2021年内蒙古乌兰察布市中考数学真题试卷（含答案解析）

2021年内蒙古乌兰察布市中考数学试卷

一、选择题：本大题共有12小题，每小题3分，共36分.每小题只有一个正确选项，请将

答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

1.据交通运输部报道，截至2020年底，全国共有城市新能源公交车46.61万辆，位居全球

第一，将46.61万用科学记数法表示为4.661X10\则”等于（）

A.6B.5C.4D.3

2.下列运算结果中，绝对值最大的是（)

A.1+(-4)B.(-1)4C.(-5)rD.1

3.已知线段48=4,在直线48上作线段8C,使得8c=2,若。是线段ZC的中点，则线

段4。的长为（）

A.1B.3C.1或3D.2或3

4.柜子里有两双不同的鞋,如果从中随机地取出2只，那么取出的鞋是同一双的概率为（）

A.AB.AC.AD.A

3456

5.如图，在RtzXNBC中，ZACB=90°,AB=y/s，BC=2,以点/为圆心，NC的长为半

径画弧，交.AB于点、D,交4C于点C,以点8为圆心，/C的长为半径画弧，交于点

E,交BC于点F,则图中阴影部分的面积为（）

A.8-ITB.4-itC.2-——

4

6.若x=&+l,则代数式/-21+2的值为（）

A.7B.4C.3D.

7.定义新运算“口”，规定：aDb=a-2h,若关于x的不等式x□掰＞3的解集为-1,

则m的值是（）

A.-1B.-2C.1D.2

8.如图，直线直线/3交/1于点4交/2于点3,过点8的直线/4交4于点C.若

Z3=50°,Zl+Z2+Z3=240°,则N4等于（）

9.下列命题正确的是（）

A.在函数夕=-《中，当x>0时，y随X的增大而减小

B.若.<0,则\+a>1-a

C.垂直于半径的直线是圆的切线

D.各边相等的圆内接四边形是正方形

10.已知二次函数（〃=0）的图象经过第一象限的点（1,-b）,则一次函数

y=bx-ac的图象不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

11.如图，在△ABC中，AB=AC,△O8C和△ASC关于直线8c对称，连接4D,与BC

相交于点O,过点C作CEVCD,垂足为C,AD相交于点E,若4）=8,8C=6,则城里.

BD

的值为（）

12.如图，在平面直角坐标系中，矩形O48C的04边在x轴的正半轴上，OC边在y轴的

正半轴上，点8的坐标为（4,2）,反比例函数y=2（x>0）的图象与8c交于点。，

x

与对角线08交于点E,与AB交于点、F,连接OD,DE,EF,DF.下列结论：

©sinZDOC=cosZBOC；②0E=BE；③S&DOE=S&BEF；®0D-.DF=2：3.

其中正确的结论有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

二、填空题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分.请把答案填在答题卡上对应的横线

上。

2

13.因式分解：—+ax+a—.

4

，2m+］）二1_

14.化简:

'm?-42-mm+2

15.一个正数a的两个平方根是23-1和b+4,则a+b的立方根为.

16.某人5次射击命中的环数分别为5,10,7,x,10.若这组数据的中位数为8,则这组

数据的方差为.

17.如图，在中，ZACB=90°,过点B作BDLCB,垂足为B,且也）=3,连

接CD,与AB相交于点M,过点M作MNLCB,垂足为N.若AC=2,则MN的长

为.

18.如图，在团/8C。中，AD=\2,以/。为直径的。。与8c相切于点E,连接。C.若

OC=AB,则囿488的周长为.

A,OD

19.如图，8。是正方形/8CD的一条对角线，E是BD上一点,尸是C8延长线上一点，连

接CE,EF,AF.若DE=DC,EF=EC,则NA4尸的度数为.

20.已知抛物线-2x-3与x轴交于Z,B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C,

点0（4,y）在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点，当8E+DE的值最小时，A4CE

的面积为.

三、解答题：本大题共有6小题，共60分。请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写

在答题卡的对应位置。

21.（8分）为了庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了学党史知识竞赛.参加知识竞

赛的学生分为甲乙两组，每组学生均为20名，赛后根据竞赛成绩得到尚不完整的统计图

表（如图），已知竞赛成绩满分为100分，统计表中“，满足Z>=2〃.请根据所给信息，

解答下列问题：

甲组20名学生竞赛成绩统计表

成绩（分）708090100

人数3ab5

（1）求统计表中a,6的值；

（2）小明按以下方法计算甲组20名学生竞赛成绩的平均分是：（70+80+90+100）4-4=

85（分）.根据所学统计知识判断小明的计算是否正确，若不正确，请写出正确的算式并

计算出结果：

（3）如果依据平均成绩确定竞赛结果，那么竞赛成绩较好的是哪个组？请说明理由.

