易错拔尖：平行线的判定和性质的综合应用（解析版）

易错拔尖：平行线的判定和性质的综合应用（解析版）易错点易错点：画图考虑不周导致漏解1．如图，已知∠ABC．请你再画一个∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC边与点P．探究：∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？并说明理由．思路引领：先根据题意画出图形，根据平行线的性质进行解答即可．解：∠ABC与∠DEF的数量关系是相等或互补．如图1，∵DE∥AB，∴∠ABC＝∠DPC，又∵EF∥BC，∴∠DEF＝∠DPC．∴∠ABC＝∠DEF．如图2，∵DE∥AB，∴∠ABC+∠DPB＝180°，又∵EF∥BC，∴∠DEF＝∠DPB．∴∠ABC+∠DEF＝180°．总结提升：本题比较简单，根据题意画出图形是解答此题的关键，解答此题时要注意分两种情况讨论，否则会造成漏解．拔尖角度角度1利用平行线的判定和性质判断两直线的位置关系2．（2019春•雅安期末）如图，在△ABC中，CD是高，点E、F、G分别在BC、AB、AC上且EF⊥AB，∠1＝∠2，试判断DG与BC的位置关系，并说明理由．思路引领：根据垂直的定义可得∠EFB＝∠CDB＝90°，然后根据同位角相等两直线平行可得CD∥EF，再根据两直线平行，同位角相等求出∠2＝∠3，然后求出∠1＝∠3，再根据内错角相等，两直线平行证明即可．解：DG∥BC．理由如下：∵CD是高，EF⊥AB，∴∠EFB＝∠CDB＝90°，∴CD∥EF，∴∠2＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DG∥BC．总结提升：本题考查了平行线的性质与判定，是基础题，熟记平行线的性质与判定方法是解题的关键．角度2利用平行线的判定和性质说明角的关系3．（2010春•中山市期末）如图，AB∥CD，BN、DN分别平分∠ABM、∠MDC，试问∠BMD与∠BND之间的数量关系如何？证明你的结论．思路引领：过点M作直线ME∥AB，过点N作直线NF∥AB，由平行线的性质可得∠BMD＝∠ABM+∠CDM，∠BND＝∠ABN+∠CDN，再根据角平分线的性质，即可得到∠BMD和∠BND的关系．解：∠BMD＝2∠BND．理由如下：过点M作直线ME∥AB，过点N作直线NF∥AB，（3分）又∵AB∥CD，∴ME∥CD，NF∥CD（平行于同一直线的两直线互相平行），∴∠ABM＝∠BME，∠CDM＝∠DME（两直线平行，内错角相等），∴∠BMD＝∠BME+∠DME＝∠ABM+∠CDM．同理可得：∠BND＝∠ABN+∠CDN．∵BN，DN分别平分∠ABM，∠MDC，∴∠ABM＝2∠ABN，∠CDM＝2∠CDN（角平分线定义）∴∠BMD＝2∠BND．总结提升：本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．角度3利用平行线的判定与性质解决阅读探究问题4．（2022春•龙岗区期末）（1）如图1，AB∥CD，求∠A+∠AEC+∠C的度数．解：过点E作EF∥AB．∵EF∥AB（已作）∴∠A+∠AEF＝180°（）又∵AB∥CD（已知）∴EF∥CD（）∴∠CEF+∠＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠A+∠AEF+∠CEF+∠C＝360°（等式性质）即∠A+∠AEC+∠C＝．（2）根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中，AB∥EF，则∠B+∠C+∠D+∠E＝．（3）根据（1）和（2）的规律，图3中AB∥GF，猜想：∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝．（4）如图4，AB∥CD，在B，D两点的同一侧有M1，M2，M3，…Mn共n个折点，则∠B+∠M1+∠M2+…+∠Mn+∠D的度数为（用含n的代数式表示）思路引领：（1）如图1，过点E作EF∥AB，则EF∥CD，根据平行线的性质得到∠A+∠AEF＝180°，∠CEF+∠C＝180°，即可得到结论；（2）分别过C，D作CG∥AB，DH∥AB，则CG∥DH∥EF，根据平行线的性质即可得到结论；（2）分别过C，D，E作CG∥DH∥EI∥AB，则CG∥DH∥EI∥CD，根据平行线的性质即可得到结论；（4）由（1）（2）（3）知，拐点的个数n与角的和之间的关系是（n+1）•180°，于是得到∠B+∠M1+∠M2+…+∠Mn+∠D＝（n+1）•180°．解：（1）过点E作EF∥AB．∵EF∥AB（已作）∴∠A+∠AEF＝180°（两直线平行，同旁内角互补）又∵AB∥CD（已知）∴EF∥CD（平行关系的传递性）∴∠CEF+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠A+∠AEF+∠CEF+∠C＝360°（等式性质）即∠A+∠AEC+∠C＝360°．（2）如图2，分别过C，D作CG∥AB，DH∥AB，则CG∥DH∥EF，∴∠1+∠B＝∠2+∠3＝∠4+∠E＝180°，∴∠B+∠C+∠D+∠E＝∠1+∠B+∠2+∠3+∠4+∠E＝540°＝3×180°；（3）如图3，分别过C，D，E作CG∥DH∥EI∥AB，则CG∥DH∥EI∥CD，∴∠B+∠BCG＝180°，∠GCD+∠CDH＝180°，∠HDE+∠IED＝180°，∠IEF+∠JFE＝180°，∴∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝720°；（4）由（1）（2）（3）知，拐点的个数n与角的和之间的关系是（n+1）•180°，∴∠B+∠M1+∠M2+…+∠Mn+∠D＝（n+1）•180°．