2024年九年级初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第4讲 明快简捷-构造方程的妙用

PAGEPAGE42024年九年级初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第四讲明快简捷—构造方程的妙用有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是如果我们能构造一元二次方程，那么就能运用一元二次方程丰富的知识与方法辅助解题，构造一元二次方程的常用方法是：1．利用根的定义构造当已知等式具有相同的结构，就可把某两个变元看成是关于某个字母的一元二次方程的两根．2．利用韦达定理逆定理构造若问题中有形如，的关系式时，则、可看作方程的两实根．3．确定主元构造对于含有多个变元的等式，可以将等式整理为关于某个字母的一元二次方程．成功的构造是建立在敏锐的观察、恰当的变形、广泛的联想的基础之上的；成功的构造能收到明快简捷、出奇制胜的效果．注：许多数学问题表面上看难以求解，但如果我们创造性地运用已知条件，以已知条件为素材，以所求结论为方向，有效地运用数学知识，构造出一种辅助问题及其数学形式，就能使问题在新的形式下获得简解，这就是解题中的“构造”策略，构造图形，构造方程、构造函数、构造反例是常用构造方法．【例题求解】【例1】已知、是正整数，并且，，则．思路点拨，变形题设条件，可视、为某个一元二次方程两根，这样问题可从整体上获得简解．【例2】若，且有及，则的值是()A．B．C．D．思路点拨第二个方程可变形为，这样两个方程具有相同的结构，从利用定义构造方程入手．【例3】已知实数、满足，且，求的取值范围．思路点拨由两个等式可求出、的表达式，这样既可以从配方法入手，又能从构造方程的角度去探索，有较大的思维空间．【例4】已知实数、、满足，．(1)求、、中最大者的最小值；(2)求的最小值．思路点拨不妨设a≥b，a≥c，由条件得，．构造以b、c为实根的一元二次方程，通过△≥0探求的取值范围，并以此为基础去解(2)．注：构造一元二次方程，在问题有解的前提下，运用判别式△≥0，建立含参数的不等式，缩小范围逼近求解，在求字母的取值范围，求最值等方面有广泛的应用．【例5】试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数．(2003年全国初中数学联赛试题)思路点拨设前后两个二位数分别为，，则有，将此方程整理成关于(或)的一元二次方程，在方程有解的前提下，运用判别式确定(或)的取值范围．学历训练1．若方程的两个实数根的倒数和是，则的取值范围是．2．如图，在Rt△ABC中，斜边AB＝5，CD⊥AB，已知BC、AC是一元二次方程的两个根，则m的值是．3．已知、满足，，则=．4．已知，，，则的值为()A．2B．-2C．-1D．05．已知梯形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若S△AOB＝4，S△COD＝9，则四边形ABCD的面积S的最小值为()A．21B．25C．26D．366．如图，菱形A6CD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于的方程的根，则m的值为()A．一3B．5C．5或一3n一5或37．已知，，其中、为实数，求的值．8．已知和是正整数，并且满足条件，，求的值．9．已知，，其中m、n为实数，则＝．10．如果、、为互不相等的实数，且满足关系式与，那么的取值范围是．11．已知，则=，=．；12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝b，AB＝c，若D、E分别是AB和AB延长线上的两点，BD=BC，CE⊥CD，则以AD和AE的长为根的一元二次方程是．13．已知、、均为实数，且，，求的最小值．14．设实数、、满足，求的取值范围．15．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，，梯形的高AE=，且．(1)求∠B的度数；(2)设点M为梯形对角线AC上一点，DM的延长线与BC相交于点F，当，求作以CF、DF的长为根的一元二次方程．16．如图，已知△ABC和平行于BC的直线DE，且△BDE的面积等于定值，那么当与△BDE之间满足什么关系时，存在直线DE，有几条?参考答案第五讲一元二次方程的整数整数解在数学课外活动中，在各类数学竞赛中，一元二次方程的整数解问题一直是个热点，它将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合，涉及面广，解法灵活，综合性强，备受关注，解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有：从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解；从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设△=)，通过穷举，逼近求解；从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解；从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解．注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关．【例题求解】【例1】若关于的方程的解都是整数，则符合条件的整数是的值有个．思路点拨用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确．注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论．