反常积分敛散性的判别

§2

无穷积分的性质及收敛判别一、无穷积分的性质

本节讨论无穷积分的性质,并用这些性质得到无穷积分的收敛判别法.二、非负函数无穷积分的收敛判别法三、一般函数无穷积分的收敛判别法第2页,共43页，2024年2月25日，星期天收敛的充要条件是:一、无穷积分的性质证极限的柯西准则,此等价于(无穷积分收敛的柯西准则)无穷积分定理11.1第3页,共43页，2024年2月25日，星期天性质1为任意常数,则即根据反常积分定义,容易导出以下性质1和性质2.第4页,共43页，2024年2月25日，星期天性质2第5页,共43页，2024年2月25日，星期天h(x)在任意[a,u]上可积,且证因为收敛,由柯西准则的必要性,例1,f(x),g(x),若第6页,共43页，2024年2月25日，星期天再由柯西准则的充分性,第7页,共43页，2024年2月25日，星期天二、非负函数无穷积分的收敛判别法定理11.2(非负函数无穷积分的判别法)设定义在

上的非负函数f

在任何收敛的充要条件是:证设第8页,共43页，2024年2月25日，星期天非负函数

f,g在任何有限区间[a,u]上可积,且定理11.3(比较判别法)

设定义在上的两个增函数的收敛判别准则,

从而F(u)是单调递增的由单调递存在满足第9页,共43页，2024年2月25日，星期天证

由非负函数无穷积分的判别法,第二个结论是第一个结论的逆否命题,因此也成立.第10页,共43页，2024年2月25日，星期天例2判别的收敛性.解显然设f(x),g(x)是上的非负连续函数.证例3第11页,共43页，2024年2月25日，星期天推论1设非负函数f和g在任何[a,u]上可积,且证由于第12页,共43页，2024年2月25日，星期天证

即第13页,共43页，2024年2月25日，星期天第14页,共43页，2024年2月25日，星期天推论2设f是定义在上的非负函数,在任何第15页,共43页，2024年2月25日，星期天限区间[a,u]上可积.推论3设f是定义在上的非负函数,在任何有说明:

推论3是推论2的极限形式，读者应不难写出它的证明.第16页,共43页，2024年2月25日，星期天例4

讨论的收敛性(k>0).解(i)第17页,共43页，2024年2月25日，星期天若无穷积分以下定理可用来判别一般函数无穷积分的收敛性.三、一般函数无穷积分的判别法何有限区间[a,u]上可积,定理11.4

(绝对收敛的无穷积分必收敛)若

f在任第18页,共43页，2024年2月25日，星期天因此再由柯西准则的充分性,又对任意证由柯西准则的必要性,对因第19页,共43页，2024年2月25日，星期天收敛的无穷积分不一定是绝对收敛的.例5的收敛性.判别解由于第20页,共43页，2024年2月25日，星期天瑕积分的性质与收敛判别,与无穷积§3

瑕积分的性质与收敛判别内容大都是罗列出一些基本结论,并举分的性质与收敛判别相类似.因此本节

例加以应用,而不再进行重复论证.第21页,共43页，2024年2月25日，星期天定理11.7

（瑕积分收敛的柯西准则）证柯西准则，此等价于第22页,共43页，2024年2月25日，星期天性质1性质2

第23页,共43页，2024年2月25日，星期天性质3定理11.8

(非负函数瑕积分的判别法)第24页,共43页，2024年2月25日，星期天定理11.9

(比较法则)第25页,共43页，2024年2月25日，星期天推论1第26页,共43页，2024年2月25日，星期天推论2第27页,共43页，2024年2月25日，星期天推论3可以判别一些非负函数瑕积分的收敛性.第28页,共43页，2024年2月25日，星期天例1由于第29页,共43页，2024年2月25日，星期天例2解第30页,共43页，2024年2月25日，星期天例3解第31页,共43页，2024年2月25日，星期天第32页,共43页，2024年2月25日，星期天aa

00

<

a

<

1a

1I(a)发散收敛定积分J(a)收敛收敛发散

(a)发散收敛发散第33页,共43页，2024年2月25日，星期天*一般函数的无穷积分的狄利克雷判定理11.5(狄利克雷判别法）证故别法和阿贝尔判别法判别其收敛性.第34页,共43页，2024年2月25日，星期天使得第35页,共43页，2024年2月25日，星期天因此,由柯西准则，证[证法1]定理11.6(阿贝尔判别法)由

g的单调性,用积分第二中值定理，对于任意的使得第36页,共43页，2024年2月25日，星期天由柯西准则,[证法2]第37页,共43页，2024年2月25日，星期天由狄利克雷判别法例6的收敛性.收敛.收敛,所以解第38页,共43页，2024年2月25日，星期天由狄利克雷判别法推知另一方面，狄利克雷判别法条件,是收敛的；第39页,共43页，2024年2月25日，星期天类似可证:第40页,共43页，2024年2月