单相正弦交流电路

关于单相正弦交流电路理解正弦交流电的幅值与有效值、频率与周期、初相与相位差等特征量和相量表示法掌握用相量图和相量关系式分析和计算简单正弦交流电路的方法掌握正弦交流电路的有功功率、无功功率、视在功率、功率因数的含义和计算了解正弦交流电路的瞬时功率和提高功率因数的方法及意义了解正弦交流电路的频率特性、串联谐振和并联谐振的条件与特征学习要点第4章单相正弦电路分析第2页,共107页，2024年2月25日，星期天第4章单相正弦电路分析4.1正弦交流电的基本概念4.2正弦交流电的相量分析4.3单一参数的交流电路4.4RLC串联的交流电路4.5RLC并联的交流电路4.6功率因数的提高4.7谐振第3页,共107页，2024年2月25日，星期天4.1正弦交流电的基本概念随时间按正弦规律变化的电压、电流称为正弦电压和正弦电流。表达式为：正弦电流动势的表达式：第4页,共107页，2024年2月25日，星期天正弦电压和电流实际方向和参考方向一致实际方向和参考方向相反＋－正半周实际方向和参考方向一致负半周实际方向和参考方向相反

正弦交流电的电压和电流是按照正弦规律周期性变化的。第5页,共107页，2024年2月25日，星期天振幅角频率振幅、角频率和初相称为正弦量的的三要素。相位初相角:简称初相波形4.1.1正弦量的三要素正弦波的特征表现在变化的快慢、大小及初始值三个方面，因此，正弦交流电包含三个要素，即频率、幅值和初相位。

第6页,共107页，2024年2月25日，星期天角频率ω：正弦量单位时间内变化的弧度数角频率与周期及频率的关系：周期T：正弦量完整变化一周所需要的时间，（s）频率f：正弦量在单位时间内变化的周数。周期与频率的关系：（Hz）（rad/s）*无线通信频率：

30kHz~30GMHz*电网频率：我国50Hz，美国、日本60Hz*高频炉频率：200~300kHZ*中频炉频率：500~8000HziOT第7页,共107页，2024年2月25日，星期天4.1.2相位差相位：正弦量表达式中的角度初相：t=0时的相位相位差：两个同频率正弦量的相位之差，其值等于它们的初相之差。如相位差为：第8页,共107页，2024年2月25日，星期天第9页,共107页，2024年2月25日，星期天

注意：相位是一个相对的量。因此讨论相位问题必须设定相位的参考。一般常以激励信号为参考相位，令其初相位为零。

由于正弦稳态分析时，电路中的激励和响应是同频率的正弦时间函数，因此分析电路时，

表示各正弦电流(或电压)特征的是其有效值和初相位。

两同频率的正弦量之间的相位差为常数，与计时的选择起点无关。不同频率的正弦量比较无意义。第10页,共107页，2024年2月25日，星期天瞬时值——正弦量在任一瞬时的值；一般用小写表示，如i

,u,e。

最大值——

瞬时值中最大的值，又称为幅值，或称峰值。一般用带下标m的大写字母表示，

如

Um,Im,Em。

有效值——有效值是正弦交流电的一个等效电压(电流)值。它是指让周期电流i和直流电流I分别通过两个阻值相等的电阻R，如果在相同的时间T内，两个电阻消耗的能量相等，则称该直流电流I的值为周期电流i的有效值。

4.1.3瞬时值、最大值和有效值根据有效值的定义有：

周期电流的有效值为：第11页,共107页，2024年2月25日，星期天对于正弦电流，因所以正弦电流的有效值为：同理，正弦电压的有效值为：第12页,共107页，2024年2月25日，星期天4.2正弦交流电的相量分析瞬时值表达式前两种不便于运算，相量法是求解正弦稳态电路的简单方法，故重点介绍相量表示法。波形图

１.正弦量的表示方法重点必须小写相量uO第13页,共107页，2024年2月25日，星期天2.正弦量用旋转有向线段表示ω设正弦量:若:有向线段长度

=ω有向线段以速度

按逆时针方向旋转则:该旋转有向线段每一瞬时在纵轴上的投影即表示相应时刻正弦量的瞬时值。有向线段与横轴夹角

=初相位u0xyOO第14页,共107页，2024年2月25日，星期天+j+1Abar03.正弦量的相量表示复数表示形式设A为复数:(1)代数式A=a+jb复数的模复数的辐角实质：用复数表示正弦量式中:(2)三角式由欧拉公式:第15页,共107页，2024年2月25日，星期天(3)指数式

