人教A版（2019）必修第二册 第六章 6.4.3 第3课时 正弦定理(二)（教学课件）

第六章

6.4.3余弦定理、正弦定理第3课时正弦定理(二)学习目标XUEXIMUBIAO1.利用正弦、余弦定理了解三角形中边与角的关系.2.利用正弦、余弦定理判断三角形的形状.3.掌握正弦、余弦定理的简单应用.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE知识点三角形中边与角之间的关系1.利用余弦定理和正弦定理进行边角转化(1)cosA＝

；cosB＝

；cosC＝

.(2)2RsinA＝

，2RsinB＝

，2RsinC＝

，(其中R为△ABC外接圆的半径)abc2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若a2>b2＋c2，则cosA＝

<0，△ABC为

三角形；(2)若a2＝b2＋c2，则cosA＝

＝0，△ABC为

三角形；(3)若a2<b2＋c2且b2<a2＋c2且c2<a2＋b2，则cosA＝

>0，cosB＝

>0，cosC＝

>0，△ABC为

三角形.钝角直角锐角2题型探究PARTTWO例1

在△ABC中，已知b＝3，c＝

，B＝30°，解三角形.一、利用正弦、余弦定理解三角形解方法一由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，∴a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6.当a＝3时，A＝30°，∴C＝120°；∴A＝90°，C＝60°.又c>b，∴30°＜C＜180°，∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理，得a＝6；当C＝120°时，A＝30°＝B，a＝b＝3.反思感悟若已知三角形的两边及其一边的对角，则可直接应用正弦定理求出另一边的对角，但要注意此三角形解的个数的判断；也可用余弦定理求解，在△ABC中，已知a，b和A，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，求出c，此时c的个数即为三角形解的个数.跟踪训练1

已知⊙O的半径为R，在它的内接△ABC中有2R(sin2A－sin2C)＝(a－b)sinB成立，求角C的大小.解由正弦定理，得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.因为0°<C<180°，所以C＝45°.二、利用正弦、余弦定理判断三角形的形状例2

(1)已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若acosB＝bcosA，则△ABC一定是A.等腰三角形

B.等边三角形C.直角三角形

D.等腰直角三角形√解析由正弦定理得，acosB＝bcosA⇒sinAcosB＝sinBcosA⇒sin(A－B)＝0，由于－π＜A－B＜π，故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC为等腰三角形.(2)在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状.∴a2＝b2＋c2，∴A是直角.∵A＝180°－(B＋C)，sinA＝2sinBcosC，∴sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，∴sin(B－C)＝0.又－90°＜B－C＜90°，∴B－C＝0，∴B＝C，∴△ABC是等腰直角三角形.∵sin2A＝sin2B＋sin2C，反思感悟判断三角形形状的方法及注意事项(1)利用余弦定理、正弦定理把已知条件转化为边(或角)的关系，通过因式分解、配方等得出边(或角)的相应关系，从而判断三角形的形状.(2)统一成边(或角)的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解.跟踪训练2

(1)在△ABC中，已知3b＝

，且cosB＝cosC，角A是锐角，则△ABC的形状是A.直角三角形

B.等腰三角形C.等腰直角三角形

D.等边三角形√又角A是锐角，所以A＝60°.又cosB＝cosC，且B，C都为三角形的内角，所以B＝C.故△ABC为等边三角形，故选D.(2)在△ABC中，若acosC＋ccosA＝bsinB，则此三角形为A.等边三角形

B.等腰三角形C.直角三角形

D.等腰直角三角形√解析在△ABC中，由acosC＋ccosA＝bsinB，以及正弦定理可知，sinAcosC＋sinCcosA＝sin2

B，即sin(A＋C)＝sinB＝sin2

B，所以三角形为直角三角形，故选C.三、正弦、余弦定理的综合应用例3

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝

acosB.(1)求B的大小；在△ABC中，sinA≠0，(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值.解∵sinC＝2sinA，∴由正弦定理，得c＝2a，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，反思感悟利用正弦、余弦定理解三角形的注意点正、余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键.跟踪训练3

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA＋csinC－

asinC＝bsinB.(1)求B的大小；由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB.(2)若A＝75°，b＝2，求a，c的值.解sinA＝sin(30°＋45°)由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°，3随堂演练PARTTHREE1.在△ABC中，若AB＝

，BC＝3，C＝120°，则AC等于A.1 B.2C.3 D.412345√解析在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.即b2＋3b－4＝0，解得b＝1(负值舍去)，即AC＝1，故选A.√√123453.如果将直角三角形的三边各增加同样的长度，则新三角形的形状是A.锐角三角形

