曲线运动和万有引力经典例题及详细答案

第四章曲线运动和万有引力§4.1运动的合成和分解平抛运动[知识要点]1、曲线运动〔1〕曲线运动的条件：合外力方向〔或加速度方向〕与速度方向不在一条直线上。〔2〕曲线运动的特点及性质：曲线运动中质点的速度方向为某时刻曲线中这一点的切线方向，曲线运动一定是变速运动。2、运动的合成和分解〔1〕分运动求合运动的过程叫运动的合成；合运动求分运动的过程叫运动的分解。〔2〕运动合成和分解的总原那么：平行四边形定那么〔包括s、v、a的合成和分解〕。运动的分解原那么：根据实际效果分解或正交分解。〔3〕运动合成和分解的特点：①等效性：几个分运动的总效果为合运动；某个运动〔合运动〕可以用几个分运动等效代替。②独立性：各个分运动可以是不同性质的运动，且互不干扰，独立进行。③等时性：合运动和分运动具有同时开始、同时结束的特性，物体运动的时间取决于具有某种约束的分运动，如平抛运动中物体下落的高度可能决定平抛运动的时间。3、平抛运动〔1〕定义：水平抛出的物体只在重力作用下的运动。〔2〕性质：平抛运动是加速度a=g的匀变速曲线运动。〔3〕规律：以水平方向抛出速度V0做匀速直线运动，vx=v0,x=v0t；竖直方向做自由落体运动，vy=gt，y=(1/2)gt2。〔4〕运动轨迹：由x=v0t和y=(1/2)gt2得y=gx2/2v02，顶点为〔0，0〕，开口向下的半支抛物线〔x>0,y>0〕。【典型例题】，[例1]物体受到几个力的作用而处于平衡状态，假设再对物体施加一个恒力，那么物体可能为〔〕A、静止或匀速直线运动B、匀变速直线运动C、曲线运动D、匀变速曲线运动[例2]某河宽d=100m，水流速度为3m/s，船在静水中的速度为4m/s，问：〔1〕船渡河的最短时间多长？船的位移多大？〔2〕欲使船沿最短路径到达对岸，船应与河岸成多大的角度行驶？渡河时间多少？〔3〕假设水流流速为4m/s，船在静水中的速度为3m/s时，欲使船沿最短路径到达对岸，船应与河岸成多大角度？v0v0v0v0ECDPQMNBA同一竖直线将小铁球P、Q分别吸在电磁铁C、D上，然后切断电源，使两小铁球能以相同的初速度V0同时分别从轨道M、N的下端射出。实验结果是两小铁球同时到达E处，发生碰撞，增加或者减小轨道M的高度，只改变小铁球P到达桌面时速度的竖直方向分量的大小，再进行实验，结果两小铁球总是发生碰撞。试分析回答该实验现象说明了什么？[例4]某一物体以一定的初速度水平抛出，在某1s内其速度方向与水平方向由37°变成53°，那么此物体初速度大小是多少？此物体在这1s内下落的高度是多少？〔g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8〕[例5]〔2005·江苏高考〕A、B两小球同时从距地面高为h=15m处的同一点抛出，初速度大小均为v0=10m/s2，A球竖直向下抛出，B球水平抛出，空气阻力不计，重力加速度g=10m/s2，求：A球经过多长时间落地；A球落地时，A、B两球间的距离是多少？【当堂反应】AB1、〔2005·上海〕如下图的塔吊臂上有一可以沿水平方向运动的小车A，小车下装有吊着物体B的吊钩，在小车A与物体B以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动的同时，吊钩将物体B向上吊起，A、B之间的距离以d=H-2t2ABA、速度大小不变的曲线运动B、速度大小增加的曲线运动C/C/AA/CBB/D、加速度大小方向均变化的曲线运动2、〔2004·上海〕如下图为用频闪摄影方法拍摄的研究物体做平抛运动规律的照片，图中A、B、C为三个同时由同一点出发的小球，AA/为A球在光滑水平面上以速度V运动的轨迹，BB/为B球以速度V被水平抛出后的运动轨道；CC/为C球自由下落的运动轨迹。通过分析上述三条轨迹，可得出结论__________________________________________。3、〔2003·全国理综〕在抗洪抢险中，战士驾摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2，战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d，如战士想在最短时间内将人送上岸，那么摩托艇登陆的地点离O点的距离为〔〕A、B、0C、dv1/v2D、dv2/v14、〔2004·湖北理综〕玻璃生产线上，宽为d的线型玻璃以v1速度连续不断地在平直轨道上前进，在切割工序处，金刚石切割刀以相对于地的速度v2切割玻璃，要每次割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形，如下图，那么以下说法中正确的选项是〔〕v1ABCOA、切割一次的时间为d/v2v1ABCOC、速度v2的方向应由O指向C，且cosθ=v1/v2D、速度v2的方向应由O指向A，且v1与v2的合速度方向沿OB。5、如下图，在同一竖直面内，小球A、B从高度不同bPavavbPavavb间ta和tb后落到与两抛出点水平距离相等的P点，假设不计空气阻力，以下关系式正确的选项是〔〕A、ta>tb，va<vbB、ta>tb，va>vbC、ta<tb，va<vbD、ta<tb，va>vb§4.1运动的合成和分解平抛运动答案[典型例题]例1[分析]物体处于平衡状态，那么原来几个力的合力一定为零，现受到另一恒力作用，物体一定做变速运动，应选项A错误。假设物体原来静止那么现在一定做匀加速直线运动；假设物体原来做匀速直线运动，且速度与恒力方向共线那么做匀变速直线运动〔F与V同向做匀加速，F与V反向做匀减速〕，应选项B正确。假设速度与力不在同一直线上，物体那么做曲线运动，因力是恒力，加速度那么也是恒定的，因此物体做匀变速曲线运动。答案：B、C、D例2将船对水的速度沿平行于河岸和垂直于河岸方向正交分解如图，那么v水-v船cosθ为船实际上沿河岸方向的运动速度，v船sinθ为船垂直于河岸方向的运动速度。〔1〕要使船渡河时间最短，应使v船sinθ最大，即当θ=90°时，渡河时间最短，且t=d/v船=100s/4=25s沿河流方向位移S水=v水t=3×25m=75m，那么合位移(2)在v船>v水的情况下，要使船渡河位移为最小，船的合运动的速度正好垂直于河岸，这时v船cosθ=v水，即船头与上游河岸夹角θ=arcos(v水/v船)=arccos3/4，t=d/〔v船sinθ〔3〕如果v船<v水，这时不可能垂直横渡，船一定会偏向下游，如下图，以OA表示水流速度v水，过A点以v船IPαOA为半径画图，当船头指向不同时，对应的船速指向圆周上的不同点，例如AP。这时的合速度为OP，它与下游夹角为α，为了保证航程最短，IPαOA53°37°AB53°37°ABvAvB[答案]平抛运动的物体在水平方向做匀速直线运动，各分运动具有独立性。例4[解析]解法一：如下图，小球经过A点时vA与水平夹角为37°，经过B点时VB与水平夹角为53°，设从开始到A经历ts，那么到B共历经〔t+1〕s。vyA=gt=v0tan37°vyB=g(t+1)=v0tan53°由以上两式解得初速度v0=17.1m/s，且t=9s/7。在这1s内下落的高度：37º37º53ºvAv0vB解法二：根据题意可得图，由图中几何关系可得,据推导公式有：[点评]此题关键是画出速度矢量图，从速度之间的关系入手。例5[解析]〔1〕A球做竖直下抛运动：h=V0t+(1/2)gt2将h=15m，v0=10m/s代入，有5t2+10t=15解得：t=1s〔2〕B球做平抛运动，x=V0t，y=(1/2)gt2将V0=10m/s，t=1s代入可得x=10m,y=5m此时A球与B球的距离L为：答案：〔1〕1s〔2〕[当堂反应]1、[解析]B在水平方向做匀速直线运动，因为由d=H-2t2可知，竖直方向的运动为匀变速直线运动，两个方向的合运动那么为匀变速曲线运动。