三角函数与三角恒等变换

关于三角函数与三角恒等变换第五章三角函数与三角恒等变换§5.3三角函数的图象和性质知识框架考试要求§5.1三角函数的概念、同角关系、诱导公式§5.2三角恒等变换§5.4三角函数应用第2页,共84页，2024年2月25日，星期天知识框架任意的概念角的度量方法(角度制与弧度制)同角三角函数关系式任意角的三角函数三角函数的图象和性质诱导公式两角和与差的三角函数二倍角的三角函数三角函数式的恒等变形(求值、化简、证明)函数y=Asin(ωx+φ)的图象返回章菜单第3页,共84页，2024年2月25日，星期天①理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.②能利用单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（的正弦、余弦、正切），能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象，了解三角函数的周期性.③借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在上的性质（如单调性、最在和最小值、图象与x轴交点等）.④理解同角三角函数的基本关系式：考试要求第4页,共84页，2024年2月25日，星期天⑤了解y=Asin(ωx+)的实际意义；能画出y=Asin(ωx+)的图象，观察参数A，ω,

对函数图象变化的影响.⑥会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.⑦会用向量的数量积推导两角差的余弦公式.⑧能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.⑨能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）.考试要求返回章菜单第5页,共84页，2024年2月25日，星期天§5.1三角函数的概念、同角关系、诱导公式知识要点例题剖析第6页,共84页，2024年2月25日，星期天知识要点1.角的概念2.弧度制3.任意角的三角函数（1）设角α是一任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sinα=y，cosα=xtanx=；（2）三角函数的符号：由于sinα>0

y>0，故α的终边在第一、二象限及y轴非负半轴时，sinα为正；由于cosα>0x>0，故α的终边在第一、四象限及x轴的非负半轴时，cosα为正；由于tanα>0xy>0，即x与y同号，故当α终边在第一、三象限时，tanα为正.第7页,共84页，2024年2月25日，星期天知识要点4.同角三角函数关系同角三角函数关系是由三角函数的定义推导得到的，所以各“恒等”的含义是使各三角函数及各式有意义.5.同角三角函数的基本关系式：①平方关系：②商数关系：6.诱导公式：①的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α“看成”锐角时原函数值的符号，即“函数名不变，符号看象限”；的三角函数值等于α的余函数值，前面加第8页,共84页，2024年2月25日，星期天上一个把α“看成”锐角时原函数值的符号，即“函数名改变，符号看象限”；③诱导公式可以将任意角的三角函数转化为0°~90°角的三角函数值.知识要点返回节菜单第9页,共84页，2024年2月25日，星期天例题剖析[例1]若角α是第三象限的角，则点P（sinα,tanα)位于第

象限.[答案]

二[解析]∵α为第三象限角∴sinα＜0,tanα＞0∴p(sinα,tanα)位于第二象限第10页,共84页，2024年2月25日，星期天[例2]化简①sin420°cos330°+sin(-690°)cos(-660°)②例题剖析[解析]①原式=sin(360°+60°)cos(360°-30°)+sin(-720°+30°)cos(-720°+60°)=sin60°cos30°+sin30°cos60°=②原式=˙第11页,共84页，2024年2月25日，星期天例题剖析[点评]

应用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数是应掌握的基本技能，在有弦有切的题中，切化弦是常用的方法.第12页,共84页，2024年2月25日，星期天例题剖析[例3][解析]第13页,共84页，2024年2月25日，星期天例题剖析第14页,共84页，2024年2月25日，星期天例题剖析[点评]

知sinα+cosα，sinα-cosα,sinαcosα三个式子中的一个，可以求出其余两个式子的值.第15页,共84页，2024年2月25日，星期天延伸拓展1[解析]第16页,共84页，2024年2月25日，星期天例题剖析[例4][解析]代入原式得第17页,共84页，2024年2月25日，星期天例题剖析第18页,共84页，2024年2月25日，星期天延伸拓展2[解析]第19页,共84页，2024年2月25日，星期天例题剖析[点评]

