No.28全国高中数学联合竞赛模拟试题

2011冲刺全国高中数学联赛模拟试卷（一）命题人：曾鹏一试一．填空题1.不等式的解集为2.对于任意实数a，b，不等式恒成立，则常数C的最大值是．P(x,y)P(x,y)3.3.根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O沿正东偏北（）方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不定。假定机器人行走速度为2011米/分钟，则机器人行走2分钟时的可能落点区域的面积是。AAyyxxOO4.等比数列的首项为，公比．设表示这个数列的前项的积，则当时，有最大值．5.若是定义在R上的连续函数，且，则6.设、、是直角三角形的三条边长，且，其中，，则的值等于．7.由曲线,,,围成的图形绕轴旋转一周所得的几何体的体积为;满足,,的点组成的图形绕轴旋转一周所得的几何体的体积为,则与的大小关系为8.在一次实战军事演习中，红方的一条直线防线上设有20个岗位。为了试验5种不同新式武器，打算安排5个岗位配备这些新式武器，要求第一个和最后一个岗位不配备新式武器，且每相邻5个岗位至少有一个岗位配备新式武器，相邻两个岗位不同时配备新式武器，问共有种配备新式武器的方案。二.解答题9.已知a>0,函数f(x)=ax-bx2.求：(1)当b>0时,若对任意x∈R,都有f(x)≤1,证明:a≤2b;(2)当b>1时,证明:对任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要条件是b-1≤a≤2b;(3)当0<b<1时,讨论:对任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要条件.10.在轴同侧的两个圆：动圆和圆外切（），且动圆与轴相切，求（1）动圆的圆心轨迹方程L;（2）若直线与曲线L有且仅有一个公共点，求之值。11.二试设凸四边形ABCD的对角线交于点O.△OAD、△OBC的外接圆交于点O、M,直线OM分别交△OAB、△OCD的外接圆于点T、S.求证:M是线段TS的中点.二.设x为偶数，求方程x2011+x-1=4y2011+4y2010+2011y+2010的整数解（x,y）。三.设x、y、z是正实数,且满足x+y+z=1.求证:2011冲刺全国高中数学联赛模拟试卷（一）答案：2.10033.【解】：如图，设机器人行走2分钟时的位置为P。设机器人改变方向的点为A，，。则由已知条件有，以及.所以有即所求平面图形为弓形，其面积为平方米。4.125.【解析】，故为0.6.47.设,则过A的两个截面都是圆环,面积分别是和,于是.8.【解】：设20个岗位按先后排序为1，2，，…，20，且设第k种新式武器设置的序号为。令，，，，，，则有（*）其中，。作代换，，从而有（**）其中。设I为的正整数解的全体，为I中满足的解的全体。则上式成立的原因是，因为没有同时满足，，的的正整数组。所以.9.【解析】10.【解】（1）由可得由N，以及两圆在轴同侧，可知动圆圆心在轴上方，设动圆圆心坐标为,则有整理得到动圆圆心轨迹方程.……（5分）【另解】由已知可得，动圆圆心的轨迹是以为焦点，为准线，且顶点在点（不包含该点）的抛物线，得轨迹方程，即…（5分）（2）联立方程组①②消去得，由整理得③从③可知。故令，代入③可得再令，代入上式得…（10分）同理可得，。可令代入③可得④对④进行配方，得对此式进行奇偶分析，可知均为偶数，所以为8的倍数，所以。令，则