2024初中数学竞赛八年级竞赛辅导讲义专题01 整式的乘除含答案

2024初中数学竞赛八年级竞赛辅导讲义专题01整式的乘除阅读与思考指数运算律是整式乘除的基础，有以下5个公式：，，，，，．学习指数运算律应注意：1．运算律成立的条件；2．运算律中字母的意义：既可以表示一个数，也可以表示一个单项式或者多项式；3．运算律的正向运用、逆向运用、综合运用．多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展，方法与多位数除以多位数的演算方法相似，基本步骤是：1．将被除式和除式按照某字母的降幂排列，如有缺项，要留空位；2．确定商式，竖式演算式，同类项上下对齐；3．演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止．例题与求解【例1】（1）若为不等式的解，则的最小正整数的值为．（“华罗庚杯”香港中学竞赛试题）（2）已知，那么．（“华杯赛”试题）（3）把展开后得，则．（“祖冲之杯”邀请赛试题）（4）若则．（创新杯训练试题）解题思路：对于（1），从幂的乘方逆用入手；对于（2），目前无法求值，可考虑高次多项式用低次多项式表示；对于（3），它是一个恒等式，即在允许取值范围内取任何一个值代入计算，故可考虑赋值法；对于（4），可考虑比较系数法．【例2】已知，，则等于（）A．2 B．1 C． D．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：为指数，我们无法求出的值，而，所以只需求出的值或它们的关系，于是自然想到指数运算律．【例3】设都是正整数，并且，求的值．（江苏省竞赛试题）解题思路：设，这样可用的式子表示，可用的式子表示，通过减少字母个数降低问题的难度．【例4】已知多项式，求的值．解题思路：等号左右两边的式子是恒等的，它们的对应系数对应相等，从而可考虑用比较系数法．【例5】是否存在常数使得能被整除？如果存在，求出的值，否则请说明理由．解题思路：由条件可推知商式是一个二次三项式（含待定系数），根据“被除式=除式×商式”，运用待定系数法求出的值，所谓是否存在，其实就是关于待定系数的方程组是否有解．【例6】已知多项式能被整除，求的值．（北京市竞赛试题）解题思路：本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用．本题关键是能够通过分析得出当和时，原多项式的值均为0，从而求出的值．当然本题也有其他解法．能力训练A级1．（1）．（福州市中考试题）（2）若，则．（广东省竞赛试题）2．若，则．3．满足的的最小正整数为．（武汉市选拔赛试题）4．都是正数，且，则中，最大的一个是．（“英才杯”竞赛试题）5．探索规律：，个位数是3；，个位数是9；，个位数是7；，个位数是1；，个位数是3；，个位数是9；…那么的个位数字是，的个位数字是．（长沙市中考试题）6．已知，则的大小关系是（）A． B． C． D．7．已知，那么从小到大的顺序是（）A． B． C． D．（北京市“迎春杯”竞赛试题）8．若，其中为整数，则与的数量关系为（）A． B． C． D．（江苏省竞赛试题）9．已知则的关系是（）A． B． C． D．（河北省竞赛试题）10．化简得（）A． B． C． D．11．已知，试求的值．12．已知．试确定的值．已知除以，其余数较被除所得的余数少2，求的值．（香港中学竞赛试题）B级1．已知则=．2．（1）计算：=．（第16届“希望杯”邀请竞赛试题）（2）如果，那么．（青少年数学周“宗沪杯”竞赛试题）3．（1）与的大小关系是（填“＞”“＜”“＝”）．（2）与的大小关系是：（填“＞”“＜”“＝”）．4．如果则=．（“希望杯”邀请赛试题）5．已知，则．（“五羊杯”竞赛试题）6．已知均为不等于1的正数，且则的值为（）A．3 B．2 C．1 D．（“CASIO杯”武汉市竞赛试题）7．若，则的值是（）A．1 B．0 C．—1 D．28．如果有两个因式和，则（）A．7 B．8 C．15 D．21 （奥赛培训试题）9．已知均为正数，又，，则与的大小关系是（）A． B． C． D．关系不确定10．满足的整数有（）个A．1 B．2 C．3 D．411．设满足求的值．12．若为整数，且，，求的值．（美国犹他州竞赛试题）13．已知为有理数，且多项式能够被整除．（1）求的值；（2）求的值；（3）若为整数，且．试比较的大小．