将关于sinθ、cosθ的齐次式变换为关于tanθ的表达式在三角变换中有广泛的应用，其中“1”用“sin2θ+cos2θ”等反代是常用的技巧.第20页,共84页，2024年2月25日，星期天例题剖析[例5]已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R，如图所示.(1)若α=60°，R=10cm，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值c（c>0），当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？[解析]

（1）设弧长为l,弓形面积为S弓.第21页,共84页，2024年2月25日，星期天例题剖析第22页,共84页，2024年2月25日，星期天例题剖析[点评]弧长和扇形的核心公式是圆周长公式c=2πR和圆面积公式S=πR2;当用圆心角α(弧度)代换2π时，即可得到一般弧长和扇形面积公式.返回节菜单返回章菜单第23页,共84页，2024年2月25日，星期天§5.2三角恒等变换知识要点例题剖析第24页,共84页，2024年2月25日，星期天知识要点1.两角和与差的三角函数公式

2.二倍角公式

3.平方降幂扩角公式

第25页,共84页，2024年2月25日，星期天知识要点4.5.公式应用讲究一个“活”字，即正用、逆用、变形用，还要创造条件应用公式，如拆角、拼角等技巧，如返回节菜单第26页,共84页，2024年2月25日，星期天[例1]

sin15°+cos15°的值:

.例题剖析[答案][解析]法(一)∵sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°第27页,共84页，2024年2月25日，星期天例题剖析第28页,共84页，2024年2月25日，星期天例题剖析[例2]

不查表求值[解析]原式=cos40°(1+)第29页,共84页，2024年2月25日，星期天例题剖析[点评]

不查表求含非特殊角的三角函数式的值，应注意题中各角的特征与相互之间的关系，特别注意这些角的和、差、倍、半是否为特殊角.第30页,共84页，2024年2月25日，星期天例题剖析[例3]

已知[解析]第31页,共84页，2024年2月25日，星期天例题剖析第32页,共84页，2024年2月25日，星期天例题剖析[点评]

给出角的三角函数值,求另一角的三角函数值时,要注意活用二角和、差的三角函数公式，将待求角配凑出用已知角表示的式子，再应用三角公式进行求解，如本例的2α用（α+β）+（α-β)表示，2β用（α+β）-(α-β)表示.第33页,共84页，2024年2月25日，星期天延伸拓展1[解析]法(一)由条件可得法(二)由条件得第34页,共84页，2024年2月25日，星期天延伸拓展1第35页,共84页，2024年2月25日，星期天例题剖析[例4]

已知且[解析]第36页,共84页，2024年2月25日，星期天例题剖析第37页,共84页，2024年2月25日，星期天例题剖析[点评]

已知α的某种三角函数值,可求α的其它三角函数值,利用二倍角及两角和差关系式,可求2α或α+

(为特殊角)的三角函数值.第38页,共84页，2024年2月25日，星期天延伸拓展2[解析]法(一)由条件得第39页,共84页，2024年2月25日，星期天延伸拓展2第40页,共84页，2024年2月25日，星期天例题剖析[例5]

是否存在锐角α、β，使α+2β=与tantanβ=同时成立？若存在，求出α、β的大小；若不存在，说明理由.[解析]

假设存在满足条件的锐角α，β，则第41页,共84页，2024年2月25日，星期天例题剖析第42页,共84页，2024年2月25日，星期天例题剖析[点评]

问是否存在的问题，一般选假设存在，再从条件入手；求角时，一般是先求得三角函数值，再由角的范围求得角的大小.返回节菜单返回章菜单第43页,共84页，2024年2月25日，星期天§5.3三角函数的图象和性质知识要点例题剖析第44页,共84页，2024年2月25日，星期天知识要点1.y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象和性质

①图象②定义域③值域④奇偶性⑤单调性⑥周期性2.y=Asin(wx+）的图象作图方法：

（1）五点作图法（2）图象变换法a.相位变换y=sinx图象向左（>0)或向右（<0）平移||个单位得到y=sin(x+)的图象.第45页,共84页，2024年2月25日，星期天知识要点b.周期变换y=sinx横坐标伸长（0<w<1）或缩短（w>1)到原来的倍（纵坐标不变）得到y=sinwx的图象.c.振幅变换y=sinx纵坐标伸长（A>1)或缩短（0<A<1)到原来的A倍（横坐标不变）得到y=Asinx图象.3.