[答案]B、C2、[解析]将B球与A球相比拟，可以看出在同一时刻，在水平方向上B球与A球在相同位置，说明B球水平方向上与A球的运动是相同的，即B球在水平方向上做匀速直线运动，将B球与C球的运动相比拟，B球在竖直方向上的位置与C球是相同的，即在竖直方向上B球与C球的运动是相同的，即在竖直方向上B球做自由落体运动。AOB3、[解析]当船头垂直河岸航行时，渡河时间最短，所用时间t=d/v2。由于合运动和分运动具有等时性，因此被水冲下的分运动时间也为t，登陆地点离O点距离为s=v1·t=v1〔d/vAOB答案：COθOθ4、[解析]要切割成矩形，那么要求切割刀相对于玻璃的速度为垂直玻璃侧面，故切割刀的速度〔即轨道〕与玻璃侧面成θ角，如右图所示，由图可知切割一次的时间为，选项A错。切割一次的距离为，选项B错，，选项C正确。答案：C点评：此题的关键在于玻璃在运动，很多同学误以为就是小船渡河，从而误选D。此题也可以假设玻璃不动，那么刀沿侧面方向速度分量也应该等于v1，从而只有相对玻璃的垂直速度，才能切割出矩形玻璃来。5、[解析]故ta>tb,又s=v0ts相同，所以va<vb，A对答案：A§4.1运动的合成和分解平抛运动1、[根本概念题]：关于曲线运动，以下说法正确的选项是〔〕A、做曲线运动的物体，其速度大小和方向都是不断改变的；B、做曲线运动物体的运动方向，是沿着运动轨道曲线的；C、曲线运动一定是变速运动；D、曲线运动可以是匀速运动，例如匀速圆周运动就是匀速运动。2、[图像信息题]物体做平抛运动时，描述物体竖直方向的分速度vy〔取向下为正〕随时间变化的图线是以下图所示的vvyt0vyt0vyt0vyt0ABCDAABvAvB3、[经典常考题]如下图，做匀速直线运动的汽车A通过一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B，设重物和汽车的速度的大小分别为VB、VA，那么A、vA=vBB、vA>vBC、vA<vBD、重物B的速度逐渐增大4、关于平抛运动，以下说法中正确的选项是〔〕A、平抛运动是匀变速运动B、做平抛运动的物体，在任何时间内，速度改变量的方向都是竖直向下的；C、平抛运动可以分解为水平的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动；D、平抛运动物体的落地速度和在空中运动时间只与抛出点离地面高度有关。5、〔2006·天津高考〕在平坦的垒球运动场上，击球手挥动球棒将垒球水平击出，垒球飞行一段时间后落地，假设不计空气阻力，那么〔〕A、垒球落地时间瞬间速度的大小仅由初速度决定B、垒球落地时瞬时速度的方向仅由击球点离地面的高度决定C、垒球在空中运动的水平位移仅由初速度决定D、垒球在空中运动的时间仅由击球点离地面的高度决定1212345A、如为吸引力，另一物体可以在3区；B、如为吸引力，另一物体可以在5区；C、如为排斥力，另一物体可以在4区；D、如为排斥力，另一物体可以在2区。v0vθAα7、〔2004v0vθAα8、如下图，从倾角为θ的足够长斜面上的A点，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出。第一次初速度为v1，球落到斜面上时瞬时速度方向与斜面夹角为α1；第二次初速度为v2，球落到斜面上瞬时速度方向与斜面夹角为α2，不计空气阻力，假设v1>v2，那么α1_____α2。〔填>、<或=〕00254321864t/svx/ms-10254321864t/svy/ms-1ab9、如下图，α图表示某物体在x轴方向上分速度的v-t图像，b图表示该物体在y轴上分速度图像。求：〔1〕物体在t=0时物体的速度；〔2〕t=8s时物体的速度；〔3〕t=4s时物体的位移。Y10、某同学做平抛运动实验时，在白纸上只画出了表示竖直向下方向的Y轴和平抛物体运动轨迹的后一局部，而且漏标了抛出点的位置，如下图，这位同学希望据此图测出物体的初速度，请你给他出出主意：Y〔1〕简要说明据此图测定该物体初速度的方法___________________；〔2〕需要增加的测量工具有_____________________________________。〔3〕用测量出的物理量表示测量的结果：v0=__________________。11、某人乘船过河，船在静水中的速度与水速一定，过河的最短时间T1，过河最短位移时，时间T2，求船速与水速之比。AAv0dhB12、如下图，设有两面垂直地面的光滑壁A、B，此两墙水平距离为1.0m，从距地面高19.6m处的一点A以初速度5.0m/s沿水平方向投一小球，设球与墙的碰撞过程仅仅是垂直于墙的方向的速度反向，求：〔设碰撞没有能量损失〕。〔1〕小球落地点的水平距离；〔2〕小球落地前与墙壁碰撞多少次？θ=30°的斜面连接，一小球以v0=4m/s的速度先在平面上向右运动，求小球从A点运动到地面所需的时间〔平面与斜面均光滑〕。hv0θA某同学对此题的解法为：小球沿斜面做初速为Vhv0θA答案1.C做曲线运动物体的速度方向，是沿着曲线的切线方向，那么速度方向不断改变，故曲线运动一定是变速运动，匀速圆周运动是速率恒定的变速运动。ABvBv1v2θ2.D因为做平抛运动的物体，从抛出时刻算起，在竖直方向是自由落体运动，即是初速度为零的匀加速直线运动。3.BD将汽车运动的速度vA分解，如下图，其中沿长绳方向的分速度v1数值上等于重物的速度vB，由关系式vAcosθ=vB知，vABvBv1v2θvA4.A、B、C[解析]作平抛运动的物体只受重力作用，故加速度恒定，是匀变速曲线运动，它可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动；因为△v=at，而a方向竖直向下，故△vA5.D[解析]垒球击出后做平抛运动，在空中运动时间为t，由h=(1/2)gt2知仅由高度决定，D正确，水平位移，由初速度和高度决定，C错。落地速度，A错，v与水平方向夹角为θ，其,故B错。6．B、D[析与解]由于做曲线运动时合力指向轨迹的凹部，所以选B和D。7.[解析]以t表示水由喷口处到落地所用时间，有h=(1/2)gt2单位时间内喷出的水量为Q=SV空中水的总量为V=Qt由以上各式得×10-4m3[点评]此题考查平抛原理及流量含义，解题关键在于对象转换及等时性特点。8.[析与解]如下图，把AB正交分解，竖直下落h，水平位移为s。把末速度正交分解水平速度为v1，竖直速度为vy。v1αv1αθθβv1vvyhs9、解：物理问题可以用文字说明加以描述，可以用数学表达式表示，也可以用图像给以描述。此题即由图像表示物体在二维空间的运动情况，要求学生读懂并准确地理解图像，以解决问题。2的匀加速直线运动，合运动是曲线运动。〔1〕在t=0时刻，物体的速度〔2〕在t=8时刻，物体的x方向速度为3m/s，物体的y方向速度为4m/s，所以物体的速度为〔3〕在4s的时间内，物体在x方向发生的位移为x=12m，物体在y方向发生的位移为y=(1/2)at2=4m，所以4s内物体发生的位移为Yy2y1xΔxYy2y1xΔxΔxABC〔2〕刻度尺〔3〕11、[析与解]设船速为v1，水速为v2，河宽d，最短时间T1=d/v1最短位移有两种情况：所以〔2〕v1<v2时，所以,BABA在竖直方向上的速度不变，在竖直方向上是自由落体运动，所以小球从抛出到落地所用时间为，小球在水平方向运动的总距离为s=v0×2m=10m，而两竖直墙壁间的距离为d=1.0m，其轨迹如下图〔只画出了其中一局部〕，由图可知，当小球水平方向运动的总距离为两墙壁间距离的10倍，由于是偶数，所以最后小球落在A墙壁的下部，说明了小球落地点的水平距离为零，小球落地前与墙壁碰撞的次数n=10-1=9次[答案]〔1〕零〔2〕9次13、该同学的解法错误，因为小球从A点开始做的是平抛运动，而不会是沿斜面做匀加速运动。