圆的一般方程

关于圆的一般方程

教学目标:

1．讨论并掌握圆的一般方程的特点，并能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心的坐标和半径

2．通过对圆的一般方程的特点的讨论，培养学生严密的逻辑思维和严谨的科学态度；通过例题的分析讲解，培养学生分析问题的能力．第2页,共16页，2024年2月25日，星期天

教学重点:

圆的一般方程的探求过程及其特点是教学。教学难点：根据具体条件选用圆的方程。第3页,共16页，2024年2月25日，星期天

教学过程

一、复习引入师：请大家说出圆心在点(a，b)，且半径是r的圆的方程？生：(x－a)2+(y－b)2=r2．师：以前学习过直线，直线方程有哪几种？生：直线方程有点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式．第4页,共16页，2024年2月25日，星期天师：直线方程的一般式是Ax+By+C=0吗？生A：是的．生B：缺少条件A2+B3≠0．师：好！那么圆的方程有没有类似“直线方程的一般式”那样的“一般方程”呢？第5页,共16页，2024年2月25日，星期天二、新课请思考：圆是否有一般方程？这是个未解决的问题，我们来探求一下．大家知道，我们认识一般的东西，总是从特殊入手．如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式，两点式……)展开整理而得到的．想求圆的一般方程，怎么办？其实我们可仿照直线方程试一试！把标准形式展开，整理得第6页,共16页，2024年2月25日，星期天x2+y2－2ax－2by+a2+b2－r2=0．若令，D=－2a，E=－2b，F=a2+b2－r2，则有：x2+y2+Dx+Ey+F=0．(*)从(*)式的得来过程可知，只要是圆的方程就可以写成(*)的形式．那么能否下结论：x2+y2+Dx+Ey+F=0就是圆的方程呢？第7页,共16页，2024年2月25日，星期天不一定．还得考虑：x2+y2+Dx+Ey+F=0能否写成标准形式．就像直线方程一样，要有一定条件那么考虑考虑怎样去寻找条件呢？——配方请大家动手做，看看能否配成标准形式？第8页,共16页，2024年2月25日，星期天将（*）式配方得:(△)比较(△)式和圆的标准方程知：(*)式示1.当D2+E2－4F＞0时，第9页,共16页，2024年2月25日，星期天2.当D2+E2－4F＞0时，（*）式只有实数解x=-,y=-,即（*）式表示一个点（-,-）。3．当D2+E2－4F＜0时，(*)式没有实数解，因而它不表示任何图形．第10页,共16页，2024年2月25日，星期天教师总结：当D2+E2－4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫圆的一般方程．师：圆的一般方程有什么特点？生A：是关于x、y的二元二次方程．师：刚才生A的说法对吗？生B：不全对．它是关于x、y的特殊的二元二次方程．师：特殊在什么地方？第11页,共16页，2024年2月25日，星期天师:1．x2，y2系数相同，且不等于零．

2．没有xy这样的二次项．

生：必要条件．

师：还缺什么？生：D2+E2－4F＞0．(追问)：这两个条件是“方程表示圆”的什么条件？第12页,共16页，2024年2月25日，星期天对比圆的标准方程和一般方程我们知道：标准方程的几何特征明显——能看出圆心、半径；而一般方程的优点是能从一般的二元二次方程中找出圆的方程，给一般方程配方我们便能找出它所表示的圆的圆心和半径。三、应用举例因此，两种形式的方程各有特点，我们应对具体情况作具体分析、选择．第13页,共16页，2024年2月25日，星期天

例：一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标是(－4，0)和(4，0)，求它的外接圆方程？解：法一、设出一般方程，用待定系数法．(由三角形性质知：顶点为(0，5))

法二设出标准式x2+(yb)2=r2．(由三角形性质知：顶点为(0，5)，且圆心在y轴上)

两种方法都很简单同学们自己进行求解。第14页,共16页，2024年2月25日，星期天注意一般式的特点：1°x2，y2系数相等且不为零；2°没有xy这样的项；3°D2