打卡第三天-10天刷完高考真题（新高考ⅠⅡ卷2021-2023）-冲刺2024年高考数学考前必刷题（新高考）解析版

第第页10天刷完高考真题（新高考ⅠⅡ卷2021-2023）-冲刺2024年高考数学考前必刷题（新高考通用）新高考真题限时训练打卡第三天Ⅱ真题限时训练新高考真题限时训练打卡第三天难度：一般建议用时:60分钟一、单选题1．（2022·全国·统考高考真题）若集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出集合后可求.【详解】，故，故选：D2．（2023·全国·统考高考真题）在复平面内，对应的点位于（

）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.【详解】因为，则所求复数对应的点为，位于第一象限.故选：A.3．（2022·全国·统考高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（

）A．12种 B．24种 C．36种 D．48种【答案】B【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，故选：B4．（2023·全国·统考高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，则有函数在区间上单调递减，因此，解得，所以的取值范围是.故选：D5．（2023·全国·统考高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.，【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，则，因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，即，则，有，两式相减得：，即，对也成立，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C正确.方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即，即，，当时，上两式相减得：，当时，上式成立，于是，又为常数，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.故选：C6．（2023·全国·统考高考真题）已知，则（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答.【详解】因为，而，因此，则，所以.故选：B【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．二、多选题7．（2023·全国·统考高考真题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（

）．A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为C． D．的面积为【答案】AC【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D选项的正确性.【详解】依题意，，，所以，A选项，圆锥的体积为，A选项正确；B选项，圆锥的侧面积为，B选项错误；C选项，设是的中点，连接，则，所以是二面角的平面角，则，所以，故，则，C选项正确；D选项，，所以，D选项错误.故选：AC.

8．（2023·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为，，则（

）．A． B．C．是偶函数 D．为的极小值点【答案】ABC【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D.方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可.【详解】方法一：因为，对于A，令，，故正确.对于B，令，，则，故B正确.对于C，令，，则，令，又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.方法二：因为，对于A，令，，故正确.对于B，令，，则，故B正确.对于C，令，，则，令，又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，对于D，当时，对两边同时除以，得到，故可以设，则，当肘，，则，令，得；令，得；故在上单调递减，在上单调递增，因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，

显然，此时是的极大值，故D错误.故选：.三、填空题9．（2023·全国·统考高考真题）已知向量，满足，，则．【答案】【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解.【详解】法一：因为，即，则，整理得，又因为，即，则，所以.法二：设，则，由题意可得：，则，整理得：，即.故答案为：.10．（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为．【答案】【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解.方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，，将点代入双曲线得到关于的齐次方程，从而得解；【详解】方法一：依题意，设，则，在中，，则，故或（舍去），所以，，则，故，所以在中，，整理得，故.方法二:依题意，得，令，因为，所以，则，又，所以，则，又点在上，则，整理得，则，所以，即，整理得，则，解得或，又，所以或（舍去），故.故答案为：.【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于的齐次方程，从而得解.四、解答题11．（2023·全国·统考高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．(1)若，求；(2)若，求．【答案】(1)；(2).【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出，作出边上的高，利用直角三角形求解作答.（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答.【详解】（1）方法1：在中，因为为中点，，，

则，解得，在中，，由余弦定理得，即，解得，则，，所以.方法2：在中，因为为中点，，，则，解得，在中，由余弦定理得，即，解得，有，则，，过作于，于是，，所以.（2）方法1：在与中，由余弦定理得，整理得，而，则，又，解得，而，于是，所以.方法2：在中，因为为中点，则，又，于是，即，解得，又，解得，而，于是，所以.12．（2023·全国·统考高考真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．

(1)证明：；(2)点在棱上，当二面角为时，求．【答案】(1)证明见解析；(2)1【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明；（2）设，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，

则，，，又不在同一条直线上，.（2）设，则，设平面的法向量，则，令，得，，设平面的法向量，则，令，得，，，化简可得，，解得或，或，.13．（2023·全国·统考高考真题）（1）证明：当时，；（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．【答案】（1）证明见详解（2）【分析】（1）分别构建，，求导，利用导数判断原函数的单调性，进而可得结果；（2）根据题意结合偶函数的性质可知只需要研究在上的单调性，求导，分类讨论和，结合（1）中的结论放缩，根据极大值的定义分析求解.【详解】（1）构建，则对恒成立，则在上单调递增，可得，所以；构建，则，构建，则对恒成立，则在上单调递增，可得，即对恒成立，则在上单调递增，可得，所以；综上所述：.（2）令，解得，即函数的定义域为，若，则，因为在定义域内单调递减，在上单调递增，在上单调递减，则在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值点，不合题意，所以.当时，令因为，且，所以函数在定义域内为偶函数，由题意可得：，（i）当时，取，，则，由（1）可得，且，所以，即当时，，则在上单调递增，结合偶函数的对称性可知：在上单调递减，所以是的极小值点，不合题意；（ⅱ）当时，取，则，由（1）可得，构建，则，且，则对恒成立，可知在上单调递增，且，所以在内存在唯一的零点，当时，则，且，则，即当时，，则在上单调递减，结合偶函数的对称性可知：在上单调递增，所以是的极大值点，符合题意；综上所述：，即，解得或，故a的取值范围为.【点睛】关键点睛：1.当时，利用，换元放缩；2.当时，利用，换元放缩.Ⅲ精选模拟题预测一、单选题1．已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由图确定阴影部分所表示的集合为，再根据集合的补集以及交集的运算，即可得答案.【详解】由图可知图中阴影部分所表示的集合为，由于全集，集合，故，则，故选：C2．若，则（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】运用复数的运算求出，再利用复数模的公式即可求解.【详解】由题，，.故选：B.3．体育课上，老师让2名女生和3名男生排成一排，要求2名女生之间至少有1名男生，则这5名学生不同的排法共有（

