2023年安徽省合肥市寿春中学九年级下学期第一次模拟数学试题（含答案与解析）

2023年安徽省合肥市寿春中学下学期第一次模拟试题

九年级数学

（考试时间120分钟，总分150分）

注意事项：

1.答题前，考生先用黑色字迹的签字笔将自己的姓名、准考证号填写在试卷及答题卡的指定

位置，然后将条形码准确粘贴在答题卡的“贴条形码区”内。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体

工整，笔迹清晰。

3.按照题号顺序在答题卡相应区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4.在草稿纸、试卷上答题无效。

一、选择题（本大题共10小题）

1.下列图书馆的标志中，是中心对称图形的是（）

£

2.抛物线）；=3必一2先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到新抛物线解析式为（）

A.'=3（%+3）一B.y=3（九一3『C.y=3（x—3）2—4D.y=3（x+3）2-4

1

3.若双曲线丁=——图象的一支位于第三象限，则％的取值范围是（）

x

A.k<lB.k>lC.0〈左V1D.k<l

4.如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（3,1）,则sina的值为（

3M

D.

10

5.制作一块3mx2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的

四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（）

A360元B.720元C.1080元D.2160元

6.如图，△ABC内接于。O,BD是。。的直径.若NDBC=33。，则/A等于（）

A.33°B.57°C.67°D.66°

7.如图，。是。的外接圆，且A3=AC,NB4C=36°,在弧AB上取点O（不与点A,B重合）,

连接BD,AD,则ZBAD+ZABD的度数是（）

A.60°B.62°C.72°D.73°

6k

8.如图，点A在双曲线产一（x>0）上，点3在双曲线产一（x>0）上，AB//X轴，分别过点A、B向

xx

X轴作垂线，垂足分别为。、C,若矩形A8CD的面积是15,则女的值为（）

A.21B.18C.15D.9

9.如图，正六边形螺帽的边长是251,这个扳手的开口。的值应是（）

A.2-^/3cmB.^3cmC.------cmD.1cm

10.如图，半圆O的直径AB长为4,C是弧AB的中点，连接CO、CA.CB,点尸从A出发沿

AfOfC运动至C停止，过点P作？ELAC于E,7:户，于E设点尸运动的路程为x,则四边

形CEPF的面积y随x变化的函数图像大致为（）

二、填空题（本大题共4小题）

11.已知线段a=9,b=4,则线段。和6的比例中项为.

12.如图，已知圆锥的底面。O的直径BC=6,高OA=4,则该圆锥的侧面展开图的面积为

13.如图，AB.是以AC为直径的。的两条弦，延长AC至点2使CD=BC,则当ND=15°

时，A。与AB之间的数量关系为：AD=AB.

14.在平面直角坐标系中，已知矩形Q43c中，点4（0,3）,C（4,0）,点E、E分别是线段AC、OC

上动点，且四边形DEEB也是矩形,

DB

(1)—=

DE

（2）若△BCD是等腰三角形,CF=

三、解答题

1,

15计算：2tan45°----------2sin2600.

sin30°

16.如图，A3为「。的直径，弦CDLA6于点E,若AB=26,EB=8,求弦CD的长.

17.由于发生山体滑坡灾害，武警救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废下方点C处有生命迹象，

在废墟一侧地面上探测点A、B相距2米，探测线与该地面的夹角分别是30。和60°（如图所示），试确定

生命所在点C的深度.（参考数据：72-1.414,百刃.732,结果精确到0.1）

18.如图，在;。中，直径为MN,正方形A3CD的四个顶点分别在半径OM、OP以及;。上，并且

NPOM=45°.

（1）若AB=2，求P£）的长度；

（2）若半径是5,求正方形A3CD的边长.

19.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A在格点上，8是小正方形边的中点,

ZABC=50°,NB4c=30°,经过点A,B的圆的圆心在边AC上.

（1）线段A3的长等于；

（2）请用无刻度直尺，在如图所示的圆上，画出一个点，使其满足-4DB的度数小于/ACB的度

数，并说明理由.

（3）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P,使其满足==并

简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）.

20.如图，四边形A3CD内接于对角线AC是。的直径，CE与二。相切于点C,连接3。交

AC于点P.

(1)求证：ZDCE=ZDBC；

(2)若CE=瓜AD=4,求tan/ABD的值.

