人教版七年级下册数学全册教案

智慧一

七年级数学•人数•下册•导学案/

第五章相交线与平衽线

课题：相交线

c学习目标包含平角）

1.理解邻补角、对顶角的概念；图中有四个角，两两相配共能组成

2.能运用对顶角相等、邻补角互补六对角，即N1和N2互为邻补角、Z1

的性质进行计算与证明.和N3互为对顶角、Z1和N4互为邻

3.通过观察、实验、猜想、证明等补角、N2和N3互为邻补角、N2和

活动获得对顶角相等、邻补角互补的知Z4互为对顶角、Z3和N4互为邻补

识.角.

c学习重点问题2：在练习本上画出两条相交

对顶角相等,邻补角互补的性质.直线,量一量各个角的度数，然后根据角

c学习难点的大小关系对各对角进行分类？

发现两条直线相交时所形成的各总结归纳各类角的特征：

类角的位置及数量关系.①一条边为公共边,另一条边互为

【导学流程】反向延长线，具有这种关系的两个角互

为邻补角.②有公共顶点,两边互为反向

一、情景导入、感受.新知

延长线，这种位置的角互为对顶角.

教师自制教具；如图,用一根钉子将【合作探究】

两根木条从中间穿在一起，然后再钉到问题3：邻补角与补角有什么关

一块木板上（上课时带着木板）.系？

型结论：邻补角是补角的一种特殊情

兄，数量上互补，位置上有一条公共边,

后互补的角与位置无关.

课堂上教师用手旋转其中的一根

木条,木条就会绕钉子旋转，在旋转过程

中让学生观察、思考，然后提问学生都想问题4：如图，直线AB和直线CD

到了哪些知识？相交于点O,Zl和N3有什么关系？为

什么？

二、自学互研、生成新知

解：N1和N3相等.

【自主探究】VZ1+Z2=180°,Z2+Z3=

180。（邻补角定义）,

阅读教材P2〜P3,完成下面的内容:

.•.N1=N3（同角的补角相等）.

同理N2和N4相等.

归纳：对顶角相等.

师生活动：

问题1：如图，观察图形中有几个角？①明了学情：关注学生对邻补角和

各个角之间有什么样的位置关系？（不对顶角概念及性质的理解.

②差异指导：巡视全班，及时对学习=180°-119°

有困难的学生引导和点拨.=61°.

③生生互助：小组内交流讨论，相互

释疑，形成共识.

三、典例剖析、运用新知四、检■测反债、落实新知

【合作探究】1.如图,N1和N2是对顶角的图形

有(B)

［例1］如图，直线a,b相交,Nl=A.1个B.2个C.3个D.4个

40°，求N2,N3,N4的度数.2.下列图形中,21与N2不是邻补

【分析】Z1和N2有什么关系？角的是(C)

N1和N3有什么关系？Z2和Z4有什

么关系？

解：•.,N1+N2=180°,Rcn

.,.Z2=180°-Z1=180°-40°3.如图,0为直线AB上一点,NCOB

=140°,=26°30f.Zl=153°30,.

Z3=Z1=40°,Z4=Z2=

140°.

变式1：如图所示，直线AB,CD,EF

相交于点O,则NAOD的对顶角是一

BOC,ZAOC的邻补角是NBOC

和NAOD:若NAOC=50。,则NB。。

=50°.ZCOB=130°.

4.如图，已知直线AB,CD相交于点

0,0A平分NEOC,NEOC=100°，则

ZBOD的度数是50。.

五、课堂小结、回顾新知

【例2】如图所示：已知直线AB,CD

相交于点0,乙4。。+/30。=238。,求请大家回顾一下，这节课你学到了

NBOC的度数.什么？还有哪些疑惑？

【分析】由题意可知,NAOC和

在学生回答的基础上，教师点评：

NBOD是对顶角，故可求出ZAOC的度

数，即可求出N30C的度数，学生讨论回两直线相交

答展示，老师评价.

解：VZAOC+ZBOD=238°,

且NAOC=NBOD,

.,.ZAOC=ZBOD=119°,

•,.ZBOC=180°-ZAOC

［概念六、课后作业、巩固新知

对顶角（性质：对顶角相等

〔应用（见学生用书）

（概念

邻补角I性质：邻补角互补

〔应用

课题：同位角、内错角、同旁内角

c学习目标。

1.能在图形中识别同位角、内错角

和同旁内角.