乙组20名学生竟赛成绩统计图

22.（8分）某工程队准备从A到B修建一条隧道，测量员在直线AB的同一侧选定C,D

两个观测点，如图.测得/C长为2返痴，8长为3（扬加）.，8。长为旦加，

242

/NCD=60°,NCD8=135°（/、B、C、。在同一水平面内）.

（1）求/、。两点之间的距离；

（2）求隧道的长度.

23.（10分）小刚家到学校的距离是1800米.某天早上，小刚到学校后发现作业本忘在家

中，此时离上课还有20分钟，于是他立即按原路跑步回家，拿到作业本后骑自行车按原

路返回学校.已知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了4.5分钟，且骑自行车的平均速度

是跑步的平均速度的1.6倍.

（1）求小刚跑步的平均速度；

（2）如果小刚在家取作业本和取自行车共用了3分钟，他能否在上课前赶回学校？请说

明理由.

24.（10分）如图，在锐角三角形N8C中，是8c边上的高，以/。为直径的。。交

于点E,交/C于点凡过点尸作厂GLN8,垂足为〃，交会于点G,交4）于点连

接NG,DE,DF.

(1)求证：ZGAD+ZEDF=\S0°；

(2)若N4CB=45°,AD=4,tanZABC=2,求〃尸的长.

25.（12分）如图，已知△/8C是等边三角形，P是△/5C内部的一点，连接BP,CP.

（1）如图1,以8C为直径的半圆。交于点0,交/C于点心当点尸在庙上时，

连接NP,在8c边的下方作/尸，CD=AP,连接。P,求NCP。的度数；

（2）如图2,E是BC边上一点,且EC=38E,当8P=C尸时，连接EP并延长，交4c

于点F,若用AB=4BP,求证：4EF=3AB；

（3）如图3,M是/C边上一点，当/A/=2MC时，连接若NCMP=150°,AB

=6a,MP=^,△/BC的面积为Si，△BCP的面积为S2，求Si-S2的值（用含。的

代数式表示）.

26.（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=--+4x经过坐标原点，与x轴正半轴

交于点，，点M（机，〃）是抛物线上一动点.

（1）如图1,当机>0,«>0,且〃=3机时，

①求点M的坐标；

②若点8（匹，y）在该抛物线上，连接OM,BM,C是线段8/上一动点（点C与点

4

M,8不重合），过点C作CQ〃MO,交x轴于点。，线段OD与MC是否相等？请说明

理由；

(2)如图2,该抛物线的对称轴交x轴于点K,点E(x,—)在对称轴上，当机>2,n

3

>0,且直线EN交x轴的负半轴于点尸时，过点4作x轴的垂线，交直线EM于点、N,

G为y轴上一点，点G的坐标为(0,—),连接G凡若EF+NF=2MF,求证：射线

5

尸E平分乙4FG.

参考答案及解析

1.【解析】8

科学记数法的表示形式为“X10"的形式，其中"为整数.

所以46.61万=466100=4.661X105

2.【解析】A

(-4)|=|-3|=3,|(-1)4|=|1|=1,|(-5)-l\=\-l\=l,1741=121=2,

55

口V1V2<3.

5

3.【解析】C

根据题意，有两种情况，

①如图1所示，

,：BC=2,AB=4,

：.4C=AB-BC=2,

•••〃是线段NC的中点，

­■•^=yAC=yX2=l；

②如图2所示，

"：BC=2,AB=4,

：.AC=AB+BC=6,

是线段NC的中点，

AC=—X6=3-

22

线段力。的长为1或3.

4.【解析】/

两双不同的鞋用/、“、B、6表示，其中“、”表示同一双鞋，B、。表示同一双鞋，

画树状图如图所示：

开始

/N/N/N/1\

aBbABbAabAaB

总共有12种等可能的结果，其中取出的鞋是同一双的结果有4种,

所以取出的鞋是同一双的概率为生」.

123

5.【解析】。

由题意知，-=BE=BF=AD=AC=1,

设N/=〃i°,NB=n°

VZACB=90°,

，NN+N3=90°,即根+〃=90,

•'•S阴影部分=S&4BC-（s鹿形E8F+S扇形O/IC）

22

(nHXImHXl)

=yX2X1-~~360--1360

_]_(ntm)兀=[,兀

360T'

6.【解析】C

Vx=V2+l>

•'•x-1=V2»

两边同时平方得：(x-1)2=2,

即x2-2x+l=2,

Ax2-2x+2=3.

