《高中数学复习四十三讲》(上)

高中数学总复习

第一讲集合的概念和运算

命题点1集合的基本概念

本类考题解答锦囊

解答“集合的基本概念”一类试题，最主要的是注意以下两点:1.掌握集中的基本

概念和表示方法，注意集合中元素的互异性、无序性和确定性.2.解题时要先化筒集合，井弄清集合中

的元素是什么.具备什么性质.

1（典型例题）设集合M={x|x=»kWZ},N={x|x=*-CZ},则

A.M=NB.MuN

C.Mz>ND.MnN=<t>

命题目的与解题技巧：本题主要考查集合的相等及集合之间的关系，解决本题的关键是理解奇偶数的概念,

整数的整除及运算性质.

［解析］“卜IX=干火eZ},N=卜IX=平,keZ}当kGZ时，2k+1和k+2分别表示所有奇数和所有整数,

故有MuN,选B

［答案］B

2（典型例题）满足条件MU{1}={1,2,3}的集合M的个数为

A.1B.2C.3D.4

答案：B指导：满足条件的有：{1,2,3}、{2,3}.

3（典型例题）设A、B为两个集合，下列四个命题：

①AB<=>对任意xeA,有x任8②ASu>AcB=巾③AB=A?B④AB。存在xeA使得x任8其中真命

题的序号是（把符合要求的命题序号都填上）

答案：指导：由真子集的定义知，只有④正确.

4（典型例题）若非空集合MN,则“aCM或aGN”是“aCMAN”的

A.充当非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件

答案：B指导:注意到"aGM"或"aGN"也就是"aEMUN".

5（典型例题春）设I是全集，非空集合P、Q满足PQI若含P、Q的一个集合运算表达式，使运算结果

为空集小，则这个运算表达式可以是（只要写出一个表达式）

答案：指导:我们用文氏图来表示.则阴影部分为，显然，所求表达式是,如右图所示.

1（2005•黑龙江）设全集U=2,3a2+2a-3},A={|2a-l|,2}A=⑸,求实数a的值.

命题目的与解题技巧：本题主要考查集合的补集及全集等概念.解决本题的关键是理解全集、补集的概念,

也要注意元素的互异性.

［解析］因为A={5},故必有a?+2a-3=5且|2a-l|=3,解得a=2

［答案］a=2

2（2005•石家庄）集合M=（1,2.3,4,5,}的非空真子集个数是

A.29B.30C.31D.32

答案：B指导:本题是考查子集的概念，由子集的定义.

3（典型例题）设人=以日2-8*+15=0},B={x|ax-l=0,若BA,求实数a的取值集合.

答案：A={3,5}指导：①当a=O时,B=0,此时BA成立;当a#0时,8=。）由BA得工=3或1=5,即“=■）•或

aaa35

综合知的取值集合为{0、1}.

4(典型例题)集合S={0,1,2,3,4,5},A是s的一个子集，当xGA时，若有xT1A,x+l9A.则称x

为A的一个“孤立元素”。那么S中无孤立元素的四元子集的个数是

A.4B.5C.6D.7

答案：C指导:由题意可知:一个集合中由相邻数字构成的元素都不是"孤立元素"，例如1,2,S中无“孤立

元素”的4元子集可分两类:第一类是子集中的T个元素为相邻的四个数字，有{0,1,2,S},{1,2,S,4},{2,3,T,5}三个;

第二类是子集中的T个元素为两组，每一组的两个元素为相邻的两个数字，有{0,1,S,T},{0,1,4,5},{1,2,T,5}三个,

一共有6个.

5(典型例题)集合A={(x,Y)|y=23B={(x,y)|y>0,xGR}之间的关系是

A.ABB.ABC.A=BD.ACB=e

答案：A指导：•••A表示指数函数y=2,的图象上的点集,B表示x轴上方的点集，...选A.

1含有三个实数的集合可表示为卜，,1也可表示为»,a+W)},求a*网超期的值.

答案：指导:两个集合的元素完全相同，而a%0故必有b=0,此时两个集合为{a,0,1}和-a,0},所以有aVa且

a2=l,所以a=-l.

这时,a”例“。。5=i+o=i.

2已知集合人={0,2,3},B={x|x=a・b,a、b£A},则集合B的真子集有

A.7个B.8个C.15个D.16个

答案：C指导：•.％、1)2而人={0,2,3},，B={0,4,6,9},其真子集数个数为2〔1=15.