可得:

设正弦量:相量:表示正弦量的复数称相量电压的有效值相量(4)极坐标式相量表示:相量的模=正弦量的有效值

相量辐角=正弦量的初相角第16页,共107页，2024年2月25日，星期天电压的幅值相量①相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。注意:？=②只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示。③只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。相量的模=正弦量的最大值

相量辐角=正弦量的初相角或：第17页,共107页，2024年2月25日，星期天⑤相量的书写方式

模用最大值表示，则用符号：④相量的两种表示形式

相量图:

把相量表示在复平面的图形

实际应用中，模多采用有效值，符号：可不画坐标轴如：已知则或相量式:第18页,共107页，2024年2月25日，星期天？正误判断1.已知：？有效值？3.已知：复数瞬时值j45

•？最大值？？

负号2.已知：4.已知：第19页,共107页，2024年2月25日，星期天有效值相量和振幅相量的关系：第20页,共107页，2024年2月25日，星期天例：求i=i1+i2解：相量图：第21页,共107页，2024年2月25日，星期天小结一、正弦量常用的表示方法:三角函数式,旋转矢量,复数表示。二、正弦量为什么必须用矢量或复数(即相量)表示?因为正弦交流量不仅有大小而且有相位参数,要同时表示出这二个参数必须采用矢量或复数。三、这种表示方法的优点是什么?可以简化正弦交流电路的分析第22页,共107页，2024年2月25日，星期天特征电阻元件电感元件电容元件参数定义电压电流关系能量元件4.3单一参数正弦交流电路回顾第23页,共107页，2024年2月25日，星期天1.电压与电流的关系设②大小关系：③相位关系：u、i

相位相同根据欧姆定律:①频率相同相位差：相量图4.3.1

电阻元件的交流电路Ru+_相量式：第24页,共107页，2024年2月25日，星期天2.功率关系(1)瞬时功率

p：瞬时电压与瞬时电流的乘积小写结论:

（耗能元件）,且随时间变化。piωtuOωtpOiu第25页,共107页，2024年2月25日，星期天瞬时功率在一个周期内的平均值大写(2)平均功率(有功功率)P单位:瓦（W）PRu+_ppωtO注意：通常铭牌数据或测量的功率均指有功功率。第26页,共107页，2024年2月25日，星期天第27页,共107页，2024年2月25日，星期天

基本关系式：①频率相同②U=IL

③电压超前电流90

相位差1.电压与电流的关系4.3.2

电感元件的交流电路设：+-eL+-LuωtuiiO第28页,共107页，2024年2月25日，星期天或则:感抗(Ω)电感L具有通直阻交的作用直流：f=0,XL=0，电感L视为短路定义：有效值:交流：fXL第29页,共107页，2024年2月25日，星期天感抗XL是频率的函数可得相量式：电感电路复数形式的欧姆定律相量图超前根据：则：O第30页,共107页，2024年2月25日，星期天2.功率关系(1)瞬时功率(2)平均功率L是非耗能元件第31页,共107页，2024年2月25日，星期天储能p<0+p>0分析：瞬时功率

：ui+-ui+-ui+-ui+-+p>0p<0放能储能放能电感L是储能元件。iuopo结论：纯电感不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐)。可逆的能量转换过程第32页,共107页，2024年2月25日，星期天用以衡量电感电路中能量交换的规模。用瞬时功率达到的最大值表征，即单位：var(3)

无功功率Q瞬时功率

：第33页,共107页，2024年2月25日，星期天（2）当f=5000Hz时所以电感元件具有通低频阻高频的特性例1:把一个0.1H的电感接到f=50Hz,U=10V的正弦电源上，求I，如保持U不变，而电源

f=5000Hz,这时I为多少？解：(1)当f=50Hz时第34页,共107页，2024年2月25日，星期天电流与电压的变化率成正比。

基本关系式：1.电流与电压的关系①频率相同②I=UC

③电流超前电压90

相位差则：4.3.3

电容元件的交流电路uiC+_设：iuiu第35页,共107页，2024年2月25日，星期天或则:容抗（Ω）定义：有效值所以电容C具有隔直通交的作用XC直流：XC，电容C视为开路交流：f第36页,共107页，2024年2月25日，星期天容抗XC是频率的函数可得相量式则：电容电路中复数形式的欧姆定律相量图超前O由：第37页,共107页，2024年2月25日，星期天2.功率关系(1)瞬时功率uiC+_

