2024初中数学竞赛9年级竞赛辅导讲义专题28 顺思逆想含答案

2024初中数学竞赛9年级竞赛辅导讲义专题28顺思逆想阅读与思考解数学题时，大多是从条件出发，进行正面的顺向思考．对有些数学问题，如果从正面去直接求解，思维常常受阻，这时可以改变一下思维的角度，从问题的反面进行思考．顺向推导有困难时就逆向推导，直接证明有困难时就间接证明，探求问题的可能性有困难时就探求不可能性等，我们把这种“倒着干”的思维方法称为“逆向思维”.逆向思维解题的常见形式有：1．逆用定义；2．逆用公式、法则；3．常量与变量的换位；4．主元与辅元的互换；5．反倒否定；6.反证法.例题与求解【例1】设，，均为非零实数，并且，，，则________．（北京市竞赛试题）解题思路：直接通过解方程组求，，的值较困难，就对已知条件变形，由，得，逆用分式加法法则得，这是解本例的关键．【例2】设三个方程，，中至少有一个方程有实根，则的取值范围是()A．B.≤或≥C．≤或≥D．＜≤（江苏省竞赛试题）解题思路：三个方程中至少有一个方程有实根的可能情况有七种，逐一讨论情况复杂．若从反面考虑，就只需研究三个方程均无实根一种情况，问题就简单得多．【例3】求出所有这样的正整数，使得二次方程至少有一个整数根．（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：常规的想法是用求根公式先求出方程的根，再讨论方程至少有一个整数根的条件，从而求出整数，这样解过程复杂，由于的最高次数为1，不妨着眼于来考虑．分类讨论法是解数学题中一个重要方法，但如何准确分类却是一个技巧性很强的工作，有时为避免分类使解题过程中得以优化，常用如下方法：①整体考虑；②数形结合；③反面思考．“顺难则逆，直难则曲，正难则反”．在具体应用中，分析法、逆推法、反证法、常量与变量的换位、主元与辅元的互换、公式定理的逆用，都体现了转换角度昀思考．【例4】证明：当为自然数时，形式的数不能表示为两个整数的平方差．（西安市竞赛试题）解题思路：由于为任意自然数，不可能逐个试凑，而命题的结论又是否定形式，故可考虑用反证法来证明.【例5】解方程：．解题思路：由于次数较高，直接求解较困难，不妨令为主元，将原方程转化为关于的方程进行求解.【例6】已知一平面内的任意四点，其中任何三点都不在一条直线上．试问：是否一定能从这样的四点中选出三点构成一个三角形，使得这个三角形至少有一内角不大于？请证明你的结论．（江苏省竞赛试题）解题思路：结论是以疑问形式出现的，不妨先假定是肯定的，然后推理．若推出矛盾，则说明结论是否定的；若推不出矛盾，则可考虑去证明结论是肯定的，能力训练1．方程的解是___________.（“祖冲之杯”邀请赛试题）2．若，则=__________.（“五羊杯”邀请赛试题）3．已知满足，那么的值为_____________.（河南省竞赛试题）若，，为实数，，，，则A，B，C中至少有一个的值大于______________.5.化简的结果是()A．B.C．D．6．化简的值是()A．B．C.1D．（新加坡中学生数学竞赛试题）7．方程的最小一个根的负倒数是()A．B．C．D.设A，B，C，D为平面上的任意四点．如果其中任何三点不在一条直线上，则△ABC，△ABD，△ACD，△BCD中至少有一个三角形的某个内角满足()A．不超过B．不超过C．不超过D．以上说法都不对已知三个关于的方程，，.若其中至少有两个方程有实根，则实数的取值范围为()A．≤2B．≤或1≤≤2C．≥1D．≤≤1某班参加运动会的19名运动员的运动服号码恰是1～19号，这些运动员随意地站成一个圆圈，则一定有顺次相邻的某3名运动员，他们运动服号码之和不小于32，请你说明理由．（“希望杯”邀请赛试题）11.证明：如果整系数二次方程有有理根，那么，，中至少有一个是偶数．（波兰中学生竞赛试题）12.已知平面上条直线两两相交，求证：它们的交角中至少有一个不大于（天津市竞赛试题）在一次马拉松长跑比赛上，有100位选手参加．大会准备了100块标有整数1到100的号码布，分发给每位选手。选手们被要求在比赛结束时，将自己的号码布上的数与到达终点时的名次相加，并将这个和数交上去．问这样交上去的100个数的末2位数字是否可能都不相同？请回答可能或不可能，并清楚地说明理由．（注：没有同时到达终点的选手）（日本奥林匹克竞赛试题）有(≥)名乒乓球选手进行单循环赛，比赛结果表明：任意5人中既有1人胜于其余4人，又有1人负于其余4人．求证：必有1人获全胜．（《学习报》公开赛试题）15.如果正整数和之和是，则可变为，问能不能用这种方法数次，将22变成2001？（世界城际间数学联赛试题）能够找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数吗？