3已知集合A{1.2,3),且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A有

A.6个B.5个C.4个D.3个

答案：B指导：当A中含有一个奇数时有{1}、{1,2}、{3}、{3,2}四种，当A中含有两个奇数时有{1,

3}、{1,2,3}两种，但A

［1,2,3}.

命题点2集合的基本运算

解题的一般方法是：

1.先弄清集合中的元素是什么(是数?是点?)而且弄清楚集合的几何意义.

2.当集合有较明显的几何背景时，常利用数形结合的思想方法进行集合的运算：一般抽象集合问题往往

借助于文氏图求解；常集之间的运算常用数轴直观显示；点集可画出满足条件的点构成的图形(直线或圆

锥曲线或区域等)进行求解.

3.因集合运算的题目多以选择题的形式出现在高考中，所给集合又常常是非具体的集合，因此特例法也

是解决这类问题的常用方法之一.

1(典型例题)设全集是实数集R,M={x|-2WxW2},N={x|x<l},则MAN等于

A.{x|x<-2}B.{x|-2<x<l}

C.{x|x<l}D.{x|-2Wx<}

命题目的与解题技巧：本题主要考查集合的基本运算.正确解决本题的关键是注意应用数形结合的思想方

法，在数轴上正确的表示相应的集合，并注意端点的取舍.

［解析］已知集合是数集，可利用数轴进行集合的运算.结合图形知答案N『M.|

［答案］A

2(典型例题)设A、B、I均为非空集合，且满足A=BuI,则下列各式中错误的是

A.(A)UB=I

B.(A)U(B)=1

C.AH(B)=4>

D.(A)n(B)=B

答案：B指导：由于AuB0,画出文氏图，结合图形知只有B是错的.

3(典型例题)已知集合M={0,1,2},N={x型=2a,aSM},则集合MCN等于

A.{0}B.{0,1}C.{1,2}D.{012}

答案：D指导：由题意N={0,2,4},所以MCN={0,2}.

4(典型例题)设集合M={(x,y)|x2+y2=l,xdR,ydR},N={(x,y)|x2-y=0,xeR,yGR},则集合MAN

中元素的个数为

A.1B.2C.3D.4

答案：B指导：如右图：集合M、N有较明显的几何背景，故可画出对应的图形，用数形结合的方

法求解.

222

集合”表示的图形是圆x+y=l,集合M表示的图形是抛物线x-y=0,如右图，圆和抛、产

物线有两个公共点，所以MCN中元

素的个数为2.—十

5(典型例题)设集合八={5,1。82匕+3)},集合B=a,b}.若ACB={2}.则AUB=

答案：指导：由题意，log2(a+3)=2,所以a=l,所以b=2.故集合A={5,2},集合B{1,2},则AUB={I,2,

5).

6(典型例题)设集合P={1,2,3,4,5,6},Q={xGR|2WxW6},那么下列结论正解的是

A.PAQ=PB.PCQ?Q

C.PUQ=QD.PCQP

答案：D指导：由题意，PCIQ={2,3,4,5,6},PUQ={x|2WxW6或x=l}

7(典型例题)设人=心反=屈1,kGN},B={x型W6,xWQ},则APB等于

A.{1,4}B.{1,6}C.{4,6}D.{1,4,6}

答案：D指导：由于B中元素是不大于6的有理数，易得4CB={1,4,6}

1BftlA={xIy=x,xeR},B={y|y=x2,xSR},则ADB等于

A.{xlxGR}B.{y|y20}

C.{(0,0),(1,1)}D.<t>

命题目的与解题技巧：本题主要考查集合的基本运算.正确解决本题的关键是首先弄清集合中的元素是什

么，还应注意应用数形结合的思想方法，在数轴上正确的表示出相应的集合，并注意端点的取舍.

［解析］A={xixGR},B={y|y20},己知集合是数集，可利用数轴进行集合的运算.易得ACB={y|y20},

故选B

［答案］B

2(2005•淄博)设集合1={a,b,c,d,e},M={c,d,e},N={a,b,e},那么集合{a,b}可以表示为

A.MANB.MANC.MAND.MAN

答案：B指导：画出文氏图如下，易得{a,b}=MC!N

3(2005•宣武质检)已知全集U=R,集合A={x|<-2或x>l},B={x|-lWx〈0},则AU

(B)=

A.{x［x<-2或x>l}B.{x|xWT或x>0}

C.{x|x〈T或x20}D.{x|x〈T或x>0}

答案：C指导：B={x［x<-1或x》O},...选C

4(典型例题、黄冈)已知集合P={(x,y)||x+|y|=l),Q={(x,y)|x'+yMl},则

A.PQB.P=QC.PQD.PAQ=Q

答案：指导：分四类讨论化简方程|x|+|y|=l得点集户表示的图形如左下图中的正

方形，而点集Q表示单位圆面如下右图....P是Q的的真子集.

