2024初中数学竞赛七年级竞赛辅导讲义专题07 整式的加减

2024初中数学竞赛七年级竞赛辅导讲义专题07整式的加减阅读与思考整式的加减涉及许多概念，准确地把握这些概念并注意它们的区别与联系是解决有关问题的基础，概括起来就是要掌握好以下两点：1．透彻理解“三式”和“四数”的概念“三式”指的是单项式、多项式、整式；“四数”指的是单项式的系数、次数和多项式的系数、次数．2．熟练掌握“两种排列”和“三个法则”“两种排列”指的是把一个多项式按某一字母的升幂或降幂排列，“三个法则”指的是去括号法则、添括号法则及合并同类项法则．物以类聚，人以群分．我们把整式中那些所含字母相同、并且相同字母的次数也相同的单项式作为一类——称为同类项，一个多项式中的同类项可以合聚在一起——称为合并同类项．这样，使得整式大为简化，整式的加减实质就是合并同类项．例题与求解[例1]如果代数式ax5＋bx3＋cx－5，当x＝－2时的值是7，那么当x＝7时，该式的值是______．(江苏省竞赛试题)解题思路：解题的困难在于变元个数多，将x两个值代入，从寻找两个多项式的联系入手．[例2]已知－1＜b＜0，0＜a＜1，那么在代数式a－b，a＋b，a＋b2，a2＋b中，对于任意a，b对应的代数式的值最大的是()A．a＋bB．a－bC．a＋b2D．a2＋b(“希望杯”初赛试题)解题思路：采用赋值法，令a＝，b＝－，计算四个式子的值，从中找出值最大的式子．[例3]已知x＝2，y＝－4时，代数式ax2＋by＋5＝1997，求当x＝－4，y＝－时，代数式3ax－24by3＋4986的值．(北京市“迎春杯”竞赛试题)解题思路：一般的想法是先求出a，b的值，这是不可能的．解本例的关键是：将给定的x，y值分别代入对应的代数式，寻找已知与待求式子之间的联系，整体代入求值．[例4]已知关于x的二次多项式a(x3－x2＋3x)＋b(2x2＋x)＋x3－5．当x＝2时的值为－17，求当x＝－2时，该多项式的值．(北京市“迎春杯”竞赛试题)解题思路：解题的突破口是根据多项式降幂排列、多项式次数等概念挖掘隐含的关于a，b的等式．[例5]一条公交线路上起点到终点有8个站．一辆公交车从起点站出发，前6站上车100人，前7站下车80人．问从前6站上车而在终点下车的乘客有多少人？(“希望杯”初赛试题)解题思路：前7站上车总人数等于第2站到第8站下车总人数．本例目的是求第8站下车人数比第7站上车人数多出的数量．[例6]能否找到7个整数，使得这7个整数沿圆周排列成一圈后，任3个相邻数的和等于29？如果，请举出一例；如果不能，请简述理由．(“华罗庚金杯”少年邀请赛试题)解题思路：假设存在7个整数a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7排成一圈后，满足题意，由此展开推理，若推出矛盾，则假设不成立．能力训练A级1．若－4xm－2y3与x3y7－2n是同类项，m2＋2n＝______．(“希望杯”初赛试题)2．当x＝1，y＝－1时，ax＋by－3＝0，那么当x＝－1，y＝1时，ax＋by－3＝______．(北京市“迎春杯”竞赛试题)3．若a＋b＜0，则化简|a＋b－1|－|3－a－b|的结果是______．4．已知x2＋x－1＝0，那么整式x3＋2x2＋2002的值为______．5．设则3x－2y＋z＝______．(2013年全国初中数学联赛试题)6．已知A＝a2＋b2－c2，B＝－4a2＋2b2＋3c2，若A＋B＋C＝0，则C＝()．A．5a2＋3b2＋2c2B．5a2－3b2＋4c2A．3a2－3b2－2c2A．3a2＋b2＋4c27．同时都有字母a，b，c，且系数为1的7次单项式共有()．A．4个B．12个C．15个D．25个(北京市竞赛题)8．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：00bac第8题图则代数式|a|－|a＋b|＋|c－a|＋|b－c|化简后的结果是为()．A．－aB．2a－2bC．2c－aD．a9．已知a＋b＝0，a≠b，则化简(a＋1)＋(b＋1)得()．A．2aB．2bC．＋2D．－210．已知单项式0.25xbyc与单项式－0.125xm－1y2n－1的和为0.625axnym，求abc的值．11．若a，b均为整数，且a＋9b能被5整除，求证：8a＋7b也能被5整除．(天津市竞赛试题)B级1．设a＜－b＜c＜0，那么|a＋b|＋|b＋c|－|c－a|＋|a||＋b|＋|c|＝______．(“祖冲之杯”邀请赛试题)2．