若能够，请举出一例；若不能够，请说明理由．（北京市竞赛试题）【问题背景】在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图1所示，这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．(1)请你将△ABC的面积直接填写在横线上：_____________.(2)【思维拓展】我们把上述求△ABC面积的方法叫作构图法.若△ABC三边的长分别为，，()，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为）画出相应的△ABC，并求出它的面积．(3)【探索创新】若△ABC三边的长分别为，，（，），且），试运用构图法求出这个三角形的面积．（咸宁市中考试题）设△ABC是等腰直角三角形，它的腰长是1，P是斜边AB上一点，P到其他两边的射影是Q，R.考虑△APQ，△PBR的面积以及矩形QCRP的面积，证明P无论怎样选择，这三个面积中最大的至少是．（加拿大数学竞赛试题）有12位同学围成一圈，其中有些同学手中持有鲜花，鲜花总数为13束．他们进行分花游戏，每次分花按如下规则进行：其中一位手中至少持有两束鲜花的同学拿出两束鲜花分给与其相邻的左、右两位同学，每人一束.试证：在持续进行这种分花游戏的过程中，一定会出现至少有7位同学手中持有鲜花的情况．（山东省竞赛试题）专题28顺思逆想——逆向思维例1EQ\F(1128,35).提示：由已知条件，得EQ\F(1,a)＋EQ\F(1,b)＝EQ\F(1,2),EQ\F(1,b)＋EQ\F(1,c)＝EQ\F(1,3)，EQ\F(1,c)＋EQ\F(1,a)＝EQ\F(1,4)，相加得EQ\F(1,a)＋EQ\F(1,b)＋EQ\F(1,c)＝EQ\F(13,24).例2B提示：①当m≠1时且三个方程均无实根，则EQ\B\lc\{(\a\al(△\S\DO(1)＝(4m)\S\UP6(2)－4(4m\S\UP6(2)＋2m＋3)＝－4(2m－3)＜0,△\S\DO(2)―(2m＋1)\S\UP6(2)－4×m\S\UP6(2)＝4m＋1＜0,△\S\DO(3)＝(2m)\S\UP6(2)－4(m－1)\S\UP6(2)＝8m－4＜0)),解得－EQ\F(3,2)＜m＜－EQ\F(1,4).②当m＝1，第三个方程为2x＝0，x＝0为其实根，由①②知，当m≤－EQ\F(3,2)或m≥－EQ\F(1,4)时，三个方程至少有一个方程有实根.例3a＝EQ\F(2x＋12,(x＋2)2)≥1，解得―4≤x≤2且x≠－2．∵x是整数，故x只能取―4，―3，―1,0,1,2．将以上x的值分别代入a的关系式，得a＝1，3，6，10.例4设2(2n＋1)＝a2－b2（a，b都为整数），a2―b2＝(a＋b)（a－b）．又a＋b与a－b奇偶性相同，而2(2n－1)是一个偶数，∴4＝(a＋b)（a－b），即4＝2(2n＋1)，得2＝(2n＋1)，这与2n＋1是奇数矛盾.例5设EQ\r(,3)＝a，则3＝a2．∴原方程可变为x4－2ax2－x＋a2－a＝0，即a2－(2x2＋l)a＋x4－x＝0，∴a2―(2x2＋1)a＋（x2―x）(x2＋x＋1)＝0，∴[a－(x2－x)][a－(x2＋x＋1)]＝0，∴x2－x＝a或x2＋x＋1＝a，即x2－x＝EQ\r(,3)或x2＋x＋1＝EQ\r(,3).分别解两个一元二次方程得原方程四根为：EQ\F(1＋EQ\r(,1＋4EQ\r(,3)),2),EQ\F(1－EQ\r(,1－4EQ\r(,3)),2),EQ\F(1＋EQ\r(,4EQ\r(,3)－3),2),EQ\F(1－EQ\r(,4EQ\r(,3)－3),2).例6能.①如图1，若四点A、B、C、D构成凸四边形，则必有一个内角≤90°，不妨设为∠A，这是因为，假设四个内角都大于90°，则360°＝∠A＋∠B＋∠C＋∠D＞4×90°＝360°，矛盾.又∠A＝∠BAC＋∠CAD≤90°,则∠BAC与∠CAD中必有一个≤EQ\F(1,2)×90°＝45,故结论成立.②如图2，若四点A、B、C、D构成凹四边形，则△ABC中必有一个内角≤EQ\F(1,3)×180°＝60°，不妨设∠A≤60°，由∠A＝∠BAD＋∠CAD≤60°，则∠BAD与∠CAD之中必有一个≤EQ\F(1,2)×60°＜45°，故结论成立.能力训练1.3，-72.3提示：=3.1由条件得，但故4.05.B6.B7.D提示：8.C提示：分ABCD为凸四边形、凹四边形两种情况讨论。9.B10.