1定义A-B={x|xGA,且xB},若4={2,4,6,8,10},B=

A.{4,48,8}则A-B等于B.{1,2,6,10)

C.|1|D.⑵6,10}

答案：D指导：A-B={x|xeA,且xGB}={2,6,10).

2如图所示，u是全集，M、P、S是U的三个子集，则阴影部分所表示的集合是

A.(MPP)ns

B.(MPP)US

C.(MAP)n(,S)

D.(MAP)U(S)

答案：C指导：由图知，阴影部分表示的集合是MAP与S的补集的交集.

命题点3集合与不等式

解答“集合与不等式”一类测题，主要注意以下几点

1.能化筒的集合先化简，以便使问题进一步明朗化，掌握不等式的解法，如串根法、落

点分区间法、平方法、转化法等.

2.在进行集合的运算时，不等式解集端点的合理取舍是难点之一，可以采用验证的方法进行取舍.

3.合理运用数形结合思想，是解决此类问题的关键之一.弄清集合中的元素是什么，然后分别用文氏图、

数：轴或坐标平面表示出相应集合.

4.要注意检验和分类讨论，分类的关键在于确定分类标准，使所分的各类不重复不遗漏.

1(典型例题)记函数f(x)=F|||的定义域为A,g(x)=lg[(x-a-l)(2a-X)](a<l)的定义域为B

(1)求A；

(2)若B=A,求实数a的取值范围.

命题目的与解题技巧：本题主要考察函数定义域的求法、分式不等式与含参数的整式不等式的解法、集合

之间的包含关系.解决本题的关键在于含参数不等式的正确求解，合理运用数轴来表示集合是解决这类问

题的重要技巧.

[解答]⑴2-辽王0,得工!■NO,x<T或x》l即A=(-8,-1)U[1,+°°],

1x+\

(2)由(x-a-1)(2a-X)>0,得(x-a-1)(x-2a)<0.

Va<l,Aa+l>2a,：.B=(2a,a+1).

；BuA,.•.2a2l或a+lWT,即a“或aW-2,而a<lWa〈l或aW-2,故当B=A时,实数a的取

22

.M

值范围是(-8,-2)U[Ll]二一T

2——^—6---------------------------------------------------------------6----------►

2(典型例题)已知集合后{xIx\4},N={x|x-2x—3<0},则集合MAN等于

A.{x|x<-2}B.{x|x>3}

C.{x|-Kx<2}D.{x|2<x<3}

答案：C指导：①化简集合M和N,M={x}-2<x<2},N={x[-l<x<3②利用数轴求交集MCN{x[T<x<2}

3(典型例题)设集合P={m|-Km<o},Q={meR|mx-+4mx-4<0对任意实数x恒成立},则下列关系中成立的是

A.PQB.QPC.P=QD.PnQ=<|>

答案：A指导：由题意，P=(in|-l<ni<0},Q={m|T〈mW0},则PQ

4(典型例题)设全集U=R

(1)解关于x的不等式:|x-11+a-l>0(aGR)

(2)记A为(1)中不等式的解集，集合B={x|sin("-?)+6cos⑶-0=0),若AAB恰有3个元素，求a

的取值范围

答案：⑴由|x-l|+a-l>0|x・l|4a当a>l时,解集是R；

当aWl时,解集是{x|x<a或x>2-a}.

(2)当a>l时，=,不符合题意；

当aWl时;A={x|a^x^2-a}.

因sin(joe--)+V3cos(^x-

3

=2[sin⑶--)+73cosg--)

3S

=2sin/zx.

由sinx=0,得(kez).即B=kGZ,所以B=z.

当(A)AB恰有S个元素时，a就满足

a<1,

-2<2-a<3>ff-l<«<0.

-l<«<0

1(典型例题海淀)已知关于X的不等式铲<0的解集为M

x~-a

(1)当a=4时，求集合M

(2)若3GM且5GM,求实数a的取值范围.

命题目的与解题技巧：本题主要考查分式不等式的解法以及元素与集合的关系.解决此题的关键是准确的

利用串根法求得不等式的解集，准确把条件3WM且5WM转化为关于。的不等式组.

［解答］(D当a=4时，原不等式可化为学3〈0

X2-4

解得x-2或<x<2.故M=(-8,-2)U(A,2).

4

⑵由33得言<。，由5史”得罟，。解之得：：］U⑼25).