7.【解析】B

•：a%b=a-2bf

AxD/w-x-2nt.

VxD/w>3,

即x-2/w>3,

.\X>2/H4-3.

又•・•关于X的不等式x「m>3的解集是X>-1,

即2/"+3=~19

:・m=-2.

8.【解析】3

解：如图所示,

V71/7/2,

，N1+N3=18O°,

VZ1+Z2+Z3=24O°,

.\Z2=240°-(Z1+Z3)=60°,

VZ3+Z2+Z5=180°,Z3=50°,

AZ5=180°-Z2-Z3=70°,

又l\//h9

AZ4=Z5=70o.

9.【解析】D

解：A、在函数y=中〃=-方VO,当x>0时，y随X的增大而增大，所以原命题

错误，不合题意；

若“V0,则1+aVl-a,所以原命题错误，不合题意；

C、垂直于半径且经过半径的外端的直线是圆的切线，所以原命题错误，不合题意；

D、各边相等的圆内接四边形是正方形，是真命题，符合题意.

10.【解析】C

解：•.•点（1,-b）在第一象限.

:.-*>0.

又,二次函数产―-必+c（丘0）的图象经过点（1,-/>）.

/.-b=a-h+c.

:.a+c=O.

又a#0.

：•ac<Q.

...一次函数y=6x-ac的图象经过一、二、四象限.

11.【解析】D

解：•.•△O5C和A45C关于直线5c对称，

：.AB=BD,AC=CD,

'：AB=AC,

：.AB=CD=AC=BD,

四边形是菱形，

：.ADA.BC,ZACO=ZDCO,AO=DO=4,BO=CO=3,

••BD=-\/I)O2+BO2=V9+16=5,

7CELCD,

:.NDCO+NECO=NCAO+NACOWO。,

:.NCAO=NECO,

.，.tanNECO=^=里，

COAO

•.•"E-O1=3,

34

：.E0=^~,

4

：.AE=—,

4

.2OE+AE_2X_4+4_5

BD-57'

12.【解析】N

解：①在矩形048C中，

•：B(4,2),

.\OA=4,OC=2,

由勾股定理得：OB=d+42=2^/"^，

当『=2时，即2=2,

x

，x=L

：.D(1,2),

：.CD=\,

由勾股定理得：OD=^22+12=A/5,

：.sinZDOC=^-=-^=^-,

ODV55

cosNBOC=—?==运，

2代5

:*sinZDOC=cosZBOC,

①正确；

②设08的解析式为：y=kx(AWO),

把(4,2)代入得：4A=2,

•\A=—,

2

即y=-^x,

当上*=2时，x=±2,

2x

：.E(2,1),

.♦.£是05的中点，

：.OE=BE,

②正确；

③当X=4时，

.•.尸(4,A),

2

：.BF=2-工=3,

22

：.S^BEF=—X—(4-2)=2，

222

^△DO£=^-X2X4-yXlX2-yX3X1

_3

----9

2

S&DOE=SABEF,

③正确；

④由勾股定理得：Z)F=J32+(1)2=3^5,

•：OD=C

.OD^

"DF"3V5'

2

即OD：DF=2t3.

④正确；

所以其中正确的结论有①②③④，共4个.

13.【解析】匕0+2)2

4

2

解：—+ov+a

4

=—«(X2+4X+4)

4

=—a(JH-2)2.

4

14.【解析】1

解:,2m*］］二］

'2-42~mm+2

=2m-(m+2),(w+2)

(m+2)(nr2)

_m-2

m-2

=1.

15.【解析】2

解：•・•一个正数a的两个平方根是2。-1和b+4,

工2b-1+什4=0,

，升4=3,

，。=9.

:・a+b=9+(-1)=8,

：.a+h的立方根为2.

16.【解析】3.6

解：依题意，数据5,10,7,x,10的中位数为8,

即x=8,

所以这组数据的平均数为1(5+10+7+8+10)=8,

5

这组数据的方差W=/[5-8)2+(10-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(10-8)2]=3.6.

17.【解析】5

5

解：'：BDA.CD,MNA.CB,NNCS=90°,

J.AC//BD//MN,NCNM=NCBD,

:.NAMC=NMBD,ZMCA=NMDB=NCMN,

:AMACSMBD,ACMNSCDB,

.MC_AC2HN_CM

"ND"BD"?'BD'CD'

•.•—CM“2,

CD5

.MN2

35

:.MN=殳.