在圆周上按逆时针顺序以1号为起点记运动服号码为a1，a2，a3，a4，…a18，a19，显然a1=1，而a2，a3，a4，…a18，a19就是2,3,4,5,6，…18,19的一个排列，令A1=a2+a3+a4，A2=a5+a6+a7，A3=a8+a9+a10，…A6=a17+a18+a19，则A1+A2+…+A6=2+3+4+…+17+18+19=189，若A1、A2、…A6中每一个都≤31，则A1+A2+…+A6≤6×31=186与上式矛盾.11.假设a，b，c全是奇数，而是方程的一个有理根，且（m，n）=1，则，即am2+bmn+cn2=0.分别就m，n都是奇数；m为奇数，n为偶数；m为偶数，n为奇数三种情况讨论，推导矛盾.12.交角位置分散，应设法将交角集中到同一顶点，考虑平移变换，平面上n条直线两两相交最多有个角.在平面上任取一点O，将n条直线平移，于是这n条直线将以O为顶点周角分为2n(n对)个角，这2n个角中每一个都与2n(n-1)个交角中的一个相等.若这2n个角中的每一个角均大于，则它们的和大于2n=360°，这与周角矛盾.13.假设交上去的100个数的末二位数字都不相同，那么这些末二位数字是00,01，…，99，它们的和为00+01+…+99=4050，即总和的末二位数字是50.另一方面，各位选手的号码与名次相加，再求和，总和应为（1+2+3+…+100）+（1+2+3…+100）=9900，末二位数字是00，用两种方法计算同一对象，得出的结果却不相同，这个矛盾表明交上去的数的末二位数字不可能都不相同.14.假设没有一个人全胜，则n个人胜的场次只能取0,1,2,…n-2共n-1个值，当中必有两人胜的场次相同.设A，B胜的场次相同且A胜B，则在败于B的选手中必有C，C胜A（否则，凡败于B也败于A，则A至少比B多胜一场，与A，B胜的场次矛盾）.故有3个选手A、B、C，使A胜B，B胜C，C胜A.对于上述A、B、C，我们再加上2个选手，这5个选手必有1人负于其余4人，但这人不是A、B、C，我们记为D。除D外，再取2人加进A、B、C中（当n≥6时这是可以办到的），这5个任重又有1人负于其余4人，但这人不是A、B、C、D，记为E，于是A、B、C、D、E这5个人中无一人胜其余4人，与已知条件矛盾.15.逆向推算，2001=3×667，由3+667=670得到670=10×67，由10+67=77得到77=7×11，由7+11=18得到…同任意n=1+（n-1）可得到(n-1)=1×(n-1).因此从22开始，可依次得到21,20,19,18,77,671和2001.16.不能找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数.理由如下：偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1，也就是正整数的平方被4除余0或1.若存在正整数n1，n2，n3，n4满足ninj+2002=m2；i，j=1,2,3,4,m是正整数；因为2002被4除余2，所以ninj被4除应余2或3.①若正整数n1，n2，n3，n4中有两个偶数，不妨设n1，n2是偶数，则n1n2+2002被4除余2，与正整数的平方被4除余0或1不符，所以正整数n1，n2，n3，n4中至多有一个是偶数，至少有三个是奇数.②在这三个奇数中，被4除的余数可分为余1或3两类，根据抽屉原则，必有两个奇数属于同一类，则它们的乘积被4除余1，与ninj被4除余2或3的结论矛盾.综上所述，不能找到这样的四个正整数，使得它们中的任两个数的积与2002的和都是完全平方数.17.（1）（2）△ABC如图1所示，（3）构造△ABC如图2所示，18.假设最大的面积小于，便有，，.设BR=RP=QC=x，则RC=PQ=AQ=1-x，，，.由，得；由得，∴.但由，得，矛盾.所以所述三个面积中最大的至少是.19.不妨设开始时手中持有鲜花的同学不足7位，我们以A1，A2，A3…A12按逆时针方向依次分别标记这12位同学.①在分花游戏过程中，任何相邻的两位同学一旦其中一位手中持有鲜花，那么，在此后的每次分花之后，他们两人中始终至少有一人手中持有鲜花.事实上，每次分花，如果分花的同学不是这两位同学中的一位，那么他俩手中的鲜花只会增加，不会减少.如果他俩中的一位是分花者，那么分花后另一位同学一定持有鲜花.②任何一位同学不可能手中始终无花，可用反证法证明这一点.不妨假设A1手中始终无花，这意味着A2始终没有作为分花者，故A2手中鲜花只会增加，不会减少.因为总共只有13束鲜花，所以经过有限次分花之后，A2不再接收鲜花.这又意味着经过有限次分花之后，A3不再为分花者同理可知，再经过有限次分花后，A4不再为分花者.依次类推，经过有限次分花之后，全部12位同学无一人为分花者，活动终止，这就与“13束鲜花分置于12为同学手中，无论何种情况总能找到可以分花的同学”的事实矛盾，所以任何一位同学不可以手中始终无花.由①②可知，经若干次分花之后，可使任何相邻的两位同学中至少有一位同学手中有花，因此至少有6位同学手中有花.