《控制工程基础》第二章-控制系统数学模型

控制工程根底《控制工程根底》课程组工业自动化学院2017第二章控制系统的数学模型2.1系统数学模型的根本定义数学模型是描述系统输入变量、输出变量以及内部各变量之间相互关系的数学表达式。〔建立控制系统的数学模型，并在此根底上对控制系统进行分析、综合，是控制工程的根本方法。)第二章控制系统的数学模型静态模型：一般是不含时间变量t的代数方程，描述系统的静态特性，即平衡状态下各变量间的对应关系。动态模型：描述系统的动态特性，即在运动过程中随时间变化的各变量间的相互关系，数学表达式是含时间变量t的微分方程、传递函数或频率特性。第二章控制系统的数学模型经典控制理论的主要研究方法——频率法和根轨迹法，以传递函数为根底。现代控制理论采用状态变量的描述方法，即用一组一阶微分方程或传递矩阵作为数学模型。第二章控制系统的数学模型建立系统数学模型的方法：①解析法：根据系统和元件所遵循的有关定律来建立数学关系式；②实验法：人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。第二章控制系统的数学模型机械系统的微分方程通过牛顿第二定律将质量—弹簧—阻尼系统中的运动〔位移、速度和加速度〕与力联系起来，建立机械系统的动力学方程，即机械系统的微分方程。第二章控制系统的数学模型例1如下图的机械位移系统。它由弹簧K、质量块m、阻尼器c所组成。试写出在外力F(t)的作用下，质量m的位移x(t)的运动方程。图1机械位移系统(a)(b)第二章控制系统的数学模型在此题中的输入变量为外力F(t)，输出变量为质量块m的位移x(t)，受控对象为质量块m。取质量块m对其进行受力分析，作用在质量块m上的力有外力F(t)，弹簧的弹力Kx(t)，阻尼器的阻尼力。由牛顿第二定律得第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型

线性系统？(满足叠加原理)——用线性微分方程来描述的系统。非线性系统？——用非线性微分方程来描述的系统。定常系统(时不变系统)？——系统参数不随时间变化的系统。时变系统？——系统参数随时间变化的系统。连续时间系统？——用微分方程式描述的系统离散时间系统？——用差分方程描述的系统第二章控制系统的数学模型2.2建立微分方程的根本步骤〔1〕确定系统或各组成元件的输入、输出量。〔2〕根据各变量所遵循的运动规律和物理定律，列写出信号在传递过程中各环节的动态微分方程。〔3〕按照系统的工作条件，忽略一些次要因素，对已建立的原始动态微分方程进行数学处理，并考虑相邻元件间是否存在负载效应。〔4〕消除所列动态微分方程的中间变量，得到描述系统的输入、输出量之间关系的微分方程。〔5〕整理所得的微分方程。第二章控制系统的数学模型电气系统的微分方程电气系统所遵循的根本定律是基尔霍夫电流定律和电压定律。通过应用一种或同时应用两种基尔霍夫定律，就可以得到电路系统的数学模型。基尔霍夫电流定律(KCL)说明，流入节点的电流之和等于流出同一节点的电流之和；基尔霍夫电压定律(KVL)说明，在任意瞬间，在电路中沿任意环路的电压的代数和等于零。第二章控制系统的数学模型例2RLC无源网络如下图，图中R、L、C分别为电阻、电感、电容。试列出以为输入，为输出的微分方程。RLC图2RLC无源网络第二章控制系统的数学模型解设网络中的电流为，输入变量，输出变量为，中间变量为。忽略输出端负载效应。第二章控制系统的数学模型式中，T为时间常数，单位为秒，为阻尼比。显然上式描述的以为输入电压，为输出电压的网络微分方程是一个二阶线性定常微分方程。物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究〔信息方法〕。第二章控制系统的数学模型从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。相似系统是控制理论中进行实验模拟的根底。通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等于元件或系统中所包含的独立储能元〔惯性质量、弹性要素、电感、电容等〕的个数；因为系统每增加一个独立储能元，其内部就多一层能量〔信息〕的交换。第二章控制系统的数学模型系统的动态特性是系统的固有特性，仅取决于系统的结构及其参数，与系统的输入无关。第二章控制系统的数学模型2.3系统的传递函数拉普拉斯变换Laplace〔拉普拉斯〕变换是描述分析连续、线性、时不变系统的重要工具！用拉氏变换法求解线性系统的微分方程时,可以得到控制系统在复数域的数学模型—传递函数。传递函数不仅可以表征系统的动态性能,而且可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。第二章控制系统的数学模型拉普拉斯变换方法求解的优点：拉普拉斯变换法可以直接将微分方程变换成代数方程，简化求解过程；可以同时获得解的瞬态分量和稳态分量；可以求得微分方程的全解。第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型将微分方程通过拉氏变换变为s的代数方程；解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型拉氏变换表第二章控制系统的数学模型传递函数定义第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型传递函数具有如下一些主要特点：〔1〕传递函数分母的阶次与各项系数只取决于系统本身的与外界无关的固有特性，而分子的阶次与各项系数取决于系统与外界之间的关系。所以，传递函数的分母与分子分别反映了由系统的结构与参数所决定的系统的固有特性和系统与外界之间的联系。(2)当系统在初始状态为零时，对于给定的输入，系统输出的拉氏逆变换完全取决于系统的传递函数。第二章控制系统的数学模型(3)传递函数分母中s的阶次n不会小于分子中s的阶次m,即n≥m。