21.如图，AB是半圆。的直径，点C在半圆上，点。在A5上，且AC=AD,OC=8,弧的度数

是60°.

（1）求线段0。的长；

（2）求图中阴影部分的面积（结果保留根号和兀）.

22.如图，抛物线丁=以2+法-3过点A（—l，0）,8（3,0）,且与y轴交于点C,点E是抛物线对称轴与直

线BC的交点

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证：BE=2CE；

（3）若点尸是第四象限内抛物线上的一动点，设点尸的横坐标为无，以点2、E、尸为顶点的的面

积为S,求S关于x的函数关系式，并求S的最大值.

23.【问题提出】如图1,AB为。的一条弦，点C在弦A5所对的优弧上运动时，根据圆周角性质，

我们知道1ACB的度数不变.爱动脑筋的小芳猜想，如果平面内线段A5的长度已知，ZACB的大小

确定，那么点C是不是在某个确定的圆上运动呢？

【问题探究】为了解决这个问题，小芳先从一个特殊的例子开始研究.如图2,若A3=4,线段A3上方

一点C满足NACB=45°,为了画出点C所在的圆，小芳以A5为底边构造了一个RtAAOB,再以点。

为圆心，Q4为半径画圆，则点C在；。上.后来小芳通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结

论.即：若线段A5的长度已知，ZACB的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必

定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型.

c

DC

O

AB

图1图2图3

【模型应用】

（1）若A3=6,平面内一点C满足NACB=60°,若点C所在圆的圆心为O,则NAO3=

,劣弧AB的长为

（2）如图3,已知正方形A3CD以A3为腰向正方形内部作等腰，A3E,其中=过点E作

石厂，A3于点尸，若点P是△AEF的内心.

①求N5P石的度数;

②连接CP,若正方形A3CD的边长为4,求CP的最小值.

参考答案

一、选择题（本大题共10小题）

1.下列图书馆的标志中，是中心对称图形的是（）

【答案】C

【解析】

【分析】根据中心对称图形的概念判断即可.

【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；

B、不是中心对称图形，故此选项错误；

C、是中心对称图形，故此选项正确；

D、不是中心对称图形，故此选项错误.

故选C.

【点睛】此题主要考查了中心对称图形概念.把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够

与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.

2.抛物线y=3/—2先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的新抛物线解析式为（）

A.,=3（%+3）-B.y=3（x-3）-C.y=3（x-3）2-4D.y=3（x+3）~-4

【答案】C

【解析】

【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.

【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=3/一2向右平移3个单位长度所得的抛物线的解

析式为：丁=3（%一3『一2；

再向下平移两个单位长度所得抛物线的解析式为：y=3（x—3）2—2—2,即y=3（x-3『-4.

故选：C

【点睛】本题考查的是二次函数的图象的平移，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键.

3.若双曲线丁=」的图象的一支位于第三象限，则上的取值范围是（）

x

A.k<\B.k>lC.0<左<1D.k<\

【答案】A

【解析】

【分析】反比例函数的图象是双曲线，当上>0,双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y

随x的增大而减小.

1_卜

【详解】解：•••双曲线丁=——的图象的一支位于第三象限，

x

：A-k>0,

.•.左<1；

故选：A.

【点睛】此题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数y=&（%W0）,当人>0时，图象在第一、三

x

象限，且在每一个象限〉随X的增大而减小；当上<0时，函数图象在第二、四象限，且在每一个象限y随

x的增大而增大，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键.

4.如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（3,1）,则sina的值为（）

端

X

A/103^/10

A1RrVio

310310

【答案】B

【解析】

【分析】根据正弦函数是对边比斜边，可得答案.

【详解】如图：作ABLc轴于点B,

:点A坐标为（3,1）,

：.OB=3,AB=l,

在RtAB。中，根据勾股定理AO=JOB2+A§2=,32+Y=&5,

..AB1Vio

••sinct=-----=-==,=-------,

OA71010

故选B.

【点睛】此题考查锐角三角函数，解题关键在于掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为

邻边比斜边，正切为对边比邻边.

5.制作一块3mx2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的

四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（）

A.360元B.720元C.1080元D.2160元

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的

面积，计算即可.