5

18.【解析】24+6旄

解：如图所示，连接OE,过点C作CF_L4O交40于点尸，

V四边形ABCD1平行四边形，

：.AD//BC,AB=CD,AD=BC,

，NEO0+NOEC=18O°,

•.•00与5c相切于点E,

：.OEVBC,

即NOEC=90°

NEOO=90°,

'：CFVAD,

：.ZCFO=90°,

J.四边形OEb簸形，

：.FC=OE,

是。。的直径，AD=12,

：.FC=OE=OD=^AD=f>,

2

'：OC=AB,CF1.AD,

：.OF=^OD=3,

2

在Rt△。厂C中，由勾股定理得，

OC2=OF2+FC2=32+62=45,

：.^ABCD的周长为12+12+3遥+3旄=24+6&.

19.【解析】22.5°

解：如右图所示，连接ZE,

,：BD为正方形ABCD的对角线，

AZBZ)C=45°,

"：AD=DE=DC,

：.Z.DEC=ZDCE=A^P__=675«,

2

VZDCB=90°,

；.NBCE=90°-ZDC£=90°-67.5°=22.5°,

,:EF=EC,

AZ£FC=180°-ZEFC-ZECF=i80°-22.5°-22.5°=135

'：ZBEC=iS00-ND£C=180°-67.5°=112.5°,

：.ZBEF=135°-112.5°=22.5°,

,：ZADE=45°,AD=DE,

.•.NZED=180°—45。=67.5。,

2

AZBEF+ZAED=22.50+67.5°=90°,

.•.N4E尸=180°-90°=90°,

在△/〃£'和△EDC中，

'AD=DE

<ZADE=ZEDC.

DE=DC

:.AADE义AEDC(SZS),

：.AE=EC,AE=EF,

即△XEF为等腰直角三角形，

ZAFE=45°,

AZAFB=ZAFE+ZBFE=45°+22.5°=67.5°,

VZ/4BF=90",

AZBAF=9f>°-ZAFB=9Q0-67.5°=22.5°.

20.【解析】4

解：依题意，当y=0时，x1-2x-3=0,解得xi=-1,X2=3,则N(-1,0),B(3

0),

.•.抛物线的对称轴为直线x=L

当x=0时，y=--2x-3=-3,则C(0,-3),

当x=4时，J=X2-2X-3=5,则。(4,5),

连接ZO交直线x=l于点E,交y轴于点尸，如图所示，

VBE+DE=EA+DE=AD,

即BE+DE的值取得最小值，

设直线AD的解析式为

把4(-1,0),D(4,5)代入得［"+b=0,解得［k=l,

I4k+b=5Ib=l

二直线AD的解析式为j=x+l,

当x=l时，y=x+\=2,则E(1,2),

当x=0时，y=x+l=l,则尸（0,1）,

/.S^ACE=S^ACf^-S^ECF=—X4X1+—X4X1=4.

21.【解析】

解：（1）因为每组学生均为20名，

所以“+6=20-3-5=12（名），

又因为b—2a,

即Q=4,Z>=8；

（2）小明的计算不正确，

正确的计算为：7°X3+8°x4+9°x8+1°°x5=87.5（分）；

20

（3）竞赛成绩较好的是甲组，

理由：乙组20名学生竞赛成绩的平均分为:100X360-90-90-144+90x_90_+8ox

360360360

+70X10+22.5+20+28=80.5（分），

360

因为80.5<87.5,

所以竞赛成绩较好的是甲组.

22.【解析】

解：（1）过点力作ZE_LCD于点E,如图:

则NZ£C=N/E0=9O°,

,：ZACD=60°,

：.ZCAE=900-60°=30°,

：.CE=^AC=^-y/2（km）,AE=4^CE=3娓（幻"），

244

:.DE=CD-CE=&（V2+V6）-3&=3疵（幻"），

444

•»AE=DEf

即△//）后是等腰直角三角形，

扬E=&x3依=2^1（km）；

42

（2）由（1）知：△/!〃£是等腰直角三角形，

：.AD=42AE=^^-（A/M）,ZADE=45°,

又,.,NC〃5=135°,

；.NADB=135°-45°=90°,

由勾股定理得，N8={AD2+BD2=J（年产+^^=3（痴）,

即隧道48的长度为3A，”.

23.【解析】

解：（1）设小刚跑步的平均速度为x米/分，则小刚骑自行车的平均速度为1.6x米/分,

依题意，得侬_+4,5=侬•，

1.6xx

解得：x=150,

经检验，x=150是方程的根，

所以小刚跑步的平均速度为150米/分.

