专题1.7二次根式的应用大题提升训练（重难点培优30题）-【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题（解析版）【浙教版】

【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【浙教版】专题1.7二次根式的应用大题提升训练（重难点培优30题）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题（共30小题）1．（2020春•衢州期中）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板．（1）求剩余木料的面积．（2）如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出2块这样的木条．【分析】（1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案；（2）求出3和范围，根据题意解答．【解答】解：（1）∵两个正方形的面积分别为18dm2和32dm2，∴这两个正方形的边长分别为3dm和4dm，∴剩余木料的面积为（4﹣3）×3＝6（dm2）；（2）4＜3＜4.5，1＜＜2，∴从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出2块这样的木条，故答案为：2．2．（2021秋•钱塘区期末）（1）已知一个长方形的长是宽的2倍，面积是10，求这个长方形的周长．（2）如图，已知长方形内两个相邻正方形的面积分别为9和3，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）根据长方形面积公式为长×宽，代入计算即可；（2）两个小阴影部分可以组成一个长为，宽为（3﹣）的长方形，直接计算即可．【解答】解：（1）设长方形的宽为x，则长方形的长为2x，则x•2x＝10，解得x＝或（舍去），∴长方形的长为2，∴长方形的周长为（）×2＝6．（2）由题意可知，大正方形的边长为3，小正方形的变成为，∴阴影部分的面积为（3﹣）×＝3．3．（2021春•天河区校级月考）若矩形的长a＝，宽b＝．（1）求矩形的面积和周长；（2）求a2+b2﹣20+2ab的值．【分析】（1）直接利用二次根式的混合运算法则分别计算得出答案；（2）直接利用完全平方公式结合二次根式的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）∵矩形的长a＝，宽b＝．∴矩形的面积为：（+）（﹣）＝6﹣5＝1；矩形的周长为：2（++﹣）＝4；（2）a2+b2﹣20+2ab＝（a+b）2﹣20＝（++﹣）2﹣20＝（2）2﹣20＝24﹣20＝4．4．（2019春•椒江区校级期中）已知长方形的长a＝，宽b＝．（1）求该长方形的周长；（2）若另一个正方形的面积与该长方形的面积相等，试计算该正方形的周长．【分析】（1）利用长方形的周长公式列出代数式并求值；（2）利用等量关系另一个正方形的面积＝该长方形的面积列出等式并计算．【解答】解：∵a＝＝2，b＝＝，（1）长方形的周长＝2×（+）＝2×（2）＝6；（2）长方形的面积＝2×＝6，根据面积相等，则正方形的边长＝，所以，正方形的周长＝4．5．（2019春•沂水县期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝（不考虑风速的影响）（1）从50m高空抛物到落地所需时间t1是多少s，从100m高空抛物到落地所需时间t2是多少s；（2）t2是t1的多少倍？（3）经过1.5s，高空抛物下落的高度是多少？【分析】（1）将h＝50代入t1＝进行计算即可；将h＝100代入t2＝进行计算即可；（2）计算t2与t1的比值即可得出结论；（3）将t＝1.5代入公式t＝进行计算即可．【解答】解：（1）当h＝50时，t1＝＝（秒）；当h＝100时，t2＝＝＝2（秒）；（2）∵＝＝，∴t2是t1的倍．（3）当t＝1.5时，1.5＝，解得h＝11.25，∴下落的高度是11.25米．6．（2022秋•桥西区期中）交通警察通常根据刹车后车轮划过的距离估计车辆行驶的速度，所依据的经验公式是v＝16，其中v表示车速（单位：km/h），d表示刹车后车轮划过的距离（单位：m），f表示摩擦系数，在某次交通事故调查中测得d＝20m，f＝1.2．（1）求肇事汽车的速度；（2）若此路段限速70km/h，请通过计算判断肇事汽车是否超速？【分析】（1）直接用题目中速度公式和计算即可求出；（2）比较两个速度的大小即可．【解答】解：（1）当d＝20m，f＝1.2时，v＝16＝32（km/h），答：肇事汽车的速度是32km/h；（2）v＝32≈78＞70，∴肇事汽车已经超速．7．（2022秋•社旗县期中）（1）计算：（﹣2x）3•（3x2﹣xy﹣1）（2）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空物体自由下落到地面的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响，g≈9.8t/s2）．已知一幢大楼高78.4m，若一个鸡蛋从楼顶自由落下，求落到地面所用时间．【分析】直接将h＝78.4，g＝9.8代入公式计算即可．【解答】解：将h＝78.4，g＝9.8代入公式t＝，得：t＝＝4，答：落到地面所用时间为4s．