2(典型例题)两个集合A与B之差记作A/B”,定义为：A/B={x|xeA,且xeB}},如果集合A={x|log2X<l,

xWR),集合B={x||x-2|<l,xGR},那么，A/B=

A.{x|xWl}B.{x|x23}

C.{x|lWx〈2}D.{x|0<x<l}

答案：D指导：A={x10<x<2,xGR},B={x|l<x<3,xGR,A/B={x|0<xWl,xGR}

3(典型例题)已知集合乂={a,0}N={X|2X2-5X<0,XGZ),若MAN#。，则a等于

A.1B.2

C.1或2D.1或2

2

答案：C指导：N={x|0<,*《2}={1,2},因乂。1\1彳0,所以有2=1或2

4(2005•浙江)已知全集1>七集合M={x|x》l},N={x|立120,则(MCN)等于

x—2

A.{x|x<2}B.{x|xW2}

C.{x|-l<x^2}D.{x-l^x<2}

答案：B指导：M={x|x21},N={x|x〈-l或x>2},则£u(MGN)={x|x<2}

5（2005•天津）已知集合人=心|-2卜+6心<~-3},B={x|-k<x<k）,AB,求实数A的取值范围.

答案：指导：VAB,.\k>-k=>A>0.

—2k=k+6>-k[-2k+6>-k

k--3<k

2

k>0

=，0<kW5叵或0<1<<止恒={|<|0<|<<:[!]叵}.

222

1设集合A={x|(x+2)(x-5)W0},B={x|a+lWxW2a-l},若B^A,则实数a的取值范围是

答案：指导：A={x|-2WxW5},因BqA,所以J+

[2a-1<5

得-3WaW3

2已知集合乂=心||x-l|Wl},Z为整数集，则Mnz=

A.[1,2}B.{0,1,2}

C.<1>D.{-b0}

答案：B指导：M={x|10WxW2},所以MClZ={0,1,2)

3设集合A={x1x2-a<0},B={x|<2},若ACB=A则实数a的取值范围是

A.a<4B.aW4

C.(KaW41).0<a<4

答案：B指导：：AnB=AB①aWO时，不符合②当a>0,时.若aB.则aW4..•.选B.

命题点4集合与函数和方程

解答“集合与函数和方程”一类试题，注意以下几点：

1.解决集合与方程、函数的综合问题时,，要注意灵活运用集合的相关知识，掌握函数值域、定义域的求

法信方程的解法；

2.要充分利用数形结合的思想方法；

3.要弄清集合中元素是什么？

4.对于含参数的方程问题，一般需要对参数进行讨论，要特别注意检验集合的元素是否满足“三性”，还

要提防“空集”这一隐性陷阱.

1(典型例题)设函数f(x)--—(xGR),区间M=[a,b](a<b),集合N={y|y=f(x),x£M},则使M=N成立

的实数对(a,b)有

A.0个B.1个C.2个D.无数多个

命题目的与解题技巧：本小题主要考查集合的表示和相等，函数值域等知识，解题的关键是掌握函数值

域的基本求法，理解集合相等的概念等.

[解析]

（方法一）f（x）=，Ox=0

/("、一/%乃

YRT

由此可知x>0时f(x)<0；x=0时f(0)=0；x<0时f(x)>0.二当xWO时f(x)的定义域

M与值域N不可能相等，而x=0时，定义域为{0},不存在a,b且a>b,使得[a,b]中仅含0元素，故选

A

(方法二)由f(-X)=二—二一/⑴知f(x)为奇函数，过原点；同时易证f(x)在xER上单调递减，故f(x)

1+lxl

与y=x,y=-x仅有原点一个交点.而一个函数f(x)若想定义域与值域相等，则f(X)与y=x或y=-x应有两

个交点.故本题中不存在(a,b)使得M=N,选A

[答案]A

2(典型例题)若集合乂={丫|丫=2月,集合P={y|y=W},则MPP=

A.{y|>l}B.{y|yel}C.{y|y>0}D.{y|yeO}

答案：C指导：M={y|y>O},P={y|yNO},则MUP={y|y>0}.故选C

3(典型例题•理)函数f(x)=f”P'其中P,M为实数集R的两个非空子集，又规定f(P)={y|y=f(x),x

GA/,

eP}f(M)={y|y=f(x),xGM}.给出下列四个判断:

①若pnM=«则f(P)nf(M)=@；②若pnM=e,则f(P)nf(M)=4>；能PUM=R，则nP)uf(M)=R；

④若PUMWR,则f(P)Uf(M)WR其中正确判断有

A.1个B.2个C3个D.4个

答案：B指导：由题意知函数f(P)f(M)的图象如下图所示.