y=Asin(wx+），y=Acos(wx+)（A≠0，w≠0）的最小正周期为,y=Atan(wx+)(A≠0,w≠0)的最小正周期为.4.由y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象可得

①y=sinx图象关于直线x=kπ+对称，关于点（kπ,0）对称;第46页,共84页，2024年2月25日，星期天②y=cosx图象关于直线x=kπ对称，关于点（kπ+,0）对称;③y=tanx图象关于点（,0）对称(以上k∈Z).5.三角函数中的最值问题一般有如下三种方法：

（1）三角法：先通过三角恒等变形，化为形如y=Asin(wx+）+B,y=Acos(wx+)+B,y=Atan(wx+)+B，利用|sin(wx+)|≤1,|cos(wx+)|≤1或图象来确定最值.（2）代数法：先通过变量代换转化为代数函数，再利用配方法、不等式法、判别式法、单调性法等求解.（3）解析法：将三角函数与坐标定义联系起来运用解析几何的知识来求最值.知识要点返回节菜单第47页,共84页，2024年2月25日，星期天例题剖析[例1]

函数y=cos4x-sin4x图象的一条对称轴方程是

.[答案][解析]第48页,共84页，2024年2月25日，星期天例题剖析[例2]

已知函数（1）求它的振幅、周期、初相；（2）用五点法作出它的图象；（3）说明该函数的图象可以由y=sinx的图象经怎样的变换得到.x0020-20[解析]（1）振幅A=2，周期T=，初相（2）列表：第49页,共84页，2024年2月25日，星期天例题剖析描点作图（如右图）（3）把y=sinx的图象上所有的点向左平移个单位得到y=sin(x+)的图象;再把y=sin(x+)图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)倍,得到y=sin(2x+)的图象;再把y=sin(2x+)图象上各点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)即可得到y=2sin(2x+)的图象.

动态演示第50页,共84页，2024年2月25日，星期天例题剖析[点评]

作y=Asin(wx+)+B的图象以五点法最为方便,但必须清楚它的图象与y=sinx图象的关系.第51页,共84页，2024年2月25日，星期天例题剖析[例3]

已知函数（1）求其最小正周期、单调增区间；（2）求其最大值及取得最大值时x的集合.[解析]第52页,共84页，2024年2月25日，星期天例题剖析第53页,共84页，2024年2月25日，星期天例题剖析[点评]

求函数的最小正周期,若能化为形如y=Asin(wx+)+B成y=Acos(wx+)+B或y=Atan(wx+)+B,则只须分别代入即可求y=Asin(wx+)+B的单调区间问题,实位是利用y=sinx的单调性及复合函数的问题来解决,特别应注意w<0或A<0时的情形易出错.第54页,共84页，2024年2月25日，星期天延伸拓展1已知函数的最大值为2.①求a；②当时，求f(x)的单调增区间.[解析]

①第55页,共84页，2024年2月25日，星期天延伸拓展1即f(x)的最大值为3+a由条件得3+a=2,即a=-1②令第56页,共84页，2024年2月25日，星期天例题剖析[例4]f(x)=cos2wx+sinwxcoswx+a(其中w>0,a∈R),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐为(1)求w的值;(2)若f(x)在区间上的最小值为,求a的值.[解析]第57页,共84页，2024年2月25日，星期天例题剖析第58页,共84页，2024年2月25日，星期天例题剖析[点评]关于给出条件求y=Asin(wx+)+B的表达式,求解时应注意y=sinx图象及性质,原因是y=Asin(wx+)+B图象必可由y=sinx图象平移成伸缩得到,在求y=Asin(wx+)+B且x给定范围的最值时,应注意不能直接把给定区间的边界值代入.第59页,共84页，2024年2月25日，星期天延伸拓展2已知函数f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线x=对称.(1)求实数a的值;(2)求当|x|≤时,f(x)的值域.[解析](1)∵点P(x，y)关于直线x=的对称点P′(-x,y)由条件,P在f(x)图象上时,P′也在f(x)图象上第60页,共84页，2024年2月25日，星期天延伸拓展2第61页,共84页，2024年2月25日，星期天例题剖析[例5]