若仅有6为同学手中有花，则手中有花的同学不可能相邻，否则就会有两位手中无花的同学相邻.因此，只要再进行一次分花，至少增加一位手中持花的同学，即至少有7为同学手中持有鲜花.专题29方程思想阅读与思考 所谓方程思想就是从问题中发现或者构造等量关系，恰当引入未知量，寻找已知量与未知量的等量关系，列方程或方程组，通过解方程或方程组而使问题获解的解题方法.应用方程思想解决问题的常见途径有：1．引入字母，把代数式的化简求值问题转化为方程或方程组问题来解；2．突出主元，把等式看作是其中某个字母的方程，将问题转化为方程或方程组问题来探讨；3．构造一元二次方程，利用求根公式、根的判别式、根与系数的关系等知识，求解代数式的相关问题；4．列方程、方程组解应用题；5．通过列方程或方程组解几何计算题，把几何问题代数化．17世纪，法国数学家笛卡尔曾有过一个伟大的设想：把所有问题数学问题代数问题方程问题．虽然笛卡尔的理想在他的一生中未能实现，但随着计算机的广泛应用，人们已经越来越体验到方程思想的重要性．构造一元二次方程是方程思想解题最重要的途径，在代数式的化简求值、求字母取值范围、探求最值等方面有广泛的应用．常用的构造方法有：①用根的定义构造；②用韦达定理的逆定理构造；③对于含有多个字母的变元等式问题，把等式整理为关于某个字母的一元二次方程.例题与求解【例1】已知：，，，是四个不同的有理数，且（a＋c）(a＋d)＝1，(b＋c)(b＋d)＝1，那么(a十c)(b＋c)的值是_______________．（江苏省竞赛试题）解题思路：本例内容新颖，构思巧妙，解题思路宽广，或用特殊值代入试算、或从变形已知等式入手.仔细观察已知两个等式特点，，可看作是方程(x＋c)(x＋d)＝1的两根，利用方程思想揭示题设条件与结论的内在规律．【例2】化简的结果是()A． B． C． D．2（武汉市选拔赛试题）解题思路：设＝，将二次根式的化简问题转化为解方程.【例3】已知实数，满足，，则的值为()A.7 B．C．D．5（全国初中数学联赛试题）解题思路：本题可以构造一元二次方程，利用根与系数关系——韦达定理解决.【例4】已知，，，求的值．（“《数学周报》杯”天津竞赛试题）解题思路：要求的代数式中含三个字母，正好与已知的三个等式中含的三个字母相同，所以可以将已知的三个等式组成二元二次方程组，求出这些未知数的值．本例已知的三个等式中含的三个字母相同，结构相同，排列位置循环转，根据这些特点可构造二次方程求解，这也是解决这类问题的常见方法.【例5】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP＝AQ.点E，D分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点，HQ⊥AB，垂足为点Q，交AC于点H，当点E到达顶点B时，P，Q同时停止运动，当BP长为何值时，△HDE为等腰三角形？（台州市中考试题改编）解题思路：本题可结合图形，从几何知识中找等量关系列方程．利用方程思想解几何题，通常是对某几何量进行合理设元，根据几何性质正确列出方程、方程组，然后化归为解方程、方程组的有关问题．著名数学家波利亚曾说：“为了使问题的概念完整，更富于启发性，更为人所熟悉，我们可以引入辅助元素”通过引入辅助元素，有利于各知识领域之间的横向过渡，有利于转化问题．解决间题．引入辅助元素的常见形式有：①引入参数；②引入辅助方程；③引入辅助函数；④引入辅助配对代数式；⑤恰当作辅助线；⑥引入辅助命题．【例6】周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明有几个．（全国初中数学联赛试题）解题思路：设直角三角形的斜边为c，直角边分别为a，b，面积为s．由题设条件及几何知识可得到关于以a，b，c，s的方程组，这样，符合条件的直角三角形是否存在的探讨就转化方程组是否有解的讨论．能力训练1．设，则＝_____________.（全国初中数学联赛试题）2．一个读书小组有六位同学，分别姓赵、钱、孙、李、周、吴，这个读书小组有六本书，书名分别是A，B，C，D，E，F．每人至少读过其中的一本书，已知赵、钱、孙、李、周分别读过其中的2，2，4，3，5本书，而书A，B，C，D，E分别被小组中的1，4，2，2，2位同学读过，那么，吴姓同学读过____本书，书F被小组中__________位同学读过．3．设，，且，那么k＝__________.（河南省竞赛试题）4．x，y，z是实数，并且满足，，则的最小值是________．（北京市竞赛试题）5．如图，AA'，BB'分别是∠EAB，∠DBC的平分线，若AA'＝BB'＝AB，则∠BAC＝________．（全国初中数学联赛试题）6．