函数的凹凸性与拐点_第1页
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关于函数的凹凸性与拐点1.函数y=f(x)单调性的判定K切=f'(x)>0y单调递增凡呈凸型的弧段其切线总位于曲线的上方.凡呈凹型的弧段其切线总位于曲线的下方.K切=f'(x)<0y单调递减x0y0px0y0y=f(x)pxyyxoo

2.几何特征Ｉy=f(x)连续曲线的凹弧段与凸弧段有分界点.第2页,共8页，2024年2月25日，星期天一.定义:若曲线y=f(x)在某区间内位于其切线的上方.则称该曲线在此区间内是凹的,此区间称为凹区间.若曲线位于其切线的下方,则称该曲线在此区间内是凸的,此区间称为凸区间.xyoθ1θ2θ3abxyoθ1θ2θ3曲线的凹凸与拐点ab1.几何特征Ⅱ

凹型曲线:切线的斜率随着X的增大而增大.凸型曲线:切线的斜率随着X的增大而减小.••••••x1x2x3x1x2x3第3页,共8页，2024年2月25日，星期天连续曲线y=f(x)上凹的曲线弧和凸的曲线弧的分界点称为拐点.曲线y=f(x)的凹凸性可以用f′的单调性来判定.

即y=f(x)的凹凸性与f″的符号有关.(x)

(x)设f(x)在区间(a,b)内具有二阶导数f″.(x)(1)如果在(a,b)内f″>0,那末曲线在(a,b)内

是凹的.(x)(2)如果在(a,b)内f″<0,那么曲线在(a,b)内

是凸的.

(x)

2.结论:二.定理:

三.定义:第4页,共8页，2024年2月25日，星期天(A)例1.判定y=ax²+bx+c的凹凸性.(a≠0)解:定义域为(−∞,+∞)y'=2ax+b当a>0时，y">0,曲线y=ax²+bx+c在(−∞,+∞)内是凹的.当a<0时，y"<0,曲线y=ax²+bx+c在(−∞,+∞)内是凸的.注：凹凸性的判定定理的记忆与二次函数的开口方向相结合。y"=2a第5页,共8页，2024年2月25日，星期天例2.求下列曲线的凹凸区间与拐点(B)1.y=x4−2x³+1解：（1）定义域为（−∞,+∞）（2）y'=4x³−6x²y"=12x²−12x=12x(x−1)（4）列表xy″y（−∞，0）+∪00（0，1）−∩10拐点（0，1）拐点（1，0）（1，+∞）+∪∴已知曲线的凹区间为（−∞，0）∪（1，+∞），凸区间为（0，1）拐点为（0，1）与（1，0）.（3）令y"=0,得x=0,x=1

12第6页,共8页，2024年2月25日，星期天解：（1）定义域为（−∞，+∞）（2）y'=8(2x-1)³（3）显然x∈

(−∞,+∞),y"≥0∴凹区间（−∞，+∞），无拐点(B)2.y=(2x-1)+14y"=48(2x-1)²1.下列结论是否正确（1）.由f"(x0)=0所确定的点(x0,f(x0))一定是拐点.2.求下列曲线的凹凸区间与拐点(B)（2）y=ln(1+x²)（2）.若函数f(x)在(a,b)内二次可导,且f'(x)<0,f"(x)>0,则曲线y=f(x)在(a,b)单调递减且凹向上.练习(B)(A)（1

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