2023-2024学年青岛超银高级中学高一数学（下）4月考试卷附答案解析

-2024学年青岛超银高级中学高一数学（下）4月考试卷2024.4考试时长：120分钟满分：150分注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，请将对应题目的答案写在答题纸相应位置上．第Ⅰ卷（共60分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若，，则等于（）A．B．C． D．2．在中，，，若点满足，以作为基底，则等于（）A．B．C． D．3．已知向量，满足，则向量的夹角为（

）A． B． C． D．4．已知，则等于（）A．－ B．± C．－1 D．15．将曲线C1：上的点向右平移个单位长度，再将各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到曲线C2，则C2的方程为（

）A． B．C． D．6．已知，且，则（

）A． B． C． D．7．已知点是的重心，过点的直线与边分别交于两点，为边的中点．若，则（

）A． B． C．2 D．8．若O是所在平面内的一点，且满足，则的形状为（）A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．下列化简正确的是（

）A．B．C．D．10．已知向量，，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．11．已知函数（其中，，）的部分图像，则下列结论正确的是（

）A．函数的图像关于直线对称B．函数的图像关于点对称C．将函数图像上所有的点向右平移个单位，得到函数，则为奇函数D．函数在区间上单调递增12．已知是边长为2的等边三角形，，分别是、上的两点，且，，与交于点，则下列说法正确的是（）（

）A． B．C． D．在方向上的投影为第Ⅱ卷（共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．直线l上有不同的三点A，B，C，O是直线l外一点，对于向量(是锐角)总成立，则．14．已知向量，则在方向上的投影向量是．15．已知平面直角坐标系中，向量，，若与的夹角为锐角.则实数的取值范围为．16．如图，在四边形中，，，且，则实数的值为，若是线段上的动点，且，则的最小值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知向量和，则,,求：(1)的值；(2)的值；(3)与的夹角θ的余弦值．18．如图，在中，，E是AD的中点，设，.(1)试用，表示，；(2)若，与的夹角为，求.19．已知是钝角，是锐角，，.(1)求的值；(2)求的值.20．试分别解答下列两个小题：(1)设，是不共线的两个向量，试确定实数，使得和共线；(2)已知是坐标原点，，，，在上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数，，，.(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；(2)若，，求的值.22．如图所示，摩天轮的半径为，最高点距离地面高度为，摩天轮的圆周上均匀地安装着个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要.甲，乙两游客分别坐在，两个座舱里，且他们之间间隔个座舱(本题中将座舱视为圆周上的点).

（1）求劣弧的弧长(单位：)；（2）设游客丙从最低点处进舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于时间的函数解析式；（3）若游客在距离地面至少的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间使甲，乙两位游客都有最佳视觉效果.1．D【分析】根据直接求解.【详解】因为，，所以.故选:D.2．A【分析】结合图形，将和分别用和，和表示，代入方程即可求解.【详解】如图，因，则，即，解得：.故选：A.3．B【分析】由平面向量运算律根据模长可得，再由数量积定义可得夹角为.【详解】根据题意由可得，又，可得，设向量的夹角为，所以，可得，即.故选：B4．D【分析】根据两角差的余弦公式以及辅助角公式即可求解.【详解】，故选：D5．A【分析】根据三角函数的变换规则计算可得.【详解】解：将向右平移个单位长度得到，再将各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变得到；故选：A6．D【分析】使用二倍角公式得到关于一元二次方程，求解，再根据同角三角函数的基本关系求出，最后根据二倍角正弦公式计算可得；【详解】由得，即，解得或（舍）.又，所以，所以.故选：D.7．A【分析】由三角形重心的性质，结合向量的线性运算得到，再由三点共线，即可求解.【详解】如图所示，由三角形重心的性质，可得，所以，所以，即，因为三点共线，可得，所以.故选：A．