（四川省竞赛试题）专题01整式的乘除例1(1)(n2)100＞(63)100，n2＞216，n的最小值为15．(2)原式＝x2(x2＋x)＋x(x2＋x)－2(x2＋x)＋2005＝x2＋x－2＋2005＝2004(3)令x＝1时，a12＋a11＋a10＋…＋a2＋a1＋a0＝1，①令x＝－1时，a12–a11＋al0－…＋n2－al＋a0＝729②由①＋②得：2(a12＋al0＋a8＋…＋a2＋a0)＝730．∴a12＋a10＋a8＋a6＋a4＋a2＋a0＝365．(4)所有式子的值为x3项的系数，故其值为7．例2B提示：25xy＝2000y，①80xy＝2000x，②①×②，得：(25×80)xy＝2000x＋y，得：x＋y＝xy．例3设a＝m4，b＝m5，c＝n2，d＝n3，由c－a＝19得，n2－m4＝19，即(n＋m2)(n－m2)＝19，因19是质数，n＋m2，n－m2是自然数，且n＋m2＞n－m2，得EQ\B\lc\{(\a\al(n＋m\S(2)＝19,n－m\S(2)＝1))，解得n＝10，m＝3，所以d－b＝103－35＝757例4－EQ\F(7,8)提示：由题意知：2x2＋3xy－2y2－x＋8y－6＝2x2＋3xy－2y2＋(2m＋n)x＋(2n－m)y＋mn．∴EQ\B\lc\{(\a\al(2m＋n＝－1,2n－m＝8,mn＝－6))，解得EQ\B\lc\{(\a\al(m＝－2,n＝3))，∴EQ\F(m\S(3)＋1,n\S(2)－1)＝－EQ\F(7,8)倒5提示：假设存在满足题设条件的p，q值，设(x4＋px2＋q)＝(x2＋2x＋5)(x2＋mx＋n)，即x4＋px2＋q＝x4＋(m＋2)x3＋(5＋n＋2m)x2＋(2n＋5m)x＋5n，得EQ\B\lc\{(\a\al(m＋2＝0,5＋n＋2m＝p,2n＋5m＝0,5n＝q))，解得EQ\B\lc\{(\a\al(m＝－2,n＝5,p＝6,q＝25))，故存在常数p，q且p＝6，q＝25，使得x4＋px2＋q能被x2＋2x＋5整除．例6解法1∵x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，∴2x4－3x3＋ax2＋7x＋b能被(x＋2)(x－1)整除，设商是A．则2x4－3x3＋ax2＋7x＋b＝A(x＋2)(x－l)，则x＝－2和x＝1时，右边都等于0，所以左边也等于0．当x＝－2时，2x4－3x3＋ax2＋7x＋b＝32＋24＋4a－14＋b＝4a＋b＋42＝0，①当x＝1时，2x4－3x3＋ax2＋7x＋b＝2－3＋a＋7＋b＝a＋b＋6＝0．②①－②，得3a＋36＝0，∴a＝－12，∴b＝－6－a＝6．∴EQ\F(a,b)＝EQ\F(－12,6)＝－2解法2列竖式演算，根据整除的意义解∵2x4－3x3＋ax2＋7x＋b能被x2＋x－2整除，∴EQ\B\lc\{(\a\al(－12－a＝0,b＋2(a＋9)＝0))，即EQ\B\lc\{(\a\al(a＝－12,b＝6))，∴EQ\F(a,b)＝－2A级1．(1)－5(2)532．83．74．65．796．A7．D提示：a＝(25)11，b－(34)11，c＝(53)11，d＝(62)118．A9．B10．C11．480012．a＝4．b＝4，c＝113．提示：令x3＋kx2＋3＝(x＋3)(x2＋ax＋6)＋r1，x3＋kx2＋3＝(x＋1)(x2＋cx＋d)＋r2，令x＝－3，得r1＝9k－24．令x＝－1，得r2＝k＋2，由9k－24＋2＝k＋2，得k＝3．B级1．EQ\F(189,125)2．(1)EQ\F(9,49)提示：原式＝EQ(\F(7,3))\S\UP6(1998)×EQ\F(3\S\UP6(2000)(1＋5\S\UP6(2000)),7\S\UP6(2000)(1＋5\S\UP6(2000)))＝EQ(\F(7,3))\S\UP6(1998)×EQ(\F(3,7))\S\UP6(2000)＝EQ\F(9,49)(2)123．(1)＜1516＜1615＝264，3313＞3213＝265＞264．(2)＞提示：设32000＝x．4．45．512提示：令x＝±2．6．C提示：由条件得a＝c－3，b＝c2，abc＝c－3·c2·c＝17．C8．D9．C提示：设a2＋a3＋…a1996＝x，则M＝（a1＋x）(x＋a1997)＝a1x＋x2＋a1a1997＋a1997x．N＝(a1＋x＋a1997)x＝alx＋x2＋a1997x．M＝N＝a1a1997＞0．