2020-2021学年衡水中学高一年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年衡水中学高一上学期期末数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分)

1.己知△ABC的面积为3g,BC=4,CA=3,则C的大小为()

A.120°B,60°C.30°D.60°或120°

2.已知集合/=卜|回-1|<1},集合8={幻0-1)。-2)>0},则4门8等于()

A.(0,1)B.(1,2)C.(-2,0)D.(-2,1)

3.等比数列隹即差的各项均为正数，且谡承曲外雁。=犒，

则艇3叫普酶题:叫嚓=()

A.12B.10C.8D.翳品蛔瓢穆

4.已知向量遍=/牌,向量后=救；期.且以〃冬，则笳=

A.9B.6C.5D.3

5.已知3>0,函数/(x)=acos2a)x—4cos3%+3a,若对任意给定的aG[—1,1],总存在x2G

[0,§(与4亚)，使得，(%1)=/3)=0，则3的最小值为()

A.2B.4C.5D.6

6.已知乙、》2是方程4/一46％+巾+2=0的两个实根，当好+避取最小值时，实数小的值是()

A.2B.-C.--D.—1

44

7.6也：+85》2的值为()

A.1-立B.1+立C.V2-1D.1+V2

22

8.关于X的方程。2—1)2-|;(2-1|+々=0,给出下列四个命题：

①存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根;

②存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根;

③存在实数匕使得方程恰有5个不同的实根;

④存在实数匕使得方程恰有8个不同的实根:

其中假命题的个数是()

A.0B.1C.2D.3

二、多选题(本大题共4小题，共20.()分)

9.下列结论正确的有（）

A.公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有1。5种

B.两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是:

C.若随机变量X服从二项分布X〜B（5,3，则P（|<X<；）=^

3NNol

D.已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3,3,5,3,6,11,若这组数据的

平均数、中位数，众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为12

10.筒车亦称为“水转筒车”，--种以流水为动力，取水灌田的工具.筒车发明于隋而盛于唐，距

今已有1000多年的历史。如左下图.假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆

时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心。距离水面BC的高度为1.5米，设筒车

上的某个盛水筒P的初始位置为点。（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，下列结论正确

的是（）

A.t分钟时，以射线。4为始边，OP为终边的角为?一？

3o

B.t分钟时，该盛水筒距水面距离为sin《t—》+|米

C.1分钟时该盛水筒距水面距离与3分钟时该盛水筒距水面距离相等

D./个小时内有20分钟该盛水筒距水面距离不小于3米

11.己知平面向量乙方满足|菊=2,\b\=1，ab=l<则下列说法正确的是（）

A.a.(a-K)=0

B.(a-2b)1(a+2K)

C.SAG/?,使|为一;19|=|

D.VAeR,|五一4方|?|为一可恒成立

12.已知函数/"。)=©尸一炉，若0<m<l<n,则下列不等式一定成立的有()

A./(I—m)>/(n—1)B.f(2>Jmn)>f(m+n)

nm

C./(log^n)>/(logn7n)D./(ni)>/(n)

三、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.如图，在6x6的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量区石，下满足

c=xa+yb(x,y£R)，则]=.

14.化简」---由一=______.

cos20°sin200

15.已知log23=Q,log72=b,则log421=.(用a,b表示)

16.已知tan。+/^=4,则sin2(6+£)=____.

tanG4，

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.如图，△OAB是等边三角形，乙40c=45。，0C=夜，4、B、。三点共线.

(I)求5也480。的值；

(H)求线段BC的长.

18.己知函数/(x)=Asin(^a)x+@)(4>0,a>>0,0<<p<乃)的部分图象如图所示.

(1)求函数/(x)的解析式；

(2)当％6[-：,泉时，求函数y=/(x)+V3/(x+3)的最值.

19.(本题满分15分)

X

已知函数/(X)=2-1

F+T

(1)求/(3)的值；(2)用单调性定义证明函数在(一6,+«))上是增函数。

20.已知函数f(x)=Asin^x+<p)(A>0,a)>0,\<p\<》的部分图象如图所示

(1)求函数/(x)的最小正周期及解析式

(2)求函数/(x)在区间［0,自上的最大值和最小值.

21.用红、黄、蓝3面小旗(3面小旗都要用)竖挂在绳上表示信号.不同的顺序表示不同的信号，试

写出所有的信号.

22.已知函数已知函数Rx)=Esin:cos^-v*2sin21.

(1)求/(x)的最小正周期.

(2)求f(x)在区间/一兀，0/上的最小值.