当x的取值范围为______时，式子－4x＋|4－7x|－|1－3x|＋4的值恒为一个常数，这个值是______．(北京市“迎春杯”竞赛试题)3．当x＝2时，代数式ax3－bx＋1的值等于－17，那么当x＝－1时，代数式12ax－3bx3－5的值等于______．4．已知(x＋5)2＋|y2＋y－6|＝0，则y2－xy＋x2＋x3＝______．(“希望杯”邀请赛试题)5．已知a－b＝2，b－c＝－3，c－d＝5，则(a－c)(b－d)÷(a－d)＝______．6．如果对于某一特定范围内x的任意允许值，P＝|1－2x|＋|1－3x|＋…＋|1－9x|＋|1－10x|的值恒为一个常数，则此值为()．A．2B．3C．4D．5(安徽省竞赛试题)7．如果(2x－1)6＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，那么a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6等于______；a0＋a2＋a4＋a6等于______．A．1，365B．0，729C．1，729D．1，0(“希望杯”邀请赛试题)8．设b，c是整数，当x依次取1，3，6，11时，某学生算得多项式x2＋bx＋c的值分别为3，5，21，93．经验证，只有一个结果是错误的，这个错误的结果是()．A．当x＝1时，x2＋bx＋c＝3B．当x＝3时，x2＋bx＋c＝5C．当x＝6时，x2＋bx＋c＝21D．当x＝11时，x2＋bx＋c＝93(武汉市选拔赛试题)9．已知y＝ax7＋bx5＋cx3＋dx＋e，其中a，b，c，d，e为常数，当x＝2时，y＝23；当x＝－2时，y＝－35，那么e的值是()．A．－6B．6C．－12D．12(吉林省竞赛试题)10．已知a，b，c三个数中有两个奇数，一个偶数，n是整数，如果s＝(a＋n＋1)·(b＋2n＋2)(c＋3n＋3)，那么()．A．s是偶数B．s是奇数C．s的奇偶性与n的奇偶性相同D．s的奇偶性不能确定(江苏省竞赛试题)11．(1)如图1，用字母a表示阴暗部分的面积；(2)如图2，用字母a，b表示阴暗部分的面积；(3)如图3，把一个长方体礼品盒用丝带打上包装(图中虚线为丝带)，打蝴蝶结的部分需丝带(x－y)cm，打好整个包装需用丝带总长度为多少？图1aaa图1aaabab图2axyz图3将一个三位数中间数码去掉，成为一个两位数，且满足＝9＋，如155＝9×15＋4×5．试求出所有这样的三位数．专题07整式的加减例1－17例2B例31998提示：由已知得4a－b＝996，待求式＝－3×（4a－b）＋4986.例4原多项式整理得：（a＋1）x3＋（2b－a）x3＋（3a＋b）x－5..又由题意知，该多项式为二次多项式，故a＋1＝0，得a＝－1.把a＝－1，a＝2代入得：4（2b＋1）＋2×（b－3）－5＝－17.解得b＝－1，故原多项式为－x2－4x－5.当x＝－2时，－x2－4x－5＝－4＋8－5＝－1.例5设前7站上车的乘客数量依次为a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7人，从第2站到第8站下车的乘客数量依次为b2，b3，b4，b5，b6，b7，b8人，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝b2＋b3＋b4＋b5＋b6＋b7＋b8.又∵a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝100，∴b2＋b3＋b4＋b5＋b6＋b7＝80，即100＋a7＝80＋b8，前6站上车而在终点下车的人数为b8－a7＝100－80＝20（人）.例6如图，由题意得a1＋a2＋a3＝29,a2＋a3＋a4＝29,…a6＋a7＋a1＝29,a7＋a1＋a2＝29,将上述7式相加得，3（a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7）＝29×7.∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝67.这与a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7为整数矛盾.故不存在满足题设要求的7个整数.A级1.292.－63.－24.20035.10提示：3x－2y＋z＝2×（2x＋y＋3z）－（x＋4y＋5z）＝2×23－36＝46－36＝10.6.C7.C提示：设满足条件的单项式为ambncp的形式，其中m，n，p为自然数，且m＋n＋p＝7.8.C9.D10.1.2提示：由题意得b＝m－1＝n，c＝2n－1＝0，0.625a＝0.25＋（－0.125）.11.