10．D11．由ax2＋by2＝7，得(ax2＋by2)(x＋y)＝7(x＋y)，即ax3－ax2y＋bxy2＋by3＝7(x＋y)，(ax3＋by3)－xy(ax＋by)－7(x＋y)．∴16＋3xy＝7(x＋y)．①由ax3＋by3＝16，得(ax3＋by3)(x＋y)＝16(x＋y)，即ax4＋ax3y＋bxy3＋by4＝16(x＋y)，（ax4＋by4)＋xy(a＋b)＝16(x＋y）．∴42＋7xy＝16(x＋y）．②由①②可得，x＋y＝－14，xy＝－38．由a＋b＝42，得（a＋b）（x＋y）＝42×（－14），（a＋b）＋xy（a＋b）＝－588，＋16×（－38）＝－588．故＝20．12．两边同乘以8得＋＋＋＝165．∵x＞y＞z＞w且为整数，∴x＋3＞y＋3＞z＋3＞w＋3，且为整数．∵165是奇数，∴w＋3＝0，∴w＝－3．∴＋＋＝164．∴＋＋＝41，∴z＋1＝0，∴z＝－1．∴＋＝40．两边都除以8得：＋＝5．∴y－2＝0，∴y＝2．∴＝4．∴x－2＝2，∴x＝4．∴＝＝1．13．（1）∵（x－1）（x＋4)＝＋3x－4，令x－1＝0，得x＝1；令x＋4＝0，得x＝－4．当x＝1时，得1＋a＋b＋c＝0；①当x＝－4时，得－64＋16a－4b＋c＝0．②②－①，得15a－5b＝65，即3a－b＝13．③①＋③，得4a＋c＝12．（2）③－①，得2a－2b－c＝14．（3）∵c≥a＞1，4a＋c＝12，a，b，c为整数，∴1＜a≤，则a＝2，c＝4．又a＋b＋c＝－1，∴b＝－7，．∴c＞a＞b．专题02乘法公式阅读与思考乘法公式是多项式相乘得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在整式的乘除、数值计算、代数式的化简求值、代数式的证明等方面有广泛的应用，学习乘法公式应注意：1．熟悉每个公式的结构特征；2．正用即根据待求式的结构特征，模仿公式进行直接的简单的套用；3．逆用即将公式反过来逆向使用；4．变用即能将公式变换形式使用；5．活用即根据待求式的结构特征，探索规律，创造条件连续综合运用公式．例题与求解【例1】1，2，3，…，98共98个自然数中，能够表示成两个整数的平方差的个数是．（全国初中数字联赛试题）解题思路：因，而的奇偶性相同，故能表示成两个整数的平方差的数，要么为奇数，要么能被4整除．【例2】（1）已知满足等式，则的大小关系是() B． C． D． （山西省太原市竞赛试题）（2）已知满足，则的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．5 （河北省竞赛试题）解题思路：对于（1），作差比较的大小，解题的关键是逆用完全平方公式，揭示式子的非负性；对于（2），由条件等式联想到完全平方式，解题的切入点是整体考虑．【例3】计算下列各题：（1）； （天津市竞赛试题）（2）； （“希望杯”邀请赛试题）（3）．解题思路：若按部就班运算，显然较繁，能否用乘法公式简化计算过程，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特征．【例4】设，求的值．（西安市竞赛试题）解题思路：由常用公式不能直接求出的结构，必须把表示相关多项式的运算形式，而这些多项式的值由常用公式易求出其结果．【例5】观察：（1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；（2）根据（1），计算的结果（用一个最简式子表示）．（黄冈市竞赛试题）解题思路：从特殊情况入手，观察找规律．【例6】设满足求：（1）的值；（2）的值．（江苏省竞赛试题）解题思路：本题可运用公式解答，要牢记乘法公式，并灵活运用．能力训练A级1．已知是一个多项式的平方，则．（广东省中考试题）2．数能被30以内的两位偶数整除的是．3．已知那么．（天津市竞赛试题）4．若则．5．已知满足则的值为．（河北省竞赛试题）6．若满足则等于．7．等于（）A． B． C． D．8．若，则的值是（）A．正数 B．负数 C．非负数 D．可正可负9．若则的值是（）A．4 B．19922 C．21992 D．41992 （“希望杯”邀请赛试题）10．某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列．如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？ （“CASIO”杯全国初中数学竞赛试题）11．设，证明：是37的倍数．（“希望杯”邀请赛试题）12．观察下面各式的规律：写出第2003行和第行的式子，并证明你的结论．B级1．展开式中的系数，当1，2，3…时可以写成“杨辉三角”的形式（如下图），借助“杨辉三角”求出的值为．（《学习报》公开赛试题）11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1… … … … … … …3913第2题图如图，立方体的每一个面上都有一个自然数，已知相对的两个面上的两数之和都相等，如果13，9，3的对面的数分别为，则的值为．（天津市竞赛试题）3．已知满足等式则．4．一个正整数，若分别加上100与168，则可得两到完全平方数，这个正整数为．（全国初中数学联赛试题）5．已知，则多项式的值为（）A．0 B．1 C．2 D．36．把2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示法有（）A．16种 B．14种 C．12种 D．10种 （北京市竞赛试题）7．若正整数满足，则这样的正整数对的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4 （山东省竞赛试题）8．已知，则的值是（）A．3 B．9 C．27 D．81（“希望杯”邀请赛试题）9．满足等式的整数对是否存在？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．数码不同的两位数，将其数码顺序交换后，得到一个新的两位数，这两个两位数的平方差是完全平方数，求所有这样的两位数．（天津市竞赛试题）11．若，且，求证：．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如因此4，12，20这三个数都是神秘数．（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为和（其中取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（取正值）是神秘数吗？为什么？（浙江省中考试题）专题02乘法公式例173提示：满足条件的整数是奇数或是4的倍数．例2（1）Bx－y＝（＋4a＋a）＋（－8b＋16）＝＋≥0，x≥y．（2）B3个等式相加得：＋＋＝0，a＝3，b＝－1，c＝1．a＋b＋c＝3－1＋1＝3．例3（1）（2）4（3）－5050例4提示：由a＋b＝1，＋＝2得ab＝－，利用＋＝（＋）（a＋b)－ab(＋)可分别求得＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，＋＝．例5（1）设n为自然数，则n（n＋1)(n＋2)(n＋3）＋1＝（2）由①得，2000×2001×2002×2003＋1＝．例6（1）设－②，得ab＋bc＋ac＝，∵－3abc＝（a＋b＋c）（－ab－bc－ac），∴abc＝（）－（a＋b＋c）（－ab－bc－ac）＝×3－×1×（2＋）＝．（2）将②式两边平方，得∴＝4－2＝4－2＝．A级1．0或62．26，283．24．405．346．07．D8．A9．C原有136或904名学生．设m，n均为正整数，且m＞n，①－②得（m＋n）（m－n）＝240＝．，都是8的倍数，则m，n能被4整除，m＋n，m－n均能被4整除．得或，∴或8x＝－120＝904或8x＝－120＝136．因为a＝＋－2＝（－1）＋（－1）＝999999999＋37×（＋38＋1），而999999999＝9×111111111＝9×3×37037037＝27×37×1001001＝37×（27×1001001）．所以37|999999999，且37|37×（＋38＋1），因此a是37的倍数．第2003行式子为：＝．第n行式子为：＝．证明略B级1．1．0942．76提示：由13＋a＝9＋b＝3＋c得a－b＝－4，b－c＝－6，c－a＝103．134．1565．DC提示：（x＋y）（x－y）＝2009＝7×7×41有6个正因数，分别是1，7，41，49，287和2009，因此对应的方程组为：故（x，y）共有12组不同的表示．7．B8．C9．提示：不存在符合条件的整数对（m，n），因为1954不能被4整除．10．设所求两位数为，由已知得＝（k 为整数），得而得或 解得或，即所求两位数为65，5611.