B.直角三角形C.钝角三角形

D.由增加的长度确定的√解析设直角三角形的三边长分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2，三边都增加x，则(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)x＋x2＞0，所以新三角形中最大边所对的角是锐角，所以新三角形是锐角三角形.123454.在△ABC中，sinB＝2sinA，a＋c＝3，且cosC＝

，则a＝____.1解析∵sinB＝2sinA，∴b＝2a，又a＋c＝3，∴c＝3－a，整理，得a2＋2a－3＝0，解得a＝1(a＝－3舍去).123455.若acosA＝bcosB，则△ABC是____________三角形.等腰或直角所以2sinA·cosA＝2sinB·cosB，即sin2A＝sin2B，因为A，B为三角形的内角，所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.12345课堂小结KETANGXIAOJIE1.知识清单：(1)利用正弦、余弦定理解三角形.(2)判断三角形的形状.(3)正弦、余弦定理的综合应用.2.方法归纳：化归转化、数形结合.3.常见误区：利用正弦定理进行边和角的正弦相互转化时易出现不等价变形.4课时对点练PARTFOUR基础巩固A.等腰三角形

B.直角三角形C.等边三角形

D.等腰直角三角形√即tanA＝tanB＝tanC，所以A＝B＝C，即△ABC为等边三角形.12345678910111213141516123456789101112131415162.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若bcosA＋acosB＝c2，a＝b＝2，则△ABC的周长为A.5 B.6C.7 D.7.5√即△ABC的周长为5，故选A.3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则C等于√123456789101112131415164.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB＝4csinC，cosA＝A.6B.5C.4D.3√解析∵asinA－bsinB＝4csinC，∴由正弦定理，得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.123456789101112131415165.(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列等式恒成立的是A.a2＝b2＋c2－2bccosA

B.asinB＝bsinAC.a＝bcosC＋ccosB

D.acosB＋bcosC＝c√12345678910111213141516√√12345678910111213141516解析对于A，根据余弦定理，可得a2＝b2＋c2－2bccosA，故A正确；对于B，根据正弦定理边角互化，可得asinB＝bsinA⇔ab＝ab，故B正确；对于C，根据正弦定理，得a＝bcosC＋ccosB⇒sinA＝sinBcosC＋sinCcosB＝sin(B＋C)＝sinA，故C正确；对于D，根据正弦定理的边角互化可得，sinAcosB＋sinBcosC＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，即sinBcosC＝cosAsinB，又sinB≠0，所以cosC＝cosA，当A＝C时，等式成立，故D不正确.6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝

，a2＋b2－c2＝ab，c＝3，则角C＝____，a＝_____.解析由a2＋b2－c2＝ab，123456789101112131415167.在△ABC中，若b＝acosC，则△ABC的形状为____________.直角三角形解析b＝acosC，∴sinB＝sinAcosC，则sin(A＋C)＝sinAcosC.即cosAsinC＝0，∵A，C∈(0，π)，∴sinC≠0，∴cosA＝0，∴△ABC为直角三角形.12345678910111213141516123456789101112131415168.在△ABC中，A＝

，BC＝3，则△ABC的周长为_____________(用B表示).123456789101112131415169.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC＋

c＝b.(1)求A的大小；因为sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，12345678910111213141516(2)若a＝1，b＝

，求c的值.所以c＝2；所以c＝a＝1.综上可得c＝1或2.1234567891011121314151610.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且(1)求B的大小；整理，得a2＋c2－b2＋ac＝0，12345678910111213141516代入b2＝a2＋c2－2accosB得，即a2－4a＋3＝0.解得a＝1或a＝3.12345678910111213141516综合运用11.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosB＋bcosA＝4sinC，则△ABC外接圆的面积为A.16πB.8πC.2πD.4π√解析因为acosB＋bcosA＝4sinC，所以由正弦定理可得，在△ABC中，sin(A＋B)＝sinC，解得R＝2，所以△ABC外接圆的面积为S＝πR2＝4π.1234567891011121314151612.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cosC等于√解析因为在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且8b＝5c，C＝2B，所以8sinB＝5sinC＝5sin2B＝10sinBcosB，1234567891011121314151613.在△ABC中，若A＝

，sinB＝

cosC，则△ABC为A.直角非等腰三角形

B.等腰非直角三角形C.非等腰且非直角三角形

D