已知，则的值为()A．0 B．4 C．6 D.12某单位一次在快餐店订了22盒盒饭，共花费140元，盒饭共有甲、乙、丙三种，它们的单价分别为8元、5元、3元，那么可能的不同订餐方案有()（山东省竞赛试题）A.1个 B．2个 C．3个 D．4个8．已知，都是负实数，且，那么的值为()（江苏省竞赛试题）A．B．C.D．9．甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么()A．甲比乙大5岁B．甲比乙大10岁C．乙比甲大10岁D．乙比甲大5岁（全国初中数学竞赛试题）10．已知，且，则的值是()（山东省竞赛试题）A．35 B．36 C．－35 D．－3611．已知，求的取值范围．（黄冈市竞赛试题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，O是AB上一点.以O为圆心，以OB为半径作圆，交AC于E、F，交AB于D.若E是的中点，且AE：EF＝3：1，FC＝4，求∠CBF的正弦值及BC的长．（北京市海淀区中考试题）如图，在四边形ABCD中，AD＝DC＝1，∠DAB＝∠DCB＝90°，BC，AD的延长线交于P，求AB·S△ABP的最小值.（四川省竞赛试题）14.设a1，a2，b1，b2都为实数，a1≠a2，满足（a1＋b1）（a1＋b2）＝（a2＋b1）(a2＋b2)＝1．求证：（a1＋b1）（a2＋b1）＝（a1＋b2）(a2＋b2)＝－1.（“祖冲之杯”邀请赛试题）15.已知a，b，c都是正整数，且抛物线与轴有两个不同交点A，B．若A，B到原点的距离都小于1，求的最小值．（全国初中数学联赛试题）16.在平面直角坐标系xOy中，我们把横坐标为整数，纵坐标为完全平方数的点称为“好点”.求二次函数的图象上所有“好点”的坐标．（《数学周报》杯全国竞赛试题）17．已知a，b，c为正数，满足以①，②．证明：以，，为三边长可构成一个直角三角形．（全国初中数学联赛试题）18.一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎，如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶多少km?（全国初中数学竞赛试题）19.如图，AB为半圆⊙O的直径，动点C在半圆上，CD⊥AB于D，⊙O1与内切且与AB，CD相切，⊙O2与内切且与AB，CD相切，E，F是AB上的两个切点，求证：∠ECF＝45°.专题29方程思想例1.-1提示：a、b是方程的两个根，由根的性质得，将x=-c代入上式得－1=(－c－a)(－c－b)，即(a+c)(b+c)=－1．例2B例3A提示：解法一：∵，．又y4+y2=3，即（y2)2+y2=3，且，y2≥0，∴，y2是一元二次方程t2+t－3=0的两个不等实根．由韦达定理，=－1，=－3，=1+6=7．解法二：∵x2>0，y2≥0，由已知条件得，y2=，∴．例4，①，②③．①+②－③得，解得x=;①+③－②得，解得；②+③－①得，解得z=24．∴7x+5y－2z=0．例5分当BP≤，<BP<，BP=三种情况讨论．当BP=时，HDE为等腰三角形．例6由题意得由①②得2c<a+b+c=6<3c，∴2<c<3⑤．由②有（a+b)2=(6－c)2，将③④代入得3C=9－s，∴有6<3c<9，从而3C=7或3c=8．若3c=7，则s=2，代入②④得a+b=，ab=4，由于此时方程组无解，故此情形不可能；若3c=8，则s=1，此时a+b=，ab=2．解得，而c=，以这三个数为边长构成唯一的直角三角形．能力训练1．－2提示：，∴a2+a=1，=．2．16提示：六位同学读过的书的总本数等于六本书被读过的人次总数．∵x－y=2，即x≠y，∴x，y是方程2z2－2z+k=0的两根，x+y=1，xy=，又x－y=2，∴k=2xy=－．4．4由x+y=－z，xy=知，x，y是方程t2+zt+=0的两根，由Δ≥0得z≥2，又|x|+|y|=－(x+y)=z≥2．5.设∠BAC=x，则，，∴+4x+4x=1800，解得x=120．6.B7．C提示：设该单位订甲、乙、丙三种盒饭分别有x，y，z盒，则①×8－②得3y+5z=36，5z=36－3y≤36．由此可知z≤7，且3y，36均是3的倍数知z是3的倍数．∴z的可能值为0，3，6，相应的y的值为12，7，2．∴共有3组解：，，，8．C9．A提示：设甲现在x岁，乙现在y岁，x>y，则有，10．D提示：由已知得a4+3a2－1=0，，∴a2，是方程x2+3x－1=0的根．又由a2b≠1得a2≠，由根与系数关系得a2+=－3，=－1，∴．11．提示：设，则，(x+y)=，∴x，y是方程的两个实根．由Δ≥0得m，又，．12．