【详解】3mx2m=6m2,

，长方形广告牌的成本是120+6=20元/n?,

将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，

则面积扩大为原来的9倍，

扩大后长方形广告牌的面积=9x6=54m2,

...扩大后长方形广告牌的成本是54x20=1080元，

故选C.

【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.

6.如图，△ABC内接于。O,BD是。O的直径.若/DBC=33。，则/A等于（）

A.33°B.57°C.67°D.66°

【答案】B

【解析】

【详解】如图，连接DC,

；BD是。。的直径，

.\ZBCD=90°,

ZD=180-ZBCD-ZDBC=l80。-90。-33。=57。,

又•；NA=/D,

ZA=57°.

故选B.

7.如图，。是JRC的外接圆，且A3=AC,N8AC=36°,在弧AB上取点D（不与点A,2重合）,

连接BRAD,则NHAD+NASD的度数是（）

A

A.60°B.62°C.72°D.73°

【答案】C

【解析】

【分析】连接CD,根据等腰三角形的性质可求NACB的度数，然后根据圆周定理求出

ZABD=ZACD,从而可求出NH4D+NABD的度数.

【详解】解：连接CD,

A

则NAW=N3C。，ZABD=ZACDf

*：AB=ACf

：.ZABC=ZACB,

又NA4C=36。，

180?36?

・・・ZACB=二72?,

2

・・・ZBAD+ZABD=ZBCD+ZACD=ZACB=72°.

故选：C.

【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，根据圆周角定理得出NA4O=N3CD,

ZABD=ZACD是解题的关键.

6k

8.如图，点A在双曲线产一(x>0)上，点B在双曲线产一(x>0)上，A5//x轴，分别过点A、5向

X轴作垂线，垂足分别为。、C,若矩形A8C0的面积是15,则上的值为()

A.21B.18C.15D.9

【答案】A

【解析】

【分析】根据反比例函数的比例系数的几何意义进行思考，需要做出辅助线构造矩形AOOE,再根据

S矩形BCOE-S矩形AOO石=S矩形ARCO进行求解.

【详解】解：延长BA交y轴于E,如图,

,•*S矩形3co石=同，S矩形皿比=问=6,S矩形BCOE—S矩形4DO£=S矩形WD'

•'•S矩形BCO£-S矩形ADOS-15,

即W-6二15,

Q上>0,

左=21.

故选：A.

【点睛】本题考查反比例函数的比例系数的几何意义，即反比例函数y=幺图象中任取一点，过这一个点

X

向无轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值网.解题关键构造矩形.

9.如图，正六边形螺帽的边长是2cm,这个扳手的开口a的值应是（）

A.2近cmB.不cmC.------cmD.1cm

【答案】A

【解析】

【分析】根据正六边形的内角度数可得出/1=30°,再通过解直角三角形即可得出ga的值，进而可求出a

的值，此题得解.

【详解】如图：•••正六边形的任一内角为120。，

.,.Zl=30°

Ja=2cosNl=百,

a-25y3.

故选：A.

【点睛】本题考查了正多边形以及解直角三角形，牢记正多边形的内角度数是解题的关键.

10.如图，半圆O的直径AB长为4,C是弧AB的中点，连接CO、C4、CB,点P从A出发沿

AfOfC运动至C停止，过点P作？ELAC于E,PFLBC^F.设点尸运动的路程为x,则四边

形CEPb的面积y随x变化的函数图像大致为（）

【解析】

【分析】分别根据当点P在AO上运动和CO运动两种情况进行讨论，通过C是弧A3的中点得到

是等腰直角三角形，根据PE_LAC,尸尸，5c得到四边形CEPP为矩形，计算出矩形的边长即可得到面

积，从而得到函数表达式，根据二次函数的性质即可得到答案.

【详解】解：；C是弧A5的中点，

AC=BC,

,：AB是直径，

；•是等腰直角三角形，ZCAB=ZCBA=45°,

•：PELAC,PF上BC

：.ZEAP=ZEPA=45°,ZFPB=ZFBP=45°,四边形CE尸尸为矩形,

当点P在AO上运动时，x<2

AP=x,BP=4—x

AEP=—x，PF=-(4-XY

22V7

四边形CEPF的面积y=EP>PF=1x（4-x）=-1x2+2%,

当点P在CO上运动时，2<x<4,如下图所示，

；NEPC=NECP=45°,ZFPC=ZFCP=45°,PELAC,PFLBC,ZACB=90°

：.EP=EC,FP=FC,

四边形CEPP是矩形，

,**CP=4—x

•••EP=3（4—X），

11

・・・四边形的面积=砂=］一92

CEPFy2（4］）=_X-4X+8,

y=--1x2+2x,0<x<2

I’

y=—x2-4x+8,2<x<4

随x变化的函数图像大致为A所示，

故选：A

【点睛】本题考查圆和二次函数的性质，解题的关键是根据题意得到函数的表达式.

