2024初中数学竞赛9年级竞赛辅导讲义专题22 与圆相关的比例线段含答案

2024初中数学竞赛9年级竞赛辅导讲义专题22与圆相关的比例线段阅读与思考比例线段是初中数学的一个核心问题.我们开始是用平行线截线段成比例进行研究的，随着学习的深入、知识的增加，在平行线法的基础上，我们可以利用相似三角形研究证明比例线段，在这两种最基本的研究与证明比例线段方法的基础上，在不同的图形中又发展为新的形式.在直角三角形中，以积的形式更明快地表示直角三角形内线段间的比例关系.在圆中，又有相交弦定理、切割线定理及其推论，这些定理用乘积的形式反映了圆内的线段的比例关系.相交弦定理、切割线定理及其推论，它们之间有着密切的联系：1．从定理的形式上看，都涉及两条相交直线与圆的位置关系；2．从定理的证明方法上看，都是先证明一对三角形相似，再由对应边成比例而得到等积式.熟悉以下基本图形和以上基本结论.例题与求解【例1】如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作圆的切线与CD的延长线交于点F.若DE=eq\f(3,4)CE，AC=8eq\r(,5)，点D为EF的中点，则AB=.（全国初中数学联赛试题）解题思路：设法求出AE、BE的长，可考虑用相交弦定理，勾股定理等.（第1题）（第2题）【例2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以BC上一点O为圆心作⊙O与AC、AB都相切，又⊙O与BC的另一个交点为D，则线段BD的长为（）A．1B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,4)（武汉市中考试题）解题思路：由切割线定理知BE2=BD·BC，欲求BD，应先求BE.须加强对图形的认识，充分挖掘隐含条件.【例3】如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是AB延长线上一点，CD切半圆于D，DE⊥AB于E.已知AE∶EB=4∶1，CD=2，求BC的长.（成都市中考试题）解题思路：由题设条件“直径、切线”等关键词联想到相应的知识，寻找解题的突破口.【例4】如图，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，eq\f(DB,DP)=eq\f(DC,DO)=eq\f(2,3).（1）求证：直线PB是⊙O的切线；（2）求cos∠BCA的值.（呼和浩特市中考试题）解题思路：对于（1），恰当连线，为已知条件的运用创设条件；对于（2），将问题转化为求线段的比值.【例5】如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点.延长BC至D，使CD=BC，CE⊥AD于E，BF交⊙O于F，AF交CE于P.求证：PE=PC.（太原市竞赛试题）解题思路：易证PC为⊙O切线，则PC2=PF·PA，只需证明PE2=PF·PA.证△PEF∽△PAE，作出常用辅助线，突破相关角.【例6】如图，已知点P是⊙O外一点，PS、PT是⊙O的两条切线.过点P作⊙O的割线PAB，交⊙O于A、B两点，与ST交于点C.求证：eq\f(1,PC)=eq\f(1,2)（eq\f(1,PA)+eq\f(1,PB)）.（国家理科实验班招生试题）解题思路：利用切割线定理，再由三角形相似即可证.能力训练A级1．如图，PA切⊙O于A点，PC交⊙O于B、C两点，M是BC上一点，且PA=6，PB=BM=3，OM=2，则⊙O的半径为.（青岛市中考试题）2．如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE的中点.如果BD∥CF，BC=2eq\r(,5)，则CD=.（四川省竞赛试题）（第1题）（第2题）（第3题）（第4题）3．如图，AB切⊙O于点B，AD交⊙O于点C、D，OP⊥CD于点P.若AB=4cm，AD=8cm，⊙O的半径为5cm，则OP=.（天津市中考试题）4．如图，已知⊙O的弦AB、CD相交于点P，PA=4，PB=3，PC=6，EA切⊙O于点A，AE与CD的延长线交于点E，AE=2eq\r(,5)，那么PE的长为.（成都市中考试题）5．如图，在⊙O中，弦AB与半径OC相交于点M，且OM=MC，若AM=1.5，BM=4，则OC的长为（）A．2eq\r(,6)B．eq\r(,6)C．2eq\r(,3)D．2eq\r(,2)（辽宁省中考试题）（第5题）（第6题）（第7题）6．如图，两个同心圆，大圆的弦AB与小圆相切于点P，大圆的弦CD经过点P，且CD=13，PD=4，则两圆组成的圆环的面积为（）A．16πB．36πC．52πD．81π（南京市中考试题）7．如图，两圆相交于C、D，AB为公切线，若AB=12，CD=9，则MD=（）A．3B．3eq\r(,3)C．6D．6eq\r(,3)8．如图，⊙O的直径AB=10，E是OB上一点，弦CD过点E，且BE=2，DE=2eq\r(,2)，则弦心距OF为（）A．1B．eq\r(,2)C．eq\r(,7)D．