2.经历在简单的图形中辨认同位角、

内错角、同旁内角的过程,思考数学概念1.先看图中的N1和N5,这两个角

的形成过程.分别在直线AB,CD的上方，并且都在直

3.通过观察、比较各类角的特点，线EF的右侧，具有这种位置关系的一对

提高学生的辨别能力和空间想象能力.角叫做同位角.

c学习重点问题1：图中具有这样类似位置关

同位角、内错角、同旁内角的概念.系的角还有吗？

学习难有，如：Z2与N6,N3与N7,N4

复杂图形中两角关系的辨认.与N8都是同位角

【导学流程】2.再看1图中的N3与N5,这两个

角都在直线AB,CD之间，且N3在直线

一、情景寻入、感受新知

EF左侧,N5在直线EF右侧，具有这种

位置关系的一对角叫做内错角.

问题2：图中还有这样的内错角

吗？

N4与N6

你放过风筝吗？风筝是如何做成3.在图中，N3和N6也在直线

的？中国最早的风筝据说是由古代哲AB,CD之间,但它们在直线所的同一旁,

学家墨翟制作的.如图是一个风筝的骨具有这种位置关系的一对角，我们称它

架，在这个风筝中有几种类型的角，你能为同旁内角.具有类似的位置特征的还

够指出来吗？有N4与N5,因此它们也是同旁内角.

［合作探究］

二、自学互研、生成新知

同学们自己动手在练习本上画一

【自主探究】画，看看这三类角各有什么特征.

归纳1.图中的N1与N2都是同位

阅读教材P6~P7,完成下面的内容:

角.

Z［TKL因为N4和N3互补，即N4+N3=

<、80。.又因为N1=N4,所以N1+N3

①②③④=180。,即N1和N3互补.

图形特征：在形如字母“F”的图形

中有同位角.

归纳2.图中的/I与/2都是内错

角.

变式

\如图，直线AB,CD被直线EF所截,

*0果N1与N2互补，且Nl=110°，那么

力N3,N4的度数分别是多少？

图形特征：在形如“Z”的图形中有答案：Z3=70°,Z4=70°

内错角.【例2】

归纳3.图中的N1与N2都是同旁

内角.

①②③④如图,NA与哪个角是内错角？它

图形特征：在形如“U”的图形中有们是由哪两条直线被哪一条直线所截

同旁内角.而成的？

师生活动：解：ZA和NECA是内错角，它们

①明了学情：关注学生对三类角的是由直线DE和直线AB被直线AC所

认识和理解.截而成的.

②差异指导：巡视全体学生，对学习

8、检■测反馈、落实新知

有困难的学生给予指点帮助.

③生生互助：小组交流讨论，相互释

1.(上海中考)如图，已知直线a,b被

疑，形成共识.

直线c所截，那么N1的同位角是(A)

三、典例剖析、运用新知

A.Z2B.Z3C.Z4D.Z5

［例1］如图直线DE,BC被直线

AB所截.

(1)Z1和N2,N1和N3,N1和N4

各是什么位置关系的角？

(2)如果N1=N4,那么N1和N2相

等吗？N1和N3互补吗？为什么

解：(1)/1和N2是内错角,21和2.如图，下列说法错误的是(A)

Z3是同旁内角,N1和N4是同位角.A.Z1和N2是内错角B.Z2和

(2)如果N1=N4,由对顶角相等,N3是同位角

得/2=/4,那么N1=N2.C.Z1和N3是内错角D.Z2和

N4是同旁内角请大家回顾一下，这节课你学到了

什么？还有哪些疑惑？

3.如图,N。的同旁内角的个数是

在学生回答的基础上，教师点评:

(C)

A.1个B.2个C.3个D.4个两条直线被第

L三条直线所截“三线八

同位角

第3题图

角”内错角

B

同旁内角

-D2.识别图中的同位角、内错角、同

第4题图旁内角方法.