故答案为：（1）两直线平行，同旁内角互补；平行关系的传递性；C；360°；（2）540°；（3）720°；（4）（n+1）×180°．总结提升：本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用平行线的性质进行推理是解此题的关键．角度4利用平行线与方位角解决实际应用问题5．（2021秋•江夏区期中）如图，是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向．（1）从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？（2）从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是多少度？思路引领：（1）根据方向角和平行线的性质，求出∠EBA＝100°即可；（2）根据平行线的性质可得∠ACB＝∠DAC+∠EBC50°+40°＝90°．解：（1）由题意可知，∠DAC＝50°，∠DAB＝80°，∠EBC＝40°，∵DA∥BE，∴∠DAB+∠EBA＝180°，∴∠EBA＝180°﹣80°＝100°，∴∠ABC＝∠EBA﹣∠EBC＝100°﹣40°＝60°；（2）过点C作CF∥DA，则CF∥EB，∴∠ACF＝∠DAC，∠BCF＝∠EBC，∴∠ACB＝∠DAC+∠EBC＝50°+40°＝90°．总结提升：本题考查方向角，平行线的性质，理解方向角的意义以及平行线的性质是正确解答的前提．角度5拐点问题6．如图1．已知AB∥CD，BP、DP分别平分∠ABD、∠BDC．（1）∠BPD＝°；（2）如图②，将BD改为折线BED，BP、DP分别平分∠ABE、∠EDC，其余条件不变，若∠BED＝120°，求∠BPD的度数：并进一步猜想∠BPD与∠BED之间的数量关系；（3）如图3，若∠BMN＝132°，∠MND＝144°，BP、DP分别平分∠ABM、∠CDN，那么∠BPD＝．思路引领：（1）先根据平行线的性质得出∠ABD+∠BDC＝∠180°，再根据角平分线的定义得出∠PBD+∠PDB的度数，由三角形内角和定理即可得出结论；（2）连接BD，先求出∠EBD+∠EDB的度数，再由平行线的性质得出∠ABD+∠CDB的度数，由角平分线的性质得出∠PBE+∠PDE的度数，根据∠BPD＝180°﹣∠PBE﹣PDE﹣∠EBD﹣∠EDB即可得出结论．（3）连接BD，先求出∠MBD+∠NDB的度数，再求出∠PBM+∠PDN的度数，再利用三角形内角和定理即可解决．解：（1）∵AB∥CD，∴∠ABD+∠BDC＝∠180°，∵BP、DP分别平分∠ABD、∠BDC，∴∠PBD+∠PDB＝90°，∴∠BPD＝180°﹣90°＝90°．故答案为：90；（2）连接BD，∵∠BED＝120°，∴∠EBD+∠EDB＝60°，∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB＝180°，∵BP、DP分别平分∠ABE、∠EDC，∴∠PBE=12∠ABE，∠PDE=1∴∠PBE+∠PDE=12（180°﹣60°）＝∴∠BPD＝180°﹣∠PBE﹣PDE﹣∠EBD﹣∠EDB＝60°．猜想：∠BPD=12∠（3）连接BD，∵∠BMN＝132°，∠MND＝144°，∴∠MBD+∠NDB＝360°﹣（132°+144°）＝84°，∵BP、DP分别平分∠ABM、∠NDC，∴∠PBM=12∠ABM，∠PDN=1∴∠PBM+∠PDN=12（180°﹣84°）＝∴∠BPD＝180°﹣（∠MBD+∠NDB）﹣（∠PBM+∠PDN）＝48°．故答案为48°．总结提升：本题考查的是平行线的性质，角平分线的性质，三角形、四边形内角和定理，解题的关键是这些知识的灵活应用，学会添加辅助线，把问题转化为三角形或四边形，属于中考常考题型．7．（2019春•遵义期中）已知AB∥CD，解决下列问题：（1）如图①，写出∠ABE、∠CDE和∠E之间的数量关系：；（2）如图②，BP、DP分别平分∠ABE、∠CDE，若∠E＝100°，求∠P的度数；（3）如图③，若∠ABP=13∠ABE，∠CDP=13∠CDE，试写出∠思路引领：（1）猜想得到三角之间的关系，验证即可；（2）根据得出三角关系，以及角平分线定义求出四边形PBED中的三个角，进而利用四边形内角和求出所求角的度数即可；（3）依此类推确定出两角关系，验证即可．解：（1）根据题意得：∠ABE+∠CDE+∠E＝360°，理由如下：过E作EF∥AB，∴∠FEB+∠EBA＝180°，∵CD∥AB，EF∥AB，∴CD∥EF，∴∠CDE+∠DEF＝180°，∴∠CDE+∠DEB+∠ABE＝360°，故答案为：∠ABE+∠CDE+∠E＝360°；（2）∵BP、DP分别平分∠ABE、∠CDE，∴∠EDP=12∠CDE，∠EBP=12∠ABE，即∠CDE＝2∠EDP，∠ABE＝代入（1）的等式得：2∠EBP+2∠EDP+∠E＝360°，∵∠E＝100°，∴∠EBP+∠EDP＝180°-12∠E＝在四边形PBED中，∠P＝360°﹣（∠EBP+∠EDP+∠E）＝360°﹣（130°+100°）＝130°；（3）