eq\r(,3)（包头市中考试题）（第8题图）（第9题图）（第10题图）9．如图，已知在△ABC中，∠C=90°，BE是角平分线，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆.（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AD=6，AE=6eq\r(,2)，求DE的长.（南京市中考试题）10．如图，PA切⊙O于A，割线PBC交⊙O于B、C两点，D为PC的中点，连结AD并延长交⊙O于E，已知：BE2=DE·EA.求证：（1）PA=PD；（2）2BP2=AD·DE.（天津市中考试题）11．如图，△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC.已知⊙O过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G.求证：AD⊥BF.（全国初中数学联赛试题）（第11题）（第12题）12．如图，已知AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A.连结CO并延长交⊙O于点D、E，连结BD并延长交边AC于点F.（1）求证：AD·AC=DC·EA；（2）若AC=nAB（n为正整数），求tan∠CDF的值.（太原市竞赛试题）B级1．如图，两个同心圆，点A在大圆上，AXY为小圆的割线，若AX·AY=8，则圆环的面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π（咸阳市中考试题）2．如图，P为圆外一点，PA切圆于A，PA=8，直线PCB交圆于C、B，且PC=4，AD⊥BC于D，∠ABC=α，∠ACB=β.连结AB、AC，则eq\f(sinα,sinβ)的值等于（）A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)C．2D．4（黑龙江省中考试题）（第1题）（第2题）（第3题）3．如图，正方形ABCD内接于⊙O，E为DC的中点，直线BE交⊙O于点F，若⊙O的半径为eq\r(,2)，则BF的长为（）A．B．C．D．（南京市中考试题）4．如图，已知⊙O的半径为12，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（）A．OM的长B．2OM的长C．CD的长D．2CD的长（武汉市中考试题）（第4题）（第5题）（第6题）5．如图，PC为⊙O的切线，C为切点，PAB是过O点的割线，CD⊥AB于D.若tan∠B=eq\f(1,2)，PC=10cm，求△BCD的面积.（北京市海淀区中考试题）6．如图，已知CF为⊙O的直径，CB为⊙O的弦，CB的延长线与过F的⊙O的切线交于点P.（1）若∠P=45°，PF=10，求⊙O半径的长；（2）若E为BC上一点，且满足PE2=PB·PC，连结FE并延长交⊙O于点A.求证：点A是eq\o(⌒,BC)的中点.（济南市中考试题）7．已知AC、AB是⊙O的弦，AB＞AC.（1）如图1，能否在AB上确定一点E，使AC2=AE·AB?为什么？（2）如图2，在条件（1）的结论下延长EC到P，连结PB，如果PB=PE，试判断PB与⊙O的位置关系并说明理由；（3）在条件（2）的情况下，如果E是PD的中点，那么C是PE的中点吗？为什么？（重庆市中考试题）（第7题）（第8题）8．如图，P为⊙O外一点，PA与⊙O切于A，PBC是⊙O的割线，AD⊥PO于D，求证：eq\f(PB,BD)=eq\f(PC,CD).（四川省竞赛试题）9．如图，正方形OABC的顶点O在坐标原点，且OA边和AB边所在的直线的解析式分别为：y=x和y=.D、E分别为边OC和AB的中点，P为OA边上一动点（点P与点O不重合），连接DE和CP，其交点为Q．（1）求证：点Q为△COP的外心；（2）求正方形OABC的边长；（3）当⊙Q与AB相切时，求点P的坐标．（河北省中考试题）（第9题）（第10题）（第11题）10．如图，已知BC是半圆O的直径，D是eq\o(⌒,AC)的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E.（1）求证：AC·BC=2BD·CD；（2）若AE=3，CD=2eq\r(,5)，求弦AB和直径BC的长.（天津市竞赛试题）11．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PBC是⊙O的割线，AD⊥OP，垂足为D.证明：AD2=BD·CD.（全国初中数学联合竞赛试题）专题22与圆相关的比例线段例1设CE=4k，则DA=DF=3k,AF=AC=85，由FA2=FD∙FC，即852=3k∙10k,得k2=323,而AE=EF2-AF2=36k2-320=8，又BE=CE∙DEAE=12k28=16，故AB=AE+BE=24.例2C例31提示：设EB=x，则AE=4x.