第6章 平行四边形（教师版）-八年级数学下册

第6章平行四边形知识点01：平行四边形的定义平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形ABCD记作“口ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.易错指导：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.知识点02：平行四边形的性质定理平行四边形的对角相等；平行四边形的对边相等；平行四边形的对角线互相平分；易错指导：（1）平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.知识点03：平行四边形的判定定理1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.易错指导：这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个行四边形时，应选择较简单的方法.（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.知识点04：平行线间的距离1.两条平行线间的距离：（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.2．平行线性质定理及其推论夹在两条平行线间的平行线段相等.平行线性质定理的推论：夹在两条平行线间的垂线段相等.知识点05：三角形的中位线三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.易错指导：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.知识点06：多边形内角和、外角和边形的内角和为(－2)·180°(≥3)．易错指导：(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于；多边形的外角和为360°．边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023春•东台市月考）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②S▱ABCD＝AB•AC；③OB＝AB；成立的个数有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠BEA，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠BEA＝∠BAE，∴AB＝EB，∵∠ABE＝∠ADC＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴AB＝BE＝AE，∵AB＝BC，∴BE＝BC，∴BE＝CE＝AE，∴∠EAC＝∠ECA，∴∠AEB＝∠EAC+∠ECA＝2∠ECA＝60°，∴∠ECA＝30°，∴∠CAD＝∠ECA＝30°，故①正确；∵∠EAC＝∠ECA＝30°，∠BAE＝60°，∴∠BAC＝∠EAC+∠BAE＝30°+60°＝90°，∴AC⊥AB，∴S▱ABCD＝AB•AC，故②正确；AB⊥OA，∴OB＞AB，∴OB≠AB，故③错误，故选：C．2．（2分）（2022春•福田区期末）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点，且∠BCD＝120°，，连接OE．给出下列4个结论：①△ABE是等边三角形；②∠EAC＝30°；③；④若AB＝3，则，上述结论正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：①∵▱ABCD中，点E是BC的中点，且∠BCD＝120°，，∴BE＝AB＝BC，∠ABC＝180°﹣120°﹣60°，∴△ABE是等边三角形，故①正确；②∵△ABE是等边三角形，∴AE＝BE＝CE，∠AEB＝60°，∴∠EAC＝∠AEB＝60°＝30°，故②正确；③∵O是AC的中点，E是BC的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE＝AB，又∵AB＝BC，∴，故③正确；④∵AE＝CE，O是AC的中点，∴OE⊥AC，又∵AB＝AE＝3，∠EAO＝30°，∴OE＝AE＝，AO＝＝，∴△AOE的面积＝＝×＝，故④错误；综上所述，结论正确的有3个．故选：C．3．（2分）（2022春•鄞州区校级期末）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE．下列结论：①AE＝CE；②S△ABC＝AB•AC；③S△ABE＝2S△ACE；④OE⊥AC，成立的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠EAD＝60°∴△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝BE，∠AEB＝60°，∵AB＝BC，∴AE＝BE＝BC，∴AE＝CE，故①正确；∴∠EAC＝∠ACE＝30°∴∠BAC＝90°，∴S△ABC＝AB•AC，故②错误；∵BE＝EC，∴E为BC中点，∴S△ABE＝S△ACE，故③错误；∵OA＝OC，AE＝EC，∴OE⊥AC，故④正确；故正确的个数为2个，故选：B．4．（2分）（2021春•嵊州市期末）如图，在▱ABCD中，∠ADC＝60°，点F在CD的延长线上，连结BF，G为BF的中点，连结AG．若AB＝2，BC＝6，DF＝3，则AG的长为（）A．3 B． C． D．解：延长AG交DF于M，过A作AN⊥CF，垂足为N，在▱ABCD中，AD＝BC＝6，AB＝CD＝2，AB∥CD，∠AND＝90°，在Rt△ANM中，AM＝，∵∠ADC＝60°，在Rt△AND中，cos60°＝＝，∴DN＝3，sin60°＝，AN＝3．∵G为BF的中点，∴AG＝GM，∵AB∥CD，∴∠ABG＝∠GFM，∠BAG＝∠MGF，∴△ABG≌△MFG（AAS）．∴AG＝GM，MF＝AB＝2，DM＝1，MN＝4，∴AG＝故选：C．5．（2分）（2022•宁波模拟）如图，O是▱ABCD对角线AC上一点，过O作EF∥AD交AB于点E，交CD于点F，GH∥AB交AD于点G，交BC于点H，连结GE，GF，HE，HF，若已知下列图形的面积，不能求出▱ABCD面积的是（）A．四边形EHFG B．△AEG和△CHF C．四边形EBHO和四边形GOFD D．△AEO和四边形GOFD解：A、在▱ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∵EF∥AD，GH∥AB，∴AD∥EF∥BC，AB∥GH∥CD，∴四边形AEOG，BEOH，CFOH，DFOG都是平行四边形，∴S△EOG＝S▱AEOG，S△EOH＝S▱BEOH，S△FOH＝S▱OHCF，S△FOG＝S▱OGDF，∴四边形EHFG的面积＝×▱ABCD的面积，∴已知四边形EHFG的面积，可求出▱ABCD的面积，故A不符合题意；B、∵S△ABC﹣S△AEO﹣S△CHO＝S△ACD﹣S△AOG﹣S△CFO，∴S▱BEOH＝S▱GOFD，∵＝，∴S▱BEOH＝S▱OGDF＝＝2，∴已知△AEG和△CHF的面积，可求出▱ABCD的面积，故B不符合题意；C、已知四边形EBHO和四边形GOFD的面积，不能求出▱ABCD面积，故C符合题意；D、∵＝，∴＝，∴S▱OHCF＝S2▱OGDF•，∴已知△AEO和四边形GOFD的面积，能求出▱ABCD面积；故D不符合题意；故选：C．6．（2分）（2022春•娄底期中）如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有4005个三角形，则n的值是（）A．1002 B．1001 C．1000 D．999解：分别数出图①、图②、图③中的三角形的个数，图①中三角形的个数为1＝4×1﹣3；图②中三角形的个数为5＝4×2﹣3；图③中三角形的个数为9＝4×3﹣3；…可以发现，第几个图形中三角形的个数就是4与几的乘积减去3．按照这个规律，第n个图形中共有三角形的个数为4n﹣3，即4n﹣3＝4005，n＝1002，故选：A．7．（2分）（2021春•青岛期末）平行四边形ABCD中，∠ACB＝45°，AC，BD交于点O，E是BC边上一点，连接AE，过点B作BF⊥AE并延长交AC于点G，交CD于点H，已知AB＝AE，AF＝3，EF＝1，则下列结论：①∠BAE＝2∠CBH；②S△ABE＝2；③BE＝CO；④GH＝CH中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：①如图1，过A作AM⊥BC于M，交BH于点P，∵AB＝AE，∴∠BAE＝2∠EAM，∵AE⊥BH，AM⊥BC，∴∠AFP＝∠BMP＝90°，∵∠APF＝∠BPM，∴∠EAM＝∠CBH，∴∠BAE＝2∠CBH；故①正确；②∵AF＝3，EF＝1，∴AB＝AE＝3+1＝4，Rt△ABF中，由勾股定理得：BF＝＝＝，∴S△ABE＝•AE•BF＝×4×＝2，故②正确；③在Rt△BFE中，BF＝，EF＝1，∴BE＝＝＝2，∴S△ABE＝•BE•AM＝2，∴AM＝2，∴AM＝，∵∠ACB＝45°，∠AMC＝90