8．（2022秋•南岸区校级期中）某居民小区有一块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为m，宽AB为m，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为（+1）m，宽为（﹣1）m．（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）（2）除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？【分析】（1）长方形ABCD的周长是2（+）（m）；（2）先求出空白部分的面积，再根据通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖列式计算即可．【解答】解：（1）长方形ABCD的周长＝2（+）＝2（9+8）＝34（m），答：长方形ABCD的周长是34（m）；（2）购买地砖需要花费＝50×[9×8﹣（+1）（﹣1）]＝50×（144﹣12）＝50×132＝6600（元）；答：购买地砖需要花费6600元．9．（2022秋•新蔡县校级月考）如图，有一张面积为50cm2的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为cm．（1）求长方体盒子的容积；（2）求这个长方体盒子的侧面积．【分析】（1）结合题意可知该长方体盒子的长、宽都为5＝3cm，高为cm，而长方体的容积为长×宽×高，即可得答案；（2）该长方体盒子的侧面为长方形，长为3cm，宽为cm，共4个面，即可得答案．【解答】解：（1）由题意可知：长方体盒子的容积为：（cm3），答：长方体盒子的容积为18cm3；（2）长方体盒子的侧面积为：（cm2），答：这个长方体盒子的侧面积为24cm2．10．（2022秋•西安月考）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝（不考虑风速的影响，g≈10m/s2）．（1）求从60m高空抛物到落地的时间．（结果保留根号）（2）已知高空坠物动能（单位：J）＝10×物体质量（单位：kg）×高度（单位：m），某质量为0.2kg的玩具被抛出后经过3s后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由．（注：伤害无防护人体只需要65J的动能）【分析】（1）把60m代入公式t＝即可；（2）先根据公式t＝求出h，再代入动能计算公式求出这个玩具产生的动能，即可判断．【解答】解：（1）由题意知h＝60m，∴t＝＝＝2（s），故从60m高空抛物到落地的时间为2s；（2）这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，理由：当t＝3s时，3＝，∴h＝45，经检验，h＝45是原方程的根，∴这个玩具产生的动能＝10×0.2×45＝90（J）＞65J，∴这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人．11．（2022春•济源期末）【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦﹣秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．【解决问题】：已知在△ABC中，AC＝4，BC＝7.5，AB＝8.5．（1）请你用“海伦﹣秦九韶公式”求△ABC的面积．（2）除了利用“海伦﹣秦九韶公式”求△ABC的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法．【分析】（1）直接代入海伦﹣秦九韶公式求解；（2）先利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，再用两直角边的积除以2求出面积即可．【解答】解：（l）∵AC＝4，BC＝7.5，AB＝8.5，∴，∴．即△ABC的面积为15；（2）∵AC＝4，BC＝7.5，AB＝8.5，∴，，，∴，∴∠C＝90°，∴．12．（2020•太原三模）阅读下列材料，完成相应任务：卢卡斯数列法国数学家爱德华•卢卡斯以研究斐波那契数列而著名，他曾给出了求斐波那契数列第n项的表达式，创造出了检验素数的方法，还发明了汉诺塔问题．“卢卡斯数列”是以卢卡斯命名的一个整数数列，在股市中有广泛的应用．卢卡斯数列中的第n个数F（n）可以表示为，其中n≥1．（说明：按照一定顺序排列着的一列数称为数列．）任务：（1）卢卡斯数列中的第1个数F（1）＝2，第2个数F（2）＝1；（2）求卢卡斯数列中的第3个数F（3）；（3）卢卡斯数列有一个重要特征：当n≥3时，满足F（n）＝F（n﹣1）+F（n﹣2）．请根据这一规律直接写出卢卡斯数列中的第5个数：F（5）＝7．【分析】（1）代入计算即可求解；（2）代入计算，再根据完全平方公式即可求解；（3）根据当n≥3时，满足F（n）＝F（n﹣1）+F（n﹣2），先求出F（4），进一步求出F（5）．【解答】解：（1）F（1）＝1+1＝2，第2个数F（2）＝+＝1．故答案为：2；1；（2）＝＝＝3；（3）∵F（4）＝F（3）+F（2）＝3+1＝4，∴F（5）＝F（4）+F（3）＝4+3＝7．故答案为：7．13．已知a、b均为正数．