二次函数 的图像与性质

关于二次函数的图像与性质y=ax2y=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2k>0k<0上移下移左加右减说出平移方式，并指出其顶点与对称轴。顶点x轴上顶点y轴上顶点（0，k）对称轴x=0顶点（h，0）对称轴x=h第2页,共18页，2024年2月25日，星期天1.填表复习回顾:抛物线开口方向

对称轴顶点坐标

(0,0)(1,0)(-1,0)(0,0)(0,1)(0,-1)向下向下向下向上向上向上x=0x=0x=0x=0x=1x=-1第3页,共18页，2024年2月25日，星期天例题例3.画出函数的图像.指出它的开口方向、顶点与对称轴、x…-4-3-2-1012………解:先列表再描点后连线.-5.5-3-1.5-1-1.5-3-5.5第4页,共18页，2024年2月25日，星期天

抛物线的开口方向、对称轴、顶点?12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10直线x=－1解:先列表-5.5-3-1.5-1-1.5-3-5.5讨论开口向下,对称轴是直线x=－1,顶点是(－1,－1).第5页,共18页，2024年2月25日，星期天向左平移1个单位向下平移1个单位向左平移1个单位向下平移1个单位平移方法1:平移方法2:12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10x=－1(2)抛物线和有什么关系?第6页,共18页，2024年2月25日，星期天归纳

一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到抛物线y=a(x－h)2＋k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.向左(右)平移|h|个单位向上(下)平移|k|个单位y=ax2y=a(x－h)2y=a(x－h)2+ky=ax2y=a(x－h)2+k向上(下)平移|k|个单位y=ax2+k向左(右)平移|h|个单位平移方法:第7页,共18页，2024年2月25日，星期天抛物线y=a(x－h)2+k有如下特点:(1)当a>0时,开口向上;当a<0时，开口向下;(2)对称轴是直线x=h;(3)顶点是(h,k).第8页,共18页，2024年2月25日，星期天（1）把二次函数y=3x

2的图像，先沿x轴向左平移３个单位，再沿y轴向下平移2个单位，得到_____________的图像；（2）把二次函数_____________的图像，先沿y轴向下平移2个单位，再沿x轴向右平移3个单位，得到y=-3(x+3)2－2的图像.y=3(x+3)2-2y=-3(x+6)2练习第9页,共18页，2024年2月25日，星期天3．把二次函数y=4(x－1)2的图像,沿x轴向

平移

个单位，得到图像的对称轴是直线x=3.4．把二次函数y=－2x

2的图像，先沿x轴向左平移３个单位，再沿y轴向下平移2个单位，得到图像的顶点坐标是______．

右2(-3,-2)第10页,共18页，2024年2月25日，星期天抛物线y=a(x－h)2+k有如下特点:

(1)当a>0时,开口向上;当a<0时，开口向下;(2)对称轴是直线x=h;(3)顶点是(h,k).顶点式第11页,共18页，2024年2月25日，星期天练习二次函数开口方向对称轴顶点坐标y=2(x+3)2+5向上(1,－2)向下向下(3,7)(2,－6)向上直线x=－3直线x=1直线x=3直线x=2(－3,5)y=－3(x－1)2－2y=4(x－3)2＋7y=－5(2－x)2－61.完成下列表格:第12页,共18页，2024年2月25日，星期天y=ax2y=ax2+k

y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k上下平移|k|个单位左右平移|h|个单位上下平移|k|个单位左右平移|h|个单位结论:一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2形状相同，位置不同。各种形式的二次函数的关系第13页,共18页，2024年2月25日，星期天如何平移：第14页,共18页，2024年2月25日，星期天例题C(3,0)B(1，3)

例4.要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?AxOy123123解:如图建立直角坐标系,点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.因此可设这段抛物线对应的函数是∵这段抛物线经过点(3,0)∴0=a(3－1)2＋3解得:因此抛物线的解析式为:y=a(x－1)2＋3(0≤x≤3)当x=0时,y=2.25答:水管长应为2.25m.34a=－y=(x－1)2＋3(0≤x≤3)34－第15页,共18页，2024年2月25日，星期天（1）抛物线y=a(x+2)2-3经过点（0，0），则a=

。（2）设抛物线的顶点为（1，-2），且经过点（2，3），求它的解析式。（3）抛物线y=3x2向右平移3个单位再向下平移2个单位得到的抛物线是

。（4）抛物线y=2(x+m)2+n的顶点是

。(-m,n)第16页,共18页，2024年2月25日，星期天5.如图所示的抛物线：当x=_____时，y=0；当x<－2或x>0时，y_