8．D【分析】根据平面向量的线性运算可以得出，进而得到，由此可判断出的形状.【详解】∵，，∴，两边平方，化简得∴.∴为直角三角形.因为不一定等于，所以不一定为等腰直角三角形.故选：D.9．AC【分析】A选项，由正切的和角公式化简得到答案；B选项，由余弦二倍角公式求出答案；C选项，由正切二倍角公式进行求解；D选项，通分后，利用辅助角公式，倍角公式和诱导公式求出答案.【详解】A选项，，即，化简得：，A正确；B选项，，B错误；C选项，，C正确；D选项，，D错误.故选：AC10．AC【分析】对于A：利用向量共线的条件可以判断；对于B：直接求出，即可判断；对于C：计算出，即可判断；对于D：直接计算出即可判断.【详解】对于A：因为，，所以，所以.故A正确；对于B：因为，，所以，所以.故B错误；对于C：因为，，所以，所以，所以.故C正确；对于D：因为，，所以，因为，所以.故D错误.故选：AC.11．ACD【解析】根据函数图象求得解析式，再根据三角函数图象性质及伸缩平移变换分别判断各个选项.【详解】由图象得函数最小值为，故，，故，，故函数，又函数过点，故，解得，又，即，故，对称轴：，解得，当时，，故A选项正确；对称中心：，解得，对称中心为，故B选项错误；函数图像上所有的点向右平移个单位，得到函数，为奇函数，故C选项正确；的单调递增区间：，解得，又，故D选项正确；故选：ACD.12．BCD【分析】以E为原点建立平面直角坐标系，根据条件写出所有点的坐标求解即可.【详解】由题意可知：E为中点，则，以E为原点，分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：

所以，设，，所以，解得，即O是中点，，所以B正确；，所以C正确；因为，所以，所以A错误；易知，则在方向上的投影为，所以D正确.故选：BCD13．【分析】利用共线向量基本定理可求出，由平面向量基本定理可建立的等量关系，求解即可求出的取值.【详解】因为直线l上有不同的三点A，B，C,所以存在实数，使得，所以，即，所以，所以，因为是锐角，所以．故答案为：14．【分析】在方向上的投影向量是:，先求出，代入即可.【详解】因为,则在方向上的投影向量是:故答案为：.15．且【分析】根据题意得，且与不同向共线，再利用平面向量数量积的坐标公式以及向量共线列式即可得解.【详解】因为，，所以，因为与的夹角为锐角，所以，且与不同向共线，由，得，则；由与共线，得，则，此时与同向共线，故；综上，且.故答案为：且16．【分析】可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点（其中），得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值.【详解】，，，，解得，以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，,∵，∴的坐标为,∵又∵,则，设，则（其中），，，，所以，当时，取得最小值.故答案为：；.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.17．(1)；(2)；(3)．【分析】（1）（2）根据平面向量的数量积的定义即可求解；（3）根据平面向量的夹角公式即可求解．【详解】（1）∵,,.∴；（2）∵,∴

；（3）∵,∴18．(1)，(2)【分析】（1）利用向量加法减法的三角形法则及数乘运算即可求解；（2）根据（1）的结论，利用向量的数量积运算法则即可求解.【详解】（1）因为，所以，所以.因为E是AD的中点，所以.（2）因为，与的夹角为，所以，由（1）知，，，所以.19．(1)；(2).【分析】（1）根据诱导公式可得，再由二倍角的余弦公式即可求解；（2）根据同角三角函数的基本关系分别求出，，由及两角差的正弦公式即可求解.【详解】（1）.（2）因为是钝角，是锐角，，所以，，，所以，.所以,20．(1)；(2)存在或满足题意，理由见解析.【分析】（1）利用向量共线定理即得；（2）设，，然后利用向量共线的坐标表示及向量垂直的坐标表示可得，即得.【详解】（1）由于和共线，设，，由于，是不共线的两个向量，所以，解之得．（2）设，，则，从而，，，∵，∴，从而，即，解之得：或，所以存在或满足题意．21．(1)，（开闭均可）(2)【分析】(1)利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为的形式,结合三角函数的图象和性质,求出周期及单调区间；（2）利用，再由角的变换,诱导公式及二倍角的余弦公式求值即可.【详解】（1），所以周期，令，解得，所以函数的单调递增区间为.（开闭均可）（2），，即，.22．（1）；（2），其中；（3）.【分析】（1）根据弧长的计算公式可求的长度.（2）建立如图所示的平面直角坐标系，利用三角函数的定义可求关于时间的函数解析式.（3）利用（2）中所得的解析式并令，求出不等式的解后可得甲，乙两位游客都有最佳视觉效果的时间长度.【详解】（1）因为摩天轮的圆周上均匀地安装着个座舱，故每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为，故.（2）建立如图所示