【例2】已知、为质数且是方程的根，那么的值是()A．B．C．D．思路点拨由韦达定理、的关系式，结合整数性质求出、、的值．【例3】试确定一切有理数，使得关于的方程有根且只有整数根．思路点拨由于方程的类型未确定，所以应分类讨论．当时，由根与系数关系得到关于r的两个等式，消去r，利用因式(数)分解先求出方程两整数根．当为整数时，关于的方程是否有有理根?如果有，求出的值；如果没有，请说明理由．思路点拨整系数方程有有理根的条件是为完全平方数．设△=(为整数)解不定方程，讨论的存在性．注：一元二次方程(a≠0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△=为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件．【例5】若关于的方程至少有一个整数根，求非负整数的值．思路点拨因根的表示式复杂，从韦达定理得出的的两个关系式中消去也较困难，又因的次数低于的次数，故可将原方程变形为关于的一次方程．学历训练1．已知关于的方程的根都是整数，那么符合条件的整数有．2．已知方程有两个质数解，则m＝．3．给出四个命题：①整系数方程(a≠0)中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程(a≠0)中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程(a≠0)的根只能是无理数；④若、、均为奇数，则方程没有有理数根，其中真命题是．4．已知关于的一元二次方程(为整数)的两个实数根是 、，则=．5．设rn为整数，且4<m<40，方程有两个整数根，求m的值及方程的根．(山西省竞赛题)6．已知方程(a≠0)至少有一个整数根，求的值．7．求使关于的方程的根都是整数的值．8．当为正整数时，关于的方程的两根均为质数，试解此方程．9．设关于的二次方程的两根都是整数，试求满足条件的所有实数的值．10．试求所有这样的正整数，使得方程至少有一个整数解．11．已知为质数，使二次方程的两根都是整数，求出的所有可能值．12．已知方程及分别各有两个整数根、及、，且>0，>0．(1)求证：<0,<0，<0,<0；(2)求证：；(3)求、所有可能的值．13．如果直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程的根(为整数)，这样的直角三角形是否存在?若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在，请说明理由．参考答案第六讲转化—可化为一元二次方程的方程数学(家)特有的思维方式是什么?若从量的方面考虑，通常运用符号进行形式化抽象，在一个概念和公理体系内实施推理计算，若从“转化”这个侧面又该如何回答?匈牙利女数学家路莎·彼得在《无穷的玩艺》一书中写道：“作为数学家的思维来说是很典型的，他们往往不对问题进行正面攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经能够解决的问题．”转化与化归是解分式方程和高次方程(次数高于二次的整式方程)的基本思想．解分式方程，通过去分母和换元；解高次方程，利用因式分解和换元，转化为一元二次方程或一元一次方程去求解．【例题求解】【例1】若，则的值为．思路点拨视为整体，令，用换元法求出即可．【例2】若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是()A．B．C．D．思路点拨通过平方有理化，将无理方程根的个数讨论转化为一元二次方程实根个数的讨论，但需注意注的隐含制约．注：转化与化归是一种重要的数学思想，在数学学习与解数学题中，我们常常用到下列不同途径的转化：实际问题转化大为数学问题，数与形的转化，常量与变量的转化，一般与特殊的转化等．解下列方程：（1）；(2)；（3）．按照常规思路求解繁难，应恰当转化，对于(1)，利用倒数关系换元；对于(2)，从受到启示；对于(3)，设，则可导出、的结果．注：换元是建立在观察基础上的，换元不拘泥于一元代换，可根据问题的特点，进行多元代换．【例4】若关于的方程只有一个解(相等的解也算作一个)，试求的值与方程的解．思路点拨先将分式方程转化为整式方程，把分式方程解的讨论转化为整式方程的解的讨论，“只有一个解”内涵丰富，在全面分析的基础上求出的值．注：分式方程转化为整式方程不一定是等价转化，有可能产生增根，分式方程只有一个解，可能足转化后所得的整式方程只有一个解，也可能是转化后的整式方程有两个解，而其中一个是原方程的增根，故分式方程的解的讨论，要运用判别式、增根等知识全面分析．【例5】已知关于的方程有两个根相等，求的值．思路点拨通过换元可得到两个关于的含参数的一元二次方程，利用判别式求出的值．注：运用根的判别式延伸到分式方程、高次方程根的情况的探讨，是近年中考、竞赛中一类新题型，尽管这种探讨仍以一元二次方程的根为基础，但对转换能力、思维周密提出了较高要求．学历训练1．若关于的方程有增根，则的值为；若关于的方程曾＝一1的解为正数，则的取值范围是．2．解方程得．3．已知方程有一个根是2，则=．4．方程的全体实数根的积为()A．60B．一60C．10D．一105．解关于的方程不会产生增根，则是的值是()A．2B．1C．不为2或一2D．无法确定6．已知实数满足，那么的值为()A．1或一2B．一1或2C．1D．一27．(1)如表，方程1、方程2、方程3、……，是按照一定规律排列的一列方程，解方程1，并将它的解填在表中的空格处；(2)若方程()的解是=6，=10，求、的值．该方程是不是(1)中所给的一列方程中的一个方程?如果是，它是第几个方程?(3)请写出这列方程中的第个方程和它的解，并验证所写出的解适合第个方程．序号方程方程的解1==2=4=63=5=8…………8．解下列方程：（1）；（2）；(3)；(4