二、填空题（本大题共4小题）

11.已知线段a=9,b=4,则线段a和6的比例中项为.

【答案】6

【解析】

【分析】根据比例中项的性质可知°2=必=36,结合c>0,解出c的值即可.

【详解】解：设线段。和。的比例中项为c,

根据比例中项的性质，得：c2=ab=9x4=36,

c=+6.

：c>0,

••c—6.

故答案为：6.

【点睛】本题考查成比例线段、比例中项，是基础考点，熟练掌握相关知识是解题关键.

12.如图，已知圆锥的底面。O的直径BC=6,高OA=4,则该圆锥的侧面展开图的面积为

A

【答案】15兀.

【解析】

【详解】试题分析：；OB=lBC=3,OA=4,由勾股定理，AB=5,侧面展开图的面积为：；*6兀乂5=15兀.故

答案为1571.

考点：圆锥的计算.

13.如图，AB，是以AC为直径的。的两条弦，延长AC至点。，使CD=BC,则当ND=15°

时，AD与AB之间的数量关系为：AD=AB.

【答案】（2+6）

【解析】

【分析】先设的边长为x,根据角之间的关系得出AC与BC的长，从而可求得A。与A3之间的数量

关系.

【详解】解：设边长为无，

,/CD=BC,

：.ZCBD=ZD=15°,

ZACB=30°,

：AC是直径，

ZABC=90°,

•\AC=2xf

根据勾股定理可得BC=AC2-AB2=岛，

即CD=J^x，

/.AD=AC+CD=2x+43x=(2+y/3)x,

,：AB=x,

：.AD=(2+V3)AB,

故答案为：(2+Ji).

【点睛】本题考查了直径所对圆周角为直角，含30°角直角三角形边长之间的关系，三角形外角等知

识，解题的关键是找到边长之间的关系.

14.在平面直角坐标系中，已知矩形。43c中，点4（0,3）,C（4,0）,点E、E分别是线段AC、OC

（2）若△BCD是等腰三角形，CF=.

432715

【答案】①.一②.一或—或—

32208

【解析】

【分析】（1）分别连接BE、DF,两线交于点M,连接CM,由矩形性质及直角三角形斜边上中线的性质

可得COLCF；则易证明从而可求得结果的值；

（2）分三种情况考虑：BC=CD=3；BD=BC=3；BD=CD,利用（1）中相似三角形的性质及等腰三角形的

性质即可求得CF的长.

【详解】（1）分别连接BE、DF,两线交于点连接CM,如图.

由点A、C的坐标知，。4=3,0c=4,

：.AB=0C=4,BC=0A=3,ZBCO=ZABC=90°.

・・•四边形O度方是矩形，

AZDBF=ZDEF=90°,DE=BF,DM=FM=EM=BM.

：.ZDBC+ZCBF=ZABD+ZDBC.

：.ZABD=ZCBF.

「CM是RtBCE斜边8E是的中线，

CM=EM=BM.

：.DM=CM=FM,

：.ZMDC=ZMCDfZMCF=ZMFC.

•二ZMDC+ZMCD+ZMCF+ZMFC=180°,

・・・ZMCD+ZMCF=90°f

：.CD_LCF.

：.Z£>CF+ZDBF=180°,

・・・/BDC+ZCFB=360°-(Z£>CF+ZDBF)=180°.

・.,ZBZ)C+ZBZ)A=180°,

ZBDA=ZCFB.

•・・ZABD=ZCBF,

：.△ABDsdCBF.

.DBAB_4

**BF-BC-3•

・DB4

**DE-3,

4

故答案为：—.

3

由勾股定理得AC=VAB2+BC2=742+32=5，

：.AD=AC-CD=2,

由(1)知：AABDsLCBF,

.ADAB_4

,,CF―BC-3•

33

CF=-AD=-.