设,则由得=3\*GB3③ =2\*GB3②=3\*GB3③,得,即或 分别与联立解得或 12.(1),故28和2012都是神秘数 （2）为4的倍数 （3）神秘数是4的倍数，但一定不是8的倍数.,故两个连续奇数的平方差不 是神秘数专题3和差化积----因式分解的方法（1）阅读与思考提公因式、公式法、十字相乘法、分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法，有公因式的先提公因式，分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止．一些复杂的因式分解问题经常用到以下重要方法：1．换元法：对一些数、式结构比较复杂的多项式，可把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新字母代替，从而可达到化繁为简的目的．从换元的形式看，换元时有常值代换、式的代换；从引元的个数看，换元时有一元代换、二元代换等．2．拆、添项法：拆项即把代数式中的某项拆成两项的和或差，添项即把代数式添上两个符号相反的项，因式分解中进行拆项与添项的目的是相同的，即经过拆项或添项后，多项式能恰当分组，从而可以运用分组分解法分解．例题与求解【例l】分解因式___________．（浙江省中考题）解题思路：把看成一个整体，用一个新字母代换，从而简化式子的结构．【例2】观察下列因式分解的过程：（1）；原式＝；（2）．原式＝．第（1）题分组后能直接提公因式，第（2）题分组后能直接运用公式．仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式：（1）；（西宁市中考试题）（2）．（临沂市中考试题）解题思路：通过分组，使每一组分组因式后，整体能再分解，恰当分组是关键，经历“实验－－失败－－再试验－－再失败－－直至成功”的过程．【例3】分解因式（1）；（重庆市竞赛题）（2）；（“缙云杯”邀请赛试题）（3）．（“五羊杯”竞赛试题）解题思路：（1）式中系数较大，直接分解有困难，不妨把数字用字母来表示；（2）式中、反复出现，可用两个新字母代替，突出式子的特点；（3）式中前两项与后一项有密切联系．【例4】把多项式因式分解后，正确的结果是（ ）．A．B．C．D．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：直接分组分解困难，可考虑先将常数项拆成几个数的代数和，比如－3＝－4＋1．【例5】分解因式：（1）；（扬州市竞赛题）（2）；（请给出多种解法）（“祖冲之杯”邀请赛试题）（3）．解题思路：按次数添上相应的项或按系数拆项法分解因式的基本策略．【例6】分解因式：．（河南省竞赛试题）解题思路：拆哪一项？怎样拆？可有不同的解法．能力训练A级1．分解因式：（1）＝___________________________．（泰安市中考试题）（2）＝__________________________．（威海市中考试题）2．分解因式：（1）＝_________________________；（2）＝_____________________________．3．分解因式：＝____________________________．4．多项式与多项式的公因式是____________________．5．在1~100之间若存在整数，使能分解为两个整系数一次式的乘积，这样的有_______个．6．将多项式分解因式的积，结果是（ ）．A．B．C．D．7．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是（ ）．A．B．C．D．（“希望杯”邀请赛试题）8．把分解因式，其中一个因式是（）．A．B．C．D．9．多项式有因式（ ）．A．B．C．D．（“五羊杯”竞赛试题）10．已知二次三项式可分解成两个整系数的一次因式的积，那么（ ）．A．一定是奇数B．一定是偶数C．可为奇数也可为偶数D．一定是负数11．分解因式：（1）；（2）；（3）；（“祖冲之杯”邀请赛试题）（4）；（重庆市竞赛试题）（5）；（6）．12．先化简，在求值：，其中，．B级1．分解因式：＝_______________．（重庆市竞赛试题）2．分解因式：＝_____________．（“五羊杯”竞赛试题）3．分解因式：＝_________________________．