倘假设平抛运动的水平位移大于斜面底宽，小球离开A点后就不会落到斜面上，平抛时间s=v0斜面底宽：L=hcot30°=0.78ms>L落地所需时间即为平抛运动时间：评析：此题新颖，灵活性好，一要求考生区分其正误；二要求考生判断小球做平抛运动落点的位置。§4.2匀速圆周运动【知识要点】1、描述圆周运动的物理量〔1〕线速度：表征做匀速圆周运动质点运动的快慢，线速度的大小，v=s/t(s是t时间内通过的弧长)；方向：圆弧上该点的切线方向。〔2〕角速度：表征做匀速圆周运动的质点绕圆心转动的快慢。大小：ω=φ/t〔φ是连接质点和圆心的半径在t时间内转过的角度〕。〔3〕周期、频率、转速——过程标量质点做圆周运动一周所用的时间叫周期，用T表示。质点在单位时间里做圆周运动的圈数叫做频率，用f表示，单位：s-1，又叫转速n，单位：r/s或r/min(转/秒或者转/分)。〔4〕各量的关系：f=1/T,ω=2π/T=2πf，v=ωr。〔5〕向心加速度：描述线速度方向〔不是大小〕改变的快慢。大小：a=v2/r=rω2=(4π2/T2)r;方向：总是沿半径指向圆心，因而是不断变化的量。2、匀速圆周运动〔1〕特点：线速度的大小不变，线速度的方向时刻改变；角速度、周期、频率均是恒定不变的；匀速圆周运动是周期性运动。〔2〕匀速圆周运动的动力学特征：①合外力〔向心力〕：大小不变，方向始终指向圆心，向心力，各种性质的力均可提供向心力，向心力只改变速度方向，不改变速度大小，对运动质点不做功。②匀速圆周运动是变加速曲线运动。“匀速”理解为“匀速率”，即速度的大小不变。3、一般圆周运动物体所受的合力不指向圆心，合力的一个分力指向圆心，充当向心力，另一个分力沿切线方向，改变速度的大小。ababcd····例1如图，皮带传送装置，右轮半径为r，a点为右轮边缘上的一点，左轮是轮轴，大轮半径为4r，小轮的半径为2r，b点距轴r，c点为小轮边缘上的一点，d为大轮边缘上的一点，求：(1)va:vb:vc:vd(2)ωa:ωb:ωc:ωdO(3)Ta:Tb:Tc:TdO例2如下图，电风扇在闪光灯下运转，闪光灯每秒闪30次，风扇转轴O上装有3个扇叶，它们互成120°角，当风扇转动时，观察者感觉扇叶不动，那么风扇转速可能是〔〕A、600r/minB、900r/minC、1200r/minD、3000r/minF如图，质量为m的物体用长a的细线系住，穿过水平桌面上的光滑小孔在水平面内作匀速圆周运动，细线的拉力为F，放开细线，当线长为b时，再拉住细线，求此时的拉力为多大。F例4质点做匀速圆周运动，那么〔〕A、在任何相等时间里，质点的位移都相等B、在任何相等的时间里，质点通过的路程都相等C、在任何相等的时间里，质点运动的平均速度都相同D、在任何相等的时间里，连接质点和圆心的半径转过的的角度都相等例5〔2005·上海高考〕一水平放置的圆盘绕竖直固定轴转动，在圆盘上沿半径处有一条宽度为2mm的均匀狭缝，将激光器与传感器上下对准，使二者间连线与转轴平行，分别置于圆盘的上下两侧，且可以同步地沿圆盘半径方向匀速移动，激光器连续向下发射激光束。在圆盘转动过程中，当狭缝经过激光器与传感器之间时，传感器接收到一个激光信号，并将其输入计算机，经处理后画出相应图线，如图a所示为该装置示意图，图b所示为所接收的光信号随时间变化的图线，横坐标表示时间，纵坐标表示接收到的激光信号强度，图中△t1×10-3s,△t2×10-3s〔1〕利用图b中的数据求1s时圆盘转动的角速度；〔2〕说明激光器和传感器沿半径移动的方向；〔3〕求图b中第三个激光信号的宽度△t3。【当堂反应】1、〔2005·上海高考〕对如下图的皮带传动装置，以下说法中正确的选项是〔〕ABABCDB、B轮带动A轮沿逆时针方向旋转C、C轮带动D轮沿顺时针方向旋转D、D轮带动C轮沿顺时针方向旋转2、〔2005·黄冈模拟〕电脑中用的光盘驱动器采用恒定角速度驱动光盘，光盘子凸凹不平的小坑是存贮数据的，请问激光头在何处时，电脑读取数据速度较大〔〕A、内圈B、外圈C、中间位置D、与位置无关3、机械手表的分针与秒针从重合至第二次重合，中间经历的时间为〔〕A、59/60minB、1minC、60/59minD、61/60minRωh4、一半径为R的雨伞绕柄以角速度Rωh5、一端固定在光滑水平面上O点的细线，A、B、C各处依次拴着质量相同的小球A、B、C，如下图，现将它们排成一条直线，并使细线拉直，让它们在桌面内绕O点作圆周运动，如果增大转速，细线将在OA、AB、BC三段线中的段先断掉。OOBACrCrArB§4.2匀速圆周运动答案【典型例题】例1[析与解]此类问题的解决关键在于两点，与皮带接触的点的速度相等，同一转动物体的各点角速度相等。所以例2[析与解]匀速圆周运动是一种周期性的运动，分析此类问题，关键是抓住周期性质这一特点，得出可能的多解通式。解题过程中，常出现只考虑k=1的情况，而没注意问题的多解性，以下各变式都是考查匀速圆周运动的周期性，要求思维向多向发散。风扇转动时，观察者感觉扇叶不动，说明在每相邻两次闪光的时间间隔T灯内，风扇转过的角度是120°的整数倍，即1/3圈的整数倍，T灯=1/30s。风扇的最小转速故满意题意的可能转速故答案为ACD。vbvavabvbvavabO在半径变为b时，速度的大小由于细线的绷紧而发生变化，如图，半径方向的速度发生损失，由图知例4[解析]质点做匀速圆周运动时，相等时间内通过的圆弧长度相等，即路程相等，B项正确，此时半径所转过的角度也相等，D项正确，但由于位移是矢量，在相等时间里，质点位移大小相等，方向却不一定相同，因此位移不一定相同，而平均速度也是矢量，虽然大小相等，但方向不尽相同，故A、C错误，此题选B、D。[点评]位移与路程是两个不同的物理量，平均速度与线速度也是不同的物理量。在匀速圆周运动中，平均速度为位移与时间的比值，线速度为弧长与时间的比值，可见平均速度一定小于圆周运动的线速度，并且二者方向也不尽相同。例5[解析]〔1〕由图线读得，转盘的转动周期T=0.8s①角速度②(2)激光器和探测器沿半径由中心向边缘移动〔理由为：由于脉冲宽度在逐渐变窄，说明光信号能通过狭缝的时间逐渐减少，即圆盘上对应探测器所在位置线速度逐渐增加，因此激光器和探测器沿半径由中心向边缘移动〕。〔3〕设狭缝宽度为d，探测器接收到第i个脉冲时距转轴的距离为ri，第i个脉冲的宽度为△ti，激光器和探测器沿半径的运动速度为v。③r3-r2=r2-r1=vT④⑤⑥由④、⑤、⑥式解得〔2〕沿半径由中心向边缘移动×10-3s【当堂反应】1、[解析]由图可知，A假设为主动轮，B应该为从动轮，B轮转动应该落后于A轮，那么应顺时针旋转，B假设为主动轮，那么A轮的转动应落后于B轮，故应该沿逆时针方向旋转，选项B正确；同理可知，假设C轮带动D轮应沿逆时针方向旋转，假设D轮带动C轮那么应沿顺时针方向旋转。[答案]BD[点评]此题的关键在于根据皮带〔最好是链条〕的松紧程度来判断，仔细观察一下你的自行车链条。2、[解析]光盘在做匀速圆周运动，光盘上某点的线速度为v=ω·r，ω恒定，那么r越大时v就越大，因此激光头在光盘外圈时，电脑读取数据比拟大。[答案]B[点评]你现在知道了你家电脑为什么那么慢的原因了吧！3、[解析]先求出分针与秒针的角速度：设两次重合时间间隔为△t，那么有应选项C正确。[点评]此题考查圆周运动的追赶问题，思路是在相等的时间内快的比慢的多转一周。4、[解析]雨滴飞出的速度大小为v=ωR①雨滴做平抛运动在竖直方向上有②在水平方向上有s=vt③由几何关系知，雨滴半径④解以上几式得5、[解析]同一细线，OA、AB、BC各段所承受的最大拉力是相等的，转速增大时，实际拉力大的先断，所以此题关键是求出OA、AB、BC各段的拉力与转速的关系对C：对B：显然，OA段所受的实际拉力最大，所以转速增大时，三段线中OA段最先断。