°，∴△AMC是等腰直角三角形，∴AC＝AM＝×＝2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OC＝AC＝，∴OC＝×＝≠BE；故③不正确；④如图2，过A作AM⊥BC于M，过点G作GN⊥BC于N，则∠AMB＝∠AME＝∠BNG＝90°，∵∠ACB＝45°，∴∠MAC＝∠NCG＝45°，∵AB＝AE，∴∠BAM＝∠EAM，设∠BAM＝α，则∠MAE＝∠NBG＝α，则∠BAG＝45°+α，∠BGA＝∠GCN+∠GBC＝45°+α，∴∠BAG＝∠AGB，∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠GCH，∵∠AGB＝∠CGH，∴∠CGH＝∠GCH，∴GH＝CH；所以④正确；所以本题正确的结论有3个，是①②④．故选：C．8．（2分）（2022春•綦江区期末）如图，在平行四边形ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE和等边△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF、EF，则以下四个结论，正确的是（）①△CDF≌△EBC；②∠CDF＝∠EAF；③CG⊥AE；④△CEF是等边三角形．A．③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④解：∵△ABE、△ADF是等边三角形，∴FD＝AD，BE＝AB，∵AD＝BC，AB＝DC，∴FD＝BC，BE＝DC，∵∠CBE＝∠FDC，∠FDA＝∠ABE，∴∠CDF＝∠EBC，∴△CDF≌△EBC（SAS），故①正确；∵∠FAE＝∠FAD+∠EAB+∠BAD＝60°+60°+（180°﹣∠CDA）＝300°﹣∠CDA，∠FDC＝360°﹣∠FDA﹣∠ADC＝300°﹣∠CDA，∴∠CDF＝∠EAF，故②正确；在等边三角形ABE中，∵等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段，∴如果CG⊥AE，则G是AE的中点，∠ABG＝30°，∠ABC＝150°，题目缺少这个条件，CG⊥AE不能求证，故③错误；同理①②可得：∠CBE＝∠EAF＝∠CDF，∵BC＝AD＝AF，BE＝AE，∴△EAF≌△EBC（SAS），∴∠AEF＝∠BEC，∵∠AEF+∠FEB＝∠BEC+∠FEB＝∠AEB＝60°，∴∠FEC＝60°，∵CF＝CE，∴△ECF是等边三角形，故④正确．故选：B．9．（2分）（2023春•沭阳县月考）如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠DBC＝45°，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE、BF相交于点H，直线BF交线段AD的延长线于点G，下列结论：①CE＝BE；②∠A＝∠BHE；③AB＝BH；④∠BHD＝∠BDG；⑤BH2+BG2＝AG2．其中正确的结论有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4解：∵∠DBC＝45°，DE⊥BC，∴△DEB是等腰直角三角形，∴BE＝DE，∵BF⊥CD，∴∠FHD+∠FDH＝90°，∵∠C+∠FDH＝90°，∴∠C＝∠FHD，∵∠C＝∠A，∠FHD＝∠BHE，∴∠A＝∠BHE，故②正确；在△BEH和△DEC中，，∴△BEH≌△DEC（AAS），∴EH＝EC，∵H不是DE的中点，∴BE＝DE≠2EC，故①错误；∵AB＝CD，BH＝CD，∴AB＝BH，故③正确；∵∠BHD＝90°+∠HBE，∠BDG＝90°+∠BDE，∵∠BDE＞∠HBE，∴∠BDG＞∠BHD，故④错误；∵BF⊥CD，AB∥CD，∴BF⊥AB，∴∠ABG＝90°，∴AB2+BG2＝AG2，∵AB＝BH，∴BH2+BG2＝AG2，故⑤正确．∴其中正确的结论有②③⑤，共3个．故选：C．10．（2分）（2023春•瑞安市期中）如图，▱ABCD中，AB＝22cm，BC＝8cm，∠A＝45°，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则EF的长为10cm时点E的运动时间是（）A．6s B．6s或10s C．8s D．