(2)平均功率Ｐ由C是非耗能元件第38页,共107页，2024年2月25日，星期天瞬时功率

：ui+-ui+-ui+-ui+-+p>0充电p<0放电+p>0充电p<0放电po所以电容C是储能元件。结论：纯电容不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐)。uiou,i第39页,共107页，2024年2月25日，星期天同理，无功功率等于瞬时功率达到的最大值。(3)无功功率Q单位：var为了同电感电路的无功功率相比较，这里也设则：第40页,共107页，2024年2月25日，星期天单一参数电路中的基本关系小结参数LCR基本关系阻抗相量式相量图第41页,共107页，2024年2月25日，星期天单一参数正弦交流电路的分析计算小结电路参数电路图(参考方向)阻抗电压、电流关系瞬时值有效值相量图相量式功率有功功率无功功率Riu设则u、i

同相0LC设则则u领先i90°00基本关系+-iu+-iu+-设

u落后i90°第42页,共107页，2024年2月25日，星期天讨论交流电路、与参数R、L、C、

间的关系如何？1.电流、电压的关系U=IR+I

L+I1/

C?直流电路两电阻串联时4.4RLC串联的交流电路设：RLC串联交流电路中RLC+_+_+_+_第43页,共107页，2024年2月25日，星期天设：则(1)瞬时值表达式根据KVL可得：为同频率正弦量1.电流、电压的关系4.4RLC串联的交流电路RLC+_+_+_+_第44页,共107页，2024年2月25日，星期天(2)相量法设（参考相量）则总电压与总电流的相量关系式RjXL-jXC+_+_+_+_1)相量式第45页,共107页，2024年2月25日，星期天令则

Z的模表示u、i的大小关系，辐角（阻抗角）为u、i的相位差。Z

是一个复数，不是相量，上面不能加点。阻抗复数形式的欧姆定律注意根据第46页,共107页，2024年2月25日，星期天电路参数与电路性质的关系：阻抗模：阻抗角：当XL>XC

时，

>0

，u

超前i

呈感性当XL<XC

时，

<0

，u

滞后i

呈容性当XL=XC

时，

=0

，u.

i同相呈电阻性

由电路参数决定。第47页,共107页，2024年2月25日，星期天2)相量图(

>0感性)XL

>

XC参考相量由电压三角形可得:电压三角形(

<0容性)XL

<

XCRjXL-jXC+_+_+_+_第48页,共107页，2024年2月25日，星期天由相量图可求得:2)相量图由阻抗三角形：电压三角形阻抗三角形第49页,共107页，2024年2月25日，星期天2.功率关系储能元件上的瞬时功率耗能元件上的瞬时功率在每一瞬间,电源提供的功率一部分被耗能元件消耗掉,一部分与储能元件进行能量交换。(1)瞬时功率设：RLC+_+_+_+_第50页,共107页，2024年2月25日，星期天(2)平均功率P

（有功功率）单位:W总电压总电流u与i

的夹角cos

称为功率因数，用来衡量对电源的利用程度。第51页,共107页，2024年2月25日，星期天(3)无功功率Q单位：var总电压总电流u与i

的夹角根据电压三角形可得：电阻消耗的电能根据电压三角形可得：电感和电容与电源之间的能量互换第52页,共107页，2024年2月25日，星期天(4)视在功率S电路中总电压与总电流有效值的乘积。单位：V·A注：SN＝UNIN称为发电机、变压器等供电设备的容量，可用来衡量发电机、变压器可能提供的最大有功功率。

P、Q、S

都不是正弦量，不能用相量表示。第53页,共107页，2024年2月25日，星期天阻抗三角形、电压三角形、功率三角形SQP将电压三角形的有效值同除I得到阻抗三角形将电压三角形的有效值同乘I得到功率三角形R第54页,共107页，2024年2月25日，星期天例1：已知:求:(1)电流的有效值I与瞬时值i;(2)各部分电压的有效值与瞬时值；(3)作相量图；(4)有功功率P、无功功率Q和视在功率S。在RLC串联交流电路中，解：第55页,共107页，2024年2月25日，星期天(1)(2)方法1：第56页,共107页，2024年2月25日，星期天方法1：通过计算可看出：而是(3)相量图(4)或第57页,共107页，2024年2月25日，星期天(4)或呈容性方法2：复数运算解：第58页,共107页，2024年2月25日，星期天例2：已知:在RC串联交流电路中，解：输入电压(1)求输出电压U2，并讨论输入和输出电压之间的大小和相位关系