[点评]此题在于说明A球和B球所受的向心力是A球和B球所受的合力FA-FB，FB-FC，而不是FA、FB。作业本§4.2匀速圆周运动主动轴从动轴x1、【根本概念题】如图为一种“滚轮—平盘无极变速器”的示意图，它由固定于主动轴上的平盘和可随从动轴移动的圆柱形滚轮组成。由于摩擦的作用，当平盘转动时，滚轮就会跟随转动，如果认为滚轮不会打滑，那么主动轴的转速n1、从动轴的转速n主动轴从动轴xA．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2、加速度不变的运动〔〕A、一定是直线运动B、可能是直线也可能是曲线运动C、可能是匀速圆周运动D、假设初速度为零，一定是直线运动3、物体做匀速圆周运动时，以下说法中正确的选项是〔〕A、根据a=v2/R，向心加速度的大小一定跟圆周运动的半径成反比B、根据a=ω2R，向心加速度的大小一定跟圆周运动的半径成正比C、根据ω=v/R，角速度一定跟圆周运动的半径成反比D、根据ω=2πn，角速度一定跟转速成正比4、由于地球的自转，地球外表上各点均做匀速圆周运动，所以〔〕A、地球外表各处具有相同大小的线速度B、地球外表各处具有相同大小的角速度C、地球外表各处具有相同大小的向心加速度D、地球外表各处的向心加速度方向都指向地球球心5、为了连续改变反射光的方向，并屡次重复这个方向，方法之一是旋转由许多反射镜面组成的多面体棱镜〔简称镜鼓〕，如下图，当激光束以固定方向入射到镜鼓的一个反射面上时，由于反射镜绕垂直轴旋转，反射光就可以在屏幕上扫出一条水平线，依次，每块反射镜都将轮流扫描一次，如果要求扫描的范围0∽45°且每秒钟扫描48次，那么镜鼓反射镜面的数目和镜鼓旋转的转速分别为A、8;360r/minB、12;240r/minc、16;180r/minD、32;360r/minＯ•ωvＯ•ωv把枪口垂直圆筒轴线，使子弹穿过圆筒，结果发现圆筒上只有一个弹孔，那么子弹的速度不可能是〔〕

A.dω/πB.dω/2πC.dω/3πD.dω/4πωbO/OθωbO/Oθa那么〔〕:A、a、b两点线速度相同B、a、b两点角速度相同C、假设θ=30°，那么a、b两点的速度之比D、假设θ=30°，那么a、b两点的向心加速度之比8、〔探究实验题〕如下图是自行车传动装置的示意图，假设踏脚板每2秒转一圈，要知道在这种情况下自行车前进的速度有多大，还需测量哪些量？请在图中用字母标注出来，并用这些量推导出自行车前进速度的表达式9、如下图，定滑轮的半径r=2cm，绕在滑轮上的细线悬挂着一个重物，由静止开始释放，测得重物以加速度a=2m/s2做匀加速运动，在重物由静止下落距离为1m的瞬间，滑轮边缘上的点的角速度ω=_____rad/s,向心加速度a=__________m/s2。〔滑轮质量不计〕r1r1r2r3ＡＢＣ三轮半径的关系为：r1=2r2,r3=1.5r,A、B、C三点为三个轮边缘上的点，皮带不打滑，那么A、B、C三点的线速度之比为______，角速度之比为_____，周期之比为_____。11、如下图为录音机在工作时的示意图，轮子1是主动轮，轮子2为从动轮，轮1和轮2就是磁带盒内的两个转盘，空带一边半径为r1=0.5cm，满带一边半径为r2=3cm，主动轮转速不变，恒为n1=36r/min，试求：r1r1r221〔2〕磁带运动的速度变化范围BRRQPAmC12、〔综合考查题〕如下图，质量为m的滑块与水平地面间的摩擦因数μBRRQPAmC§4.2匀速圆周运动答案1、A由滚轮不会打滑可知主动轴上的平盘与可随从动轴转动的圆柱形滚轮的接触点的线速度相同，所以v1=v2，由此可得x·2πn1=r·2πn2，所以n2=n1〔x/r〕，即选项A正确。2、[解析]加速度不变说明速度是均匀变化的，所以BD正确。3、[解析]因为a=v2/R、a=ω2R、ω=v/R三式各描述匀速圆周运动中三个物理量之间的关系，对每一式来说，假设说其中二个量间存在正比或反比关系，必须有第三个量不变的前提条件，D项中，2π为常量，所以可以说角速度一定跟转速成正比，应选D。4、B[解析]地球外表上的各点做匀速圆周运动的平面与南北两极的连线垂直，即与纬度圈重合，所以向心加速度并不指向地心，D不对，各点和地球同步转动，故ω相同，B正确。各点做圆周运动的半径不同，由a向=rω2、v=rω,得A、C不对，故只选B。5、C反射光旋转45°，那么反射镜旋转45°°，那么需反射镜的数目N=360°°=16；旋转的转速n=(48/16)×60r/min=180r/min，C正确。此题是光学与圆周运动的综合题，主要考查了光的反射及转速问题。6、BD[解析]子弹从圆筒左侧穿入后沿直径作匀速直线运动，孔转至最右侧时子弹恰好穿出，那么子弹飞行时间应恰好等于圆筒转动半个周期的奇数倍，即〔2n+1〕π=ω·d/v，那么v=dω/[(2n+1)π],(n=0，1，2……)分母不可能是π的偶数倍。7、[解析]由于a、b两点在同一球上，因此a、b两点的角速度ω相同，选项B正确，而据v=ωr可知va<vb,选项A错误。由几何关系有，选项C正确。，选项D正确。[点评]同一球体上各点绕同一轴转动的角速度是相同的，这是此题关键所在，再有就是要比拟两点加速度大小，利用a=ω2r显得方便，原因也是ω相同。8、如下图，测量R、r、R/，自行车的速度表达式为：πRR//r.R/的RR的RR/的RR的Rr的R显然，滑轮边缘上每一点的线速度也都是2m/s，故滑轮转动的角速度，即滑轮边缘上每一点的转动角速度为ω=v/r=(2/0.02)rad/s=100rad/s向心加速度为a=ω2r=1002×2=200m/s2[点评]此题讨论的是变速运动问题，重物落下的过程中滑轮运动的角速度、轮上各点的线速度都在不断增加，但在任何时刻角速度与线速度的关系〔v=ωr〕、向心加速度与角速度、线速度的关系〔a=ω2r=v2/r〕仍然成立。10、[解析]因为A、B两轮由不打滑的皮带相连，所以相等时间内A、B两点转过的弧长相等，即vA=vB，由v=ωr知ωA/ωB=r2/r1=1/2，又B、C是同轴转动，相等时间转过的角度相等，即ωB=ωA，由v=ωr知，所以vA:vB:vC=1:1:3，ωA:ωB:ωc=1:2:2再根据T=2π/ω，得TA：TB：Tc=1:〔1/2〕:〔1/2〕=2:1:1[点评]此题考查的是对线速度、角速度、周期概念的理解和应用。11、[解析]此题应抓住主动轮〔r1〕的角速度恒定不变这一特征，再根据同一时刻两轮磁带走动的线速度相等，从磁带转动时半径的变化来求解。〔1〕因为v=ωr，且两轮边缘上各点的线速变相等，所以当r2=3cm时，从动轮2的转速最小，nmin=(0.5/3)×36r/min=6r/min，当磁带走完，即r2=0.5cm，r1=3cm时，从动轮2的转速最大，为，故从动轮2的转速变化范围是6r/min-216r/min。〔2〕由v=r12πn1得知：r1=0.5cm时，—0.11m/s。[点评]解答此题的关键是掌握磁带传动装置中主动轮、从动轮上各点线速度、角速度之间的关系，并且了解从动轮转速的变化及磁带速度的变化是由于转动半径的变化引起的。12、设滑块通过A点时的速度为vA，根据动量定理I=△P=mvA得设滑块过B点时速度为vB，根据动能定理-μmg5R=(1/2)mvB2–(1/2)mvA2解得vB2=8Rg滑块过B点后机械能守恒设滑块到达P点时速度为vP，有-2mgR=(1/2)mvP2–(1/2)mvB2解得物块从穿过P孔再回到平台的时间要满足题目要求的过程，那么ωt=(2n+1)π所以(n=0,1,2,……)§4.3圆周运动中的常见问题[知识要点]1、圆周运动中的临界问题〔1〕水平面内的临界问题。模型：火车转弯。