参考答案及解析

1.答案：D

解析：

本题主要考查三角形的面积公式及特殊角的三角函数值，属于基础题.

灵活运用公式是解答本题的关键.

解：由面积公式得S=1ACBC-sinC=^-4•3-sinC=,解得siiiC=—,

229

0<C<ISO.

因此。60或12().

故选D.

2.答案：A

解析：解：由4中不等式变形得：一1<万一1<1,

解得：0cx<2,即A=(0,2),

由8中不等式解得：x<1或x>2,即8=(—8,1)u(2,+8),

则AflB=(0,1),

故选：A.

求出4与B中不等式的解集分别确定出A与B,找出4与B的交集即可.

此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

3.答案：B

解析：试题分析：由于数列号限g是等比数列，所以疑陞=:嘴畤=通/：，又因为:%嚓41=嘱,

所以得到:％蛛=氧：te觐豌：«%,：%=

般物阚强…嘴嗓:=腕疑觊魁步=售啊翦;悠=询.所以选B.

考点：1.等比数列的性质.2.同底对数的求和运算.3.对数的性质.

4.答案：B

解析：试题分析：因为向量以=:翼蹶向量,$=编舞且以〃都所以41澧-物〜如解得需=敏

考点：本小题主要考查向量共线的坐标运算，考查学生的运算求解能力.

点评：向量共线与向量垂直的坐标表示是考查的重点，平时学习时要给予充分的重视.

5.答案：D

解析：解：由f(%)=acos2a)x—4cosa)x+3Q=2acos2a)x—4cosa)x+2a.

令cosa)x=t,aG[—1,1],

令f(x)=O,可得：2a=G[-2,2]

:.t6[—1,1]

即cos3%e上有两个解.

)

那么Z，X2G*尤2上至少有两个解，

7T、6兀

",

••二23—2T

••0)>6

故选：0.

由/(%)=o,cos2b)x—4coscox+3Q=2acos2a)x—4cos3%+2a.^cosa)x=3a€[—1,1],换元法求

解，令f(x)=0,可得：2a=岛e[-2,2],即C0S3XG[-1,1]上有两个解.使得〃&)=/(x2)=0,

即可求解®的最小值.

本题考查三角恒等变换及化简求值，函数思想的转换和应用，求解COS3X6上有两个解关键,

是中档题

6.答案：D

解析：

本题主要考查函数的零点的定义，二次函数的性质的应用，属于基础题.

由题意可得判别式ANO,求得或znW-l.化简好+底的解析式为(加一》一,再利用二次

函数的性质可得此式取最小值时m的值.

解：由题意可得41+%2=根，X],刀2=”券，

△=16m2—16(m+2)>0,

解得m>2或TH<-1.

2

当好+超=(%1+%2)・2%i-X2

27n+2/1、217

=m=

所以当m=—1时，xl+以取到最小值土

故选D.

7.答案：B

解析：解：(sin-+cos-)2=sin2-+cos2-+2sin-cos-=1+sin-=1+—>

v88y888842

故选：B

根据三角函数的公式进行化简即可得到结论.

本题主要考查函数值的计算，利用二倍角的正弦公式是解决本题的关键.

8.答案：A

解析：

本题考查了分段函数，以及函数与方程的思想，数形结合的思想.

将方程的问题转化成函数图象的问题，画出图象，求出k的特殊值，判断选项即可.

解：方程(/-I)2—|%2—1|+fc=0o方程k=—(x2—I)2+\x2—1|,

令/(x)=—(X2—I)2+\x2-1|,

当％>1■或x<一1时，

/,(X)=-(x2-I)2+(x2-1)=-(x2-1)(%2-2)

=—(x+1)(%-1)(%—V2)(x+V2),

可以看出函数在此区域内有四个零点，

也可以这样变形，/(x)=-(%2-|)2+

可以看出，在此区域内，x=+匹时，函数值最大为:，

当一1<XV1时，

/(%)=-(%2-I)2-(%2-1)=-X4+X2=-x2(x-1)(%+1),

由此可以看出，在此区域内，函数只有一个零点，

也可以这样变形，/(x)=-(x2-i)+(,

可以看出，在此区域内，x=+在时，函数值最大为:，

一24

在同一坐标系中，画出y=k和/'(%)=-(x2-I)2+\x2—1|图象,

结合图象可得：

①当k<0时，y=k的图象和y=f(x)的图象有两个交点，故方程的实根个数为2；故①正确；

②当k=；时，y=k的图象和y=的图象有四个交点，方程恰有4个不同的实根土当、土?，故②

正确；

③当k=0时,y=k的图象和y=f(x)的图象有五个交点，方程恰有5个不同的实根解为-1,+1，土也

0,故③正确；

④当0<k<；时,y=k的图象和y=f(x)的图象有八个交点，方程恰有8个不同的实根，故④正确.