sinCBF=，BC=提示：；连结OE，DF，则OE∥BF，∴AE：EF=AO：OB=3：1，OE：BF=3：4，∴AE=3EF，AO：AB=3：4．设OB=r，则AO=3r，BF=r，AD=2r．由AE·AF=AD·AB得EF=r．在RtΔABC中，BC2=CF·CE=4（4+EF）=AC2－AB2，解得r=，sin∠CBF=sin∠BDF=．13．设DP=x，则PC=，AB=．又设y=AB·SΔABP=，即x2+2(1－y)x+1+2y=0．由Δ≥0得y≥4，故AB·SΔABP的最小值为4．14．由题设知x1=a1，x2=a2是一元二次方程（x+b1）(x+b2)－1=0的两根，∴（x+b1）(x+b2)－1=（x1－a1）(x2－a2)．令x=－b1，得（a1+b1）(a2+b1)=－1；令x=－b2，得（a1+b2）(a2+b2)=－1．15．设A(x1，0)，B(x2，0)，且x1<x2，则x1，x2是方程ax2+bx+c的两根，∴x1+x2=＜0，x1x2=＞0，则x1＜0，x2＜0.∵方程有两个不相等的实根，∴△=b2-4ac＞0，得b＞①.∵，，即-1＜x1＜0，-1＜x2＜0，∴，得c<a②．从而a≥1，故抛物线开口向上．旦当x=-1时，y>0．∴，得b<a+c．∵b，a+c是整数，∴a+c≥b+l③．由①得a+c>+1→>1．由②得>1∵>+1，即a>（+1）2≥（+1）2=4，∴a≥5．又b>2≥2>4，∴b≥5．取a=5，b=5，c=1时．抛物线y=5x2+5x+l满足题设条件，故a+b+c的最小值为5+5+l=ll.16.设y=m2，（x-90）2=k2，m，k都是非负数，则k2-m2=7×701=1×4907，即(k+m)（k-m）=7×701=1×4907.∴或，解得∴∴“好点”共有4个，它们的坐标分别为：（444，120409）．（-264,120409），(2544,6017209)，（-2364,6017209）．17．①×②得=8→=8→=0→=0→=0→=0→→→故b-c+a=0或c+a-b=0或c-a+b=0，即b+a-c=0或c+a-b=0或c-a+b=0．因此以为三边长可以构成一个直角三角形．18．设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，则安装在前轮的轮胎每行驶lkm磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为，又设一对新轮胎交换位置前走了xkm，交换位置后走了ykrn分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程．有两式相加，得，则.19.连结AC，BC，O1E，O2F，设AD=a,BD=b.∵⊙O2与AB，CD相切，∴O2F=DF=x，∴AF=AD+DF=a+x.在Rt△OFD2中，OF2=OO22-O2F2，易证，即，化简得x2+2ax-ab=0,∴x=-a+，∴AF==，∴AF2=a（a+b）=ADAB=AC2，∴AF=AC.同理，BE=BC.∴∠ECF=∠ACF+∠BCE-∠ACB=∠CFE+∠CEF-90°=180°-∠ECF-90°，∴∠ECF=45°．专题30运动与变化------函数思想阅读与思考所谓函数思想，就是用运动、变化的观点来分析问题中的数量关系，通过函数的形式，把这种关系表示出来，运用函数的概念和性质去分析问题、解决问题.函数思想在解决问题中有以下几个方面的应用：1．利用函数图象解决问题；2．用函数的观点研究方程（组）、不等式（组）的解；3．建立目标函数，运用函数的性质去解决问题.方程与函数有着深刻的内在联系，这种联系体现在：方程的解是对应的函数图象交点的横坐标．函数图象的直观性，使得我们对方程的理解有了一种新的途径，函数是初中数学的主要内容，有正比例函数、反比例函数、一次函次和二次函数，要研究它们的性质和图象．函数的思想方法就是用变化运动的观点来观察、分析问题．应熟悉以下基本问题：①常见函数的性质、图象、画法；②常见函数的图象与该函数的解析式中各个系数的符号的关系；③确定常见函数解析式的方法；函数与方程（组）的联系.例题与求解【例1】同学们都知道，一次函数的图象是一条直线，它可以表示许多实际意义，比如在图1中，x表示时间（小时），y表示路程（千米）．那么从图象上可以看出，某人出发时（x＝0），离某地（原点）2千米，出发1小时，由x＝1，得y＝5，即某人离某地5千米，他走了3千米．在图2中，OA，BA分别表示甲、乙两人的运动图象，请根据图象回答下列问题：(1)如果用t表示时间，y表示路程，那么甲、乙两人各自的路程与时间的函数关系式：甲_________，乙________________;(2)甲的运动速度是______千米/时；(3)甲、乙同时出发，相遇时，甲比乙多走______千米．