8s或12s解：在▱ABCD中，CD＝AB＝22cm，AD＝BC＝8cm，如图，过点D作DG⊥AB于点G，∵∠A＝45°，∴△ADG是等腰直角三角形，∴AG＝DG＝AD＝8，过点F作FH⊥AB于点H，得矩形DGHF，∴DG＝FH＝8cm，DF＝GH，∵EF＝10cm，∴EH＝＝6cm，由题意可知：AE＝2tcm，CF＝tcm，∴GE＝AE＝AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，∴GH＝GE＝EH＝（2t﹣8）+6＝（2t﹣2）cm，∴2t﹣2＝22﹣t，解得t＝8，∴EF的长为10cm时点E的运动时间是8s，故选：C．二．填空题（共11小题，满分22分，每小题2分）11．（2分）（2023春•长春期中）如图，作平行四边形ABCD的高CE，B是AE的中点．如果BE：CE＝1：，BC＝cm，则CD长为cm．解：如图，连接BD，∵ABCD是平行四边形，∴CD∥AB且CD＝AB．又∵B是AE的中点，∴CD∥BE且CD＝BE．∴BD∥CE，∵CE⊥AE，∴BD⊥AE；设BE＝x，则CE＝x，在Rt△BEC中：x2+（x）2＝9，解得：x＝，故CD＝AB＝BE＝（cm）．故答案为：．12．（2分）（2023•天津二模）如图，△ABC是等边三角形，AB＝10，D为AB上一点，DB＝AB，DE⊥AB与BC的延长线相交于点E，F为DE的中点，H为BC的中点，连接FH．则FH的长为．解：如图，过点F作FG⊥BC于点G，∵△ABC是等边三角形，AB＝10，∴BC＝AB＝10，∠B＝60°，∵DB＝，∴DB＝6，∵DE⊥AB，∴∠BDE＝90°，∴∠E＝90°﹣∠B＝30°，∴BE＝2DB＝12，∴DE＝，∵F为DE的中点，∴DF＝EF＝，∵FG⊥BC，∴∠FGH＝∠FGE＝90°，∴FG＝，∴EG＝，∵H为BC的中点，∴BH＝CH＝，∴GH＝BE﹣BH﹣EG＝，∴FH＝，故答案为：．13．（2分）（2023春•新市区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，BE与CF相交于点G，若AB＝6，BC＝11，则EF的长为1．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝6，AD∥BC，AD＝BC＝11，∴∠AEB＝∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AE＝AB＝6，同理DF＝CD，∴AE＝DF，即AE﹣EF＝DF﹣EF，∴AF＝DE，∵AB＝6，BC＝11，∴DE＝AD﹣AE＝11﹣6＝5，∴EF＝DF﹣DE＝6﹣5＝1．故答案为：1．14．（2分）（2023春•泉港区期中）如图，平行四边形ABCD的周长是14cm，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为7cm．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，∵▱ABCD的周长为14cm，∴AB+AD＝7cm，∵OE⊥BD，∴OE是线段BD的中垂线，∴BE＝ED，∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝AB+AD＝7cm，故答案为：7．15．（2分）（2023春•鼓楼区期中）如图，在平面直角坐标系中，A（2，0），点P为y轴上一动点，连接AP并延长至点D，使DP＝AP，取y轴上一点B，以AB，AD为边作▱ABCD，连接OC，则OC长度的取值范围为OC≥4．解：∵A（2，0），∴OA＝2，如图，过点D作x轴的平行线交y轴于点F，过点C作y轴的平行线交FD于点E，∴∠OAP＝∠FDP，∵∠APO＝∠DPF，AP＝DP，∴△AOP≌△DFP（ASA），∴OA＝DF＝2，在▱ABCD中，AB＝CD，∵EF∥OA，∴∠EDA+∠OAD＝180°，∵DC∥AB，∴∠CDA+∠BAD＝180°，∴∠EDA+∠OAD﹣∠CDA﹣∠BAD＝0，∴∠EDA﹣∠CDA＝∠BAD﹣∠OAD，∴∠EDC＝∠OAB，∵∠CED＝∠BOA＝90°，CD＝BA，∴△ECD≌△OBA（AAS），∴DE＝OA＝2，∴EF＝DE+DF＝4，∵CE⊥EF，EF∥y轴，∴C点始终在平行于y轴的直线上运动，并且这条直线与y轴的距离为4，则O到这条直线的距离为4，∴OC长度的取值范围为OC≥4．故答案为：OC≥4．16．（2分）（2023•玄武区一模）如图，在▱ABCD中，E是边BC的中点，连接AE，若BC＝4，∠BAE＝30°，则对角线BD的取值范围为2﹣2≤BD≤2+2．