提示：8a＋7b＝8（a＋9b）－65b.B级1.－a＋b＋c2.≥1提示：x的系数之和为零，须使4－7x≤0且1－3x≤0.3.224.－94提示：由（x＋5）2＋|y2＋y－6|=0得x＝－5，y2＋y＝6.y2－xy＋x2＋x3＝y2＋y＋（－5）2＋（－5）3＝6＋25－125＝－94.5.－6.B提示：利用绝对值的几何意义解此题.x的取值范围在与之间7.A提示：令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝[2×1－1]6=1①令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝[2×（－1）－1]6＝36＝729②①＋②，得2（a0＋a2＋a4＋a6）＝730，即a0＋a2＋a4＋a6＝365.8.C9.A10.A提示：原式＝a＋b＋c＋6n＋6是偶数.11.提示：（1）4.5πa2S阴影＝（a＋a＋a）2＝4.5πa2（2）ab－b2＋πb2S阴影＝（a＋a）b－（b2－πb2）＝ab－b2＋πb2（3）3x＋3y＋2z总长1＝2x＋4y＋2z＋（x－y）＝3x＋3y＋2z.12.因为＝100a＋10b＋c，＝10a＋c.由题意得100a＋10b＋c＝9（10a＋c）＋4c.化简得5（a＋b）＝6c（0≤a，b，c≤9，且a≠0）又∵5是质数，故，从而则符合条件的＝155，245，335，425，515，605.专题08还原与对消——方程的解与解方程阅读与思考解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、得方程的解．我们在解一元一次方程时，既要学会按部就班(严格按步骤)地解方程，又要能随机应变(灵活打乱步骤)地解方程．方程的解是方程理论中的一个重要概念，对于方程解的概念，要学会从两个方面去运用：1．求解：通过解方程，求出方程的解，进而解决问题．2．代解：将方程的解代入原方程进行解题．当方程中的未知数是用字母表示时，这样的方程叫含字母系数的方程，含字母系数的一元一次方程总可以化为ax＝b的形式，其方程的解由a，b的取值范围确定．字母a，b的取值范围确定或对解方程的过程并未产生实质性的影响，其解法同数字系数的一次方程解法一样；当字母a，b的取值范围未给出时，则需讨论解的情况，其方法是：(1)当a≠0时，原方程有唯一解x＝；(2)当a＝0且b＝0时，原方程有无数个解；(3)当a＝0，b≠0时，原方程无解；例题与求解[例1]已知关于x的方程3[x－2(x－)]＝4x和－＝1有相同的解，那么这个解是______．(北京市“迎春杯”竞赛试题)解题思路：建立关于a的方程，解方程．[例2]已知a是任意有理数，在下面各说法中(1)方程ax＝0的解是x＝1(2)方程ax＝a的解是x＝1(3)方程ax＝1的解是x＝(4)方程|a|x＝a的解是x＝±1结论正确的个数是()．A．0B．1C．2D．3(江苏省竞赛试题)解题思路：给出的方程都是含字母系数的方程，注意a的任意性．[例3]a为何值时，方程＋a＝－(x－12)有无数多个解？无解？解题思路：化简原方程，运用方程ax＝b各种解的情况所应满足的条件建立a的关系式．[例4]如果a，b为定值时，关于x的方程＝2＋，无论k为何值时，它的根总是1，求a，b的值．(2013年全国初中数学竞赛预赛试题)解题思路：利用一元一次方程方程的解与系数之间的关系求解．[例5]已知p，q都是质数，并且以x为未知数的一元一次方程px＋5q＝97的解是1，求代数式p2－q的值．(北京市“迎春杯”竞赛试题)解题思路：用代解法可得到p，q的关系式，进而综合运用整数相关知识分析．[例6](1)在日历中(如图①)，任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个为a，则用含a的代数式表示这三个数(从小到大排列)分别是______．(2)现将连续自然数1至2004按图中的方式排成一个长方形阵列，用一个正方形框出16个数(如图②)．①图中框出的这16个数的和是______；②在右图中，要使一个正方形框出的16个数之和等于2000，2004，是否可能？若不可能，试说明理由；若有可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数．