在水平方向按F=mv2/R或F=mrω2列方程。物体在竖直方向上平衡，可按F=0列方程，然后联立求解。此类问题的常见临界状态：①绳子能承受的最大拉力；②物体与水平面的最大静摩擦力；③弹簧的伸长与缩短。〔2〕竖直平面的临界状态问题、模型：水流星这类问题一般为非匀速圆周运动，主要处理最高点和最低点。此类问题的常见临界状态：〔1〕绳子或轨道对小球的作用力；〔2〕有物体支承的小球，为转折条件〔对杆是拉力还是压力，对轨道是内侧还是外侧施力〕。2、圆周运动的周期性问题在与圆周运动相联系的运动学和动力学问题中，由于圆周运动的周期性特点，特别是时间的周期性，位置的周期性导致了问题结论的周期性。3、圆周运动的连接体两个或多个物体通过绳子、弹簧、摩擦力连接绕共同的圆点做圆周运动，解题方法同牛顿定律中连接体解题方法，注意整体法和隔离法的应用，注意运用牛顿第三定律。4、其他几类圆周运动〔1〕行星绕太阳运行或卫星绕行星运行〔万有引力提供向心力〕；〔2〕氢原子中电子绕核运动〔库仑引力提供向心力〕；〔3〕带电粒子在匀强磁场中运动〔洛仑兹力提供向心力〕。[典型例题]例10.5米长的轻杆系一小球在竖直平面内做圆周运动，m=1千克，不计一切摩擦，求：〔1〕最底点速度为4米/秒时，球能否上升到最高点，如能，那么小球受到的杆的作用力为多大？方向如何？〔2〕最底点速度为米/秒，物体在最底点和最高点受杆力的大小是多少？方向如何？KmKmOM例2如图，物体M=0.6kg，静止在水平面上，另一端通过光滑圆孔O吊着质量m=0.3kg的物体，M与圆孔的距离为0.2m，并知M的最大静摩擦力为2N，现使M在水平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么范围m会处于静止状态？LαO例3长为L的细线，拴一质量为m的小球，一端固定于O点，让其在水平面内做匀速圆周运动〔这种运动通常称为圆锥摆运动〕，如下图，当摆线L与竖直方向的夹角是LαO〔1〕线的拉力F；〔2〕小球运动的线速度的大小；〔3〕小球运动的角速度及周期。BAFFm0BAFFm0t03t05t0tOOBA·[当堂反应]1、〔05·江苏徐州模拟〕如下图，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动。现给小球一初速度，使它在竖直平面内做圆周运动，图中Ａ、Ｂ分别表示小球运动轨道的最低点和最高点，那么杆对小球的作用力可能是〔〕A、Ａ处为拉力，Ｂ处为拉力；B、Ａ处为拉力，Ｂ处为支持力；C、Ａ处为推力，Ｂ处为拉力；D、Ａ处为推力，Ｂ处为支持力。2、〔能力提升题〕一小球用轻绳悬挂在某一固定点，现将轻绳水平拉直，然后由静止释放，那么小球由静止开始运动至最低位置的过程中，以下说法正确的选项是〔〕A、小球在竖直方向上的速度逐渐增大；B、小球所受合力方向指向圆心；ＯＰＯＰ3、〔05·湖北孝北感模拟〕如下图，木块P放在水平圆盘上随圆盘一起转动，关于物体所受摩擦力f的表达正确的选项是〔〕A、f的方向总是指向圆心；B、圆盘匀速转动时f=0；C、在转速一定的条件下，f的大小跟物体到轴O的距离成正比；D、在物体与轴O的距离一定的条件下，圆盘匀速转动时，f的大小跟圆盘转动的角速度成正比。ＢＢＡ4、如下图，将完全相同的两小球A、B用长L=0.8m的细绳，悬于以v=4m/s向右匀速运动的小车顶部，两球与小车前后壁接触，由于某种原因，小车突然停止，此时悬线的拉力之比FA：FB为________(g=10m/s2)●Ｏ１Ｏ／Ｏ·5、如下图，在水平圆盘上有一过圆心的光滑小槽，槽内有两根原长、劲度系数均相同的橡皮绳拉住一质量为m的小球，一条橡皮绳拴在O点，另一条拴在O/点，其中O为圆盘的中心，O/点为圆盘的边缘。橡皮绳的劲度系数为k，原长为圆盘半径R的1/3，现使圆盘角速度由零缓慢增大，求圆盘的角速度与时，小球所对应的线速度之比为v●Ｏ１Ｏ／Ｏ·§4.3圆周运动中的常见问题答案[典型例题]例1[析与解]要判断能否达最高点的方法是：假设能到最高点，求其速度，如有不为0的解，那么假设正确；如有为0的解，说明刚好达最高点；速度无解，说明不能达最高点。〔1〕设初速度为v0，最高点速度为v，由动能定理得，v无解，说明到不了最高点。〔2〕用同一表达式，可解得在初速度为米/秒时，最高点速度为v=米/秒，而此速度小于，说明小球受到支持力N–mg=mv2/rN=14N(3)在同一表达式，可解得在初速度为6米/秒时，最高点速度为4米/秒，此速度比米/秒大，说明小球受拉力作用。T+mg=mv2/rT=22N例2解答：要使m静止，M应与平面相对静止，考虑M能与水平面相对静止的两个极端状态。当ω为所求范围的最小值时，M有向圆心运动的趋势，水平面对M的静摩擦力方向背离圆心，大小等于最大静摩擦2N，此时对M有解得ω1=2.9rad/s当ω为所求范围的最大值时，M有背离圆心运动的趋势，水平面对M的静摩擦力方向指向圆心，大小也等于最大静摩擦力2N，此时有解得ω2故所求ω的范围为2.9rad/s≤ω≤LαOFmgF合r例3[解析]做匀速圆周运动的小球受力如下图，小球受重力mg和绳子的拉力F。因为小球在水平面内做匀速圆周运动，所以小球受到的合力指向圆心O’，且是水平方向。由平行四边形法那么得小球受到的合力大小为mgtanα，线对小球的拉力大小为F=mg/cosα由牛顿第二定律得mgtanLαOFmgF合r小球运动的角速度小球运动的周期[点评]在解决匀速圆周运动的过程中，弄清物体圆形轨道所在的平面，明确圆心和半径是一个关键环节，同时不可无视对解题结果进行动态分析，明确各变量之间的制约关系、变化趋势以及结果涉及物理量的决定因素。例4[解析]由图可直接看出，A、B一起做周期性运动，运动的周期T=2t0，令m表示A的质量，l表示绳长，v1表示B射入A内时即t=0时A、B的速度〔即圆周运动最低点的速度〕，v2表示运动到最高点时的速度，F1表示运动到最低点时绳的拉力，F2表示运动到最高点时绳的拉力，根据动量守恒定律，得m0v0=(m0+m)v1(此规律以后会学到)在最低点和最高点处运用牛顿定律可得根据机械能守恒定律可得由图可知，F2=0，F1=Fm由以上各式可解得，反映系统性质的物理量是[当堂反应]1、AB小球在最低点总是受到杆对其指向圆心O的向心力，即拉力；在最高点既可能受到指向圆心O的拉力，又可能受到杆对其的支持力，所以A、B选项都正确。2、CD由极限分析法，起始位置竖直向下的分速度为0，最低点也为0，故A错；小球在竖直平面内做变速圆周运动，合力方向并非指向圆心，故B错；小球下落过程中，速度逐渐增大，且与水平方向夹角θ增大，又因为v水平=vsinθ，故C对；令绳与水平方向夹角θ，那么有①②③由①②③得F合随θ的增大而增大，故D正确。此题考查圆周运动合力与向心力的区别，运动的合成与分解，机械能守恒定律等知识和运用数学方法解决物理问题的能力。3、C物体随圆盘一起转动时，所受摩擦力的大小和方向与物体质量和圆盘的转动状态有关，匀速转动时，静摩擦力f指向圆心，提供向心力，大小为f=mv2/r=mrω2；变速转动时，静摩擦力f不指向圆心，其中一个分力指向圆心改变速度的方向，另一个分力沿运动方向改变速度的大小。4、[解析]车突然停止，B球同时静止，FB=mg；A球由于惯性仍以v向右，而悬点静止，那么A球即作圆周运动，故有FA-mg=mv2/L，得FA=mg+mv2/L=3mg答案：1：35、[解析]当橡皮绳OO1拉伸而OO/刚好被拉直时，设小球做匀速圆周运动的角速度为ω0，由牛顿第二定律有当时，橡皮绳O1O/拉伸，当时，橡皮绳O1O/松驰，[点评]求解此题时，首无要判断圆盘以不同角速度转动时，橡皮绳是处在拉伸还是松弛状态，为判断橡皮绳是拉伸还是松弛，应求出橡皮绳OO1拉伸而橡皮绳OO/刚好被拉直时地应的临界角速度ω0，将实际角速度与临界角速度ω0进行比拟，用牛顿第二定律列出圆盘以不同角速度转动时小球所满足的动力学方程。