(2)当将电容C改为时,求(1)中各项；(3)当将频率改为4000Hz时,再求(1)中各项。RC+_+_方法1：(1)第59页,共107页，2024年2月25日，星期天大小和相位关系比超前方法2：复数运算解：设第60页,共107页，2024年2月25日，星期天方法3：相量图解：设(2)第61页,共107页，2024年2月25日，星期天（3）大小和相位关系比超前从本例中可了解两个实际问题：(1)串联电容C可起到隔直通交的作用(只要选择合适的C，使

)

(2)RC串联电路也是一种移相电路，改变C、R或f都可达到移相的目的。第62页,共107页，2024年2月25日，星期天思考RLC+_+_+_+_1.假设R、L、C已定，电路性质能否确定？阻性？感性？容性？2.RLC串联电路的是否一定小于1？3.RLC串联电路中是否会出现，的情况？4.在RLC串联电路中，当L>C时，u超前i，当L<C时，u滞后i，这样分析对吗？第63页,共107页，2024年2月25日，星期天4.5R、L、C并联及复导纳分流公式：对于阻抗模一般注意：+-+-通式:第64页,共107页，2024年2月25日，星期天例2:解:同理：+-有两个阻抗它们并联接在的电源上;求:和并作相量图。第65页,共107页，2024年2月25日，星期天相量图注意：或第66页,共107页，2024年2月25日，星期天导纳：阻抗的倒数当并联支路较多时，计算等效阻抗比较麻烦，因此常应用导纳计算。如：导纳:+-第67页,共107页，2024年2月25日，星期天导纳:称为该支路的电导称为该支路的感纳称为该支路的容纳称为该支路的导纳模（单位：西门子S）+-第68页,共107页，2024年2月25日，星期天导纳:称为该支路电流与电压之间的相位差同理：通式:+-同阻抗串联形式相同第69页,共107页，2024年2月25日，星期天用导纳计算并联交流电路时例3用导纳计算例2+-第70页,共107页，2024年2月25日，星期天例3:用导纳计算例2+-注意：导纳计算的方法适用于多支路并联的电路同理:第71页,共107页，2024年2月25日，星期天4.6功率因数的提高1.功率因数:对电源利用程度的衡量。X

+-的意义：电压与电流的相位差，阻抗的辐角时,电路中发生能量互换,出现无功当功率这样引起两个问题:第72页,共107页，2024年2月25日，星期天(1)电源设备的容量不能充分利用若用户：则电源可发出的有功功率为：若用户：则电源可发出的有功功率为：而需提供的无功功率为:所以提高可使发电设备的容量得以充分利用无需提供的无功功率。提高功率因数的意义?第73页,共107页，2024年2月25日，星期天（2）增加线路和发电机绕组的功率损耗(费电)所以要求提高电网的功率因数对国民经济的发展有重要的意义。设输电线和发电机绕组的电阻为:要求:(Ｐ、Ｕ定值)时所以提高可减小线路和发电机绕组的损耗。(导线截面积)2.功率因数cos

低的原因日常生活中多为感性负载---如电动机、日光灯，其等效电路及相量关系如下图。第74页,共107页，2024年2月25日，星期天相量图+-+-+-感性等效电路40W220V白炽灯

例40W220V日光灯

供电局一般要求用户的否则受处罚。

第75页,共107页，2024年2月25日，星期天常用电路的功率因数纯电阻电路R-L-C串联电路纯电感电路或纯电容电路电动机空载电动机满载日光灯（R-L串联电路）第76页,共107页，2024年2月25日，星期天(2)

提高功率因数的措施:功率因数的提高

必须保证原负载的工作状态不变。即：加至负载上的电压和负载的有功功率不变。

在感性负载两端并电容I(1)

提高功率因数的原则：+-第77页,共107页，2024年2月25日，星期天结论并联电容C后：(1)电路的总电流，电路总功率因数I电路总视在功率S(2)

原感性支路的工作状态不变:不变感性支路的功率因数不变感性支路的电流(3)