42

②当BO=BC=3时；过点B作BN，CO于N,如图;

•：-AC-BN=-AB-BC,

22

AB-BC4x312

AC55

由勾股定理得：DN=^BD2-BN2=J32-=|，

..ADAB4

'CF—BCW'

327

CF=—AD=——.

420

③当8O=CZ）时，则点。在线段BC的垂直平分线上，如图;

J.DG//AB,

CDCG।

-----==1,

ADBG

即点。是AC的中点.

AD=-AC=-

22

CF=-AD=—.

48

—2208

故答案为：士3或2一1或上15.

2208

【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线

的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些知识是解题的关键.本题具有一定的综合性，注意分类讨论.

三、解答题

1,

15.计算：2tan45°--------2sin260°.

sin300

【答案】上3

2

【解析】

【分析】将各特殊角的三角函数值代入化简求解即可.

【详解】解：原式=2*1—；—2义

2

【点睛】有关三角函数值的计算是一种重要题型，解这类问题时，要在熟记各种特殊角的三角函数值的基

础上，先将各角的三角函数值代入，然后化简计算或者先根据代数式的特点，化简整理后再代入求值.

16.如图，A3为（0的直径，弦于点E,若A3=26,EB=8,求弦CD的长.

【答案】24

【解析】

【分析】连接OC，根据垂径定理得到CE=£D,根据45=26求出。。、。3的长，根据EB=8求出

的长，利用勾股定理求出CE,即可得到CD的长.

【详解】解：连接OC,如图所示：

•••A3为；。的直径，CDVAB,

：.CE=DE=-CD,OC=OB=-AB=13,

22

OE=OB-EB=13-8=5,

在RtnOCE7中，由勾股定理得：CE=yjoC1-OE2=12>

CD=2CE=24.

【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等，解决问题的关键是添加辅助线，熟练掌握垂直弦的直径

平分弦，勾股定理解直角三角形，是解题的关键.

17.由于发生山体滑坡灾害，武警救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废下方点C处有生命迹象，

在废墟一侧地面上探测点A、B相距2米，探测线与该地面的夹角分别是30。和60°（如图所示），试确定

生命所在点C的深度.（参考数据：V2-1-414,君斗.732,结果精确到0.1）

【答案】生命所在点C的深度为1.7m.

【解析】

【分析】过点C作CE1.AB于点E,然后根据三角函数进行求解即可.

【详解】解：过点C作CELAB于点E,如图所示：

由图可得：ZBAC=30°,ZEBC=60°,

■:NEBONBAC+NBCA,

AZBCA=30°,

・・・AB=BC,

VAB=2m,

.*.BC=2m,

CE=BCsinZEBC=2x—=y/3«iJm,

2

答：生命所在点C的深度为1.7m.

【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的应用是解题的关键.

18.如图，在：。中，直径为MN,正方形A3CD的四个顶点分别在半径ON、0P以及。上，并且

ZPG)M=45°.

(1)若AB=2,求的长度；

(2)若半径是5,求正方形A3CD的边长.

【答案】⑴2y/5-2y/2

(2)非

【解析】

【分析】(1)由四边形ABCD为正方形，得DC=BC=AB=1,则"CO=NABC=90°,又

ZPOM=45°,CO=DC=1,求出0£),再连接Q4,构造直角三角形，求出A3和60的长，然后利

用勾股定理即可求出圆的半径，可得PD.

(2)证出是等腰直角三角形，得出DC=CO,求出30=243,连接A0,得出40=5,再根

据勾股定理求出AB的长即可.

【小问1详解】

解：四边形A3CD为正方形，

：.DC=BC=AB=2,ZDCO=ZABC=90°,

NPOM=45°,

.-.CO=DC=2,

:.OD=五CO=2A/2，

连接AO,则；ABO为直角三角形,

•*-AO=yjAB^BO2=722+42=26，

•••即」。的半径为26，

:.PD=OP-OD=2^-20

【小问2详解】

四边形A3CD是正方形，

:.ZABC=NBCD=90。,AB=BC=CD,

../£>CO=90。，

ZPOM=45°,

:.ZCDO=45°,

/.CD=CO,

BO—BC+CO—BC+CD,

/.BO=2AB,

MO=NO=5f

AO-5,

在Rt^ABO中，AB2+BO2=AO2

即AB2+(2AB)2=52,

解得：AB=45,

则正方形ABCD的边长为下.