（常州市中考试题）图1图2解题思路：本例采用新视角将行程问题用图示法表示，解题的关键是领会“一次函数”表示行程问题的意义，从图象获得与行程问题相关量的信息.对于某些从正面直接求解比较困难的数学问题，通过对题设与结论的观察与分析，构造辅助元素，使问题结构更加清晰，解题过程更加简化，目标结论更为明确，这种解题方法称为构造法．构造法的基本形式是以已知条件为“原料”，以所求结论为“方向”，构造出一种新的数学形式，常用的构造方法有：①构造实例；②构造反例；③构造方程；④构造函数；⑤构造图形.【例2】对于方程，如果方程实根的个数恰为3个，则m值等于()A.1 B． C．2 D．2.5解题思路：可将m值一一代入原方程，逐一验证，直至筛选出符合条件的m的值．本例的另一解法是把讨论方程解的个数转化为讨论函数与函数图象交点，利用函数图象解题．【例3】已知b，c为整数，方程的两根都大于－1且小于0，求b和c的值．（全国初中数学联赛试题）解题思路：解本例的基本思路是利用求根公式，通过解不等式组求出b，c的值，显然较繁．可以构造二次函数，讨论二次函数与x轴交点在－1与0之间时所满足的约束条件入手．【例4】在直角坐标系中．有以A（－1，－1），B(1，一1),C(1，1），D(－1，1)为顶点的正方形，设它在折线上侧部分的面积为S．试求S关于a的函数关系式，并画出它们的图象．（河北省竞赛试题）解题思路：CD，AB平行于x轴且与x轴的距离为1，就a≥1，0≤a≤1，－1≤a＜0，a＜－1四种情况讨论.【例5】如图，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA＝1.25米．由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流沿形状相同的各条抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1米处时距水面最大高度为2.25米．(1)如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至落到池外？(2)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同，水池的半径为3.5米，要使水流不落到池外，此时水流的最大高度应达多少米？（精确到0.1米）（山西省中考试题）解题思路：以OA所在的直线为y轴，过点O垂直于OA的直线为x轴，点O为原点，建立直角坐标系，解题的关键是求出抛物线的解析式.随着近年中考和竞赛试题改革的不断深入，数学应用题已不再停留在“列方程解应用”的层次上，其内容繁多，题型多变，解法灵活，函数应用题的广泛出现是近年中考的一个显著特点.函数应用题的数量关系是以函数的形式出现，解题的关键是建立量与量之间的函数关系式，运用相关函数的性质解题.【例6】某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时，当顾客在商场内消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额．消费金额（元）300~400400~500500~600600~700700~900…返还金额（元）3060100130150…注：“300～400”表示消费金额大于300元且小于或等于400元，其他类同.根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．例如，若购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400×(1－80%)＋30＝110(元)．(1)购买一件标价为1000元的商品，顾客获得的优惠额是多少？(2)如果顾客购买标价不超过800元的商品，要使获得的优惠额不少于226元，那么该商品的标价至少为多少元？（南京市中考试题）解题思路：本题考查的是分段函数的应用问题，在解答过程中要体现分类讨论的思想．能力训练1．如图，是兰州市市内电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的函数关系的图象，则通话7分钟需付电话费_________（元）．（甘肃省中考试题）第1题图第2题图第4题图2．如图，某航空公司托运行李的费用与托运行李重量的关系的函数图象，由图中可知行李的重量只要不超过_________公斤，就可免费托运．3．已知a，b为抛物线y＝(x－c)(x－c－d)－2与x轴交点的横坐标，a＜b，则|a－c|＋|c－b|的值为_________．（全国初中数学竞赛试题）4．