设设限+8],M=(-8,Xi)],|x2|<|xi|.

f(P)=(f(x2),+°°],f(M)=[f(Xi),+°°],PAM=0.

而f(P)Cf(M)=[f(Xi,+8)#0,

同理可知④正确.故①错误，同理可知②正确.

设P=[X1，+8),M=(-8,X2)],|x2|<|Xi|,则PUM=R

f(P)=[f(xJ，+8],f(M)=[f(x2),+8]

f(P)Uf(M)=[f(x2),+8—R,故③错误.同理可知④正确.

4(典型例题)记函数f的定义域为A,g(x)=lg[(x-a-l)(2a-X)](a<l)的定义域为B

Vx+1

⑴求A；

(2)若BuA,求实数。的取值范围.

答案：⑴由2-9*0,得320,门<-1或唧A(-8,+8).

x+\x+1

(H)由(x-a-)(2a-x)>0,得(x-a-l)(x-2a)<0.Va<1,.*.a+l>2a,/.B=(2a,a+1).

VBGA,.•.2a2l或a+lW-1,即a"或aW-2,

2

而a〈l,或aW-2.故当BA时，实数a的取值范围是(-8,-2)U[,1].

2

1设集合M={(x,y)|y=J16-/,yWO),N={(x,y)|y=x+a},若MDNW"，求实数m的取值围.

命题目的与解题技巧：本小题主要考查集合的概念和运算，解题的关键是要弄清集合中的元素是函数图像

的点集，然后运用数形结合的思想方法求得答案.

[解析]集合M,N有较明显的几何背景，故可画出对应的图形，用数形结合的方法求解.集合M表示的图

形是园/+『=16在x轴上方的部分，集合N表示的图形是直线y=x+a,如图，若MCNW<I>,即半圆(不含

端点)与直线没有公共点.当直线与半圆相切时。a=4后，当直线过A时，a=-4,故。的取值范围是

[答案](-8,-4)U(4A/2,+8)

2(2005•合肥)若人={&,y)|x+y=3},B={(x,y)x-y=l},则ACB等于

A.{(1,2)}yTv一

B.⑵i}zy*

C.{(2,1))

D.中

答案：C指导:.•.由f+广：得F=7"B={2I}

Qy=i[y=]

3(典型例题)已知集合人={&,丫)，炉=2«^力[0团},13={h丫}、=1«+1<+1},若八门13含有两个元素，则

[y=sin6^

ke_________

答案：指导：•••『=28^W0划,=上+、2=1(0力41)把丫=|0<+|<+1代入得

[y=sin94

(1+k2)x2+(2k2+2k)x+k2+2k=0,由△=()得k=0或k=2.又直线y=kx+k+l恒过点(T,1),其与(-2,0)

43

连线的斜率为i,与(2,o)连线斜率为-由数形结合可得答案.[2,1])U[-2,0]

333

4(典型例题四月)设f(x)=x:集合A={x|f(x)=x,xGR},B={x|f[f(x)]=x,xGR},则A与B的关系

A.AHB=AB.ACB=e

C.AUB=RD.AUB={-1,0,1}

答案:A指导：由f(x)=x得x2=x,，A={0,1},由f[f(x)]=x得<=x,，B={0,1}；.ACB=A,选A

5(典型例题)求：&|丫=1记(4*2-4)}A{y|y=2x?-3}=

答案：[-3,-l]U(l+°o)指导：原式={x|4x2-4>0}n{y|y》-3}={xlx>l或x<-l}n{y|y》-3}=[-3,+°°).

1已知集合人=以，-5*+6=0},B={x|mx+l=0},月.AUB=A,则实数m组成的集合为

A.{-1,-1}B.{0,1}C.{1,1}D.{0,-1,-1}

2322323

答案：D指导：A={2,3},由AUB二A,知BA,若BW。，则m#O,此时x=-L

m

2

,:BcA,:.---GA,:.(---)-5(---)+6=0.则机=一"!"，或m=---,

tntntn2tn

故m组成的集合是{O,-g,-g}

2集合A二{x|x"3x+2=0},B={x|x2-ax+(a-l)=0},C={x|x2-mx+2=0},已知AUB=A,AClC=C,求a,m的值.

答案:由仁言酒匕消却

得x2+(m-l)x+l=0.

VAnB=0

.••方程①在区间［0,2］上至少有一个实数解.