设CB=y，则由CD2=CB∙CA，DE2=AE∙EB，DE2+EC2=DC2，得4=y(y+5x)，4x2+(x+y)2例6解法一：如图1，过P作PH⊥ST于H，则H是ST的中点，由勾股定理得PC2=PH2+CH2=PS2-SH2+CH2=PS2-SH2+CH2=PS2-SH-CHSH+CH=PS2-SC∙CT.又由切割线定理和相交弦定理，有PC2=PA∙PB-AC∙CB=PA∙PB-PC-PAPB-PC=2PA∙PB-PA+PBPC+PC2，∴PC=2PA∙PBPA+PB，即1PC=121PA+A级1.222.6提示：△BDE≌△CFE，DE=EF，OF=FE=ED，设OF=x，则OA=OD=3x，AE=5x，由CE∙BE=AE∙ED，得52=x∙5x,x-1，∴CD=CE2+DE2=6.3.4cm4.45.D6.B7.A8.C9.(1)略(2)AB=AE2AD=12，△AED∽△ABE，DEBE=AEAB=22.设DE=2x，BE=2x，而DE2+BE2=BD2，解得x=6.∴DE=2∙6=23.10.（1）略（2）PA2=PB∙PC,PA=PD,PD=DC,PB+BD2=PB∙2PB+BD.可得PB=BD=12PD，∴PB=PD=12DC，∴2BP2=BD∙CD.又∵BD∙CD=AD∙DE∵∠EAD+∠DAB=90°，∴∠ABF+∠DAB=90°，故AD⊥BE.12.⑴如图，连接AD，AE.∵∠DAC=∠DAE，∴△ADC∽△EAC.⑵∵∠CDF=∠1=∠2=∠DEA，∴tan∠CDF=tan∠DEA=.由⑴知，故tan∠CDF=.由圆的切割线定理知，而EC=ED+DC，则.又AC=nAB，ED=AB，代入上式得，即，故.显然，上式只能取加号，于是.B级B2.B3.C4.A5.提示：.设AD=x，则CD=2x，DB=4x，AB=5x，由△PAC∽△PCB得，，∴PA=5，又，即，解得：x=3，∴AD=3，CD=6，DB=12，∴.6.⑴略.⑵连接FB，证明PF=PE，∠BFA=∠AFC.7.⑴能.连接BC，作∠ACE=∠B，CE交AB于E.⑵PB与⊙O相切.⑶C是PE的中点.8.连接OA、OB、OC，则，于是，B、C、O、D四点共圆，有△PCD∽△POB，则①，又由POC∽△PBD得②，由①②得.9.⑴略⑵A（4,3），OA=5.⑶P（3，）.10.⑴延长BA，CD交于点G，由Rt△CAG∽Rt△BDC，得，即，又，故.⑵由Rt△CDE∽Rt△CAG，得，即，解得CE=5，从而AG=，，即，解得AB=6，.11.延长AD交⊙O于E，连接PE、BE、CE，∵PA为⊙O的切线，PO⊥AE，∴PE=PA，，易证△PAB∽△PCA，△PEB∽△PCE，∴，则，即，由托勒密定理得.∴，即，有∵∠BAE=∠BCE，∠CAD=∠CBE，∴△ABD∽△CBE，△CAD∽△CBE，则△ABD∽△CAD，∴，故.专题23圆与圆的位置关系【阅读与思考】两圆的半径与圆心距的大小量化确定圆与圆的外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系.圆与圆相交、相切等关系是研究圆与圆位置关系的重点，解题中经常用到相关性质.解圆与圆的位置关系问题，往往需要添加辅助线，常用的辅助线有：1.相交两圆作公共弦或连心线；2.相切两圆作过切点的公切线或连心线；3.有关相切、相离两圆的公切线问题常设法构造相应的直角三角形.熟悉以下基本图形和以上基本结论.【例题与求解】【例1】如图，大圆⊙O的直径cm，分别以OA，OB为直径作⊙O1和⊙O2，并在⊙O与⊙O1和⊙O2的空隙间作两个等圆⊙O3和⊙O4，这些圆互相内切或外切，则四边形的面积为________cm2.（全国初中数学竞赛试题）解题思路：易证四边形为菱形，求其面积只需求出两条对角线的长.【例2】如图，圆心为A，B，C的三个圆彼此相切，且均与直线相切.若⊙A，⊙B，⊙C的半径分别为，，（），则，，一定满足的关系式为（）A.B.C.D.（天津市竞赛试题）解题思路：从两圆相切位置关系入手，分别探讨两圆半径与分切线的关系，解题的关键是作圆的基本辅助线.【例3】如图，已知两圆内切于点P，大圆的弦AB切小圆于点C，PC的延长线交大圆于点D.求证：（1）∠APD=∠BPD；（2）.（天津市中考试题）解题思路：对于（1），作出相应辅助线；对于（2），应化简待证式的右边，不妨从AC·BC=PC·CD入手.【例4】如图⊙O1和⊙O2相交于点A及B处，⊙O1的圆心落在⊙O2的圆周上，⊙O1的弦AC与⊙O2交于点D.求证：O1D⊥BC.（全俄中学生九年级竞赛试题）解题思路：连接AB，O1B，O1C，显然△O1BC为等腰三角形，若证O1D⊥BC，只需证明O1D平分∠BO1C.充分运用与圆相关的角.【例5】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1,AB=2，DC=，点P在边BC上运动（与B，C不重合）.设PC=，四边形ABPD的面积为.（1）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）若以D为圆心，为半径作⊙D，以P为圆心，以PC的长为半径作⊙P，当为何值时，⊙D与⊙P相切？并求出这两圆相切时四边形ABPD的面积.