（1）观察：①若a+b＝2，则；②若a+b＝3，则；③若a+b＝6，则．（2）猜想：①若a+b＝9，则≤；②若a+b＝m，则≤．（3）证明：试对猜想②加以证明．【分析】（2）利用已知中数据变化规律，进而得出≥，得出答案；（3）利用完全平方公式进而整理求出即可．【解答】（2）解：由（1）得：①若a+b＝9，则≤；②若a+b＝m，则≤；故答案为：，；（3）证明：∵（a﹣b）2≥0，∴a2+b2﹣2ab≥0，则a2+b2+2ab≥4ab，故（a+b）2≥4ab，∵a、b均为正数，∴a+b≥2，∴≥，14．（2020春•韩城市期末）如图，有一张边长为6cm的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为cm．求：（1）剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积；（2）长方体盒子的体积．【分析】（1）直接利用总面积减去周围正方形面积进而得出答案；（2）直接利用长方体的体积公式得出答案．【解答】解：（1）制作长方体盒子的纸板的面积为：（6）2﹣4×（）2＝108﹣12＝96（cm2）；（2）长方体盒子的体积：（6﹣2）（6﹣2）×＝4×4×＝48（cm3）．15．座钟的摆来回摆动一次的时间叫做一个周期，它的计算公式是：T＝2π，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m），g＝9.8m/s2，π是圆周率，已知某台座钟的摆长为0.8m，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声．求该座钟1min恰好发出多少次滴答声，如果要使该座钟1min恰好发出60次滴答声，该座钟的摆长应为多少？（π取3.14，摆长精确到0.01m）【分析】由给出的公式代入计算即可．要先求出这个钟摆的周期，然后利用时间除周期就是次数；解答第二问应先求出T的值，然后将T、g、π代入求值即可．【解答】解：T＝2π≈1.79（秒），（次）；由题意可得，T＝＝1秒，由公式为T＝2π，得（m），答：该座钟1min恰好发出大约34次滴答声，该座钟的摆长应为0.25m．16．（2021秋•太原期中）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空物体自由下落到地面的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝（不考虑风速的影响，g≈9.8m/s2）．已知一幢大楼高78.4m，若一颗鸡蛋从楼顶自由落下，求落到地面所用时间．【分析】直接将h＝78.4，g＝9.8代入公式计算即可．【解答】解：将h＝78.4，g＝9.8代入公式t＝，得：t＝＝4答：落到地面所用时间为4s．17．（2021春•田林县期中）如图，有一张边长为6cm的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，且小正方形的边长为cm．求：（1）长方体盒子的表面积；（2）长方体盒子的体积．【分析】（1）长方体表面积就是正方形纸板剪去四个角之后的面积，计算即可；（2）利用长方体的体积公式计算即可．【解答】解：（1）长方体表面积就是正方形纸板剪去四个角之后的面积，即＝72﹣8＝64（cm2）（2）＝＝32（cm3）答：长方形的盒子的表面积为64cm2，体积为32．18．（2020秋•南安市期中）如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，记p＝，那么这个三角形的面积S＝，这个公式叫“海伦公式”．若a＝5，b＝6，c＝7，利用以上公式求三角形的面积S．【分析】直接求出p的值，进而代入S＝，求出答案．【解答】解：当a＝5，b＝6，c＝7时，p＝＝＝9，＝＝．19．（2019春•思明区校级期中）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，先在木板上截出两个面积为18dm2和32dm2的正方形木板，后来又想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，请问最多能截出几块这样的木条？【分析】从题意可知，剩余部分的长方形的长边为bm，短边为﹣＝dm，由估算，的大小，做出判断即可．【解答】解：剩余部分的长为dm，宽为﹣＝dm，∵＜1.5，∴剩余的木料的短边只能作为木条的短边，∵4.2＜＜4.3，4.2÷1.5≈2，因此只能截出2块，答：最多能截出2块．20．（2020秋•新都区期末）设一个三角形的三边分别为a，b，c，p＝（a+b+c），则有下列面积公式：S＝（海伦公式）；S＝（秦九韶公式）．（1）一个三角形的三边长依次为3，5，6，任选以上一个公式求这个三角形的面积；（2）一个三角形的三边长依次为，，，任选以上一个公式求这个三角形的面积．【分析】（1）先求出p＝7，再由海伦公式计算即可；（2）先求出a2＝3，b2＝5，c2＝6，再由秦九韶公式计算即可．【解答】解：（1）∵一个三角形的三边长依次为3，5，6，∴p＝（a+b+c）＝（3+5+6）＝7，由海伦公式得：S＝＝＝2；（2）∵a＝，b＝，c＝，∴a2＝3，b2＝5，c2＝6，由秦九韶公式得：S＝＝＝．21．（2021秋•叙州区期末）已知△ABC三条边的长度分别是，，，记△ABC的周长为C△ABC．