物体做变速圆周运动时，必须充分注意到可能发生的离心运动和向心运动两种情况，如果是形变明显的橡皮条、弹簧之类的约束提供向心力时，向心运动和离心运动一定会随着角速度的减小或增大而发生，直至以新的角速度在新的半径上做匀速圆周运动，当然也存在着不会再做圆周运动的可能。OAmOAm1、如下图，质量为m的小球固定在长为L的细杆一端，绕细杆的另一端O在竖直面内做圆周运动，球转到最高点A时，线速度大小为，那么〔〕A、杆受到mg/2的拉力；B、杆受到mg/2的压力；m·m·ωRP2、〔能力提升题〕质量不计的轻质弹性杆P的一端插入桌面上小孔中，杆的另一端套有质量为m的小球，今使小球在水平面内做半径为R、角速度为ω的匀速圆周运动，如下图，那么杆的上端受到球对它的作用力的大小为A、mRω2B、C、D、mgPOPOA、摆球的线速度突然减小B、摆球的角速度突然增加C、摆绳的拉力突然增加D、摆球的向心力突然减小ＢＡＢＡＣＤＯA、小球运动到DC之间某个位置后再沿槽返回B、小球运动到Ｄ点后自由下落Ｃ、小球运动到Ｄ点做平抛运动Ｄ、小球运动到ＤＣ之间某个位置后做斜抛运动ＢＡＢＡω相等的两个物体Ａ和Ｂ，它们与圆盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转速加大到两物体刚好要滑动而又未发生滑动时烧断细线，那么以下判断中错误的是〔〕Ａ、两物体均沿切线方向滑动Ｂ、两物体均沿半径方向滑动，离圆心越来越远Ｃ、两物体仍随圆盘一起转动，不会发生滑动ＤＣＤＣＢＡ６、用一木板托着一本书在竖直平面内做匀速圆周运动，先后经过Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点，如图所Ａ、Ｃ和Ｂ、Ｄ处于过圆心的水平轴和竖直轴上，设木板受到压力为Ｎ，对书的静摩擦力为f，那么〔〕Ａ、从ＣＤ，f减小，Ｎ增大；Ｂ、从ＤＡ，f增大，Ｎ减小；Ｃ、在Ａ、Ｃ两位置，f最大，Ｎ＝mgD、在Ｂ、Ｄ两位置，Ｎ均有最大值７、表演“水流星”节目，如下图，拴杯子的绳子长为l，绳子能够承受的最大拉力是杯子和杯内水重力的８倍，要使绳子不断，节目获得成功，那么杯子通过最高点时速度的最小值为_____，通过最低点时速度的最大值为______。v1v2８、如下图，圆弧形轨道，上外表光滑，下外表也光滑，有一个质量为m的小物体从圆弧轨道上外表滑过，到达圆弧轨道竖直方向最高点时，对轨道的压力为物块的重力的一半，速度大小为v１，假设小物块从圆下外表滑过轨道，到达轨道竖直方向最高点时，对轨道的压力为物体的重力的一半，速度大小为v２，不计轨道的厚度，那么v１v1v2ＢＡＣ60ＢＡＣ60º60º〔1〕摆线处于平衡状态；〔2〕烧掉水平线的瞬间；〔3〕到达最低点B时；〔4〕升到最高点C时。10、如下图，水平传盘上放有质量为m的物块，当物块到转轴的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直〔绳上张力为零〕，物体和转盘间最大静摩擦力是其正压力的μ倍，求：Ｏω〔1〕当转盘的角速度时，细绳的拉力F1；Ｏω〔2〕当转盘的角速度时，细绳的拉力F2。LL2LＡＢ·Ｏ11、如下图，轻杆长为3L，杆两端分别固定质量为m的A球和质量为3m的B球，杆上距球为L处的O点装在水平转轴上，杆在水平轴的带动下沿竖直平面转动，问：〔1〕假设A球运动到最高点时，A球对杆OA恰好无作用力，求此时水平轴所受的力。〔2〕在杆的转速逐渐增大的过程中，当杆转至竖直位置时，能否出现水平轴不受力情况？如果出现这种情况，A、B两球的运动速度分别为多大？mm·O12、如图，在圆柱形屋顶中心天花板上O点，挂一根L=3m的细绳，绳的下端挂一个质量m为0.5kg的小球，绳能承受的最大拉力为10N，小球在水平面内做圆周运动，当速度逐渐增大到绳断裂后，小球以V=9m/s的速度落在墙角边，求这个圆柱形房屋的高度H和半径R。〔g取10m/s2〕§4.3圆周运动中的常见问题答案mgFN1、B小球在最高点的速度为，所需的向心力为FN=mv2mgFN2、C以球为研究对象，受力分析如下图，小球受到重力mg，杆对球的作用力N，二力的合力F为小球做圆周运动提供向心力，F=mRω2，解直角三角形得：，应选项C正确。3、[解析]抓住碰钉子前后速度大小不变，半径减小进行讨论。BC正确。4、D[解析]因球在A点速度为零，那么等高处的D点速度也为零，但球在到达D之前的某一位置时，重力沿圆心方向的分力大于向心力，球脱离轨道而作斜抛运动，无论怎样都到达不了D点。5、A、B、C[解析]当转盘的角速度增大时，两物刚好没有发生相对滑动，也就是两物所受的最大静摩擦力提供它们作匀速圆周运动的向心力，即μ〔m+m〕g=mω2rA+mω2rB，因为rB>rA，所以FB>FA，也就是B物所受的摩擦力缺乏以提供向心力，而A物所受的摩擦力大于它所需的向心力，这说明了A、B间的绳子有拉力，当绳子断后，A物所受的摩擦力将减小，它相对转盘不动，而B物所受的摩擦力缺乏以提供向心力，它将做离心运动，即沿着速度方向运动。6、[解析]书受到重力mg、支持力N、静摩擦力f共三个力，做匀速圆周运动，合力指向圆心且大小保持不变。ＤＣＢＤＣＢＡNmgfF合θf=F合sinθN–mg=F合cosθN=mg+F合cosθθ减小，f减小，N增大。同理，从DA，有f增大，N减小，在A和C两位置，静摩擦力提供向心力，N=-mgθ=0，在D点N最大，而在B点mg、N合力指向圆心，N=mg-F合，因而N具有最小值。因此，答案为ABC。7、[解析]要使水在最高点恰不流出杯子，此时绳子对杯子拉力等于零，杯子和水做圆周运动的向心力仅由其重力mg提供，由牛顿第二定律，在最高点处对杯子和水列方程：mg=mv12/L，所以，杯子通过最高点时速度的最小值。在最低点处对杯子和水应用牛顿第二定律，当F=8mg取最大值时，速度v2也取最大值，而，故通过最低点时速度的最大值8[解析]物体经上外表最高点时有，经下外表最高点时有，由上述两式可得结果。答案：9、解答：〔1〕在A处摆线处于平衡状态，T1=2mg，如下图。〔2〕烧掉水平线瞬间如下图，此时小球不处于平衡状态，加速度沿切线a=gsin60°，而T2=mgcos60°=(1/2)mg。〔3〕到达最低点，速度为v，如下图，根据机械能守恒mgl(1-cos60°)=(1/2)mv2v2=2gl(1-cos60°)=glT3-mg=m(v2/l)=mgT3=2mg〔4〕升到最高点C时，速度又为零，同〔2〕相仿有切向加速度，T4=mgcos60°=(1/2)mgＴＴ２F=mgT1Ａ(b)T3mgvB(d)Ａmg60º60º(c)10、[解析]绳被拉直时假设角速度小于某一个值，绳的拉力仍为零，此时向心力恰由最大静摩擦力提供，求此临界角速度是解答此题的关键。设绳子张力恰为零时圆盘的角速度为ω0，那么〔1〕由于,静摩擦力未到达最大，故F1=0〔2〕，那么有F2+μmg=mω22r。·Ｌ2LTB3mg·Ｌ2LTB3mgBＡＴＡ以B球为研究对象，B球受到杆竖直向上拉力TB及重力3mg，那么②联立①②解得TB=9mg③水平轴受到的力大小为9mg，方向竖起向下。〔2〕经分析当A球转到最低点，B球至最高点时，水平轴可能不受力，此时杆对A球、B球作用力大小也相等，受力分析如下图④⑤vB=2vA⑥TA=TB⑦联立④～⑦12、[解析]设绳断时与竖直方向夹角为α时因为mg=Ｔcosα，所以α=60°小球在绳断时离地高度h=H-lcosα小球做匀速圆周运动的半径：r=LsinαF向=mgtgα=mv02/r所以据平抛运动规律知：即有v2=v02+2g〔H-lcosα〕代入数据得：H=3.3m平抛运动时间水平距离：圆柱的半径§4.4开普勒三定律万有引力定律及应用[知识要点]1、开普勒三定律第一定律〔轨道定律〕：行星沿椭圆轨道绕日运动，太阳在椭圆轨道的一个焦点上。