通过上述的研究，归纳总结,可以得

到这样一个表格：

4.如图所示，根据图脚的摩抑位置特征图形结构特征

(1)Z1和N2是直舜海石E在截线同侧在被截线同一方形如字母“尸”(或侄

被直线EF所截形成冰角;在截线两侧(交错)夹在两条被截线之

形如字母“Z"(或反

(2)Z1和N3曷直线二1岂EG间

被直线CD所截杉成修曲痂在截线两侧夹在两条被截线之间形如字母“U”

(3)Z1和N4是直线EF、-EG

六■、课后作业、巩固新知

被直线CD所截形成的同旁内

角.(见学生用书)

五、课堂小结、回顾新知

课题：平行线

C学习目标O欣赏这些图片

1.理解平行线的意义，理解同一平

面内两条直线的位置关系；

2.理解并掌握平行公理及其推论的

内容；

3.会根据几何语句画图，会用直尺轨、操场上跑道中的分道线会不会出现

和三角板画平行线.交点？在位置上给人怎样的感觉？

c学习重点o二、自学互研、生成新知

探索和掌握平行公理及其推论.

c学习难点【自主探究】

对平行公理的理解.

阅读教材P11的内容，完成下面的

【导学流程】

内容：

一、情景寻入、感受新知

1.平行线定义及表示方法:

在同一平面内,—不相交的两条直②差异指导：对学习有困难的学生

线一是平行线，直线a与b平行，记作及时给予帮助指导.

//b.③生生互助：小组内交流、讨论、

2.同一平面内两条直线的位置关系相互释疑，达成共识.

有两种：⑴相交，⑵.平行.

三、典例剖析、运用新知

问题1：平行线应该满足哪些条

件？【例1】如图，已知直线a和点B,C

同一平面内、不相交(即无交点).(1)过点B画直线a的平行线，能画

3.平行线的画法几条？

先由学生思考，然后教师归纳并示(2)过点C画直线a的平行线，它与

范平行线的画法.(1)中所作的直线平行吗？

画法：一放二靠三推四画.(如图)

学生自己练习试一试.

［合作探究］解：⑴如图,过直线a外的一点B

作图：过已知点尸作直线/的平行画直线a的平行线，有且只有一条直线

线.与直线a平行.

.p(2)如图，过点C画直线a的平行线,

它与⑴中所作的直线平行.理由如下：

'：b//a,c//a,

问题2：经过点P可以画多少条直c〃b.

线与已知直线/平行？

四、检测反馈、落实新知

归纳：总结平行公理，经过直线外一

点，有且只有一条直线与这条直线平行.1.在同一平面内有三条直线，如果

注意：“有”表明存在与已知直线要使其中有且只有两条直线平行，那么

平行的直线；“只有”表明与已知直线它们(C)

平行的直线是唯一的.A.没有交点B.只有一个交点

在上图的基础上，另找一点8,继续C.有两个交点D.有三个交点

让学生自己画出与直线/平行的直线.2.三条直线a,b,c,若4〃<;力〃。,则a

与b的位置关系是(B)

A.a_LZ?B.a//b

C.aJ_。或D.无法确定

*3.直线/同侧有A,仇。三点，若过

B的直线八〃/,过B,C的直线/2〃/,则

问题3：在这三条直线中，任意两条ARC三点一在同一直线上一.理论依据

直线的关系是什么样的？是.过直线外一点有且只有一条直线

平行公理推论.与已知直线平行一.

归纳：如果两条直线都与第三条直4.在括号内填上推理依据.

线平行，那么这两条直线也互相平行.AB//CD,EF//CD,：.AB//£F(_

师生活动：平行于同一条直线的两条直线互相平

①明了学情：关注学生对平行线定

义，平行公理及推论的理解.5.如图，射线0A〃CD,射线08〃

CD,ZAOC=^ZAOB：^.ZAOC的度数.五、课堂小结、回顾新知

1OB请大家回顾一下，这节课你学到了

什么？还有哪些疑惑？

在学生回答的基础上，教师点评：

解：•••AO〃CD,BO〃CD,

，A,O,B三点在一条直线上.'概念

AZAOB=180°.平行线《表示方法

又,.,NAOC=4NAOB,

J、平行公理及推论

ZAOC=180°X^ZAOB,六.课后作业、巩固新知

o

•,.ZAOC=180°X^=60°.（见学生用书）

xJ

课题：平行线的判定

学习目标。【自主探究】

1.通过观察、思考、探索尊活动掌

阅读教材〜完成下面的问

握平行线的三种判定方法.Pl2P13,

2.运用三种判定方法解决数学问题题：

及实际问题.如图，三根木条相交形成NLN2,固

3.通过学生体验、猜想并证明，让学

生体会数学充满着探索和创造,培养学

生团结协作、勇于创新的精神.

c学习重点□

平行线判定方法的综合运用.