由△、()，得mW-1或m23.当mW-l时，

由Xi+X2=-(m-l)>0及X|X2=l>0知，方程①至少有一个根在区间［0,2］内，满足要求;

当m，3时，由Xi+X2=-(m-l)<0及X［X2=l>0知，方程①有两种负根，不符合要求.

综上，m的取值范围是mW(-81-1).

考场热身

1已知集合M={x|x=m+，,mGZ},N={x|x=---,nEZ},P={x|x=-^-+-,pGz),则M、N、P满足关系

62326

A.M=NPB.MN=P

C.MNPD.NPM

答案：B指导：对于集合M：

E

{xIx=eZ}对于集合N:jxlx=~^~^PZ卜于集合P:

卜U=等l,pwz}由于3(n-l)+l和S都表示被除余1的数，而6m+l表示被6除余1的数，故MN

2设集合P二{3,4,5},Q={4,5,6,7},定义：P*Q={(a,b)|aeP,beQ},则P*Q中元素的个数为

A.3B.7C.10D.12

答案：D指导：P:Q的元素有SX4=12,故选D.

3已知集合A={(x,y)Ix'mx-y+ZR}和B={(x,y)|x-y+l=0,0WxW2},如果ACBH6,求实数表的取值

范围.

答案：由卜2+mx-y+2=(X消去乂得了+5一1)1+1=0.

［x-y+l=0(0<x<2),

•・・ACB=,・,•方程①在区间［0.2］上至少有一个实数解.

由△》()，得m〈-l,或m23.当m〈・l时、

由Xi+X2=-(m-l)>0及XM=1>0知，方程①至少有一个根在区间［0,2］内，满足要求；

当m》3时,由Xi+x2=-(m-l)>0及xix2=l>0知,

方程①有两负根，不符合要求.

综上，m的取值范围是(-8,-1).

4已知P={(x,y)|(x+2)、(y-3)W4},Q={(x,y)|(x+l)2+(y-m)2<-},且PGQ二Q,求m的取值范围.

4

答案：根据题意知，

点集P表示以01，(-2,3)为圆心，以2为半径的圆面(包含边界圆)，

点集Q表示以。2(-1，m)为圆心，以‘为半径的圆面(不包含边界圆).

2

为使PCQ=Q,应使圆02内含或切于圆。1.故有|。1。2|2忘。口2)2，

即(-l+2)2+(m-3)2w(2-J)2

解得s_^v,”vs+3.

22

5已知集合M二{x,xy,lg(xy)},N={0,Ix|,y),并且M=N,求&+')+(*2+-!7)«3+3*・・+6"型网也)

yyy

的值.

答案：因为{x,xy,lg(xy)}二{0,|x|,y},

所以lg(xy)=0(因为当x,y之一为0时lg(xy)无意义).

即xy=l时,再由集合N和|x|=l,或y=L当y=l时,由xy=l得x=l,根据元素的互异性知y=l不可能.

当冈二1时，同理，由元素的互异性可知，x=l不可能.故只能取x=-l,由xy=l得y二-L

由X=l,y=-l,知X?n=y2n,x2n-l二y2n-l(n£N+).所以

(X+—)+(X2+—+(X3+4r)+-••+(X2(XH+(-1-1)+(1+1)+(-l-l)+*--+(l+l)=0.

>2y2y3y2004

6已知R为全集,A={x|log,=(3-x)》-2},B={x=_》l},求AAB

—x+2

2

答案：由已知log।(3-x)2log］4,丁丫=叫］x为减函数，，S-xW40'~^=>-l<x<3

——o-x>0

222l

即A={x|-2<x^3},又由一二21得B={x|-2〈xW3},.,.AAGB={x|-2<x<-l,或x=3}

x+2

7设集合A={x|21gx=lg(8x-15),xeR),B={x|cos土>0,x£R}.则AAB的元素个数为________个.

2

答案:由已知集合A,得Igx2=lg(8x-15),・・・X2・8X+15=0.

解得Xi=3,X2=5./.A={x|xi=3,X2=5}.

又由集合B,得cos->0.

2

A2kJt--<-<2kn+i,kGZ.

222

.,.4kJt-Jt〈x〈妹n+n.

B={x|4kJt+Jt.,keZ}

(1)当k=0时，.•.AClB={x|x=3};

(2)当k=l时•，3n<x<5n,."^03=^;

(3)当k=-l时，-5n<x<-3n,.*.AnB=0.

故ACB的元素个数为1个.

第二讲简易逻辑

命题点1真假命题及四种命题的概念

本类考题解答锦囊

解答“真假命题及四种命题的概念”一类试题，主要掌握以下几点：L对数学概念要有准确的记忆和深

层次的理解；

2.掌握真值表是判断真假的前提；

3.判断一个命题真假，可根据定义直接判断，也可利用原命题与其逆否命题的等价关系求解；证明一个

结论成立时，也常转化为证明其逆否命题成立.