第二定律〔面积定律〕：太阳至行星的矢径在相等的时间内扫过相等的面积。第三定律〔调和定律〕：行星公转周期的二次方与轨道半长轴的三次方成正比，即T2/R3=k2、万有引力定律〔1〕万有引力定律的内容和公式宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力的大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比。〔2〕适用条件：公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点，均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。〔3〕应用万有引力定律分析天体的运动①根本方法：把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供。应用时可根据实际情况选用适当的公式进行分析和计算。②天体质量m1、密度ρ的估算：测出卫星绕天体匀速圆周运动的半径R和周期T，由RRRR0ＡＢ当卫星沿天体外表绕天体运动时，r=r0时，那么ρ=3π/GT2[典型例题]例1飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T，如果飞船要返回地面，可在轨道上的某一点A处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的特殊椭圆轨道运动，椭圆和地球外表在B点相切，如下图，如果地球半径为R，求飞船由A点到B点所需的时间。rLrLR例31969年7月21日，美国宇航员阿姆斯特朗在月球上烙下了人类第一只脚印，迈出了人类征服宇宙的一大步，在月球上，如果阿姆斯特朗和同伴奥尔德林用弹簧秤测出质量为m的仪器重力为F；而另一位宇航员科林斯驾驶指令舱，在月球外表附近飞行一周，记下时间为T，试答复：只利用这些数据，能否估算出月球的质量？为什么？例4一卫星绕某行星做匀速圆周运动，行星外表的重力加速度为g行，行星的质量M与卫星的质量m之比M/m=81，行星的半径R行与卫星的半径R卫之比R行/R卫=3.6，行星与卫星之间的距离r与行星的半径R行之比r/R行=60，设卫星外表的重力加速度为g卫，那么在卫星外表经过计算得出：卫星外表的重力加速度为行星外表的重力加速度的1/3600，上述结果是否正确？假设正确，列式证明；假设错误，求出正确结果。例5现根据对某一双星系统的光度学测量确定：该双星系统中每个星体的质量都是m，两者相距L，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动。〔1〕试计算该双星系统的运动周期T计算；〔2〕假设实验上观测到的运动周期为。为了解释T观测与T计算的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质。作为一种简化模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质。假设不考虑其他暗物质的影响，请根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度。[当堂反应]1、〔05·真题再现〕地球质量大约是月球质量的81倍，地球半径大约是月球半径的4倍，不考虑地球、月球自转的影响，由以上数据可推算出：A、地球的平均密度与月球的平均密度之比约为9:8B、地球外表重力加速度与月球外表重力加速度之比约为9:4；C、靠近地球外表沿圆轨道运行的航天器的周期与靠近月球外表沿圆轨道运行的航天器的周期之比约为8:9；D、靠近地球外表沿圆轨道运行的航天器线速度与靠近月球外表沿圆轨道运行的航天器线速度之比约为81:4。2、据观测，某行星外围有一模糊不清的环，为了判断该环是连续物还是卫星群，又测出了环中各层的线速度v的大小与该层至行星中心的距离R，那么以下判断中正确的选项是〔〕A、假设V与R成正比，那么环是连续物；B、假设V与R成反比，那么环是连续物；C、假设V2与R成正比，那么环是卫星群；D、假设V2与R成反比，那么环是卫星群。3、人造卫星由于空气阻力作用，轨道半径不断缓慢缩小，那么〔〕A、卫星的运行速度减小B、卫星的运行速率增大C、卫星的运行周期变大D、卫星的向心加速度变小4、某星球赤道重力是两极重力的90%，那么自转角速度变为原来的几倍，可使赤道上的物体漂浮起来？5、两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动，现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量。§4.4开普勒三定律万有引力定律及应用答案[典型例题]1、[解析]由开普勒第三定律知，飞船绕地球做圆周〔半长轴和半短轴相等的特殊椭圆〕运动时，其轨道半径的三次方跟周期的平方的比值，等于飞船绕地球沿椭圆轨道运动时，其半长轴的三次方跟周期平方的比值，飞船椭圆轨道的半长轴为〔R+R0〕/2，设飞船沿椭圆轨道运动的周期为T/，那么有〔R3/T2〕=〔R+R0〕3/8T/2，而飞船从A点到B点所需的时间为：[点评]开普勒定律是对行星绕太阳运动规律的总结，该结论对卫星绕行星的运动情况也成立，对于同一行星的不同卫星，圆轨道半径的三次方与运动周期的二次方之比等于常量，且该常量与卫星无关。2、[析与解]未挖去时，M与m之间的吸引力为F=GMm/L2。挖去一局部后，吸引力减少了挖去局部M/对m的吸引力F/最后两物体的吸引力为F-F/=GMm/L2-GMm/8(L-R/2)23、[解析]设月球的质量为M，半径为R，外表的重力加速度为g，根据万有引力定律，有F=mg=GMm/R2

根据指令舱做匀速圆周运动的向心加速度就是月球外表的重力加速度，有an=g=F/m=(2π/T)2R那么月球的质量可以表示为M=F3T4/16Gπ4m3所以，在引力常量G的条件下，才能利用上式估算出月球的质量。[点评]天体质量的计算有多种方法，一定要理解在不同条件下用不同的方法，千万别乱套公式。4、不正确。g卫行[解析]对行星外表上的物体有所以对卫星外表上的物体有所以LOLOm/〔1〕双星均绕它们连线的中心做圆周运动，设运动的速率为v，得①②③(2)根据观测结果，星体的运动周期④这种差异是由双星内均匀分布的暗物质引起的，均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与一质量等于球内暗物质的总质量m/，位于中点O处的质点的作用相同。考虑暗物质作用后双星的速度即为观察到的速度v观测，那么有⑤⑥因为在周长一定时，周期和速度成反比⑦将②⑥式代入⑦式得设所求暗物质的密度为ρ，那么有故[当堂反应]1、C2、A、D[解析]假设环为连续物，那么环的各局部角速度应相等，其线速度大小与轨道半径R成正比，选项A正确，选项B错误；假设环为卫星群，那么环的局部的线速度大小满足，而v2与R成反比，应选项C错误，选项D正确。3、B[解析]由可推出结论。4、[析与解]两极重力就等于万有引力，而赤道的万有引力有一局部作自转的向心力，故赤道重力较小，在此题中有10%的万有引力作向心力；如自转的角速度变大，自转所需的向心力变大，重力变小，当万有引力全部作向心力时，重力为0，物体漂浮起来。设原来角速度为ω，后变为ω’10%GMm/r2=mω2r100%GMm/r2=mω/2r解得••••M2OM15、[解析]此为天体运动的双星问题，除两星间的作用外，其他天体对其不产生影响。两星球周期相同，有共同的圆心，且间距不变，其空间分布如下图。