重庆市巴南区部分学校2023-2024学年高一下学期阶段测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1重庆市巴南区部分学校2023-2024学年高一下学期阶段测试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图，四边形中，，则必有（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗四边形中，，则且，所以四边形是平行四边形；则有，故A错误；由四边形是平行四边形，可知是中点，则，B正确；由图可知，C错误；由四边形是平行四边形，可知是中点，，D错误．故选：B．2.设，是非零向量，“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗由表示单位向量相等，则同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出，由表示同向且模相等，则，所以“”是“”的必要而不充分条件.故选：B.3.已知向量，，，且，，则（）A.3 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为向量，，，且，，所以，解得：，即，，所以，因此.故选：B.4.已知向量，且，则下列一定共线的三点是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，则不存在任何，使得，所以不共线，A选项错误；则不存在任何，使得，所以不共线，B选项错误；由向量的加法原理知，则有，又与有公共点，所以三点共线，C选项正确；，则不存在任何，使得，所以不共线，D选项错误．故选：C．5.在三角形中，已知，，点满足，则向量在向量方向上的投影向量为（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由可得：，即，可得，所以，如图设的中点为，则，由可得，所以，所以，所以，向量在向量方向上的投影向量为：，因为，所以，所以向量在向量方向上的投影向量为.故选：B.6.如图，矩形中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗解法一：依题意①，②，③，由②③式解得，，代入①式得．解法二：以为原点，分别为轴的正方向建立平面直角坐标系，设，则，由，有，有，解得，得．故选：A．7.在矩形中，已知分别是上的点，且满足．若点在线段上运动，且，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗矩形中，已知分别是上的点，且满足，设，则，，联立，可解得，因为点在线段上运动，则可设，，又，所以，，因为，所以．故选：B．8.已知平面向量不共线，且，，记与的夹角是，则最大时，A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设，则，，所以，易得，，当时，取得最小值，取得最大值，此时.故选：C.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下列说法错误的是（）A.两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同B.若非零向量与是共线向量，则四点共线C.若非零向量与共线，则D.若，则〖答案〗ABC〖解析〗对于A，两个有共同起点且相等的向量，其终点相同，A错误；对于B，如平行四边形中，与共线，但四点不共线，B错误；对于C，两个非零向量共线，说明这两个向量方向相同或相反，而两个向量相等是说这两个向量大小相等，方向相同，因而共线向量不一定是相等向量，但相等向量却一定是共线向量，C错误；对于D，向量相等，即大小相等、方向相同，D正确．故选：ABC.10.中，下列说法正确的是（）A.若，则为锐角三角形B.若，则点的轨迹一定通过的内心C.若为重心，则D.若点满足，则〖答案〗BCD〖解析〗选项A：若，则，因此角为锐角，但不一定为锐角三角形，故A错误；选项B：因为分别表示方向上的单位向量，所以的方向与的角平分线一致，若，则的方向与的角平分线一致，所以点的轨迹一定通过的内心，故B正确；选项C：若为的重心，设边的中点为，则，故C正确；选项D：设的中点为，若点满足，则点为外心，于是有．又，则，故D正确．故选：BCD．11.对于非零向量，定义变换以得到一个新的向量．则关于该变换，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.存在使得D.设，则〖答案〗ABD〖解析〗A选项，，设，若，则有，所以，则，故A选项正确；B选项，若，则有，故，则，故B选项正确；C选项，，，，故C选项错误；D选项，当时，，，，，，D选项正确．故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，作用于同一点的三个力，，处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为______.〖答案〗〖解析〗因为，，三个力处于平衡状态，所以，则，所以.故〖答案〗为：.13.已知平面向量，，满足，，，若，则______．〖答案〗〖解析〗，，则且、均为锐角，即向量平分向量与的夹角，又，即向量与的夹角为，则，故，解得．故〖答案〗为：.14.在中，，，，已知点，分别是边，的中点，点在边上．若，则线段的长为______．〖答案〗〖解析〗在中，，，，则，，，以为坐标原点，点、分别在轴、轴正半轴上建立平面直角坐标系，如图，则，，，，，设，故，，，，解得或（舍去），.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.平面内给定三个向量，，.（1）设，求m，n的值；（2）若，求实数k的值.解：（1）因为向量，，，且，所以，所以，解得.（2）因为向量，，，所以，，因为，所以.16.已知向量与的夹角，且，．（1）求，；（2）求与的夹角的余弦值．解：（1）由已知，得，.（2）设与的夹角为，则，因此，与的夹角的余弦值为.17.如图，在中，，，，分别在边，上，且满足，，为中点.（1）若，求实数，的值；（2）若，求边的长.解：（1）∵，，∴，，∴，∴，.（2），，，设，∵，，，即，解得（舍）或，∴长为8.18.已知向量满足，设与的夹角为，（1）若对任意实数，不等式恒成立，求的值；（2）根据（1）中与的夹角值，求与夹角的余弦．解：（1）将不等式两边同时平方，得，即，因为，设与的夹角为，则恒成立，所以，即，解得．（2）由（1）知，则，，则，则，故与夹角的余弦值为.19.如图所示，在中，在线段BC上，满足，是线段的中点．（1）延长交于点Q（图1），求的值；（2）过点的直线与边，分别交于点E，F（图2），设，．（i）求证为定值；（ii）设的面积为，的面积为，求的最小值．解：（1）