2023北师大版新教材高中数学选择性必修第一册同步练习-1椭圆

2023北师大版新教材高中数学选择性必修第一册

第二章圆锥曲线

§1椭圆

1.1椭圆及其标准方程

基础过关练

题组一椭圆的定义及其应用

22

1.（2020河南南阳六校联考）已知椭圆予+5=1上一点P（x,y）到该椭圆的一个焦

43

点的距离为3,则点P到另一个焦点的距离为（）

A.2B.3C.1D.V10

2.（2022重庆第八中学校月考）已知点P（x,y）满足方程

J（%-2）2+y2+J（%++y2=6,则点P的轨迹为（）

A.圆B.椭圆

C.直线D.线段

3.（2022福建三明月考）已知4ABC的顶点B,C在椭圆1~+y2=l上,顶点A是椭圆

的一个焦点,且椭圆的另一个焦点在BC边上,则4ABC的周长是（）

A.2V3B.6C.4V3D.4

4.（2021江西南昌第二中学月考）已知椭圆9+y2=i的左、右焦点分别为件,F2,过

E作垂直于x轴的直线与椭圆相交,设其中一个交点为P,则|PF21=（）

A.—B.V3C.-D.4

22

5.（2022吉林辽源阶段检测）若椭圆白+y2=l上一点A到左焦点储的距离为2,B为

AFi的中点,0是坐标原点，则|OB|的值为（）

A.1B.2C.3D.4

题组二椭圆的标准方程

6.(2021北京首都师范大学附属中学期中)已知椭圆C的左、右焦点分别为储(-

1,0),F2(1,0).过点Fi的直线与C交于A,B两点.若AABF2的周长为8,则椭圆C

的标准方程为

A.-+^=1B.-+^=1

161587

化2y2

C.土+匕=1D.-+^=1

4334

7.(2021湖南长沙第九中学月考)若椭圆的两个焦点分别为F(2,0),F2(2,0),且

该椭圆过点P值,-|，则该椭圆的方程为(

A.-+^=1B.-+^=1

48610

化2y2

C.土+匕=1D.—+^=1

84106

8.以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P(|,-4)和则此椭圆的标准方程是

A,竺+x2=l

25

汽2n

B.Q1

c纤y』或**2=1

D.以上都不对

9.(2021宁夏银川第二中学月考)已知圆B:(x+2)2+y2=64,点A(2,0),动点C为圆

B上任意一点，则AC的垂直平分线与BC的交点P的轨迹方程是()

A•话刁B.—+^=1

164

C.UD.-+^=1

1612416

22

10.(2020天津一中期末质量调查)已知椭圆？卷=1(a>b>0)的左、右焦点分别为

azbz

FbF2,以线段FF2为直径的圆与椭圆交于点P(W「W),则椭圆的方程

为.

11.(2020广西来宾教学质量诊断性联合考试)如图，已知椭圆C的中心为原点

0,F(-2V5,0)为C的左焦点,P为C上一点,满足|0P|=10F|,且|PF|=4,求椭圆C

的标准方程.

题组三椭圆的方程的应用

22

12.(2020辽宁抚顺一中三模)已知椭圆靠+台1(a>b>0)分别过点A(2,0)和B(0,-

1),则该椭圆的焦距为()

A.V3B.2V3C.V5D.2V5

13.（2021吉林长春第三中学月考）点P（4cosa,2gsina）（a£R）与椭圆

22

C：3+5=1的位置关系是（）

43

A.点P在椭圆C上

B.不能确定,与a的取值有关

C.点P在椭圆C内

D点P在椭圆C外

22

14.（2021四川乐山十校期中联考）已知方程三-表示焦点在y轴上的椭圆,

m-1m-2

则实数m的取值范围是（）

A.（-8,2）B.（-8,1）

22

15.（2021吉林长春外国语学校月考）若椭圆三+匕=1的焦距为2,则实数m的值

97n+4

为（）

A.1或4B.4或6

C.1或6D.4或7

16.（2021四川西昌期中）已知椭圆？+y2=l的左、右焦点分别是储,F,P是椭圆C

42

上的一点,且NFFF2甘,求△EPF2的面积.