①②③④全都正确，没有假命题•

故选A.

9.答案：BCD

解析：解：对于A，根据题意，公共汽车沿途5个车站，则每个乘客有5种下车的方式，

则10位乘客共有51°种下车的可能方式，故A错误；

对于B,两位男生和两位女生站成一排照相，基本事件总数n=*=24,

两位女生不相邻包含的基本事件个数m=房•朗=12,•••两位女生不相邻的概率尸=：=葛=%故

B正确；

对于C,若随机变量X服从二项分布X〜8(5,9，

则P(|《X《今=P(X=2)+P(X=3)=似|)3G>+瑶铲<)3=«故C正确；

对于D,设丢失的数据为x，则七个数据的平均数为手，众数是3.

由题意知，这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，

若》《3,则中位数为3,此时平均数芋=3,解得％=-10；

若3<x<5则中位数为％,此时卫尸+3=2%,解得x=4；

若x》5,则中位数为5,此时甘+3=2x5,解得x=18.

综上，丢失数据的所有可能的取值为-10,4,18,三数之和为12.故。正确.

故选：BCD.

利用分步乘法原理判断4利用古典概型判断B,利用二项分布求概率判断C,利用平均数、中位数，

众数进行讨论求解判断D.

本题考查了分步乘法原理和古典概型，考查了利用二项分布求概率和平均数、中位数，众数的应用，

属于中档题.

10.答案：ACD

解析：

本题考查三角函数模型的应用，涉及弧度制的概念及应用，任意角的三角函数，函数y=

4sin（3x+w）的性质，正弦函数的图象与性质，属中档题.

对于力，由题意及图象可得，筒车转动周期和转速，结合弧度制的概念即可判定；对于B,由图象结

合任意角的三角函数求解即可判定；对于C,分别计算1分钟和3分钟时的距离即可判定；对于。，解

不等式3sin（；f3,结合460计算即可判定.

解：对于4,由题意及图象可得，筒车转动周期为7=6,所以转速为c:,

1

又由题意可得盛水筒P的初始位置为点。的纵坐标为-?o，半径为3,所以7，T.，

t分钟时，水筒P转了所以以射线04为始边，OP为终边的角为）:，故A正确；

对于B,t分钟时，以射线。4为始边，0P为终边的角为[一：，

3（7

所以该盛水筒距OA的距离为:Niu（“-米，

所以该盛水筒距水面的距离为3sm*）+：米，故B错误；

对于C,由选项B可得，1分钟时该盛水筒距水面距离为35山/一'）+：=：，曲1（+13米，

3分钟时该盛水筒距水面距离为3siu（：x3—*）+g=3sin,+[=g+g=3米，

所以1分钟时该盛水筒距水面距离与3分钟时该盛水筒距水面距离相等，故C正确；

对于°,由-》3，可得疝（.J-（J”：，

解得+—4—f---4.kZ,即6/c+1<t46/c+3,/c6Z,

6366

因为04t460,所以04k49,k€Z,

所以共有10x（3-1）=20分钟，故。正确.

故选ACD.

11.答案：BD

解析：解：对于4，a.（a-K）=|a|2-a-K=4-l=3,故A错误;

对于B,7(a-26)■(a+2h)=|a|2-4|b|2-4-4=0,

(a-2h)l(a+2K).故B正确；

对于C,由|五一%方|=|,得位一4万)2=£

EP|a|2-2A(a-K)+A2|K|2=^,4-2A+A2=£

整理得：4A2-8A+7=0,△=64-112=-48<0,方程无解，故C错误；

^\a-A^]>|五一石|恒成立，则0-2方)2>(U-b)2,

即片一24(五1)+於二2五2一24彳+片，

整理得。-1)220,此式恒成立，即V/leR,|行一2石|2|五-方|恒成立，故。正确.

故选：BD.

求出数量积判断4;由数量积为0判断8；把等式两边平方可得关于；I的方程，由方程无解判断C；把

不等式两边平方，转化为关于4的不等式，由不等式恒成立判断C.

本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查运算求解能力，是中档题.