4.解这类问题要弄清逻辑连结词和简单命题及复合命题的构成形式，准确地运用真值表进行判断.

1(2005•上海)设数列{a,,)的前n项和为s„(nGN*),则关于数歹列a„}有下列三个命题:

⑴若题}既是等差数列又是等比数列，则a“=aa(nGN*)；

⑵若s产an=bn(a,bGR),则{a“}为等差数列；

(3)s„=l-(-l)",则{aj是等比数列.

这些命题中正确命题的序号是

命题目的与解题技巧：本题以“命题”为工具，主要考查等差、等比数列的基础知识.解决本题的关犍是

准确掌握等差、等比数列的定义，a“和s.的关系等知识.说明命题为真命题需要证明，说明一个命题为

假命题只需单一个反例.

［解析］(l)；{a„}为等差数列，设公差为d,则由题意a“-d,a“，a0+d为等比数列，念(a「d)(a.+d),

所以d=0正确，...(1)正确.

(2)当n=l时，ai=si=a+b；当n22时,a>=sn-sn-i=2an-a+b；因n=l适合上式，所以an=Sn-s„T=2an-a+b(fu

a„「a0=2a(常数)，所以⑸}为等差数列.(3)同⑵得&=(T严•2,而&旦=-1(常数).所以{aj为等

比数列.

［答案］⑴

2(典型例题)在空间中：

①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；

②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线.

以上两个命题中，逆命题为真命题的是

答案：②指导：①中的逆命题是：若四点任何三点都不共线，则这四点不共面.用正方体AC】做模型来

观察：上底面AiBiCiDi

中任何三点都不共线，但Ai、Bi、Ci、6四点共面，所以①中逆命题不真.②中逆命题是：若两条直线

是异面直线，则两条

直线没有公共点，所以②中逆命题是真命题.

3(典型例题)已知函数y=f(x)(定义域为1),值城为A)有反函数y=f-'(x),则f(x)=O有根为a且f(x)>x(x

eD)的充要条件是y=f-(x)满足________

答案：P(O)=a,且产(x)<x(xGA),或丫=尸3图象在直线y=x的下方，且与y轴的交点为(0,a)

指导：因为y=f(x)有反函数，贝ijy=f(x)必为单调函数，由方程y=f(x)=0有解x=a,贝ijy=f(a)=0.

又y=f(x)>x,说明在定义域D内，函数y=f(x)的图象在直线y=x的上方.而y=f(x)的反函数y=「(x)与y=f(x)

的图象关于直线y=x对称.因此,从代数角度回答有y=fT(0)=a,且丫=『我)«@打八)；从几何角度回

答有y=f'(x)图象在直线y=x的下方，且与y轴的交点为(0,a).

4(典型例题)a,B是两个不同的平面，m、n是平面a及B之外的两条不同直线.给出四个论断：①②

a±0③nJ.B④m_La以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命

题：________

答案：指导：以m上n作为结论，其余S个论断作为前提条件，检查命题是否正确：因为夕所以

n//a或nua.当nua时,加_La得加_L”当n//a时，过作一平面与平面a相交于直线M则由前证知，根据

线面平行性质这时n〃iY故得mIn.

a_L_L0,m_La=_L

5(典型例题)命题p：若a、bWR贝IJ|a|+|b|>l是|a+b|>l的充分而不必要条件.命题q函数y=Jlx-11-2的

定义域是(-8,-1］U［3,+8).则

A."P或q”为假B.“p且q”为真

C.“p真q假”D.“p假q真”

答案：D指导：：|a+b|W|a|+|b|,...|a|+|b|>l是|a+b|>l的必要而不充分条件，即p假；由|x-l|-220,

得xW-1,

或x23,即q真....选D.

II题点经典类型题

1(2005•合肥)给出命题：p：323,命题q：函数f(x)=1\x20x<0在R上是连续函数，则在下

列三个复合命题：“P且q”“P或q”“非P”中,真命题的个数为

A.0B.1C.2D.3

命题目的与解题技巧：本题主要考查连续函数的概念及复合函数真值表.解决本题的关键是准确连续函数

的定义及基本知识.要判断三个复合命题的真假，必须先判断P与叮的真假，再结合复合函数的真值表进

行判断.

［解析］要判断三个复合命题的真假，先必须判断P与q的真假，再结合复合命题的真假表作出判断，P：3

Z3为真命题，而q：f(x)在R上是连续函数是假命题，则这P或q为真，P且q为假，p

为假命题.