（河南省中考题）解题思路：对于（2），⊙P与⊙D既可外切，也可能内切，故需分类讨论，解题的关键是由相切两圆的性质建立关于的方程.【例6】如图，ABCD是边长为的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆交于另一点P，延长AP交BC于点N，求的值.（全国初中数学联赛试题）解题思路：AB为两圆的公切线，BC为直径，怎样产生比例线段？丰富的知识，不同的视角激活想象，可生成解题策略与方法.【能力与训练】A级1.如图，⊙A，⊙B的圆心A，B在直线上，两圆的半径都为1cm.开始时圆心距AB＝4cm，现⊙A，⊙B同时沿直线以每秒2cm的速度相向移动，则当两圆相切时，⊙A运动的时间为_______秒.（宁波市中考试题）2.如图，O2是⊙O1上任意一点，⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，E为优弧AB上的一点，EO2及延长线交⊙O2于C，D，交AB于F，且CF＝1，EC＝2，那么⊙O2的半径为_______.（四川省中考试题）（第1题图）（第2题图）（第3题图）3.如图，半圆O的直径AB＝4,与半圆O内切的动圆O1与AB切于点M.设⊙O1的半径为，AM的长为，则与的函数关系是_________________.（要求写出自变量的取值范围）（昆明市中考试题）4.已知直径分别为和的两个圆，它们的圆心距为，这两圆的公切线的条数是__________.5.如图，⊙O1和⊙O2相交于点A，B，且⊙O2的圆心O2在圆⊙O1的圆上，P是⊙O2上一点.已知∠AO1B＝60°，那么∠APB的度数是（）A.60°B.65°C.70°D.75°（甘肃省中考试题）6.如图，两圆相交于A、B两点，过点B的直线与两圆分别交于C，D两点.若⊙O1半径为，⊙O2的半径为2，则AC：AD为（）A.B.C.D.（第5题图）（第6题图）（第7题图）7.如图，⊙O1和⊙O2外切于点T，它们的半径之比为3:2，AB是它们的外公切线，A，B是切点，AB＝，那么⊙O1和⊙O2的圆心距是（）A.B.10C.D.8.已知两圆的半径分别为R和（），圆心距为.若关于的方程有两相等的实数根，那么这两圆的位置关系是（）A.外切B.内切C.外离D.外切或内切（连云港市中考试题）如图，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，点O1在⊙O2上，点C为⊙O1中优弧eq\o(AB,\s\up5(⌒))上任意一点，直线CB交⊙O2于D，连接O1D.（1）证明：DO1⊥AC；（2）若点C在劣弧eq\o(AB,\s\up5(⌒))上，（1）中的结论是否仍成立？请在图中画出图形，并证明你的结论.（大连市中考试题）图1图210.如图，已知⊙O1与⊙O2外切于点P，AB过点P且分别交⊙O1和⊙O2于点A，B，BH切⊙O2于点B，交⊙O1于点C，H.（1）求证：△BCP∽△HAP；（2）若AP:PB＝3：2，且C为HB的中点，求HA:BC.（福州市中考试题）11.如图，已知⊙B，⊙C的半径不等，且外切于点A，不过点A的一条公切线切⊙B于点D，切⊙C于点E，直线AF⊥DE，且与BC的垂直平分线交于点F.求证：BC＝2AF.（英国数学奥林匹克试题）12.如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点.正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC得内切圆圆心O，且点E在半圆弧上.（1）若正方形的顶点F也在半圆弧上，求半圆的半径与正方形边长的比；（2）若正方形DEFG的面积为100，且△ABC的内切圆半径，求半圆的直径AB.（杭州市中考试题）B级1.相交两圆的半径分别为5cm和4cm，公共弦长为6cm，这两圆的圆心距为_______.2.如图，⊙O过M点，⊙M交⊙O于A，延长⊙O的直径AB交⊙M于C.若AB＝8，BC＝1，则AM＝_______.（黑龙江省中考试题）（第2题图）（第3题图）（第4题图）3.已知圆环内直径为cm，外直径为cm，将50个这样的圆环一个接着一个环套环地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为___________cm.4.如图，已知PQ＝10，以PQ为直径的圆与一个以20为半径的圆相切于点P.正方形ABCD的顶点A，B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q.若AB＝，其中，为整数，则___________.（美国中学生数学邀请赛试题）5.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点M，且分正方形为4个三角形，⊙O1，⊙O2，⊙O3，⊙O4，分别为△AMB，△BMC，△CMD，△DMA的内切圆.已知AB＝1.则⊙O1，⊙O2，⊙O3，⊙O4所夹的中心（阴影）部分的面积为（）A.B.C.D.（太原市竞赛试题）（第5题图）（第6题图）（第7题图）6.如图，⊙O1与⊙O2内切于点E，⊙O1的弦AB过⊙O2的圆心O2，交⊙O2于点C，D.