）A．24种 B．36种 C．72种 D．96种【答案】C【分析】利用间接法，先让5名学生排成一排，再让2名女生相邻，即可得结果.【详解】让2名女生和3名男生排成一排，不同的排法共有种，让2名女生相邻，不同的排法共有种，所以符合题设的不同的排法共有种.故选：C.4．已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用分段函数的单调性列出不等式组即可求参数的取值范围.【详解】因为函数在R上单调递增．所以，解得，即实数a的取值范围是.故选：A．5．已知数列是公差为的等差数列，是其前项和，且,，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等差数列的基本性质可得出，结合以及等差数列的通项公式可判断AB选项，利用等差数列的求和公式可判断C选项，推导出，结合数列的单调性可判断D选项.【详解】因为数列是公差为的等差数列，是其前项和，且，，则，所以，，所以，，A对；，则，B错；，C对；因为，则，又因为，所以，数列是单调递增数列，当时，；当时，.综上所述，，D错.故选：C.6．如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意首先得，进一步得由得，将它们代入函数表达式结合诱导公式二倍角公式即可求解.【详解】由题意，则，所以，设，因为，所以，解得，所以，所以，又由图可知，所以.故选：B.二、多选题7．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球的半径为，，，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过，的圆，同理，圆，的劣弧，的弧长分别记为，，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，若，则称其为曲面等边三角形，线段，，与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面.设，，，则下列结论正确的是（

）A．若平面是面积为的等边三角形，则B．若，则C．若，则球面的体积D．若平面为直角三角形，且，则【答案】BC【分析】根据弧长公式即可求解A，根据勾股定理以及弧长公式即可求解B，根据球的截面性质可得求解C，根据余弦定理，取反例即可求解D.【详解】若平面是面积为的等边三角形，则，则，.A不正确.若，则，则.B正确.若，则，，则平面的外接圆半径为，则到平面的距离，则三棱锥的体积，则球面的体积.C正确.由余弦定理可知因为，所以，则.取，，则，，则.D不正确.故选：BC【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.8．已知函数的定义域为，且，，则（

）A．B．为偶函数C．为周期函数，且4为的周期D．【答案】ACD【分析】对于选项A：令中，即可得出答案；对于选项B：令中，得出，根据已知得出其定义域关于轴对称，即可根据函数奇偶性的定义得出答案；对于选项C：令中，得出，即可根据周期定义得出答案；对于选项D：根据周期得出答案.【详解】A选项：令，得，故A正确.B选项：令，则，因此，又的定义域为，关于轴对称，所以为奇函数，故B错误.C选项：令，则，所以，因此，所以为周期函数，且周期为4，故C正确.D选项：，故D正确.故选：ACD.三、填空题9．已知单位向量满足，则.【答案】【分析】由，两边平方得，计算即可.【详解】单位向量，有，由，得，所以，则，故.故答案为：10．已知双曲线左右焦点分别为，点为右支上一动点，圆与的延长线、的延长线和线段都相切，则.【答案】1【分析】结合双曲线的定义，再结合直线与圆相切的性质，转化求得，再根据数量积的的公式，即可求解.【详解】如图，设圆与的延长线、的延长线和线段分别切于点，连接，则，由双曲线方程为，可得又为右支上的一动点，又由题意可知，又故答案为：1【点睛】关键点点睛：本题的关键是结合直线与圆相切的几何关系，进行线段长度的转化.四、解答题11．在中，内角的对边分别是，已知．(1)求；(2)若，求的面积．【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再结合和角的正弦公式求解.（2）由（1）的结论，利用余弦定理及三角形面积公式计算即得.【详解】（1）在中，由，得，由正弦定理得，则，而，因此，又，所以.（2）由（1）及余弦定理得：，即，解得或，当时，，当时，，所以的面积为或.12．如图，在四棱锥中，四边形是菱形，平面平面，点在上，且．(1)求证：平面；(2)若，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由余弦定理结合勾股定理逆定理可得，后结合平面平面，可得，后结合可得结论；（2）由（1）结合题意建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，即可得答案.【详解】（1）不妨设，，由余弦定理得，在中，，平面平面，平面平面平面，平面．平面，四边形是菱形，，又，且平面平面平面．（2）在平面内，过点作的垂线，垂足为，平面平面，平面平面，平面，又四边形是菱形，，均为等边三角形，以点A为坐标原点，及过点A平行于的直线分别为轴，建立空间直角坐标系（如图），则，由（1）平面，为平面的一个法向量，设平面的法向量为，则即．令，可得，，平面与平面的夹角的余弦值为．13．给出下列两个定义：I.对于函数，定义域为，且其在上是可导的，若其导函数定义域也为，则称该函数是“同定义函数”.II.对于一个“同定义函数”，若有以下性质：①；②，其中为两个新的函数，是的导函数.我们将具有其中一个性质的函数称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数称之为“双向导函数”，将称之为“自导函数”.(1)判断函数和是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写出其对应的“自导函数”；(2)已知命题是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题.判断命题是的什么条件，证明你的结论；(3)已知函数.①若的“自导函数”是，试求的取值范围；②若，且定义，若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)既不充分也不必要条件；证明见解析(3)【分析】（1）由和，结合题设中函数的定义，即可得到答案；（2）由成立，得到，设，得出为“单向导函数”，再设，得到