C学习难点］

灵活运用平行线的判定方法推理、问题1：当N1和Z2满足什么关系

论证.时，直线a〃方？

【导学流程】N1=N2时.

问题2：师生共同回顾画平行线的

一、情景导入、感受新知

过程，在推动三角板上下移动时，什•么角

始终没发生变化？

同位角.

判定1：两条直线被第三条直线所

截，如果同位角相等，那么两直线平行.简

单地说，就是：同位角相等,两直线平行.

如图所示，装修工人正在向墙上钉问题3：你觉得师傅用角尺画平行

木条，如果木条b与墙壁的边缘垂直，那线的数学道理是什么？

么木条a与墙壁的边缘所夹的角为多少同位角相等,两直线平行.

度时，才能使木条a与木条b平行？用此结论解决下列的问题：

二、自学互研、生成新知

A②差异指导：巡视全班，及时对学生

的疑问进行指导、点拨.

③生生互助：小组内交流讨论，相互

n释疑，形成共识.

如图直线＞平行吗？

,N1=N2,AB,C£三、典例剖析、运用新知

说明你的理由.

•.•N1=N2（已知），【合作探究】

/3=/2（对顶角相等），

.-.Z3=Z1,

，AB〃CD（同位角相等，两直线平

行）.D

问题4：能否利用内错角判断两条【例1】如图,小明和小刚分别在河

直线平行呢？两岸，每人手中各有两根标杆和一个测

角仪,他们应该怎样判断两岸是否平行？

（设河岸是两条直线）你能帮他们想想办

法吗？

分析：测量有关角的度数，根据平行

如图,N3=N2,直线a,b平行吗？线的三种判定方法进行推理.

说明你的理由.解:先通过目测，使四根标杆在一条

VZ3=Z2,直线上，再分别测出NABE,NDCF的大

N3=N1（对顶角相等），小，若它们的和等于180。,则可推出N

.*.Z1=Z2,ABE和NBCF相等,由同位角相等，可

...a〃“同位角相等，两直线平行）.判断两岸平行，否则不平行.

判定2：内错角相等,两直线平行.

问题5：用同旁内角来判定两条直

线平行，试试看（学生完成）.

探讨得到判定3：同旁内角互补,

两直线平行.

【例2】如图所示，要想判断AB是

n

否与CD平行，我们可以测量哪些角？

月力一#—B请你写出三种方案,并说明理由.

分析：判定两条直线平行的方法有:

同位角相等,两直线平行；内错角相等，

问题6：在同一平面内，直线CD,EF两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.

均与直线AB垂直,。尸为垂足，试判断据此答题.

CD与EF是否平行.解：（1）可以测量NEAB与ND,如

要求：使用多种方法解决此题.果NEAB=ND,那么根据“同位角相

学生独立思考，然后小组交流.等，两直线平行”，得出AB与CD平行；

结论：平行线判定的推论：（2）可以测量NBAC与NC,如果N

在同一平面内，垂直于同一条直线BAC=NC,那么根据“内错角相等，两

的两条直线平行.直线平行”，得出AB与CD平行；

师生活动：（3）可以测量/BAD与ND,如果/

①明了学情：关注学生对平行线三BAD+ND=180。,那么根据“同旁内

个判定的理解及应用.角互补，两直线平行”，得出AB与CD

平行.A

8、检测反债、落实新知

1.如图，已知Nl=70。,要使AB〃AC,

则需具备另一个条件(A)

A.Z2=70°B,Z2=100°

C.Z2=110°D.Z3=110°

分AD

/t第1题图

5匕c4.如图,(1)N1=N2,NB+ZBDE

=180。,找出互相平行的直线；

(2)Z2和哪个角相等时,。E〃8C?

4

8第2题图(3)NA和哪个角互补时

解：⑴AB〃EF,BC〃DE；(2)Z3；

(3)ZAEF.