若AC：CD:BD＝2:4:3，则⊙O2与⊙O1的半径之比为（）A.2:3B.2:5C.1:3D.1:47.如图，⊙O1与⊙O2外切于点A，两圆的一条外公切线与⊙O1相切于点B，若AB与两圆的另一条外公切线平行，则⊙O1与⊙O2的半径之比为（）A.2:5B.1:2C.1:3D.2:3（全国初中数学联赛试题）8.如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，过点A作⊙O1的切线，交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线分别交⊙O1，⊙O2于点D，E，DE与AC相交于点P.（1）求证：（2）当AD与⊙O2相切且PA＝6，PC＝2，PD＝12时，求AD的长.（黄冈市中考试题）9.如图，已知⊙O1和⊙O2外切于A，BC是⊙O1和⊙O2的公切线，切点为B，C.连接BA并延长交⊙O1于D，过D点作CB的平行线交⊙O2于E，F.（1）求证：CD是⊙O1的直径；（2）试判断线段BC，BE，BF的大小关系，并证明你的结论.（四川省中考试题）10.如图，两个同心圆的圆心是O，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD是大圆的直径，大圆的弦AB，BE分别与小圆相切于点C，F，AD，BE相交于点G，连接BD.（1）求BD的长；（2）求的度数；（3）求的值.（淄博市中考试题）11.如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙O1与△BCH的外接圆⊙O2相交于点D，延长AD交CH于点P.求证：P为CH的中点.（“《数学周报杯”全国初中数学竞赛试题）12.如图，已知AB为半圆O的直径，点P为直径AB上的任意一点，以点A为圆心，AP为半径作⊙A，⊙A与半圆O相交于点C，以点B为圆心，BP为半径作⊙B，⊙B与半圆O相交于点D，且线段CD的中点为M.求证：MP分别与⊙A，⊙B相切.（“《数学周报杯”全国初中数学竞赛试题）专题23圆与圆的位置关系例1提示：连接必过点O，则⊥AB，设⊙，⊙的半径为xcm，在Rt△中，有，解得x=.例2D提示：连接AB，，，作⊥，则，即，得，同理，，，由得，故.例3提示：⑴过P点作两圆的公切线.⑵即证.例4，，则为的平分线，又，故.例5⑴过D作DQ⊥BC于Q，则BQ=AD=1，AB=DQ=2，CQ=，故（0<x<3）.⑵分两种情况讨论：①当⊙P与⊙D外切时，如图1，QC=2，PC=x，QP=，PD=x+，DQ=2，在Rt△DQP中，由得，，.②当⊙P与⊙D内切时，如图2，PC=x，QC=2，PQ=x-2，PD=x-，DQ=2，在Rt△DPQ中，由得，，.例6就图1给出解答：连接CP并延长交AB于点Q，连接BP，得∠BPC90°，又，得AQ=QB=AB，在Rt△CQP中，.过Q作QM∥BC交AN于M，则MQ=.由△MQP∽△NCP，得，故＝.A级1．或2.23．y＝＋x(0＜x＜4)4.3条5．D6．D7．B8．D9．提示：(1)连结AB，A，并延长交⊙于E，连结CE．(2)结论仍然成立．10．(1)略(2)提示：设AP＝3t，由BC·BH＝BP·BA，BH＝2BC，BC＝t.易证△HAP∽△BAH，得HA＝t，故＝.11．连结BD，CE，作BM⊥CE于M，作HN⊥CE于N，则BM∥HN．∵H是BC的中点，故N是CM的中点，∴CN＝CM＝（CE－EM）＝(CE－BD)，而AH＝BH－AB＝BC－AB＝(AB＋AC)–AB＝(AC－AB)，因此CN＝AH．由CE⊥DE，AF⊥DE，得CE//AF，故∠NCH＝∠HAF，又∠CNH＝∠AHF＝90°，得△CNH≌△AHF，从而BC＝2CH＝2AF.12.(l):2提示：由题意，设正方形边长为l，则，得R:l＝:2．由＝AD×DB，DE＝10，得AD×DB＝l00．设AC与内切圆交点S，CB与内切圆交点H，设AD＝r，DB＝．AB＝x＋，AS＝AD＝x，BH＝BD＝．又△ABC为直角三角形。∴，即（四边形OSCH为正方形），解得x＋＝21，故AB＝AD＋BD＝21．B级1.4±2.63.49a＋b提示：当圆环为3个时，链长为3a＋×2＝2a＋b(cm)；当圆环为50个时，链长为50a＋×2＝49a＋b(cm)．4.312提示：设O为大圆圆心，R为AB与PQ的交点，AB＝x，OQ＝x－10，AR＝，解得x＝8±x>0，则x＝8＋5.C提示：－一个内切圆的面积．C7．C提示：设另一条公切线与⊙切于点C，与⊙切于点D，过作，则由对称性可得∠CB＝∠CA＝∠AB＝120°．8．(1)略(2)AD＝12.9．提示：(1)过A点作两圆的内公切线，连结AC．(2)BE＝BF＝BC，，由△ABE∽△EBD得＝BA·BD，∠CBE＝∠BEF＝∠FBE．10．(1)BD＝l0(2)连结OB．C，F分别为AB，BE中点，BC＝BF，AB＝BE，∠OBD＝∠D，∠ABE＋∠D＝90°，故∠ABE＋2∠D＝180°.(3)连结BO并延长交AE于H，连结OC，H为AE中点．