能力提升练

题组一椭圆的定义的应用

22

1.（2020北京丰台期末）已知点P是椭圆C:高+5=1上一点,M,N分别是圆（x-

10064

6）2+y2=l和圆（x+6）2+y2=4上的点,那么IPM+1PN|的最小值为（）

A.15B.16C.17D.18

22

2.（2021湖北襄阳宜城第三中学月考）已知P为椭圆予+3=1上一点,件,F2为该椭

43

圆的两个焦点,若NFFF2=60。，则巨瓦•布=（）

A.-B.3C.6D.2

2

3.（2022四川成都树德中学阶段性测试）已知点A（l,1）,Fi是椭圆5x2+9y2=45的

左焦点,P是椭圆上的动点，则IPA+1PF」的最大值和最小值分别为（）

A.6+V2,6-V2B.4+V2,4-夜

C.6+2V2,6-2V2D.4+2近,4-2式

22

4.（2020陕西西安八校高考模拟）已知椭圆？+一=1的两个焦点分别是储,F,M是

942

椭圆上一点,且MFj-MF21=2,则AFF2M的面积是.

题组二椭圆的标准方程及其应用

5.（2020安徽六安一中开学考试）对于常数m,n,“方程mx2+ny2=l表示的曲线是

椭圆”是“mn>0”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

22

6.（2020湖北恩施利川第五中学期中）已知FbF2是椭圆三+之=1的两个焦点,P是

2449

椭圆上一点，且iPFj：|PF21=4：3,则△PFE的面积等于（）

A.24B.26C.22V2D.24应

22

7.（2021黑龙江哈尔滨师范大学附属中学月考）一个动圆与圆C1：x+（y+3）=l外

22

切，与圆C2:x+（y-3）=81内切,则这个动圆圆心的轨迹方程为（）

A,^+―=1B.—+^=1

25162516

丫2支2汽2y2

C.^+—=1D.—+^=1

169169

22

8.（多选）（2021江苏南通中学期中）设椭圆白+看=1的右焦点为F,直线

y=m（0〈m〈V^）与椭圆交于A,B两点，则下列结论正确的是（）

A.|AF|+|BF|为定值

B.AABF的周长的取值范围是[6,12]

C.当m二加时，AABF为直角三角形

D.当m=l时,AABF的面积为注

22

9.（2021河北保定第三中学期中）已知椭圆C:?$l（a〉b>0）的左、右焦点分别

azbz

为FI,F2,P为椭圆C上一点，NFFF2=120°,|PF1|=2+VX|PF21二2-遮.

⑴求椭圆C的方程；

（2）求点P的坐标.

答案与分层梯度式解析

基础过关练

1.C根据题意知a=2,由椭圆的定义知点P到该椭圆的另一个焦点的距离为2a-

3=1,故选C

2.B设点A⑵0),B(-2,0),则J(%-2)2+y2表示|PA|,J(%+2)2+y2表示|PB|,

所以|PA|+1PB|=6,又IAB=4<6,所以点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆.故选B.

3.C由椭圆的方程得a=V3.设椭圆的另一个焦点为F,则由椭圆的定义得

BA|+|BF|=1CA|+|CF|=2a,所以4ABC的周长为

BA+1BC+|CA=(BA+1BF|)+(CF+1CA)=2a+2a=4a=4V3.故选C.

4.C易得C=A/4-1;所以当x=-遮时,|PF」=|y|三，又|PF」+|PF2|=4,所以

5二4-|PFi故选C.

5.B由已知得a=3,设椭圆的右焦点为F2,则|AF2|=2a-2=6-2=4,易知OB是

△AFF2的中位线，所以10B|=号1=2.故选B.

6.C根据椭圆的定义，可得|AF2|+|BF2|+|AB|=|AF/+|AF2|+|BFi|+|BF2|=4a=8,解

得a=2,

又c=l,所以b2=a2-c2=3.

22

所以椭圆C的标准方程为9+5=1.故选C.

43

2222

7.D|PFj+1PF2"(I+2)+(-|)+J(|-2)+(-|)=2Vw=2a,故a=V10,又

22

c=2,所以b2=a2-c2=10-4=6,故该椭圆的方程为^+号」.故选D.

106

m+16n=1,m=1,

解得Im-1

||m+9n=1,1n=

•••椭圆的标准方程为言+x2=l.故选A.

9.C由题意得|PA|=|PC|,

则|PB|+1PA|=|PB|+1PC|=〕BC|=8>[AB|=4,

故点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,其中a=4,c=2,，b2=a2-c?=16-4=12,

22

..•点p的轨迹方程是±+9=1,故选c.

1612

9?

10.答案上+匕=1

94

解析根据题意知IP0=J|+Y=V5=C,

故Fi(-迷,0),F2(V5,0).