2.如图,DM是AD的延长线，若N

五、课堂，J、结、回顾新知

MDC=ZC,!UiJ(C)

A.DC//BCB.AB//CD请大家回顾一下，这节课你学到了

C.BC//ADD.DA//AB什么？还有哪些疑惑？

3.(1)如果已知N1=N3,则可判定

在学生回答的基础上，教师点评或

AB//ED,其理由是.同位角相等,

两直线平行.；归纳(展示)：

(2)如果已知/5+N2=180。,那么错误！

根据对顶角相等有/2=2二,因此

六.课后作业、巩固新知

可知/4+N5=180。,所以可确定

BC〃EF.其理由是同旁内(见学生用书)

角互补，两直线平行，.

课题：平行线的性质

c学习目标2.让学生经历观察、猜想、操作、

1.使学生理解平行线的性质，能知交流、归纳、推理等活动,培养学生的概

道平行线的性质与判定的区别,能初步括和逻辑思维能力.

利用平行线的性质进行有关计算.3.使学生体会观察、猜想、实验、

归纳、验证的研究问题方法.

学习重点

平行线的性质.

c学习难点

平行线的性质及性质与判定的区问题3：如图,在图中再任意画一条

别.直线d与a,b相交.选择一对同位角比较

【导学流程】它们的数量关系,你的猜想还成立吗？

由此你能得出什么结论？

一、情景导入、感受.新知

师生共同归纳平行线的性质1：两

直线平行,同位角相等.

【合作探究】

问题4：如图，如果a〃力，直线c与

a,b相交，那么Z2与Z3,Z2与Z4在数

如图，已知公路C分别与两条互相量上有什么关系？并说明理由.

平行的公路。力相交.

两辆汽车在公路a,b上同向行驶拐

弯后上公路c又同向行驶，那么两辆汽

车行驶路径所夹的角有什么数量关问题5：根据以上结论，你能说出平

系？行线还有什么性质吗？

引导学生类比性质归纳出平行

二、自学互研、生成新知1,

线的性质2、性质3.

【自主探究】问题6：你能动手验证一下平行线

的性质2与性质3吗？

阅读教材Pl8〜P19,完成下面的内

学生独立思考，动手操作验证平行

容：线的性质2与性质3.

最后师生共同总结：

平行线的性质2：两直线平行，内错

角相等.

平行线的性质3：两直线平行，同旁

问题1：如图，直线。〃也直线C与内角互补.

a,b相交，图中N1与N2之间有什么关师生活动：

系？你有什么猜想？①明了学情：关注学生对三个性质

Z1=Z2.的推导过程及理解.

猜想：如果两条直线平行，那么构成②差异指导：学生在推导性质过程

的同位角相等.中,教师要对学习困难的学生进行引导、

指点及点拨.

③生生互助：发挥小组长带头作用,

小组内交流讨论相互释疑，形成共识.

三、典例割折、运用新知

问题2：如图，直线a〃"直线c与

a,b相交，图中其他同位角之间有什么关［例1］光线在不同介质中的传播

系？速度是不同的，因此当光线从水中射向

相等.空气时会发生折射，由于折射率相同，所

以在水中平行的光线，在空气中也互相

平行，若N1=45。,N2=122。,求图中其A.1个B.2个C.3个D.4个

他角的度数.3.如图，直线并且被直线包/4

解：Z3=45°,Z4=122°,Z5=Z所截，则Za=64°

6=58°

8

例1图

4.如图所示，请根据图形填空：

【例2】如图,8CJ4隹是直线,A3•.•45〃8(已知)，

〃CD,N1=N2,N3=N4,求证：AD//NAEF=NCFM两直线平行,

BE.同位角相等.).

分析:此题是平行线的性质，判定的EG平分NAEF,FH平分

综合运用NCFN(已知)，

证明：•••/"!=N2「.21+NCAE：.Z1=^ZCFN,Z2=^ZAEF(_

=Z2+ZCAE,即ZBAE=ZDAC.V

AB〃CD,Z4=ZBAE,.\Z4=Z角平分线定义,

DAC,而N3=N4,；.Z3=ZDAC,/.,N1=N2(.等量代换一).