BH⊥AE，AB＝24，由△BOC∽△BAH，得∴AH＝，AE＝，又△BGD∽△AGE，则．如图，延长AP交⊙于点Q，连结AH，BD，QB，QC，QH，∵AB为⊙的直径，∴∠BDA＝∠BDQ＝90°，故BQ为⊙的直径，于是CQ⊥BC，BH⊥HQ.又∵点H为△ABC的垂心，∴AH⊥BC，BH⊥AC，所以AH//CQ，AC//HQ，即四边形ACQH为平行四边形，∴P为CH的中点．12．连结AC，AD，BC，BD，并且过C，D两点分别作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，则CE∥DF．∵∠ACB＝∠ADB＝90°，∴，两式相减得(PA＋PB)(PA－PB)＝AB(AE－BF)＝AB(PA－PB).于是AE－BF＝PA－PB，即PA－AE＝PB－BF，∴PE＝PF，也就是说点P是线段EF的中点，因此MP是直角梯形CDFE的中位线，于是有MP⊥AB，从而可得MP分别与⊙A与⊙B相切．专题24平面几何的定值问题【阅读与思考】所谓定值问题，是指按照一定条件构成的几何图形，当某些几何元素按一定的规律在确定的范围内变化时，与它有关的元素的量保持不变（或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变）.几何定值问题的基本特点是：题设条件中都包含着变动元素和固定元素，变动元素是指可变化运动的元素，固定元素也就是“不变量”，有的是明显的，有的是隐含的，在运动变化中始终没有发生变化的元素，也就是我们要探求的定值.解答定值问题的一般步骤是：1.探求定值；2.给出证明.【例题与求解】【例1】如图，已知P为正方形ABCD的外接圆的劣弧eq\o(AD,\s\up5(⌒))上任意一点.求证：为定值.解题思路：线段的和差倍分考虑截长补短，利用圆的基本性质，证明三角形全等.【例2】如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A，B两点）上移动时，点P（）A.到CD的距离保持不变B.位置不变C.等分eq\o(DB,\s\up5(⌒))D.随C点的移动而移动（济南市中考试题）解题思路：添出圆中相关辅助线，运用圆的基本性质，用排除法得出结论.【例3】如图，定长的弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动，M是ST的中点，P是S对AB作垂线的垂足.求证：不管ST滑到什么位置，∠SPM是一定角.（加拿大数学奥林匹克试题）解题思路：不管ST滑到什么位置，∠SOT的度数是定值.从探寻∠SPM与∠SOT的关系入手.【例4】如图，扇形OAB的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°.点C是eq\o(AB,\s\up5(⌒))上异于A，B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E.连接DE，点G，H在线段DE上，且DG=GH=HE.（1）求证：四边形OGCH是平行四边形；（2）当点C在eq\o(AB,\s\up5(⌒))上运动时，在CD，CG，DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；（3）求证：CD2+3CH2是定值.（广州市中考试题）解题思路：延长OG交CD于N，利用题中的三等分点、平行四边形和三角形中位线的性质，实现把线段ON转化成线段CH的倍分关系，再以Rt△OND为基础，通过勾股定理，使问题得以解决.【例5】如图1，在平面直角坐标系xOy中，点M在x轴的正半轴上，⊙M交x轴于A，B两点，交y轴于C，D两点，且C为弧AE的中点，AE交y轴于G点.若点A的坐标为（-2，0），AE=8.（1）求点C的坐标；（2）连接MG，BC，求证：MG∥BC；（3）如图2，过点D作⊙M的切线，交x轴于点P.动点F在⊙M的圆周上运动时，的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律.（深圳市中考试题）解题思路：对于（3）从动点F达到的特殊位置时入手探求定值.（图1）（图2）【例6】如图，已知等边△ABC内接于半径为1的圆O，P是⊙O上的任意一点.求证：PA2+PB2+PC2为定值.解题思路：当点P与C点重合时，PA2+PB2+PC2=2BC2为定值，就一般情形证明.【能力训练】A级1.如图，点A，B是双曲线上的两点，分别经过A，B两点向x轴，y轴作垂线段.若S阴影=1，则_______.（牡丹江市中考试题）（第1题图）（第3题图）（第4题图）2.从等边三角形内一点向三边作垂线段，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的面积是__________.（全国初中数学联赛试题）3.如图，OA，OB是⊙O任意两条半径，过B作BE⊥OA于E，又作OP⊥AB于P，则定值OP2+EP2为_________.4.