•••1PF/+|PF2

=4+2=6=2a,.,.a=3,.*.b=2,

22

•••椭圆的方程为3+?=L

94

11.解析由题意可得,该椭圆的半焦距c=2V5,设椭圆C的标准方程为

22

J+2(a>b>。),右焦点为Fi,则Fi(2V5,0),连接PK,如图.

azbz

因为|0P|=|0F|,所以|0P|=|0Fj,

所以PF_LPFi.

又|PF|=4,IFF11=4V5,

所以|PF/力|FFI|2"PF|2=8,

所以2a=|PF|+|PFil=12,即a=6,

所以b2=a2-c2=16,

22

所以椭圆c的标准方程为2+5=1.

3616

12.B由题意可得a=2,b=l,所以c=Va2-b2=V4—1=V3,所以2c=243.故选B.

13.D把(4cosa,2gsina)(a£R)代入椭圆方程的左边，得

如辿+(2修ina)2=4(c°s2+sin2a)=4>1,因此点P在椭圆C外.故选D.

43a

14.C三-马=1表示焦点在y轴上的椭圆，则2-m>m-l>0,解得Km<|.所以实数

m-1m-22

m的取值范围是(1,1).故选C.

15.B若焦点在x轴上,则c=V9-m-4=l,解得m=4;若焦点在y轴上,则

c=Vm+4-9=1,解得m=6.故选B.

易错警示在解决与椭圆方程有关的问题叱一定要注意椭圆焦点的位置，即焦

点是在x轴上还是在y轴上,如果不确定，则需要分情况讨论.

16.解析因为|PFJ+1PF2|=2a=4,且

所以|PFL「+|PF2|2=4C2=4义(4-1)=12,

所以iPFj­|PF2|

_(PFI|+|PF2|)2-(|PFI|2+|PF2|2)_2

2，

所以S&pF二出严，

△卜1尸卜22

能力提升练

22

1.C椭圆C:1中，a=10,b=8,所以c=6.

10064

圆(x-6)2+y2=l和圆(x+6/+y2=4的圆心为椭圆C的两个焦点，

则当M,N在如图所示的位置时，|PM"|PN|的值最小,最小值为|PFJ+1PF2HFiN|-

F2M|=2a-2-l=17.故选C.

2.D根据椭圆方程可知a=2,c-V4^3=l.

设旗1书旗5由椭圆的定义和余弦定理得也享二金+皿皿…刎，

可得mn-4,故Pa•PF2=mncos60°=4X-=2.故选D.

22

3.A设椭圆的右焦点为F2,把椭圆方程化为标准形式为氤+七=1,

由已知得|PF』+|PF21二2a=6=PF1|=6-|PF2|,A|PA|+1PFi|=6-(IPF21-1PA|).

①当|PA|NlPFzl时，有IPAHPF2IW|AFz1,等号成立时|PA|+1PFj最大，此时P是

射线AF2与椭圆的交点，则|PA+1PF11的最大值是6+V2.

②当|PA|W|PFz|时，有|PFZHPA|W|AFz1,等号成立时|PA|+1PFj最小，此时P是

射线F2A与椭圆的交点,则IPA|+1PF」的最小值是6-V2.故选A.

4.答案4

解析由椭圆的定义可知，1MFI|+|MF21=6,

又IMF1HMF21=2,所以IMF11=4,|MF2|=2.

又IF1F2H2/，所以|MF1|2+|MF2/=|F1F2H

所以AFF2M是以MFbMF2为直角边的直角三角形,所以AFF2M的面积为

jlMFil|MF2|=|x4X2=4.

m>0,

5.A若方程mx2+ny2=l表示的曲线是椭圆，则卜>0,所以“方程mx2+ny2=l表示

、mHn,

的曲线是椭圆”是“mn>0”的充分不必要条件.故选A.

6.A由题意得a?=49,所以a=7,所以|PF」+|PF2|=2a=14,又|PF』：山|=4：3,所

2

以|PFf]=8,|PF1=6,因为|FF』=2V49-24=10,所以|PFi『+1PF2|=|所以

PF」PFz,故△PFE的面积S=：PFj*"|[><8><6=24.故选人.

7.A设动圆的半径为r,圆心为M,

根据题意可知,Ci(0,-3),C2(0,3),

iMGhl+r,|MC2|=9-r,|GG|=3-(-3)=6,

MCJ+IMC2=l+r+9-r=10>6,故动圆圆心的轨迹为焦点在y轴上的椭圆,且焦点为

C2(0,3)和Ci(0,-3),其中2a=10,a=5,2c=|CiC21=6,c=3,

所以b2=a2-c=25-9=16,