图①日一二三四五六图①日一二三四五六6789101112123451314151617181920212223242526272829302003200419971999200020012002…………3637383940414219962930313233343522232425262728151617181920218910111213141234567图②(湖北省黄冈市中考试题)解题思路：(1)等差数列，相邻两数相差7．(2)①经观察不难发现，在这个方框里的每两个关于中心对称的数之和都等于44．如31与13，11与33，17与27都成中心对称的．于是易算出这16个数之和．②设框出的16个数中最小的一个数为a，用a表示出16个数之和，若算出的a为自然数，则成立；不为自然数，则不可能．能力训练A级1．若关于x的方程(k－2)x|k－1|＋5k＝0是一元一次方程，则k＝______；若关于x的方程(k＋2)x2＋4kx－5k＝0是一元一次方程，则方程的解x＝______．2．方程x－[x－(x－)]＝(x－)的解是______．(广西赛区选拔赛试题)3．若有理数x，y满足(x＋y－2)2＋|x＋2y|＝0，则x2＋y3＝______．(“希望杯”邀请赛试题)4．若关于x的方程a(2x＋b)＝12x＋5有无数个解，则a＝______，b＝______．(“希望杯”邀请赛试题)5．已知关于x的方程9x－3＝kx＝14有整数解，那么满足条件的所有整数k＝______．(“五羊杯”竞赛试题)6．下列判断中正确的是()．A．方程2x－3＝1与方程x(2x－3)＝x同解B．方程2x－3＝1与方程x(2x－3)＝x没有相同的解C．方程x(2x－3)＝x的解都是方程2x－3＝1的解D．方程2x－3＝1的解都是方程x(2x－3)＝x的解7．方程＋＋…＋＝1995的解是()．A．1995B．1996C．1997D．19988．若关于x的方程＝0的解是非负数，则b的取值范围是()．A．b＞0B．b≥0C．b≠2D．b≥0且b≠2(黑龙江省竞赛试题)9．关于x的方程a(x－a)＋b(x＋b)＝0有无穷多个解，则()．A．a＋b＝0B．a－b＝0C．ab＝0D．＝010．已知关于x的一次方程(3a＋8b)x＋7＝0无解，则ab是()．A．正数B．非正数C．负数D．非负数(“希望杯”邀请赛试题)11．若关于x的方程kx－12＝3x＋3k有整数解，且k为整数，求符合条件的k值．(北京市“迎春杯”训练题)12．已知关于x的方程＋a＝x－(x－6)，当a取何值时，(1)方程无解？(2)方程有无穷多解？(重庆市竞赛试题)B级1．已知方程2(x＋1)＝3(x－1)的解为a＋2，则方程2[2(x＋3)－3(x－a)]＝3a的解为______．2．已知关于x的方程＝的解是x＝2，其中a≠0且b≠0，则代数式－的值是______．3．若k为整数，则使得方程(k－1999)x＝2001－2000x的解也是整数的k值有______个．(“希望杯”邀请赛试题)4．如果＋＋＋…＋＝，那么n＝______．(江苏省竞赛试题)5．用※表示一种运算，它的含义是A※B＝＋，如果2※1＝，那么3※4＝______．(“希望杯”竞赛试题)6．如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是______克．巧克力巧克力果冻50g砝码第6题图(河北省中考试题)7．有四个关于x的方程①x－2＝－1 ②(x－2)＋(x－1)＝－1＋(x－1)③x＝0 ④x－2＋＝－1＋其中同解的两个方程是()．A．①与②B．①与③C．①与④D．②与④8．已知a是不为0的整数，并且关于x的方程ax＝2a3－3a2－5a＋4有整数解，则a的值共有()．A．1个B．3个C．6个D．9个(“希望杯”邀请赛试题)9．(1)当a取符合na＋3≠0的任意数时，式子的值都是一个定值，其中m－n＝6，求m，n的值．(北京市“迎春杯”竞赛试题)(2)已知无论x取什么值，式子必为同一定值，求的值．(“华罗庚杯”香港中学竞赛试题)10．甲队原有96人，现调出16人到乙队，调出后，甲队人数是乙队人数的k(k是不等于1的正整数)倍还多6人，问乙队原有多少人？(上海市竞赛试题)11．下图的数阵是由77个偶数排成：第11题图第11题图……14214414614815015215430323436384042161820222426282468101214用一平行四边形框出四个数(如图中示例)．(1)小颖说四个数的和是436，你能求出这四个数吗？(2)小明说四个数的和是326，你能求出这四个数吗？专题08还原与对消----方程的解与解方程例1提示：两方程的解分别为x＝a和x＝，由题意知a＝，得a＝.