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，F是DC的中点，AF的延长线交BC的延长线于点E，则直线BF与直线DE所夹的锐角的度数为（）A.30°B.40°C.50°D.60°（武汉市竞赛试题）5.如图，在⊙O中，P是直径AB上一动点，在AB同侧作⊥AB，，且=AP，=BP.连接，当点P从点A移动到点B时，的中点的位置（）A．在平分AB的某直线上移动B.在垂直AB的某直线上移动C.在弧AMB上移动D.保持固定不移动（荆门市中考试题）（第5题图）（第6题图）6.如图，A，B是函数图象上的两点，点C，D，E，F分别在坐标轴上，且分别与点A，B，O构成正方形和长方形.若正方形OCAD的面积为6，则长方形OEBF的面积是（）A.3B.6C.9D.12（海南省竞赛试题））7.（1）经过⊙O内或⊙O外一点P作两条直线交⊙O于A，B和C，D四点，得到如图①~⑥所表示的六种不同情况.在六种不同情况下，PA，PB，PC，PD四条线段之间在数量上满足的关系式可以用同一个式子表示出来.请你首先写出这个式子，然后只就如图②所示的圆内两条弦相交的一般情况给出它的证明.（2）已知⊙O的半径为一定值r，若点P是不在⊙O上的一个定点，请你过点P任作一直线交⊙O于不重合的两点E，F.PE·PF的值是否为定值？为什么？由此你发现了什么结论？请你把这一结论用文字叙述出来.（济南市中考试题）8.在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A，C分别在y轴，x轴的正半轴上，点O在原点，现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线上时停止旋转.旋转过程中，AB边交直线于点M，BC边交x轴于点N.（1）求OA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN与AC平行时，求正方形OABC旋转度数；（3）设△MBN的周长为P，在正方形OABC旋转的过程中，P值是否有变化？请证明你的结论.（济宁市中考试题）9.如图，AB是半圆的直径，AC⊥AB，AC=AB.在半圆上任取一点D，作DE⊥CD，交直线AB于点E，BF⊥AB，交线段AD的延长线于点F.（1）设弧AD是x°的弧，若要点E在线段BA的延长线上，则x的取值范围是_______.（2）不论点D取在半圆的什么位置，图中除AB＝AC外，还有两条线段一定相等.指出这两条相等的线段，并予证明.（江苏省竞赛试题）（第9题图）（第10题图）（第11题图）10.如图，内接于⊙O的四边形ABCD的对角线AC与BD垂直相交于点K，设⊙O的半径为R.求证：（1）是定值；（2）是定值.11.如图，设P是正方形ABCD外接圆劣弧弧AB上的一点，求证：的值为定值.（克罗地亚数学奥林匹克试题）B级等腰△ABC的底边BC为定长2，H为△ABC的垂心.当顶点A在保持△ABC为等腰三角形的情况下改变位置时，面积S△ABC·S△HBC的值保持不变，则S△ABC·S△HBC=________.2.已知A，B，C，D，E是反比例函数（x＞0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别过这些点向横轴或纵轴作垂线段，以垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是__________（用含π的代数式表示）.（福州市中考试题）3.如图，将六边形ABCDEF沿直线GH折叠，使点A，B落在六边形ABCDEF的内部，记∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝α，则下列结论一定正确的是（）A.∠1＋∠2＝900°－2αB.∠1＋∠2＝1080°－2αC.∠1＋∠2＝720°－αD.∠1＋∠2＝360°－α（武汉市竞赛试题）（第3题图）（第4题图）4.如图，正△ABO的高等于⊙O的半径，⊙O在AB上滚动，切点为T，⊙O交AO，BO于M，N，则弧MTN（）A.在0°到30°变化B.在30°到60°变化C.保持30°不变D.保持60°不变5.如图，AB是⊙O的直径，且AB=10，弦MN的长为8.若MN的两端在圆上滑动时，始终与AB相交，记点A，B到MN的距离分别为h1，h2，则∣h1-h2∣等于（）A.5B.6C.7D.8（黄石市中考试题）（第5题图）（第6题图）6.如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，点A，C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m＞0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B，D.（1）求点A的坐标（用m表示）（2）求抛物线的解析式；（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连接PQ并延长交BC于点E，连接BQ并延长交AC于点F.试证明：FC（AC+EC）为定值.（株洲市中考试题）7.如图，已知等边△ABC内接于圆，在劣弧AB上取异于A，B的点M.