【点睛】此题考查了圆的性质，正方形的性质和等腰直角三角形的性质，解题的关键是证出OCO是等腰

直角三角形，得出3。=2/3,作出辅助线，利用勾股定理求解.

19.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABC的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点，

ZABC=50°,ZBAC=30°,经过点A,3的圆的圆心在边AC上.

（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的圆上，画出一个点D使其满足NAD3的度数小于ZACB的度

数，并说明理由.

（3）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P,使其满足==并

简要说明点尸的位置是如何找到的（不要求证明）.

【答案】（1）叵

2

（2）见解析（3）见解析

【解析】

【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；

（2）在直线AC上方的弧上找一点，使得点C在△ABD内，连接AD,BD,延长AC,与BD交于

E,根据外角的性质可得大小；

（3）取圆与网格的交点E,F,连接所与AC交于一点，则这一点是圆心。，AB与网格线相交于。，

连接。。并延长交C。于点Q,连接QC并延长，与B,。的连线相交于点P,连接钎，于是得到结论.

【小问1详解】

2

解：由勾股定理可得：AB=^2+QJ=^;

故答案为：叵;

2

【小问2详解】

如图，点。即为所求；

连接A。，BD，延长AC,与BD交于E,

•：ZACB=ZCBE+ZCEB,

ZACB>ZCEB,

,：ZCEB=ZDAE+ZD,

ZACB>ZCEB>ZD■,

【小问3详解】

如图，取圆与网格线的交点E,F,连接上『与AC交于一点，则这一点是圆心。，

A3与网格线相交于。，连接。。并延长交:。于点Q,连接QC并延长，与点B,。的连线相交于点P,

连接AP,

则点P满足NPAC=ZPBC=ZPCB.

理由：第一步：连接所得圆心，因为NE4尸=90。，所以斯是直径.

第二步：。点根据网格相似比，可以知道。为A3的中点，所以。。是垂径.

第三步：连接QC并延长，交OB于P,是半径等于。4,所以NQBA=NSAC=30。,

ZPBC=20°,NAOB=ZAOQ=4BOQ=120°,

:.ZCOQ=60°=ZBOC,又OB=OQ,OC=OC,

AOCe^AOCB(SAS),

ZQ=ZPBC=2.0°,

ZOPQ=180。一120°-20°=40°,

.-.ZPCB=40°-20°=20°,

又-OA=OQ,OP=OP,ZAOP=ZPOQ=120°,

△OPQdOPA(SAS),

，ZB4C=NQ=20。，

APAC=ZPBC=ZPCB.

【点睛】本题考查了作图-复杂作图，外角的性质，勾股定理，垂径定理，全等三角形的判定和性质，圆

周角定理，正确的作出图形是解题的关键.

20.如图，四边形A3CD内接于二。，对角线AC是。的直径，CE与C。相切于点C,连接交

AC于点P.

（1）求证：ZDCE=ZDBC；

（2）若CE=J?,AD=4，求tan/ABD的值.

【答案】（1）见解析（2）2

【解析】

【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到NADC=90°,根据切线的性质得到NACE=90。，根据

余角的性质得到〃CE=NC4。，根据同弧所对的圆周角相等可得"3C=NC4D,从而证明；

AF

（2）证明ACE^,ADC,得到一="，设OE=X,得至【JAC?=4（4+x）=不+4x=AO?+°2,从而

4AC

可得CD2=4无，利用勾股定理列出方程，求出x值，得到OE,求出CD,最后根据

AT）

tanZABD=tanZACD=—可得结果.

【小问1详解】

解：AC是二。的直径，

:.ZADC=9Q°,

：.ZCAD+ZACD=90°,

,:CE与（。相切，

/•NACE=90。，

ZDCE+ZACD=90°,

：.ZDCE=ZCAD,

•：ZDBC=ZCAD,

：.ZDCE=ZDBC；

【小问2详解】

ZC4E+ZE=90°,ZCAE+ZACD=90°,

:.ZE=ZACD,

又NACE=NAT>C=90°,

:△ACEs/\ADC,

ACAECEACAE

：.——=——=——，即Hn——=——，

ADACCD4AC

AC4+r

设OE=x,则把=士，

4AC

：.AC2=4(4+x)=42+4x=AO2+CD2,

/•CD2=4x,

CD1+DE2=CE2,

4x+%2=5,

解得：x=l或x=-5(舍)，

DE=1，

•*-CD=ylCE2-DE2=2-

tanZABD=tanZACD=---2.