（2）由（1）知小刚跑步的平均速度为150米/分，

则小刚跑步所用时间为18004-150=12（分），

骑自行车所用时间为12-4.5=7.5（分），

因为小刚在家取作业本和取自行车共用了3分钟，

所以小刚从开始跑步回家到赶回学校需要12+7.5+3=22.5（分）.

又因为22.5>20,

所以小刚不能在上课前赶回学校.

24.【解析】

（1）证明：根据题意知NNG尸=N4O尸（同弧所对的圆周角相等）,

,：GFA.AB,Z0为圆的直径，

：.ZADF+ZFAD=90°,ZAGF+ZGAE=90°,

：.ZGAE=ZFAD,

：.ZGAE+ZDAE=ZFAD+ZDAE,

V四边形AEDF是圆的内接四边形，

：.ZEAF+ZEDF=\80",

...NG4O+NE"=180°.

（2）解：如图所示，连接。尸，

是圆的直径，且40是△Z5C的高，GF±AB,

：.ZAED=NADB=NAHM=N/尸0=90°,

:.丛AHMsAADB,

.AH=AD

•项丽’

,.•tanN/5C=殁=2,

BD

.•.妲=2,

HM

VZACB=45°,

:.ZDAC=ZADF=NAFO=45°,

：.ZAOF=90°,

\•在与Rt△尸。必中，

NAMH=NFMO（对顶角），

:.△AHMsRFOM,

.FO=AH=2

,'ON而

'：AD=4,

：.OF=OA=2,

；.I0-=2,解得OM=1,AM=OA-OM=\,

OM

设/Mf=x,则/〃=2x,

在“HM中：AH2+HM2=AM2,

即（2x）2+^=1,解得xi=Y5,X2=-Y5（舍）,

_55

；.AH=^-,

5

'：OF=OA=2,

:.AF=2版,

在RtZkZ”尸中：AH2+HF2=AF2,

即（型5）2+HF2=（2我）2,

5

解得〃尸=殳区，或〃尸=-曳5（舍），

55

所以“尸的长为$Z5.

5

25.【解析】

解：（1）如图1所示，连接5D,

•••△N5C是等边三角形，

：.ZABC=M°,AB=BC,

在△历1尸和△BCD中，

'AB=BC

<ZBAP=ZBCD»

AP=CD

:.△BAPmABCD(.SAS},

:.NABP=NCBD,BP=BD,

；N4BP+NPBC=60°,

ZCBD+ZPBC=60°,

即NP5Z)=60°,

.••△5CP是等边三角形，

:.NBPD=60°,

「Be是。。的直径，

AZBPC=90",

:.NCPD=NBPC-N"PD=90°-60°=30°；

(2)如图2所示，连接4P交5c于点O,

•.•△Z5C是等边三角形，

：.ZABC=ZACB=6f>°,AB=AC=BC,

•；BP=CP,

：.AD1.BC,BD=CD=工BC=L&

22

：.AD=AB*%\n^ABC=AB*%mM°=2L±AB,

2

，:5AB=4BP,

J?

：.BP=y~LAB,

4________________

••・PC=、BP2_BD2=J(华研)2-0|如)2=坐/5,

：.PD=^AD,即点尸是的中点，

2

；EC=3BE,

：.BE=—BC,BC=4BE,

4

'：BD=—BC,

2

;.BE=LBD,即点E是8。的中点，

2

:.EP是AABD的中位线,

：.EF//AB,

:ACEFSACBA,

.EF_CE_3BE_3

"ABCB宣T

：.4EF=3AB；

(3)如图3所示，过点?!作5c于点D,过点尸作尸及L6C于点E,交/C于点F,

作P//_LNC于点〃，

由(2)知：40=亨N5=3心，N4C5=60°,BC=AC=AB=6a,

VZCMP=150",

AZP;WF=180°-ZCAfP=180°-150°=30°,

,：ZCHP=90°,

APH=PM-sinZPMF=\[^a•sin30°=^-«,

MH=PM-cosZPMF=A/3«*co»30-=-|-a,

'.'EFIBC,

.♦.NCE尸=90°,

：.ZCFE=9f>°-ZACB=90°-60°=30°,

:.NCFE=NPMF,

:.PF=PM=Q,

'：AM=2MC,

CM=—AC——X6a—2a>

33

'CF=CM++MH+HF=5a,

：.EF=CF*sinZACB=5(fsin60°=^^-a,

_2

：.PE=EF-尸尸=刍返。-五=心旦”，

22

二51-S2=