AD//BE.EG//FH(同位角相等,两直线

四、检测反债、落实新知W_).

五、课堂＜1、结、回顾新知

1.如图，直线a//hACLABAC交直

线b于点。,/1=60。,则/2的度数是请大家回顾一下，这节课你学到了

(D)什么？还有哪些疑惑？

在学生回答基础上，教师点评

(1)平行线的性质

［两直线平行，同位角相等.

＜两直线平行，内错角相等.

、两直线平行，同旁内角互补.

(2)平行线的性质与判定的区别：

「判定：由角相等或互补一平行.

〔性质：由平行一角相等或互补.

2.将一直角三角板与两边平行的纸

六■、课后作业、巩固新知

条如图所示放置,下列结论:①N1=N2；

②N3=N4；③N2+N4=90°；④N4(见学生用书)

+/5=180。.其中正确的个数是(D)

课题：垂线

学习目标问题1：垂直的定义是什么？如何

1.使学生掌握垂线、垂线段、点到表示垂直？

直线的距离等概念，理解垂线的性质，掌在相交的模型中，固定木条a,转动

握在同一平面内,过一点有且只有一条木条b,当a,b所成的Na=90。时，我们

直线与已知直线垂直的结论；说a与b互相垂直.记作：a±b.

2.会用三角板或量角器过一点画一问题2：垂直与相交有什么联系？

条直线的垂线.什么叫垂线、垂足？

3.通过探索垂线的性质，能解决相垂直是相交的一种特殊情形，两条

关的垂线问题，并能够进行适当的说理.直线互相垂直，其中的一条直线叫做另

学习一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.

垂线的概念、画法和垂线的两个性【合作探究】

质.c-

C学习难点］D

垂线的画法；对点到直线的距离的H

概念的理解.如图，现有一条已知直线A3,分别

【导学流程】过直线外一点C和直线上一点。，作直

线AB的垂线.

一、情景导入、感受新知

问题3：你有几种方法？

如图，观察图形并填空：①用量角器；②用三角板

C

①②师生共同归纳画法：

(1)如图①所示，直线AB与直线CD①用量角器

相交于点0,其中对顶角有2对.分②用直角三角板：贴直线——靠定

别为NA0D和NB0C,NA0C和N点——画垂线.

BQD；邻补角有一对,分别为简单记为“一贴”：贴住已知直线，

NA0D和>A0C,NA0C和N“二靠”：靠住已知点,“三画”：画直

B0CNB0C和NBOD,NAOD和N线.

B0D.问题4：这样的垂线可以作出几条？

(2)图①中，当直线AB绕点0逆时你发现什么结论？

针旋转到NAOC=90。时(如图②)，你能垂线的性质1：经过一点(已知直线

求出其他角的度数吗？此图形有什么上或直线外)，能画出已知直线的一条垂

特点？此时两直线有什么关系？线，并且只能画出一条垂线.

【合作探究】

二、自学互研、生成新知

画图操作：

【自主探究】

阅读教材P23〜P24，完成下列问题：

①画出直线/及/外一点P垂足可能在线段或射线的延长线上.

②过点P作POU,垂足为O解：(1)(2)的作图如图所示；

③点AI,A2,A3....在I上，连接(3)直线DA,BE,CF相交于同一点.

PA\,PA2,PAi...；

问题5：如何比较PO,PA\,PAI,PA3

的长短呢？

a叠合法；b度量法.

归纳：垂线性质2：连接直线外一［例2］如图,一辆汽车在直线形的

点与直线上各点的所有线段中,垂线段公路A3上由A向B行驶,分别是位

最短.于公路A3两侧的村庄,设汽车行驶到P

简称：垂线段最短.点位置时,离村庄M最近,行驶到。点位

结合图形，理解垂线段尸。PO11,置时,离村庄N最近,行驶到H点位置时,

NPO4=90。，。为垂足.离两点距离和最短,请你在A8上分

结论：点到直线的距离：直线外一别画出P,Q,”三点的位置.

点到这条直线的垂线段的长度叫做点分析：当汽车距离点〃最近时，相

到直线的距离.当于过点M画直线A8的垂线，垂足就

师生活动：是点P的位置，同理，过点N画直线A3

①明了学情：关注学生对概念的理