电路总的有功功率不变因为电路中电阻没有变，所以消耗的功率也不变。第78页,共107页，2024年2月25日，星期天并联电容值的计算相量图:又由相量图可得：即:+-第79页,共107页，2024年2月25日，星期天思考题:1.电感性负载采用串联电容的方法是否可提高功率因数,为什么?2.原负载所需的无功功率是否有变化,为什么?3.电源提供的无功功率是否有变化,为什么?第80页,共107页，2024年2月25日，星期天例1:解：(1)（2）如将从0.95提高到1，试问还需并多大的电容C。（1）如将功率因数提高到,需要并多大的电容C,求并C前后的线路的电流。一感性负载,其功率P=10kW,，接在电压U=220V,ƒ=50Hz的电源上。即即第81页,共107页，2024年2月25日，星期天求并C前后的线路电流并C前:可见:cos1时再继续提高，则所需电容值很大（不经济），所以一般不必提高到1。并C后:(2)从0.95提高到1时所需增加的电容值第82页,共107页，2024年2月25日，星期天例2:解：(1)电源提供的电流为：电源的额定电流为：(1)该电源供出的电流是否超过其额定电流？已知电源UN=220V,ƒ=50Hz，SN=10kV•A向PN=6kW,UN=220V，的感性负载供电，(2)如并联电容将提高到0.9，电源是否还有富裕的容量？第83页,共107页，2024年2月25日，星期天例2:该电源供出的电流超过其额定电流。（2）如将提高到0.9后，电源提供的电流为：该电源还有富裕的容量。即还有能力再带负载；所以提高电网功率因数后，将提高电源的利用率。第84页,共107页，2024年2月25日，星期天在同时含有L和C的交流电路中，如果总电压和总电流同相，称电路处于谐振状态。此时电路与电源之间不再有能量的交换，电路呈电阻性。串联谐振：L

与C

串联时u、i

同相并联谐振：L

与C

并联时u、i

同相研究谐振的目的，就是一方面在生产上充分利用谐振的特点，(如在无线电工程、电子测量技术等许多电路中应用)。另一方面又要预防它所产生的危害。谐振的概念：4.7谐振电路第85页,共107页，2024年2月25日，星期天4.7.1、串联谐振当时，电压与电流同相，电路呈电阻性，电路谐振。串联谐振电路1.谐振条件或：谐振条件：第86页,共107页，2024年2月25日，星期天或电路发生谐振的方法：(1)电源频率f

一定，调参数L、C使fo=f；2.

谐振频率(2)电路参数LC

一定，调电源频率f，使f=fo或：3.

串联谐振特怔(1)

阻抗最小可得谐振频率为：第87页,共107页，2024年2月25日，星期天当电源电压一定时：(2)电流最大电路呈电阻性，能量全部被电阻消耗，和相互补偿。即电源与电路之间不发生能量互换。(3)同相(4)电压关系电阻电压：UR=IoR=U大小相等、相位相差180

电容、电感电压：第88页,共107页，2024年2月25日，星期天UC、UL将大于电源电压U当时：有：由于可能会击穿线圈或电容的绝缘，因此在电力系统中一般应避免发生串联谐振，但在无线电工程上，又可利用这一特点达到选择信号的作用。令：表征串联谐振电路的谐振质量品质因数，第89页,共107页，2024年2月25日，星期天所以串联谐振又称为电压谐振。注意谐振时:与相互抵消，但其本身不为零，而是电源电压的Q倍。相量图：如Q=100,U=220V,则在谐振时所以电力系统应避免发生串联谐振。第90页,共107页，2024年2月25日，星期天4.谐振曲线(1)串联电路的阻抗频率特性

阻抗随频率变化的关系。容性感性0第91页,共107页，2024年2月25日，星期天(2)谐振曲线电流随频率变化的关系曲线。Q值越大，曲线越尖锐，选择性越好。Q大Q小分析：谐振电流电路具有选择最接近谐振频率附近的电流的能力——称为选择性。fR

第92页,共107页，2024年2月25日，星期天通频带：谐振频率上限截止频率下限截止频率Q大通频带宽度越小(Q值越大)，选择性越好，抗干扰能力越强。Q小△ƒ=ƒ2－ƒ1当电流下降到0.707Io时所对应的上下限频率之差，称通频带。即：第93页,共107页，2024年2月25日，星期天5.串联谐振应用举例接收机的输入电路：接收天线：组成谐振电路电路图为来自3个不同电台(不同频率)的电动势信号；调C，对所需信号频率产生串联谐振等效电路+-最大则第94页,共107页，2024年2月25日，星期天例1：已知：解：若要收听节目，C应配多大？+