关于二次根式运算的教学体会

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二次根式运算学生之所以感觉难学，知识点较多是一个原因，但更重要的是学生对概念理解含糊，知识运用不够灵活，特别是对二次根式中被开方数所含字母的取值范围思路不明确。如：1.a≥0是为二次根式的前提条件，，，，（x≥1）是二次根式，但，都不是二次根式。2.判断一个式子是否为二次根式，不要将式子“化简”，如是二次根式，不能因为=2而错误地判断是整式。3.二次根式有两个要素：①含有二次根号“”；②被开方数可以是数也可以是代数式，它们必须是非负的，否则没有意义。4.式的划分与数的划分依据不同。式的划分是对形式的划分，即划分前不需要对其“化简”，例如虽然等于6，但它是二次根式。同理是分式而不是整式。数的划分是结果的划分，即划分前需要对它“化简”，例如是整数，而不是分数。5.必须明确，当a≥0时，有意义，是二次根式；当a＜0时，没有意义，不是二次根式，所以确定被开方数中字母的取值范围时，可根据形如的式子有意义或无意义的条件，列出不等式，然后解不等式。6.当被开方数是分式时，分母不能为零。分式的分母中不能含有根号。

二

对进行化简，培养学生分类的数学思想，必须从以下几个方面理解、掌握、运用。

1.二次根式的特性

当a＞0时，表示a的算术平方根，因此＞0；当a=0时，表示0的算术平方根，因此=0，这就是说，（a≥0）是一个非负数。

2.（）的运算

（）=a（a≥0）

在理解这一运算过程时应注意：（1）（）=a中的a必须大于或等于0.如果a＜0，则上述等式不成立。例如：（）≠-2，因为在实数范围内无意义，因此也就不可能等于-2.（2）（）=a（a≥0）的理解要从平方根的定义出发，表示的是非负数a的算术平方根的平方等于a.

3.a的算术平方根

一般的，根据算术平方根的意义：

=a（a≥0）

事实上=|a|，当a≥0时，=a；当a＜0时，|a|=-a.注意当a=0时，=0.这就是a的算术平方根的性质公式，它是化简形如的二次根式的依据。=|a|后，要对绝对值进行分类讨论。

4.（）=a（a≥0）与=a（a≥0）的区别

（1）两个公式的意义不同

①公式（）=a（a≥0）,根据平方根的意义，公式中的a表示的是一个数或者代数式，取值必须为非负数；在运算时，先计算a的算术平方根，再求这个算术平方根的平方，其结果为原值（或原式）。

②公式=|a|=a,（a≥0）-a,（a＜0），根据算术平方根的意义，公式中a表示的是一个数或者代数式，取值为一切实数；在运算时可以先将转化为|a|，即=|a|，然后再分a≥0和a＜0两种情况进行讨论。

不过，（）和其本身都是非负数，并且当a≥0时，（）==a，这是它们的联系。

（2）两个公式的作用不同

①公式（）=a的作用有两个：第一，正用可化简二次根式；第二，逆用可以将一个非负数写成一个数的平方形式。如3=（），a=（）（a≥0），等等。

②公式=a的作用是：正用可将根号内的因式开方后移到根号外；逆用可将根号外的因式平方后移到根号内。

例1：化简：当a＜0时，-.

解：首先4-（a+）=-（a-），

因为（a-）≥0

所以-（a-）≤0

即4-（a+）≤０

又因为式子4-（a+）处于根号下，所以只当此式取零时，原式才有意义，即（a+）=4，解得a=±1，由于题目中给出a＜0，则得到a=-1.

所以，原式=-

=0-2=-2

例2：计算+.

分析：有两种方法，一种换元，一种配方。

解法1：将+=x两边平方得

2++2-+2=x

即x=6

因为＞0，＞0

所以x=

解法2：原式=+

进行二次根式的混合运算时，先乘方开方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去括号再运算）。实数运算中的运算律（分配律、结合律、交换律等），所有的乘法公式（平方差公式、完全平方公式等），在二次根式的运算中常常用到。

1.运用乘法公式解题，有：①（a+b）（a-b）=a-b;②（a+b）=a+2ab+b;③（a-b）=a-2ab+b，例如：

化简：

解：原式=

尽管只运用了两数和的平方公式，但学生做此题时还是感到很困难，主要原因是不能灵活运用公式，如对“3+2”看不出是（+1）；对“17+2”看不出是（+）；对“9+2”看不出是（+1）缺乏依据公式分解数字的能力。

2.运用单项式、多项式的乘法原理

①运用a（b+c）=ab+ac解题。在计算时要注意“多项式”是“单项式”的和，每一项都包括前面的符号，要注意确定积中各项的符号。

②运用（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd解题。在计算时要防止两个“多项式”相乘，直接写出结果时“漏项”。

检查的办法：两个“多项式”相乘，在没有合并同类项之前，积的项数应是这两个“多项式”项数的积。例如：

计算：（2+3-）（2-3-）.

解：原式=［（2-）+3］［（2-）-3］

=（2-）-（3）

=12-2×2×+6-18

=-12

四

关于二次根式的除法：

1.二次根式的除法如下

一般的，对二次根式的除法规定

=（a≥0，b＞0）

这就是二次根式除法的运算法则，即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。

在运用和理解这一公式时要注意：

（1）二次根式除法运算的结果也要进行化简。

（2）二次根式的除法运算法则的使用范围是比较狭窄的，它只限于被除式的被开方数能被除式的被开方数整除的情况。

（3）在运用公式时要注意条件a≥0，b＞0.

2.商的算术平方根的性质

=（a≥0，b＞0）

用语言表达是：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。

商的算术平方根的性质的限制条件“（a≥0，b＞0）”，与积的算术平方根的性质类似，但也有区别，因为分母不能为零，所以被除式a必须非负，除式b必须为正，否则性质不成立。

3.最简二次根式

一般的，二次根式满足以下两个特点，我们就把它称为最简二次根式：

（1）被开方数不含分母；

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

在理解时注意第（2）条，事实上被开方数中的每一个因式的指数都小于根指数2.

如果被开方数是多项式，就应先因式分解，再进行判定。

4.二次根式的除法技巧

（1）对于“简单”的二次根式除法，可直接套用公式=（a≥0，b＞0）.

（2）对于除式中含有“分母”的二次根式除法，可转化为乘法计算，注意运算结果，一定要化为最简形式。

（3）对于多个二次根式相除的情况，应按照题中的指定的运算顺序进行计算，有括号的先计算括号里面的，没有括号的，从左往右依次计算，结果化为最简形式，数字应放在字母前面。

5.化二次根式为最简二次根式的方法

（1）如果被开放数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用“分母有理化”进行化简。

（2）如果被开放数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把能开得尽的因数或因式开出来。

结果要符合最简二次根式的标准。

总之，在二次根式运算中，我认为：一要全面理解二次根式