​解：∵点E是BC的中点，BC＝4，∴BE＝BC＝2，如图，在BC的延长线上取一点F，使CF＝BE＝2，连接DF，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠ABE＝∠DCF，AB＝DC，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠CDF＝∠BAE＝30°，以CF为边在CF上方作等边△OCF，∴∠COF＝60°，OC＝CF＝2，以点O为圆心，OC为半径作⊙O，则点D在⊙O上，过点O作射线BO交⊙O于M，N，则BD的最小值等于BN，最大值等于BM，过点O作OH⊥CF于H，则CH＝1，OH＝，∴BH＝BC+CH＝5，在Rt△BHO中，根据勾股定理得，BO＝＝＝2，∴BN＝BO﹣ON＝2﹣2，BM＝BO+OM＝2+2，∴2﹣2≤BD≤2+2，故答案为：2﹣2≤BD≤2+2．17．（2分）（2023春•海淀区校级期中）如图，△ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB的中点，G、M、N分别是线段AE、AF、BD上的点，且GM∥BC，GN∥AB，GN与EF交于点K，如果四边形FKGM面积是2，四边形EKND的面积是3，则△GKE的面积是．解：过A作AQ∥BC，延长DE交AQ于Q，延长NG交AQ于P，延长MG交QE于L，∵D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，∴DE，EF是△ABC的中位线，∴EQ∥FA，EF∥BC，∴EF∥AQ，∴四边形AFEQ是平行四边形，∵ML∥BC，NG∥AB，∴四边形AMGP，四边形GKEL是平行四边形，∴△AFE的面积＝△AQE的面积，△AMG的面积＝△APG的面积，△KGE的面积＝△LGE的面积，∴平行四边形MFKG的面积＝平行四边形QPGL的面积＝2，∵NK＝BF，PK＝AF，∵AF＝BF，∴NK＝PK，∴平行四边形PKEQ的面积＝平行四边形NDEK的面积＝3，∴平行四边形GKEL的面积＝3﹣2＝1，∴△GKE的面积＝．故答案为：．18．（2分）（2023春•鹿城区校级期中）如图，点E是▱ABCD的AD边上的中点，连结BE，点F为BE中点，若AB＝9，AD＝6，∠BAD＝120°，则DF的长是．解：过点F作FM∥AD交DC于点M，∵F为BE中点，且FM∥AD，∴M为DC中点，∠ADM＝∠FMC，∵DC＝AB＝9，∴DM＝CM＝4.5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠ADM＝180°，∴∠ADM＝∠FMC＝60°，∵点E是▱ABCD的AD边上的中点，BC＝AD＝6，∴DE＝3，∴FM＝（DE+BC）＝（2+4）＝4.5＝CD，∴∠DFC＝90°，∵AD∥FM，∴∠EDF＝∠DFM，∵FM＝DM，∴∠FDM＝∠DFM，∴∠FDM＝∠EDF＝30°，∴FC＝DC＝4.5，∴DF＝FC＝．故答案为：．19．（2分）（2022春•魏都区校级期中）如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发，沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为2或6秒时，以A，F，C，E为顶点的四边形是平行四边形．解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，则CF＝BC﹣BF＝6﹣2t（cm），∵AG∥BC，∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，即t＝6﹣2t，解得：t＝2；②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，则CF＝BF﹣BC＝2t﹣6（cm），∵AG∥BC，∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，即t＝2t﹣6，解得：t＝6；综上可得：当t＝2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．故答案为：2或6．20．（2分）（2022春•碑林区校级月考）如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，G为线段AE上一点且满足EG＝BC，AG＝CE，连CG并延长交AB于点F，则∠BFC的度数为45°．解：如图，连接DG，在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，∵AE⊥BC，∴AE⊥AD，∴∠DAG＝∠GEC＝90°，∵EG＝BC，∴EG＝AD，在△ADG和△EGC中，，∴△ADG≌△EGC（SAS），∴DG＝CG，∠ADG＝∠EGC，∵∠ADG+∠AGD＝90°，∴∠EGC+∠AGD＝90°，∴∠DGC＝90°，∴△DGC是等腰直角三角形，∴∠DCG＝45°，∵AB∥CD，∴∠BFC＝∠DCG＝45°．