如下图,是函数y=2sin(wx+)(||≤w>0)的一段图象,则w、的值是 （ ）第62页,共84页，2024年2月25日，星期天例题剖析[解析]如上图，给我们的信息是(1)点(0,1),(,0)在图象上(2)函数的最小正周期第63页,共84页，2024年2月25日，星期天例题剖析第64页,共84页，2024年2月25日，星期天例题剖析[点评]

在给出图象求表达式时，应注意充分挖掘图中的信息，如对称性、单调性、特殊点等，对三角函数来说还应注意其最小正周期.返回节菜单返回章菜单第65页,共84页，2024年2月25日，星期天§5.4三角函数应用知识要点例题剖析第66页,共84页，2024年2月25日，星期天知识要点1.利用三角函数的图象和性质，解决与三角函数有关的最值问题、不等式问题、奇偶问题等.2.通过引入三角函数，解决给出有一定实际背景的问题.返回节菜单第67页,共84页，2024年2月25日，星期天例题剖析[例1]关于函数f(x)=4sin(2x+)()有以下命题：①f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是π的整数倍；②y=f(x)可以改写为y=4cos(2x-);③y=f(x)的图象关于点(-,0)对称；④y=f(x)的图象关于直线x=-

对称；其中正确的命题的序号是

(把你认为正确的都填上).[答案]

②③第68页,共84页，2024年2月25日，星期天例题剖析[解析]∵①取x1=命题①不成立.第69页,共84页，2024年2月25日，星期天例题剖析[例2]如下图所示，函数y=-xcosx的部分图象是（ ）[解析]

∵f(x)=-xcosx有f(-x)=-(-x)cos(-x)=xcosx=-f(x)又∴当时,f(x)<0,∴排除B∴选D第70页,共84页，2024年2月25日，星期天例题剖析[点评]

给出函数的解析式来认图象的，可以从给出的解析式的定义域、值域、奇偶性、对称性、特殊点、单调性等方面进行排除.第71页,共84页，2024年2月25日，星期天例题剖析[例3]某港口的水深y(米)与时间t(0≤t≤24,单位：时）的函数关系记为y=f(t)，下面是该港口某日的水深数据表：t(时)03691215182124y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0

由上述数据描出函数y=f(t)的图象（如图）,经过长期的观察和拟合知该图象可近似地看作函数y=Asinwt+B的图象.(1)试根据所给数据和图象，求出函数的表达式；(2)在一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不得小于4.5米才能保证航行的安全，如果某船的吃水深度（船底距水面的距离）为7米，那么该船在何时段内航行时才是安全的？第72页,共84页，2024年2月25日，星期天例题剖析[解析]

(1)根据表中的数据并结合图象可知第73页,共84页，2024年2月25日，星期天例题剖析(2)依题意,要使船安全通过,水深不得少于11.5米令y≥11.5得3.0sin∴1≤t≤5或13≤t≤17第74页,共84页，2024年2月25日，星期天例题剖析[点评]

由图象或表数据求形如y=Asin(wx+)+B的解析式时，通常由图象的最高点和最低点(数据的最大值和最小值)来求A和B，由周期来求w，由特殊点来求.第75页,共84页，2024年2月25日，星期天(2007江西)如图，函数y=2cos(ωx+θ)(x∈R,ω＞0,0≤θ≤)的图象与y轴交于点(0,)，且该函数的最小正周期为π.(1)求θ和ω的值；(2)已知点A(,0),点P是该函数图象上一点,点Q(x0,y0)是PA的中点，当y0=，x0∈［,π］时，求x0的值.延伸拓展1[解析](1)将x=0,y=代入函数y=2cos(wx+θ)中,得cosθ=

,因为0≤θ≤,所以θ=第76页,共84页，2024年2月25日，星期天延伸拓展1第77页,共84页，2024年2月25日，星期天例题剖析[例4]已知实数x、y满足x2+y2+2x=0,求y2-3x的最大值及最小值.[解析]法(一)由条件得y2=-x2-2x,且y2≥0得-2≤x≤0∴f(x)=y2-3x=-x2-2x-3x=-x2-5x(