(4)传递函数可以有量纲，也可以是无量纲的，这取决于系统输出的量纲与输入的量纲。(5)物理性质不同的系统、环节或元件，可以具有相同类型的传递函数。

(6)传递函数非常适用于对单输入、单输出的线性定常系统的动态特性进行描述。

第二章控制系统的数学模型传递函数求解例如之前例1中求得机械位移系统的微分方程为所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：按照定义，系统的传递函数为：第二章控制系统的数学模型之前例2中求得RLC电路网络的微分方程为所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：第二章控制系统的数学模型传递函数的零、极点、增益形式系统的传递函数G(s)是以复变量s作为自变量的函数。通过因式分解后，传递函数G(s)可以写成如下的一般形式：当s=zj(j=1,2,…,m)时，均能使传递函数G(s)＝0，称z1,z2,…,zm为传递函数G(s)的零点。当s=pi(i=1,2,…,n)时，均能使传递函数G(s)的分母等于零，即使传递函数G(s)取极值

(i=1,2,…,n)

第二章控制系统的数学模型因此，称p1,p2,…,pn为传递函数G(s)的极点，即系统传递函数的极点也就是系统微分方程的特征根。第二章控制系统的数学模型典型环节及其传递函数第二章控制系统的数学模型典型环节：比例环节、惯性环节、微分环节、积分环节、振荡环节和延时环节。1、比例环节第二章控制系统的数学模型2、惯性环节第二章控制系统的数学模型在惯性环节中，总是含有一个储能元件，对于突变形式的输入，其输出不能立即复现，输出总是落后于输入。3、微分环节第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型4、积分环节第二章控制系统的数学模型5、振荡环节第二章控制系统的数学模型6、延时环节延时环节也称延迟环节。凡在时域中，如果输出量滞后输入时间而不失真地反映输入量的环节称为延时环节。具有延时环节的系统称为延时系统。第二章控制系统的数学模型延时环节的输入量与输出量之间有如下的关系：延时环节与惯性环节不同。惯性环节的输出需要延迟一段时间才接近于所要求的输出量，但它从输入开始时刻起就已有了输出。而延时环节在输入开始之初的时间内并无输出，在后，输出就完全等于从一开始起的输入，且不再有其他滞后过程；即输出等于输入，只是在时间上延迟了一段时间间隔。第二章控制系统的数学模型2.4