（1）当x＝2时，△ABC的最长边的长度是（请直接写出答案）；（2）请求出C△ABC（用含x的代数式表示，结果要求化简）；（3）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：S＝．其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S．若x为整数，当C△ABC取得最大值时，请用秦九韶公式求出△ABC的面积．【分析】（1）把x＝2代入三角形的三边中，分别计算，比较后即可求解；（2）把三角形的三边求和，利用二次根式的性质化简即可求解；（3）先根据x的取值范围，确定三角形周长的最大值及三角形各边的长，代入公式求出三角形的面积．【解答】解：（1）当x＝2时，＝，，，∴△ABC的最长边的长度是3；（2）由题知：，解得﹣1≤x≤4．∴，，∴C△ABC＝++＝+5−x+x＝+5；（3）∵C△ABC＝+5，﹣1≤x≤4，且x为整数，∴x越大C△ABC越大，∴当x＝4时，C△ABC取得最大值，此时三边为，1，4，∵+1＜4，∴不合题意舍去．当x＝3时，三边为2，2，3，∴S＝＝＝＝．22．（2022秋•南山区校级期中）著名数学教育家G•波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料，再解决问题：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面的一层根号．例如：＝＝＝＝1+．解决问题：（1）在括号内填上适当的数：＝＝③①：5，②：，③3+．（2）根据上述思路，化简并求出+的值．【分析】（1）模仿样例进行解答便可；（2）把28看成，7看成，借助完全平方公式将每个根号内化成完全平方数的形式，便可开方计算得结果．【解答】解：（1）由题意得，＝＝3+，则①＝5，②＝，③＝3+，故答案为：①5；②；③3+；（2）+＝＝＝5﹣＝7．23．（2022秋•临汾期中）阅读与思考阅读下列材料，并完成相应的任务：法国数学家爱德华•卢卡斯以研究斐波那契数列而著名，他曾给出了求斐波那契数列第n项的表达式，创造出了检验素数的方法，还发明了汉诺塔问题．“卢卡斯数列”是以卢卡斯命名的一个整数数列，在股市中有广泛的应用．卢卡斯数列中的第n个数F（n）可以表示为+，其中n≥1．（说明：按照一定顺序排列着的一列数称为数列）任务：（1）卢卡斯数列中的第1个数F（1）＝2，第2个数F（2）＝1；（2）卢卡斯数列有一个重要特征：当n≥3时，满足F（n）＝F（n﹣﹣1）+F（n﹣2）．请根据这一规律写出卢卡斯数列中的第6个数F（6）．【分析】（1）根据F（n）＝+，将n＝1，2分别代入计算即可求解；（2）根据当n≥3时，满足F（n）＝F（n﹣1）+F（n﹣2），先求出F（4），F（5），再进一步求出F（6）．【解答】解：（1）F（1）＝1+1＝2，第2个数F（2）＝+＝1．故答案为：2；1；（2）∵F（n）＝F（n﹣1）+F（n﹣2），∴F（3）＝F（2）+F（1）＝1+2＝3；F（4）＝F（3）+F（2）＝3+1＝4，F（5）＝F（4）+F（3）＝4+3＝7，∴F（6）＝F（5）+F（4）＝7+4＝11．24．（2022春•雁塔区校级期末）请阅读下面材料，并解决问题：海伦——秦九韶公式海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边长直接求三角形面积的公式：假设在平面内，有一个三角形的三条边长分别为a，b，c，记p＝，那么三角形的面积S＝．这个公式称为海伦公式．秦九韶（约1202﹣1261年），我国南宋时期的数学家，曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式S＝．它填补了中国数学史中的一个空白，从中可以看出中国古代已经具有很高的数学水平．通过公式变形，可以发现海伦公式和秦九韶公式实质是同一个公式，所以海伦公式也称海伦﹣秦九韶公式．问题：如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝7，BC＝8，请用海伦一秦九韶公式求△ABC的面积．【分析】代入公式，进行二次根式的化简．【解答】解：∵AB＝6，AC＝7，BC＝8，∴a＝8，b＝7，c＝6，∴S＝＝．25．（2021秋•长安区校级期末）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为8米，宽AB为米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为+1米，宽为﹣1米．（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）（2）除去修建花坛的地方．其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）【分析】（1）根据长方形ABCD的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得；（2）先计算出空白部分面积，再计算即可，【解答】解：（1）长方形ABCD的周长＝2×（）＝2（8+7）＝16+14（米），答：长方形ABCD的周长是16+14（米），（2）通道的面积＝＝56﹣（13﹣1）＝56（平方米），购买地砖需要花费＝6×（56）＝336﹣72（元）．答：购买地砖需要花费336﹣72元；26．