从而可以得到x＝a＝×＝.例2A提示：当a＝0时，各题结论都不正确.例3提示：原方程化为0x＝6a－12（1）当6a－12＝0，即a＝2时，原方程有无数个解.（2）当6a－12≠0，即a≠2时，原方程无解．例4原方程整理可得：(4x＋b)k＝12＋x－a．∵无论k为何值时，它的根总是1．∴x＝1且k的系数为0．∴4＋b＝0，13－2a＝0．∴，．例5提示：把x＝1代入方程px＋5q＝97，得p＋5q＝97，故p与5q之中必有一个数是偶数（1）若p＝2，则5q＝95，q＝19，；（2）若5q是偶数，则q＝2，p＝87，而87不是质数，与题设矛盾，舍去；因此．例5（1）a－7，a，a＋7；aa＋1a＋2a＋3a＋7a＋8a＋9a＋10a＋14a＋15a＋16a＋17a＋21a＋22a＋23a＋24（2）①44×8＝352；②设框出的16个数中最小的一个数为a，则这16个数组成的正方形方框如右图所示，因为框中每两个关于正方形的中心对称的数之和都等于2a＋24，所以这16个数之和为8×（2a＋24）＝16a＋192．当16a＋192＝2000时，a＝113；当16a＋192＝2004时，a＝113.25．∵a为自然数，∴a＝113.25不合题意，则框出的16个数之和不可能等于2004，由长方形阵列的排列可知，a只能在1，2，3，4列，则a被7整除的余数只能是1，2，3，4．因为113＝16×7＋1，所以，这16个数之和等于2000是可能的．这时，方框涨最小的数是113，最大的数是113＋24＝137．A级1．0；2．x＝03．84．6；5．10；26；8；－8提示：，能被17整除，则，或6．D7．B提示：原方程化为8．D9．A10．B11．原方程的解为，显然k－3＝±1，±3，±7，±21，即k＝4，2，6，0，－4，10，24，－18．12．提示：原方程化为（1）当a＝－1时，方程无解；（2）当a＝1时，方程有无穷多解．B级1．10.52．提示：当x＝2时，代入得．3．16提示：为整数，2001＝1×3×23×29，故k可取±1，±3，±23，±29，±3×23，±3×29，±23×29，±22001共16个值．4．2003提示：＝，得．5．提示：，解得x＝8．6．207．A8．C9．（1）取a＝0，则；取a＝1，则，得，又，解得，．（2）令x＝0，则；令x＝1，则，得，即，故．10．设乙队原有x人，则80＝k(x＋16)＋6，解得．∵x必须为正整数且k≠1，∴，，得出k＝2或37，只有当k＝2时，x＝21人．11．（1）能，这四个数分别是100，102，116，118．（2）不能．专题09含绝对值符号的一次方程阅读与思考绝对值符号中含有未知数的一次方程叫含绝对值符号的一次方程，简称绝对值方程．解这类方程的基本思路是：脱去绝对值符号，将原方程转化为一元一次方程求解，其基本类型与解法是：1．形如的最简绝对值方程这类绝对值方程可转化为两个普通一元一次方程：或．2．含多重或多个绝对值符号的复杂绝对值方程这类绝对值方程可通过分类讨论转化为最简绝对值方程求解．解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义、去绝对值符号法则、常用的绝对值基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法．例题与求解【例1】方程的解是__________．（四川省竞赛试题）解题思路：设法脱去绝对值符号，将原方程转化为一般的一无一次方程求解．【例2】方程的整数解有（）．A．2个 B．3个 C．5个 D．无穷多个（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：借助数轴，从绝对值的几何意义入手能获得简解．【例3】已知：有理数、、满足，．并且，，．求的值．（北京市“迎春杯”竞赛试题）解题思路：本题关键在于确定、、的符号．三者的符号有联系，可围绕其中一个数分类讨论．【例4】解下列方程：（1）；（天津市竞赛试题）（2）；（北京市“迎春杯”竞赛试题）（3）．（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：解多重绝对值方程的基本方法是：根据绝对值定义，从内向外化简原方程；零点分段讨论法是解多个绝对值方程的有效手段．【例5】已知，求的最大值与最小值．（江苏省竞赛试题）解题思路：已知等式可化为：，再根据绝对值的几何意义来探求、的取值范围，进而可得的最大值与最小值．【例6】当时，试判定关于的方程的解的情况．（上海市竞