FG=EF,连接BG.

V

G

由DM=MC,ZBMD=ZAMC,BM=AM,

.,.△BMD^AAMC(SAS),

，AC=BD,

又CE=AC,

因止匕BD=CE,

由BF=FC,ZBFG=ZEFC,FG=FE,

.".△BFG^ACFE,

故BG=CE,ZG=ZE,

所以BD=CE=BG,

因止匕NBDG=NG=NE.

17.如图，DE±AB,CF±AB,垂足分别是点E、F,DE=CF,AE=BF,求证：AC〃

BD.

【考点】KD：全等三角形的判定与性质.

【分析】欲证明AC〃BD,只要证明NA=NB,只要证明△DEBgZXCFA即可.

【解答】证明：•.•DE，AB,CF1AB,

/.ZDEB=ZAFC=90o,

VAE=BF,

/.AF=BE,

在aDEB和4CFA中，

'DE=CF

,ZDEB=ZAFC，

AF=BE

△DEB^ACFA,

:.ZA=ZB,

；.AC:〃DB.

18.如图，直角△ABC中，NA为直角，AB=6,AC=8.点P,Q,R分别在AB,

BC,CA边上同时开始作匀速运动，2秒后三个点同时停止运动，点P由点A出

发以每秒3个单位的速度向点B运动，点Q由点B出发以每秒5个单位的速度

向点C运动，点R由点C出发以每秒4个单位的速度向点A运动，在运动过程

中：

（1）求证：4APR,△BPQ,△CQR的面积相等；

（2）求△PQR面积的最小值；

（3）用t（秒）（0WtW2）表示运动时间，是否存在t,使NPQR=90。？若存在,

请直接写出t的值；若不存在，请说明理由.

【考点】KY：三角形综合题.

【分析】(1)先利用锐角三角函数表示出QE=4t,QD=3(2-t),再由运动得出

AP=3t,CR=4t,BP=3(2-t),AR=4(2-t),最后用三角形的面积公式即可得出

结论；

(2)借助(1)得出的结论，利用面积差得出SMQR=18(t-1)2+6,即可得出结

论；

(3)先判断出NDQR=NEQP,用此两角的正切值建立方程求解即可.

【解答】解:(1)如图，在R3ABC中，AB=6,AC=8,根据勾股定理得,BC=10,

ACJ_13

sinZB===sinZC=—，

正-正-石4

过点Q作QELAB于E,

在RgBQE中，BQ=5t,

.\sinZB=QE_1

/.QE=4t,

过点Q作QDJ_AC于D,

在Rt^CDQ中，CQ=BC-BQ=10-5t,

.,.QD=CQ・sinNC旦(10-5t)=3(2-t),

5

由运动知,AP=3t,CR=4t,

，BP=AB-AP=6-3t=3(2-t),AR=AC-CR=8-4t=4(2-t),

•*.SAAPR^AP^AR^X3tX4(2-t)=6t(2-t),

SABPQ=-|-BP*QE=-|-X3(2-t)X4t=6t(2-t),

SACQR=^-CR•QD=yX4tX3(2-t)=6t(2-t),

••SAAPR=SABPQ=SACQR'

/.△APR,ABPQ,△CQR的面积相等;

(2)由(1)知，SAAPR二S/XBPQ二SaCQR=6t(2-t),

VAB=6,AC=8,

••SAPQR=SAABC-(SAAPR+SABPQ+SACQR)

=^X6X8-3X6t(2-t)=24-18(2t-t2)=18(t-1)2+6,

YOU

・••当t=l时，SAPQR妓小=6；

(3)存在，由(1)知，QE=4t,QD=3(2-t),AP=3t,CR=4t,AR=4(2-t),

/.BP=AB-AP=6-3t=3(2-t),AR=AC-CR=8-4t=4(2-t),

过点Q作QDLAC于D,作QELAB于E,VZA=90°,

•••四边形APQD是矩形，

.♦.AE=DQ=3(2-t),AD=QE=4t,

/.DR=AD-AR=4t-4(2-t)|=|4(2t-2),PE=AP-AE=|3t-3(2-t)

|=|3(2t-2)|

VZDQE=90°,NPQR=90°,

；.NDQR=NEQP,

/.tanZDQR=tanZEQP,

在RtADQR中，tanZDQR=DQ=^^Q1[

322

在RtZ\EQP中，tanZEQP=