导数的基本公式与运算法则

关于导数的基本公式与运算法则一、和、差、积、商的求导法则定理第2页,共32页，2024年2月25日，星期天推论:第3页,共32页，2024年2月25日，星期天二、例题分析例1解：

例2．y=e

x

(sinx+cosx)，求y

.=2e

x

cosx.

解：y

=(e

x

)

(sinx+cosx)+e

x

(sinx+cosx)

=e

x(sinx+cosx)+e

x(cosx

-sinx)第4页,共32页，2024年2月25日，星期天同理可得例4解同理可得例3解第5页,共32页，2024年2月25日，星期天三、反函数的导数定理即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.么第6页,共32页，2024年2月25日，星期天例5解同理可得第7页,共32页，2024年2月25日，星期天常数和基本初等函数的导数公式第8页,共32页，2024年2月25日，星期天注

基本初等函数的导数公式和求导法则是初等函数求导运算的基础，必须熟练掌握.第9页,共32页，2024年2月25日，星期天四、复合函数的求导法则

前面我们已经会求简单函数——基本初等函数经有限次四则运算的结果的导数，等函数（复合函数）是否可导，可导的话，如何求它们的导数。但是像第10页,共32页，2024年2月25日，星期天定理即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)第11页,共32页，2024年2月25日，星期天例6解注1.链式法则——“由外向里，逐层求导”2.注意中间变量推广第12页,共32页，2024年2月25日，星期天例7.

设求解:练习.

设解:第13页,共32页，2024年2月25日，星期天例8.

求解:先化简后求导第14页,共32页，2024年2月25日，星期天例9.

求解:关键:搞清复合函数结构由外向内逐层求导第15页,共32页，2024年2月25日，星期天注

复合函数求导的链式法则是一元函数微分学的理论基础和精神支柱.要深刻理解,熟练应用——注意不要漏层。第16页,共32页，2024年2月25日，星期天显函数：形如y

sinx

，y

lnx的函数。这种由方程确定的函数称为隐函数。

把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。五、隐函数的导数第17页,共32页，2024年2月25日，星期天问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?如,如何求求隐函数的导数的方法：把方程两边分别对x求导数,方程中把隐函数的导数解出.然后从所得的新的第18页,共32页，2024年2月25日，星期天

例10.

求由方程ey

xy

e

0所确定的隐函数

y的导数.

解：方程两边分别对x求导得e

y

y

y+xy

0

从而yexyy+-=¢第19页,共32页，2024年2月25日，星期天

解：把椭圆方程的两边分别对x求导，得所求的切线方程为

将x=2，323=y，代入上式得所求切线的斜率

例

11

．求椭圆191622=+yx在)323

,2(处的切线方程。

k43-=.

从而

yxy169-=¢.

第20页,共32页，2024年2月25日，星期天观察函数方法:先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.——目的是利用对数的性质简化求导运算。--------对数求导法适用范围:六、对数求导法

有时会遇到这样的情形，虽然给出的是显函数但直接求导有困难或很麻烦.第21页,共32页，2024年2月25日，星期天例12解等式两边取对数得第22页,共32页，2024年2月25日，星期天一般地两边取对数得第23页,共32页，2024年2月25日，星期天

解：先在两边取对数，得上式两边对x求导，得

例13．求函数)4)(3()2)(1(----=xxxxy的导数。

lny21=[ln|x-1|+ln|x-2|-ln|x-3|-ln|x-4|]，

第24页,共32页，2024年2月25日，星期天练习解等式两边加绝对值后再取对数得第25页,共32页，2024年2月25日，星期天说明两边取对数两边对

x求导有些显函数用对数求导法求导很方便.例如,第26页,共32页，2024年2月25日，星期天七、由参数方程所确定的函数的导数例如消去参数问题:

消参困难或无法消参如何求导?第27页,共32页，2024年2月25日，星期天由复合函数及反函数的求导法则得第28页,共32页，2024年2月25日，星期天例14解第29页,共32页，2024年2月25日，星期天解思考与练习第30页,共32页，