传递函数框图及其简化传递函数方框图是控制系统的动态数学模型的图解形式。可以形象直观地描述系统中各环节间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传递、变换过程。注意：即使描述系统的数学关系式相同，其方框图也不一定相同。第二章控制系统的数学模型方框图的结构要素1、信号线带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，直线旁标记变量，即信号的时间函数或象函数。第二章控制系统的数学模型2、信号引出点〔线〕表示信号引出或测量的位置和传递方向。同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。第二章控制系统的数学模型3、函数方块(环节)传递函数的图解表示。函数方块具有运算功能，即X2(s)=G(s)X1(s)第二章控制系统的数学模型4、相加点信号之间代数加减运算的图解。用符号“⊗”及相应的信号箭头表示，每个箭头前方的“+”或“-”表示加上此信号或减去此信号。相邻求和点可以互换、合并、分解，即满足代数运算的交换律结合律和分配律。第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型系统方框图的建立1、根据系统的工作原理和特性将系统划分为假设干个环节；2、建立各个环节的原始微分方程；3、对所建立的各个环节原始微分方程进行拉氏变换，分别建立其传递函数和绘制环节的方框图；4、按照信号在系统中传递、变换的关系，依次将各传递函数方框图连接起来〔同一变量的信号通路连接在一起〕，系统输入量置于左端，输出量置于右端，便可得到系统的传递函数方框图。第二章控制系统的数学模型例第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型传递函数框图的简化等效变换原那么是：变换前后前向通道中的传递函数的乘积应保持不变，回路中传递函数的乘积应保持不变。即变换前后整个系统的输入输出传递函数保持不变。1、串联环节的等效变换规那么前一环节的输出为后一环节的输入的联接方式称为环节的串联。当各环节之间不存在〔或可忽略〕负载效应时，那么串联联接后的传递函数为：第二章控制系统的数学模型故环节串联时等效传递函数等于各串联环节的传递函数之积。

串联环节等效变换第二章控制系统的数学模型2、并联环节的等效变换规那么各环节的输入相同，输出为各环节输出的代数和，这种联接方式称为环节的并联，如以下图所示。那么并联联接后的传递函数为：

并联环节等效变换第二章控制系统的数学模型故环节并联时等效传递函数等于各并联环节的传递函数之和。3、反响联接及其等效变换规那么G(s)称为前向通道传递函数，H(s)称为反响回路传递函数。

反馈环节等效变换第二章控制系统的数学模型前向通道传递函数G(s)与反响回路传递函数H(s)之积定义为系统的开环传递函数GK(s)，它也是反响信号B(s)与偏差E(s)之比，即输出信号Xo(s)与输入信号Xi(s)之比，定义为系统的闭环传递函数GB(s)，即第二章控制系统的数学模型计算有故反响联接时，其等效传递函数等于前向通道传递函数除以1加〔或减〕前向通道传递函数与反响回路传递函数的乘积。第二章控制系统的数学模型注意：假设相加点的B(s)处为负号，那么假设相加点的B(s)处为正号，那么假设反响回路传递函数H(s)＝1，称为单位反响。此时的系统称为单位反响系统，其传递函数：第二章控制系统的数学模型4、分支点移动规那么第二章控制系统的数学模型5、相加点移动规那么第二章控制系统的数学模型6、分支点之间、相加点之间相互移动规那么分支点、相加点间可以相互移动，但分支点相加点之间不能相互移动，因为这种移动不是等效移动。第二章控制系统的数学模型由方框图求系统传递函数根本思路：利用等效变换法那么，移动求和点和引出点，消去交叉回路，变换成可以运算的简单回路。第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型说明：方框图的简化途经并不是唯一的。假设方框图中有交叉的联接：方法一：假设系统的传递函数方框图同时满足以下两个条件条件1，整个系统方框图中只有一条前向通道；条件2，各局部反响回路间存在公共的传递函数方框。那么可以直接用以下公式求得：第二章控制系统的数学模型方法二：假设系统的传递函数方框图不同时满足以上两个条件，通过相加点、分支点的前后移动等规那么，将系统传递函数方框图化为同时满足以上两个条件的形式，然后应用公式即可。方法三：对于更为复杂的系统传递函数方框图，可利用梅森增益公式进行简化。〔同学们自学〕第二章控制系统的数学模型考虑扰动的闭环控制系统第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型2.5

