第13讲反比例函数的应用 课件2023-2024学年浙教版数学八年级下册重难点突破

第13讲

反比例函数的应用第6章

反比例函数浙教版八年级下册重难点突破系列1.反比例函数的确定方法由于在反比例函数关系式y＝

中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数，因此只需给出一组x，y的对应值或图象上一个点的坐标，代入y＝

即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式．2.用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤(1)设所求的反比例函数为y＝

(k≠0)；(2)根据已知条件(自变量与函数的对应值)列出含k的方程；(3)解一元一次方程求出k的值；(4)把k值代入函数关系式y＝

.3.函数的应用反映了一种数学建模的方式，具体可概括为由试验获得数据——用描点法画出图象——根据图象和数据判断或估计函数的类别——用待定系数法求出函数关系式——用试验数据验证函数关系式——应用函数关系式解决问题．4.应用反比例函数的性质解决实际问题时，自变量不仅要使反比例函数自身式子有意义，而且要符合实际问题中的具体意义及附加条件．【例1】某学校要种植一块面积为200m2的长方形草坪，要求两边长均不小于10m，则草坪的一边长y(单位：m)随另一边长x(单位：m)的变化而变化的图象可能是(

)【思路点拨】易知y是x的反比例函数，再根据边长的取值范围即可作出判断．C【解题过程】

∵草坪面积为200m2，∴xy＝200，即y＝

.∵两边长均不小于10m，∴x≥10，y≥10，∴x≤20，∴10≤x≤20.故选C.【例2】如图，某农家拟用已有的长为8m的墙或墙的一部分为一边，其它三边用篱笆围成一个面积为12m2的矩形园子．设园子中平行于墙面的篱笆长为ym(其中y≥4)，另两边的篱笆长分别为xm.(1)求y关于x的函数表达式，并求x的取值范围．【思路点拨】由矩形的面积公式可得出y关于x的函数表达式，结合4≤y≤8可求出x的取值范围；【解题过程】

∵矩形的面积为12m2，∴y＝

，∵4≤y≤8，∴1.5≤x≤3.(2)若仅用现有的11m长的篱笆，且恰好用完，请你帮助设计围制方案．【思路点拨】根据11m长的篱笆恰好用完，可得y＝11－2x，结合矩形园子的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出围制方案．【解题过程】∵篱笆长11m，且恰好用完，∴y＝11－2x，∴x(11－2x)＝12，解得x1＝1.5，x2＝4(舍去)，∴y＝11－2x＝8.∴当矩形园子的长为8m，宽为1.5m时，11m长的篱笆恰好用完．【例3】某市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y(℃)随时间x(h)变化的函数图象，其中BC段是双曲线y＝

的一部分．请根据图中信息解答下列问题：(1)恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间为多少小时？【思路点拨】分析图象所代表的情境，根据图象直接得出大棚温度18℃的时间为12－2＝10(h)；【解题过程】恒温系统在这天保持大棚温度18℃的时间为10h.(2)求k的值．【思路点拨】分析图象所代表的情境，利用待定系数法求反比例函数解析式即可；(3)当x＝16时，大棚内的温度约为多少摄氏度？【思路点拨】分析图象所代表的情境，将x＝16代入函数解析式求出y的值即可．【方法归纳】解决用图象描述分段函数的实际问题时，要抓住以下几点：①自变量变化而函数值不变化的图象用水平线段表示；②各个分段中，要准确确定函数关系；③反比例函数的解析式确定只需要确定图象上一个点的坐标即可．【例4】一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度v(千米/时)与所用时间t(小时)的函数关系如图所示，其中60≤v≤120.(1)求v与t的函数关系式及t值的取值范围．【思路点拨】用待定系数法即可求解；(2)客车上午8时从甲地出发．①客车需在当天14时40分至15时30分(含14时40分与15时30分)间到达乙地，求客车行驶速度v的范围；②客车能否在当天12时30分到达乙地？说明理由．【思路点拨】将

分别代入v关于t的函数关系式，求出对应v的值，结合图象即可得出v的取值范围；②根据t的值是否在5≤t≤10范围内，即可作出判断．【例5】环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L.环保局要求该企业立即整改，在15天以内(含15天)排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y(mg/L)与时间x(天)的变化规律如图，线段AB表示前3天的变化规律，其中第3天时硫化物的浓度降为4mg/L.从第3天起所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：时间x(天)34568…硫化物的浓y(mg/L)432.421.5…(1)求整改过程中当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式．【思路点拨】当0≤x＜3时，y是x的一次函数，用待定系数法可确定函数解析式；(2)求整改过程中当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式．【思路点拨】当x≥3时，y是x的反比例函数，用待定系数法可确定函数解析式；(3)该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？【思路点拨】把x＝15代入反比例函数解析式并计算，比较后可得结果．【解题过程】能．理由如下：当x＝15时，y＝

＝0.8.∵0.8＜1，∴该企业所排污水中硫化物的浓度，能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L.【例6】某地计划用120～180天(含120与180天)的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万米3.(1)写出运输公司完成任务所需时间y(单位：天)与平均每天的工作量x(单位：万米3)之间的函数关系式，并给出自变量x的取值范围；【思路点拨】利用“每天的工作量×天数＝土方总量”可以得到两个变量之间的函数关系式；(2)由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石方比原计划多5000米3，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方分别多少万米3?【思路点拨】根据“工期比原计划减少了24天”找到等量关系并列出方程求解即可．【解题过程】设原计划平均每天运送土石方x万米3，则实际平均每天运送土石方(x＋0.5)万米3.由题意，得方程两边同乘x(x＋0.5)，得360(x＋0.5)－360x＝24x(x＋0.5)．化简，得x2＋0.5x－7.5＝0.解得x1＝2.5，x2＝－3.经检验，x1＝2.5，x2＝－3均是原方程的根，但x2＝－3不符合实际意义，故舍去．又因为2≤x≤3，所以x1＝2.5满足条件．即原计划平均每天运送土石方2.5万米3，实际平均每天运送土石方3万米3.【方法归纳】求函数解析式，一般先根据题意，求出图象上的相关点，用待定系数法列方程求解；解分式方程时一定要注意验根．【例7】如图，李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的试验：在一个自制类似天平的仪器的左边固定托盘A中放置一个重物，在右边的活动托盘B(可左右移动)中放置一定质量的砝码，使得仪器左右平衡，改变活动托盘B与点O的距离x(cm)，观察活动托盘B中砝码的质量y(g)的变化情况．试验数据记录如下表：x(cm)1015202530y(g)3020151210(1)把上表中(x，y)的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连结这些点．【思路点拨】根据各点在坐标系中分别描出即可得出平滑曲线；【解题过程】如图

．(2)观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出函数关系式并加以验证．【思路点拨】观察可得x，y的乘积为定值300，故y与x之间的函数关系为反比例函数，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；(3)当砝码的质量为24g时，活动托盘B与点O的距离是多少厘米？【思路点拨】把y＝24代入解析式求解，可得答案；(4)当活动托盘B往左移动时，应往活动托盘B中添加还是减