设直线AC与BM相交于K，直线CB与AM相交于点N.证明线段AK和BN的乘积与M点的选择无关.（湖北省选拔赛试题）（第7题图）（第8题图）8.如图，设H是等腰三角形ABC两条高的交点，在底边BC保持不变的情况下让顶点A至底边BC的距离变小，这时乘积S△ABC·S△HBC的值变小、变大，还是不变？证明你的结论.（全国初中数学联赛试题）9.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴的交点为点A，与y轴的交点为点B.过点B作x轴的平行线BC，交抛物线于点C，连接AC.现有两动点P，Q分别从O，C两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动，点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动.点P停止运动时，点Q也同时停止运动.线段OC，PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交CA于E，射线QE交x轴于点F.设动点P，Q移动的时间为t（单位：秒）.（1）求A，B，C三点的坐标和抛物线的顶点坐标；（2）当t为何值时，四边形PQCA为平行四边形？请写出计算过程；（3）当时，△PQF的面积是否总是定值？若是，求出此值；若不是，请说明理由；（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形，请写出解答过程.（黄冈市中考试题）（第9题图）（第10题图）10.已知抛物线C1：，点F（1,1）.（1）求抛物线C1的顶点坐标；（2）若抛物线C1与y轴的交点为A，连接AF，并延长交抛物线C1于点B，求证：.（3）抛物线C1上任意一点P（xP，yP）（0＜xP＜1），连接PF，并延长交抛物线C1于点Q（xQ，yQ），试判断是否成立？请说明理由.11.已知A，B是平面上的两个顶点，C是位于AB一侧的一个动点，分别以AC，BC为边在△ABC外作正方形ACDE和正方形BCFG.求证：不论C在直线AB同一侧的任何位置，EG的中点P的位置不变.（四川省竞赛试题）专题24平面几何的定值问题例1延长PC至E，使CE＝AP，连结BE，则△BCE≌△BAP，及△PBE为等腰直角三角形，故例2B提示：连结AC，BC，可以证明P为的中点．例3∵SP⊥OP，OM⊥ST，∴S，M，O，P四点共圆，于是∠SPM＝∠SOM＝∠SOT为定角．例4(1)连结OC交DE于M，则OM＝CM，EM＝DM，而DG＝HE，则HM＝GM故四边形OGCH是平行四边形．(2)DG不变．DE＝OC＝OA＝3.DG＝DE＝×3＝1．(3)设CD＝x，延长OG交CD于N，则CN＝DN＝x，，.∴，而ON＝CH，∴．故CD2＋3CH2＝x2＋3(4－x2)＝x2＋12－x2为定值． 例5⑴C(0，4)⑵先求得AM＝CM＝5，连接MC交AE于N，由△AOG∽△ANM，得，OG＝，，又∠BOC＝∠GOM，∴△GOM∽△COB，∠GMO＝∠CBO，得MG∥BC．⑶连结DM，则DM⊥PD，DO⊥PM，DO2＝OM•OP，OP＝．动点F在⊙M的圆周上运动时，从特殊位置探求的值．当F与点A重合时，；当点F与点B重合时，；当点F不与点A，B重合时，连接OF、PF、MF，∴DM2＝MO•MP，∴FM2＝MO•MP，即，又∠OMP＝∠FMP，∴△MFO∽△MPF，，故的比值不变，比值为． 例6∠BPC＝120°，在△BPC中，由余弦定理得BC2＝PB2＋PC2－2PB•PC＝BC2，又由上托勒密定理得BC•PA＋PC•AB，而AB＝BC＝AC，∴PA＝PB＋PC，从而PA2＋PB2＋PC2＝(PB＋PC)2＋PB2＋PC2＝2(PB2＋PC2＋PB•PC)＝2BC2＝2×＝6．故PA2＋PB2＋PC2为定值．A级1．4 提示：∵S1＋S阴＝S2＋S阴＝xy＝3，∴S1＋S2＝2xy－2S阴＝6－2＝4． 2． 提示：1＋3＋5＝9是等边三角形的高．r2 提示：先考查OB与OA垂直的情形．D提示：延长BF交DE于点M，连接BD，则△BCD为等边三角形，BF平分∠CBD．∵F为CD中点，且AD∥CE，∴△ADF与△ECF关于点F中心对称．∴CE＝AD＝CD，∴∠CEM=30°，∠DMF=60°，D提示：A′B′的中点均在⊙O的上半圆的中点处．B提示：S正方形OCAD＝OD•OC＝＝6，∴SOEBF＝OE•OF＝xB•yB＝6．⑴略 ⑵当点P在⊙O内时，过P作直径CD，则PE•PF＝PD•PC＝r2－OP2为定值；当点P在⊙O外时，PE•PF为定值．结论：过不在圆上的一个定点任作一条直线与圆相交，则这点到直线与圆相交点的两条线段长的积为定值．⑴⑵22.5°⑶P值无变化．理由如下：如图，延长BA交y轴于E点，可证明△OAE≌△OCN，得OE＝ON，AE＝CN，又∠MOE＝∠MON＝45°，OM＝ON，∴△OME≌△OMN，得MN＝ME＝AM＋AE＝AM＋CN．∴P＝MN＋BN＋BM＝AM＋CM＋CN＋BN＋BM＝AB＋AC＝4．⑴0＜x＜90⑵BE＝BF提示：连接BD，可证明△BDF∽△ADB，△BDE∽△A