MATLAB在系统数学模型中的应用MATLAB简介20世纪70年代，美国新墨西哥大学计算机科学系主任CleveMoler为了减轻学生编程的负担，用FORTRAN编写了最早的MATLAB。1984年由Little、Moler、SteveBangert合作成立了的MathWorks公司正式把MATLAB推向市场。到20世纪90年代，MATLAB已成为国际控制界的标准计算软件。第二章控制系统的数学模型最初的matlab版本是用fortran语言编写，现在的版本用c语言改写；1992年推出了具有重要意义的matlab4.0版本；并于1993年推出了其windows平台下的微机版，目前每年推出两个版本，最新的版本为MATLABR2016b。第二章控制系统的数学模型技术计算语言全球数以百万计的工程师和科学家使用MATLAB®来分析和设计可改变世界的系统和产品。MATLAB广泛应用于汽车主动平安系统、行星际宇宙飞船、健康监控设备、智能电网和LTE蜂窝网络。它用于机器学习、信号处理、图像处理、计算机视觉、通讯、计算金融学、控制设计、机器人学等等。第二章控制系统的数学模型控制系统数学模型在MATLAB中的描述线性系统的传递函数模型可一般地表示为：

将系统的分子和分母多项式的系数按降幂的方式以向量的形式输入给两个变量num和den，就可以轻易地将传递函数模型输入到MATLAB环境中。命令格式为：第二章控制系统的数学模型在MATLAB控制系统工具箱中，定义了tf()函数，它可由传递函数分子分母给出的变量构造出单个的传递函数对象。从而使得系统模型的输入和处理更加方便。该函数的调用格式为：G＝tf(num，den);第二章控制系统的数学模型例一个简单的传递函数模型:可以由下面的命令输入到MATLAB工作空间中去。>>num=[1，5];>>den=[1，2，3，4，5];>>G=tf(num，den)运行结果：Transferfunction:s+5-----------------------------s^4+2s^3+3s^2+4s+5第二章控制系统的数学模型例3一个稍微复杂一些的传递函数模型：该传递函数模型可以通过下面的语句来描述。>>num=6*[1，5];den=conv(conv([1，3，1]，[1，3，1])，[1，6]);tf(num,den)运行结果Transferfunction:6s+30-----------------------------------------s^5+12s^4+47s^3+72s^2+37s+6第二章控制系统的数学模型其中conv()函数〔标准的MATLAB函数〕用来计算两个向量的卷积，多项式乘法当然也可以用这个函数来计算。该函数允许任意地多层嵌套，从而表示复杂的计算。第二章控制系统的数学模型线性系统的传递函数还可以写成零极点的形式：

将系统增益、零点和极点以向量的形式输入给三个变量、Z和P，就可以将系统的零极点模型输入到MATLAB工作空间中，命令格式为：

在MATLAB控制工具箱中，定义了zpk()函数，由它可通过以上三个MATLAB变量构造出零极点对象，用于简单地表述零极点模型。该函数的调用格式为：G=zpk(Z,P,KGain)

第二章控制系统的数学模型例某系统的零极点模型为：

该模型可以由下面的语句输入到MATLAB工作空间中。>>KGain=6;z=[-1.9294；-0.0353+0.9287j；-0.0353-0.9287j];p=[-0.9567+1.2272j；-0.9567-1.2272j；0.0433+0.6412j；0.0433-0.6412j];G=zpk(Z，P，KGain)运行结果:Zero/pole/gain:6(s+1.929)(s^2+0.0706s+0.8637)----------------------------------------------------------(s^2-0.0866s+0.413)(s^2+1.913s+2.421)第二章控制系统的数学模型传递函数形式和零极点形式之间可以相互转化，语句为第二章控制系统的数学模型设