［答案］B

2(2005•南开中学)今有命题p、q,若命题m为“p且q,则“p或，q”是“m”的

A.充分不必要条件D.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案：C指导：“p且q”的否定为“1p或1q，“1p或1q”是“rm”的充要条件.

3(典型例题)定义在R上且不恒为0的函数f(x),满足f(x)满足f(x+』)+f(x)=0,且函数f(x-2)为奇函

24

数，给出下列命题：①函数f(x)的最小正周期是3；②函数y=f(x)的图象关于点(-3,0)对称；③函

24

数尸f(x)的图象关于y轴对称.其中真命题的个数是

A.3B.2C.1D.0

答案:B指导：:f(x+-|)=(x+y+-|)=-/(x+-|)=f(x).

，最小1E周期为3；Yy=f(x-3)为奇函数.，函数y二f对称中心为原点，，函数y=f(x)以点

4

(-20)为对称中心・・・・y=f(x-3)为奇函数.

44

f(-x-当=-f(x-，以X-4代入得y==-/(X-当①

4442

又由-f(x+}=/(x)=-f(x+-|)=f(x)=-f(x+$=~f(x~9

比较①②得f(-x)=f(x)....y=f(x)为偶数..•.命题②、③正确，①错误.•.选B.

4(典型例题)已知原命题：“若m>0,则关于x的方程x2+x-m=0有实根”，下面结论中正确的是

A.原命题和逆否命题都是真命题

B.原命题和逆否命题都是假命题

C.原命题是真命题，逆否命题是假命题

D.原命题是假命题，逆否命题是假命题

答案：A指导：对于方程x2+x-m=O的△=4m+l,当m>0时△>(),...方程有实根，即原命题是真命题，

而逆否命题与原命题是等价命题，故选A.

m新高考命题探究

1已知命题p=不等式式|+|x-l|>m的解集为R,命题q=函数f(x)=-(5-2m),是减函数，若p或q为真命题、

P且q为假命题，则实数m的取值是______.

答案：［1,2］指导：不等式|x|+|x-l|>m的解集为R,则m<l,函数f(x)=-(5-2m)x是减函数，则m<2,又

由P或q为真命题、P且q为假命题，则实数m的取值lWmW2.

2已知函数f(x)=x-+(a+l)x+lg|a+2|(a£R,且aW-2).

(1)若f(x)能表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和，求g(x)和h(x)的解析式；

(2)命题P；函数f(x)在区间［(a+l)z,+8］上是增函数；命题Q；函数g(x)是减函数，如果命题p、0有且

仅有一个是真命题，求a的取值范围；

(3)在(2)的条件下，比较f(2)与3-lg2的大小.

(l)Vy=f(x)=g(x)+h(x),

g(-x)=-g(x),h(-x)=h(x),

/.f(-x)=-g(x)+h(x).

g(x)+h(x)=x-(a+l)x+1gIa+2I,

一g(x)+4(x)=x2-(a+l)x+1gIa+21

解得g(x)=(a+l)x,h(x)=x2+lg|a+2|.

(2；•函数y=f(x)=(x+"l)2——)2一色业i+ig"+2l在区间［(a+2)2,+8］上是增函数，，(a+i)2N一史

2242

解得a2・l或且aW-2.

2

又由函数g(x)=(a+l)x是减函数，得a+<0,

*,•3<-1且aW-2.

命题Q为真的条件是：a<-l,・••命题P为真的条件是：

a2-l或且aW-2.

2

又•・,命题P、Q有且仅有一个是真命题，・・・a>-3

2

(3)由题意得f(2)=2a+lg|a+21+6.

又.>--Af(2)=2a+lg|a+21+2|+6.

a2

设函数v(a)=2a+18(a+2)+6>

.".v'(a)=2+-^—lnl0>0

«+l

二函数v(a)在区间［_?,+8］上为增函数.

2

又•.•v(_J)=3Tg2,...当a>-3时，v(a)>(--),即又2)>3Tg2.

222

命题点2充要条件

本类考题解答锦囊

解答“充要条件”类试题主要掌握以下几点：

1.判断充要条件要从两方面考虑：一是：解这类问题必须明确哪个是条件，哪个是结论；二是再看是由

条件推出吉论，还是由结论推出条件，应用充分不必要、必要不充分、充要条件的定义加以征明.

2.判断充分条件，必要条件，充要条件，既不充分也不必要条件，最根本的方法是根据定义，运用“n”

号：

若p=