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费的方法收费，每月收取水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系如图．按上述分段收费标准，小明家三、四月份分别交水费26元和18元，则四月份比三月份节约用水__________吨．（武汉5月调考试题）5．某校组织学生到距离学校6千米的光明科技馆去参观．学生王红因事没能乘上学校的包车，于是准备在学校门口改乘出租车去光明科技馆，出租车的收费标准如下：里程收费（元）3千米以下（含3千米）8.003千米以上，每增加1千米1.80(1)写出出租车行驶的里程数x≥3（千米）与费用y（元）之间的函数关系式：___________.(2)王红同学身上仅有14元钱，乘出租车到科技馆的车费够不够？请说明理由．_______________（常州市中考试题）6．已知边长为1的正方形ABCD，E为边CD的中点，动点P在正方形ABCD边上沿A→B→C→E运动．设点P经过的路程为x，△APE的面积为y，则y关于x的函数图象大致为( )ABCD（天津市竞赛试题）7．向高为h的水瓶中注水，注满为止，如果注水量v与水深h的函数关系如图所示，那么水瓶的形态是( )vvhHOABCD（黄冈市调考试题）8．方程的两根满足0＜＜1＜＜2，则k的取值范围是( )A．0＜k＜2 B．0＜k＜ C．＜k＜D．＜k＜29．某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出，若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高( )A．4元或6元 B．4元 C．6元 D．8元（无锡市竞赛试题）10．如图所示，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，≤a≤3b.在AB，BC，CD和DA上分别取E，F，G，H，使得AE＝AH＝CF＝CG，则四边形EFGH面积的最大值为( )B．C.D．11．某公司生产一种产品，每件成本为2元，售价为3元．年销售量为100万件．为获取更好的效益，公司准备拿出一定资金做广告．通过市场调查发现：每年投入的广告费用为x（10万元）时，产品的年销量将是原售量的y倍；同时y又是x的二次函数，相互关系如下表：x012…y11.51.8…(1)求y与x的函数关系式；(2)如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（10万元）与广告费x(10万元)的函数关系式；(3)如果一年投入的广告费为10～30万元，问广告费在什么范围内时，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？（广西赛区选拔赛试题）12.如图，这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示意图，横断面的地平线为x轴，横断面的对称轴为y轴．桥拱的部分为一段抛物线，顶点G的高度为8米，AD和A'D'是两侧高为5.5米的支柱．OA和OA'为两个方向的汽车通行区，宽都为15米，线段CD和为两段对称的上桥斜坡，其坡度比为1：4.(1)求桥拱DGD'所在抛物线的解析式及CC'的长；(2)BE和B'E'为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的AB和A'B'为两个方向的行人及非机动车通行区，试求AB和A'B'的宽；(3)按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于0.4米．今有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为7米；它能否从OA（或OA'）区域安全通过？请说明理由.（河北省中考试题）13．有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰△PQR，PQ＝PR＝5cm，QR＝8cm.点B，C，Q，R在同一条直线l上.当C，Q两点重合时，等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动，t秒后正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为scm2.解答下列问题：(1)当t＝3秒时，求s的值；(2)当t＝5秒时，求s的值；(3)当5秒≤t≤8秒时，求s与t的函数关系式，并求出s的最大值．（吉林省中考试题）14.是否存在这样的实数k，使得二次方程有两个实数根，且两根都在2与4之间？如果有，试确定k的取值范围；如果没有，试述理由.（“祖冲