DC2

【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解

一元二次方程等知识，根据相似三角形的性质得到比例式，求出DE=1是解题的关键.

21.如图，是半圆O的直径，点C在半圆上，点。在AB上，且AC=AD,OC=8,弧的度数

是60°.

(1)求线段OD的长；

(2)求图中阴影部分的面积(结果保留根号和兀).

【答案】⑴8G-8

(2)牛-48+16*

【解析】

【分析】(1)过C作CELAD于E,根据已知得到NCO£)=60°,根据直角三角形的性质得到CE,求

得AC根据线段的和差即可得到结论；

(2)根据扇形的面积和三角形的面积公式即可得到结论.

【小问1详解】

解：过。作CELAZ)于E,

•.•弧的度数是60°,

:.ZBOC=60°,又OA=OC,

NQ4C=NOC4=30°,

OC=8,

：.OE=4

22

:.CE=V8-4=4A/3，

AC=8。

AD=AC=85Q4=OC=8,

:.OD=AD-OA=S-j3-^；

【小问2详解】

S阴影=S扇形BOC_S&OCD=/5x(84-8)X44=—48+164.

3oU2'/3

【点睛】本题考查了扇形的面积，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键.

22.如图，抛物线y=加+法-3过点A(—l，0),5(3,0),且与y轴交于点C,点E是抛物线对称轴与直

线的交点

(2)求证：BE=2CE-

(3)若点尸是第四象限内抛物线上的一动点，设点尸的横坐标为x,以点2、E、尸为顶点的的面

积为S,求S关于x的函数关系式，并求S的最大值.

【答案】(1)y=x2-2x-3

9

（2）见解析（3）S=—x2+3x;—

4

【解析】

【分析】（1）将点A、B坐标代入y=奴2+法一3列方程求出。、b即可得；

（2）由。£）=1、BD=2且DE〃OC,利用平行线分线段成比例定理可得变=胆=2；

CEOD

（3）利用待定系数法求得直线6C解析式，从而求得点E的坐标，作轴于点R轴于点

G,设点尸（无，X—2%-3）（0＜尤＜3）,根据△155p的面积为S=S梯形BOFP—S梯形BOGE—S梯形EGFP列出函

数解析式，配方成顶点式可得答案.

【小问1详解】

解：将点4（—1,0）,8（3,0）代入了=奴2+法—3,

a-b-3=0

得：《，

19。+3匕-3=0

则抛物线的解析式为y=x2-2x-3；

【小问2详解】

解：Vy=x2-2x-3=（x-l）2-4,

•••抛物线的对称轴为直线尤=1,

则0。=1、班）=2,

•：DE//OC,

BEBD

——=——=2,

CEOD

即BE=2CE；

【小问3详解】

解：•.•点3（3,0）、C（0,-3）,

设直线BC解析式为y=mx+n,

3m+n=0

则《。，

n=-3

m=l

解得：，

n=-3

・・・直线5C解析式为y=x—3；

当x=l时，y=-2,

如图，作Py轴于点尸，轴于点G,

设点P（x，x2-2x-3^（0<x<3）,

则△3EP的面积为：

BOFP一0梯形50GE一0梯形EGFP'

=—%'+3x

39

.•.当x=2时，S取得最大值，最大值一.

24

【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、平行线分

线段成比例定义及割补法求三角形的面积.

23.【问题提出】如图1,AB为。的一条弦，点C在弦A3所对的优弧上运动时，根据圆周角性质，

我们知道1ACB的度数不变.爱动脑筋的小芳猜想，如果平面内线段A5的长度已知，ZACB的大小

确定，那么点C是不是在某个确定的圆上运动呢？

【问题探究】为了解决这个问题，小芳先从一个特殊的例子开始研究.如图2,若AB=4,线段A5上方

一点C满足NACB=45°,为了画出点C所在的圆，小芳以AB为底边构造了一个再以点。

为圆心，Q4为半径画圆，则点C在一。上.后来小芳通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结

论.即：若线段A5的长度已知，ZACB的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必

定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型.

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