（2021秋•龙岗区校级期中）平面几何图形的许多问题，如长度、周长、面积、角度等问题，最后都转化到三角形中解决．古人对任意形状的三角形，探究出若已知三边，便可以求出其面积．具体如下：设一个三角形的三边长分别为a、b、c，P＝（a+b+c），则有下列面积公式：S＝（海伦公式）；S＝（秦九韶公式）．（1）一个三角形边长依次为5、6、7，利用两个公式，可以求出这个三角形的面积是6．（2）学完勾股定理以后，已知任意形状的三角形的三边长也可以求出其面积．如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．①作AD⊥BC于D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD，则CD＝14﹣x；②请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x的值；③利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．【分析】（1）利用两个公式分别代入即可；（2）①根据CD＝BC﹣BD可得答案；②在两个直角三角形中分别应用勾股定理可得方程，解方程可得x的值；③根据三角形面积公式计算即可．【解答】解：（1）P＝（a+b+c）＝（5+6+7）＝9，由海伦公式可得S＝＝＝6；由秦九昭公式可得S＝＝＝6．故答案为：6；（2）①∵BC＝14，BD＝x，∴DC＝14﹣x，故答案为：14﹣x；②∵AD⊥BC，∴AD2＝AC2﹣CD2，AD2＝AB2﹣BD2，∴132﹣（14﹣x）2＝152﹣x2，解得x＝9；③由（2）得：AD＝＝＝12，∴S△ABC＝BC•AD＝14×12＝84．27．（2020春•玄武区期中）数学阅读：古希腊数学家海伦曾提出一个利用三角形三边之长求面积的公式：若一个三角形的三边长分别为a、b、c，则这个三角形的面积为S＝，其中p＝（a+b+c），这个公式称为“海伦公式”．数学应用：如图，在△ABC中，已知AB＝9，AC＝8，BC＝7．（1）请运用海伦公式求△ABC的面积；（2）设AC边上的高为h1，BC边上的高h2，求h1+h2的值．【分析】（1）根据海伦公式，代入解答即可；（2）根据三角形面积公式解答即可．【解答】解：（1）AB＝c＝9，AC＝b＝8，BC＝a＝7，p＝，∴；（2）∵，∴，，∴．28．（2022春•南部县校级月考）在《九章算术》中有求三角形面积公式“底乘高的一半”，但是在实际丈量土地面积时，量出高并非易事，所以古人想到了能否利用三角形的三条边长来求面积．我国南宋著名的数学家秦九韶（1208年﹣1261年）提出了“三斜求积术”，阐述了利用三角形三边长求三角形面积方法，简称秦九韶公式．在海伦（公元62年左右，生平不详）的著作《测地术》中也记录了利用三角形三边长求三角形面积的方法，相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德（公元前287年﹣公元前212年）得出的，故我国称这个公式为海伦﹣秦九韶公式．它的表述为：三角形三边长分别为a、b、c，则三角形的面积．（公式里的p为半周长即周长的一半）请利用海伦﹣秦九韶公式解决以下问题：（1）三边长分别为3、6、7的三角形面积为．（2）四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝7，AD＝6，∠B＝90°，四边形ABCD的面积为．（3）五边形ABCDE中，AB＝BC＝，CD＝6，DE＝8，AE＝12，∠B＝120°，∠D＝90°，求出五边形ABCDE的面积．【分析】（1）根据题意应用二次根式的计算解答即可；（2）根据二次根式的计算解答即可；（3）根据二次根式的混合计算解答即可．【解答】解：（1）三边长分别为3、6、7的三角形面积为；故答案为：；（2）∵四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝90°，∴AC＝5，∴△ABC的面积＝，∴△ACD的面积＝，∴四边形ABCD的面积为：，故答案为：；（3）∵五边形ABCDE中，AB＝BC＝，CD＝6，DE＝8，AE＝12，∠B＝120°，∠D＝90°，∴AC＝6，∴△ABC的面积＝，∴CE＝10，∴△CDE的面积为：，∴AC＝6，AE＝12，CE＝10，∴△ACE的面积＝，∴五边形ABCDE的面积为．29．（2022春•丰台区期中）在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：对于两个数a，b，称为a，b这两个数的算术平均数，称为a，b这两个数的几何平均数，称为a，b这两个数的平方平均数．小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整：（1）若a＝﹣1，b＝﹣2，则M＝，N＝，P＝；（2）小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：如图，画出边长为a+b的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示N2．①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为M2，P2的图形；②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是N≤M≤P．（把M，