故答案为：45°．21．（2分）（2022春•温州校级期中）如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AD，BC边的中点，延长CD至点G，使DG＝CD，以DG，DE为边向▱ABCD外构造▱DGME，连结BM交AD于点N，连结FN．若DG＝DE＝1，∠ADC＝60°，则FN的长为．解：如图，连接EF，AF，∵四边形DGME是平行四边形，DG＝CD＝DE＝1，∴DC∥EF，∵∠ADC＝60°，∴∠AEF＝60°，∵点E，F分别是AD，BC边的中点，∴AB∥EF，AE＝DE，∴四边形ABFE是平行四边形，∴∠BAN＝∠MEN，∵DG＝DC，DG＝DE，∴AE＝EF＝AB＝ME＝1，∵∠AEF＝60°，∴△AEF是等边三角形，在△ABN和△EMN中，，∴△ABN≌△EMN（AAS），∴AN＝NE，∴NE＝AE＝，∵FN⊥AE，∴FN＝＝．故答案为：．三．解答题（共7小题，满分58分）22．（8分）（2023•绵阳三模）如图，在▱ABCD中，点E在CD上，连接BE，并延长BE至点F，连接CF，DF，BC＝CF，∠ABF＝∠DFB，连接BD交AE于点G，若AG＝DF．（1）求证：△ADE≌△CFD；（2）求证：CG垂直平分线段BF．（1）证明：由▱ABCD得AD＝BC，AB∥CD，∠ADC＝∠ABC，∴∠ABF＝∠DEF．∵BC＝CF，∴AD＝CF，∠CFB＝∠CBF．∵∠ABF＝∠DFB，∴∠DEF＝∠DFB，∴DE＝DF．∴∠DFB+∠CFB＝∠ABF+∠CBF，即∠CFD＝∠ABC，∴∠ADC＝∠CFD．在△ADE和△CFD中，∴△ADE≌△CFD（SAS）．（2）证明：如图：连接GF．∵△ADE≌△CFD，∴∠DEA＝∠FDE，∴DF∥AG．∵AG＝DF，∴四边形ADFG为平行四边形，∴AD∥GF，AD＝GF．∵AD∥BC，AD＝BC，∴BC∥GF，BC＝GF，∴四边形BCFG为平行四边形，∵BC＝CF，∴四边形BCFG为菱形，∴CG垂直平分线段BF．23．（8分）（2023春•老城区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E为DC延长线上的一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC和BD于点F和G，连接AC交BD于点O，连接OF，求证：AB＝2OF．​证明：连接BE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，O是AC的中点，∴四边形ABEC是平行四边形，∴F是BC的中点，∴OF是△ABC的中位线，∴AB＝2OF．24．（8分）（2023春•徐州期中）如图，已知：在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC，EF∥AC，求证：BE＝CF．证明：∵DE∥BC，EF∥AC，∴四边形EFCD为平行四边形，∴ED＝CF，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠FBD，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠FBD，∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝ED，∴BE＝CF．25．（8分）（2023春•鼓楼区期中）如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点．对“中位线定理”逆向思考，可得以下3则命题：Ⅰ．若D是AB的中点，，则E是AC的中点；Ⅱ．若DE∥BC，，则D，E分别是AB，AC的中点；Ⅲ．若D是AB的中点，DE∥BC，则E是AC的中点．​（1）从以上命题中选出一个假命题，并在图2中画出反例（尺规作图，保留作图痕迹）；（2）从以上命题中选出一个真命题，并进行证明．解：（1）选择I，理由如下：如图，D是AB中点，但E显然不是AC的中点，（2）真命题是Ⅱ或Ⅲ．选择命题Ⅲ．证明：如图，延长ED到点F使DF＝DE，连接BF．∵D为AB中点，∴AD＝BD．在△ADE与△BDF中，，∴△ADE≌△BDF（SAS），∴BF＝AE，∠F＝∠AED，∴AC∥BF，又∵DF∥BC，∴四边形BCEF为平行四边形，∴BF＝CE，又∵BF＝AE，∴CE＝AE，即E是AC的中点．26．（8分）（2023春•鄞州区校级期中）如图1，在平行四边形ABCD中，点E、F分别为AD，BC的中点，点G，H在对角线BD上，且BG＝DH．（1）求证：四边形EHFG是平行四边形．