设两星质量分别为M1和M2，都绕连线上O点做周期为T的圆周运动，两星到圆心的距离分别为L1和L2，由于万有引力提供向心力，故有由几何关系知L1+L2=R联立解得M1+M2=4π2R3/GT2[点评]对于天体的运动，不仅要明确万有引力提供向心力，还要据题意明确天体运动的特点及空间分布形式，此题中应特别注意引力中的距离为R，而向心力中的距离为L1、L2，它们不相等。作业本§4.4开普勒三定律万有引力定律及应用1、〔05·湖北黄冈〕有两个行星A和B〔A和B之间的相互作用不计〕，它们各有一颗靠近其外表的卫星，假设这两颗卫星的周期相等，由此可知：A、行星A、B的密度一定相等；B、行星A、B外表重力加速度之比等于它们的半径之比；C、两颗卫星的线速度一定相等；D、行星A、B的质量一定相等。2、“发现”号宇宙飞船曾成功地与环绕地球的国际空间站对接，那么在对接前，飞船为了追上轨道空间的，可以采取的措施是〔〕A、只能在低轨道上加速B、只能在高轨道上加速C、只能在空间站运动轨道上加速D、不管什么轨道，只要加速就行3、设地面附近重力加速度为g0，地球半径为R0，人造地球卫星的圆形轨道半径为R，那么以下说法正确的选项是〔〕A、卫星在轨道上向心加速度大小为B、卫星运行的速度大小为C、卫星运行的角速度大小为D、卫星运行的周期为4、设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长时间开采后，地球仍可看作是均匀的球体，月球仍沿开采前的圆周轨道运动，那么与开采前相比〔〕A、地球与月球间的万有引力将变大B、地球与月球间的万有引力将变小C、月球绕地球运动的周期将变长D、月球绕地球运动的周期将变短5、有一颗运行方向与地球自转方向相同的卫星，轨道半径为2R〔R为地球半径〕，地球自转角速度为ω0。假设某一时刻卫星正经过赤道上某幢楼房的上空，那么卫星再次经过这幢楼房的上空时，需经历的时间为〔〕A、2π/ω0B、C、D、6、目前的航天飞机飞行的轨道都是近地轨道，一般在地球上空300-700km飞行，绕地球飞行一周的时间为90min左右。这样，航天飞机里的宇航员在24h内可以见到的日出日落的次数为〔〕A、0.38B、1C、2.7D、167、〔2005·广东理综〕万有引力定律首次揭示了自然界中物体间一种根本相互作用的规律，以下说法正确的选项是〔〕A、物体的重力不是地球对物体的万有引力引起的；B、人造地球卫星离地球越远，受到地球的万有引力越大；C、人造地球卫星绕地球运动的向心力由地球对它的万有引力提供；D、宇宙飞船内的宇航员处于失重状态是由于没有受到万有引力的作用。8、〔2005·江苏高考题〕某人造卫星运动的轨道可近似看作是以地心为中心的圆，由于阻力作用，人造卫星到地心的距离从r1慢慢变到r2，用Ek1、Ek2分别表示卫星在这两个轨道上的动能，那么〔〕A、r1<r2Ek1<Ek2B、r1>r2Ek1<Ek2C、r1<r2Ek1>Ek2D、r1>r2Ek1>Ek29、宇航员在一星球外表上的某高处，沿水平方向抛出一小球，经过时间t，小球落到星球外表，测得抛出点与落地点之间的距离为L，假设抛出时的初速度增大到原来的2倍，那么抛出点与落地点的距离为，两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G，求该星球的质量M。10、在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星外表上，再经过屡次弹跳才停下来。假设着陆器第一次落到火星外表弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为v0，求它第二次落到火星外表速度的大小，计算时不计火星大气阻力，火星的一个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T，火星可视为半径为r0的均匀球体。11、2003年10月15日，我国成功发射了第一艘载人宇宙飞船“神舟”五号，运载火箭全长58.3m，起飞重量479.8t，火箭点火升空，飞船进入预定轨道。“神舟”×103km，地面重力加速度g取10m/s2，计算结果取二位有效数字，290∽305的立方根均取6.7〕。〔1〕在这一过程中，杨利伟有时“对座舱的最大压力等于他体重的5倍”，有时又会在舱内“飘浮起来”，试说明这属于什么物理现象。〔2〕估算飞船运行轨道距离地面的高度。12、〔06真题·广东卷〕宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，已观测到稳定的三星系统存在两种根本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，设每个星体的质量均为m。〔1〕试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期；〔2〕假设两种形式下星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？作业本§4.4开普勒三定律万有引力定律及应用答案1、AB由公式ρ=3π/GT2知，T相同，密度相同，选项A正确；星体外表重力加速度g=GM/R2=RGM/R3=4πρRG/3，g与R成正比，选项B正确；线速度，与半径成正比，选项C错误；行星质量M=4π2R3/GT2，虽然周期相等，但半径关系未知，质量不一定相等，选项D错误。2、[解析]飞船加速后所需向心力增大，将做离心运动，故只有A正确。3、[解析]，可知A、B、D正确4、[解析]设开始时地球的质量为m1，月球的质量为m2，两星球之间的万有引力为F0，开矿后地球的质量增加△m，它们之间的万有引力变为F，根据万有引力公式：那么上式中因m1>m2，后一项必大于零，由此可知F0>F，故B选项正确。不管是开矿前还是开矿后，月球绕地球做圆周运动的向心力都由万有引力提供，故在开矿前又T0=2πr/v0，所以月球绕地球运动的周期同理可得开矿后月球绕地球运动的周期为。所以D正确。[答案]B、D[点评]也可以用另一种数学方法来判断月球与地球间的万有引力的变化：由于m1+m2为定值，那么当m1=m2时，m1m2的乘积最大，把月球上的矿藏搬到地球上，那么m1与m2相差越大，其乘积越小，那么其万有引力越小。5、C[解析]由卫星的角速度、Gm1=gR2、三式可解得6、D[解析]航天飞机每绕地球一周就看到一次日出，那么24h内看到日出次数为:n=24/1.5=16次7、[解析]重力的定义为：由于地球的吸引〔万有引力〕，而使物体受到的力，可知选项A错误；根据可知卫星离地球越远，受到的万有引力越小，那么选项B错误；卫星绕地球做圆周运动，其所需的向心力由万有引力提供，选项C正确；宇宙飞船内的宇航员处于失重状态是由于万有引力用来提供他自身做圆周运动所需要的向心力，选项D错误。[答案]C8、[解析]尽管在运动过程中受到阻力，但半径是慢慢变的，故每时每刻仍可看成在做匀速圆周运动，人造卫星绕地球做圆周运动，运动靠万有引力充当向心力，故，可见[答案]B9、解答：设抛出点的高度为h，第一次平抛的水平射程为x，那么有x2+h2=L2①由平抛运动的规律可知，当初速增大到2倍时，其水平射程也增大到2x，可得②由①和②得，设该星球的重力加速度为g星，由万有引力定律及牛顿第二定律得，，10、以g/表示火星外表附近的重力加速度，M表示火星的质量，m表示火星的卫星的质量，m/表示火星外表某一物体的质量由万有引力定律和牛顿第二定律，有①②所以由①和②，得：火星外表重力加速度为③设v表示着陆器第二次落到火星外表时的速度，它的竖直分量为v1，水平分量仍为v0，有④⑤由③④⑤各式解得：11、〔1〕“对座舱的最大压力等于他体重的5倍”是超重现象。在舱内“飘浮起来”是失重现象。×103s。设地球的半径为R，飞船运行轨道距地面的高度为h，飞船的质量为m，此时，万有引力提供向心力，有：设地球外表某一物体的质量为m