12.答案：DB

解析：

本题主要考查了利用函数的单调性比较函数值大小，属于中档题.

先判断函数的单调性，然后结合单调性检验各选项即可判断.

解：因为f(x)=G)*-炉单调递减，

0<m<1<n,1-m与几-1的大小不确定，A错误；

m4-n>2y/mnf则/(m+n)VfQ'mrC),B正确；

因为logm1V0，log^mV。K(logmn)•(lognm)=1,

log^n与10gzim的大小不确定，C错误；

因为mnvl<nm,所以/(6几)O正确.

故选：BD.

13.答案:y

解析：解：将向量落b，前攵入坐标系中，

则向量k=(1,2),(2,-1).c=(3,4),

vc=%a+yh,

(3,4)=x(l,2)+y(2,-l),

即仁::，解得"?，

%=T-

故答案为：获.

根据向量的运算法则以及向量的基本定理进行运算即可.

本题主要考查向量的分解，利用向量的坐标运算是解决本题的关键.

14.答案：—4

解而解__1______6_si"20°-75cos20°_2sE(2(T-6(r)_-2sin40。_

解析：斛：宏不一询二皿20。即20。=蚪40。=3^40。=--

故答案为：-4.

对已知通分，逆用两角和与差的三角函数公式以及正弦的倍角公式化简.

本题考查了三角函数式的化简求值；利用了两角和与差的三角函数公式以及正弦的倍角公式；属于

基础题.

15.答案：答

解析：解：log23=a,log72=b,•.lg3=alg2,lg7=

alg2-{-_ab+i

则*21=等普

2lg2-2b

故答案为：=甯.

2b

由log23=a,log72=可得，g3=出g2,Zg7=与.代入即可得出.

本题考查了对数的运算性质、对数换底公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

16.答案：

4

解析：解：因为tanJ+；-4=4,

所以sin2(e+$=上巴等l+sin2。

2

112sin0cos91tand11

—4---------------------=—-i--------------=--|--------------

22sin20+cos202tan20+12ta/2+1

-tan0-

1.11.13

—2I--t--a--n-0--+-^=—2I—4=-4-

故答案为：

4

由题意利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式、诱导公式，求得要求式子的值.

本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题.

17.答案：解：（1）・.2。48是等边三角形，4/。。=45。.・.4B0C=45。+60。

&+通

：•sinZ.BOC=sin(45°+60°)=sin45°cos60°=

4

OC_BC

(n)在△OCB中，•・•

sinz.OBCsinz.FOC

OC\/2+x/6V2V3

・•・BC=sinZ.BOC----------------------------,----------=1+

sin/LOBC4------sin60°3

解析：（1）根据4。43是等边三角形和乙4。。的值，可确定NBOC的值，再由两角和与差的正弦公式

可得到答案.

（口）在4。。8中应用正弦定理得至1仍。=$也48。。,一^,然后将sin乙BOC、OC.sin4OBC的值代

sinZ-C/oC7

入即可得到答案.

本题主要考查两角和与差的公式、正弦定理的应用.考查对三角函数的公式的记忆和理解程度，三

角函数的公式比较多，不容易记，一定要在平时就注意积累，这样到考试是才不会手忙脚乱.

18.答案：解：(1)由函数/(x)=4si?i(3x+0)的部分图象知I,4=3,(7=3,

所以7=12,3=胃=3所以/(x)=3sinGx+。)；

T6o

因为龙)=3,所以gxj+w=m+2k〃,keZ,

L6NN

解得9=*2kn,keZ-

又因为0<0<兀，所以0=1

所以/(X)=3sin(^x+9

(2)函数y=/(x)+V3/(x+3)

TTTTr—TCTT

=3sin(—x+—)+3v3sin[—(x+3)+-]

7T717171

=3sin(—%+—)+3v3cos(—%+—)

=6sin(^x+^),

因为xe排所以/+57T6]—?争.

所以当"+⑶=$即x=W时，y取最大值6；

当"+私兀=一看，即x=-1时，y取最小值-3.

解析：（1）由函数/（X）的部分图象求出人T和3、0的值，写出/（x）的解析式.

（2）化函数y为正弦型函数，根据尤的取值范围求出函数的最大值和最小值.

本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题.

23-17

19.答案：（1），（为=尹石'

（2）略

〃、2"-1-23-17

解析：解：（1）因为/@）=工公所以/◎）=R公=§

（2）任取再，々€（-OO,-KO）且外＞x2,

“、川、一2*-12^-1_2（24-2即）

则/（X】J-Jl