苏教版九年级上册数学全册教学课件（2021年11月修订）

第一章一元二次方程1.1一元二次方程目录CONTENTS1学习目标2

新课导入3

新课讲解4

课堂小结5

当堂小练6

拓展与延伸7

布置作业1.理解一元二次方程的概念.（重点）2.掌握一元二次方程的一般形式.（重点）3.能用一元二次方程模型解决现实生活中的问题（重点、难点）学习目标新课导入知识回顾判断下列式子是否是一元一次方程：一元一次方程（1）只有一个未知数（2）未知数的指数是一次（3）方程的两边都是整式新课导入情境导入

在设计人体雕像时，使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比，等于下部与全部(全身)的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部应设计为多高?解：如图，雕像的上部高度AC与下部高度BC应有关系：AC∶BC＝BC∶2，即BC2＝2AC.设雕像下部高xm，可得方程x2＝2(2－x).整理，得x2＋2x－4＝0.ACB新课导入x2＋2x－4＝0这个方程与我们学过的一元一次方程不同，其中未知数x的最高次数是2.

思考（1）如何解这类方程?（2）如何用这类方程解决一些实际问题?新课讲解

知识点1一元二次方程的定义合作探究

问题一：如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形?新课讲解

设切去的正方形的边长是xcm，则盒底的长为(100－2x)cm，宽为(50－2x)cm.根据方盒的底面积为3600cm2，得(100－2x)(50－2x)＝3600.整理，得4x2－300x＋1400=0.化简，得x2－75x＋350=0.解上面方程即可得出所切正方形的具体尺寸.xcm(100-2x)

cm(50-2x)

cm化简后的方程中未知数的个数和最高次数各是多少？分析：新课讲解

问题2要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？全部比赛场数为4×7=28.设应邀请x个队参赛，每个队要与其他(x－1)个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共

场.列方程.整理，得.

解上面方程即可得出参赛队数.分析：（2）方程中只含有

未知数，未知数的最高次数是

．（1）这些方程的两边都是

．整式2观察由上面的问题得到的方程有什么特点？新课讲解讨论

等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程．结论x2−x=56x2−75x+350=0x2+2x−4=0一个新课讲解例

1

下列方程：①x2＋y－6＝0；②x2＋＝2；③x2－x－2＝0；④x2－2＋5x3－6x＝0；⑤2x2－3x＝2(x2－2)，其中是一元二次方程的有

个.

1①含有两个未知数.②不是整式方程.④未知数的最高次数不是2.⑤整理后未知数的最高次数不是2.③符合一元二次方程的“三要素”.分析：×√×××典例分析新课讲解练一练如果方程(m－3)xm2－7－x＋3＝0是关于x一元二次方程，那么m的值为(

)A．±3

B．3C．－3

D．以上都不对下列关于x的方程一定是一元二次方程的是(

)A．ax2＋bx＋c＝0B．x2＋1－x2＝0C．x2＋

＝2D．x2－x－2＝0DC12新课讲解

知识点2一元二次方程的一般形式为什么要限制a≠0，

b，c可以为0吗？

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax²+bx+c=0(a≠0)这种形式叫做一元二次方程的一般形式.新课讲解ax2

+bx+c=0(a≠

0)二次项系数一次项系数二次项一次项常数项指出方程各项的系数时要带上前面的符号哟.

二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项：新课讲解例

2

将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．典例分析解：去括号，得3x2－3x＝5x＋10.移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2－8x－10＝0.所以二次项系数为3，一次项系数为－8，常数项为－10.新课讲解知识点3一元二次方程模型解决现实生活中的问题问题1：如图，矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19m，花圃的面积是24m2.问：矩形花圃的宽与面积之间有何关系？你用什么样的数学式子来描述它们之间的关系？设花圃的宽是xm，则花圃的长是（19－2x）m，可得：x(19－2x)＝24．新课讲解问题2：某校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到9.8万册．问：图书馆藏书年平均增长的百分率与藏书量之间有何关系？你用什么样的数学式子来描述它们之间的关系？设图书馆的藏书平均每年增长的百分率是x，图书馆的藏书一年后为5（1＋x）万册，两年后为［5（1＋x）］（1＋x）万册，可得：5（1＋x）2

＝9.8．新课讲解问题3：如图，长5m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离比梯子的顶端与地面的距离多1m．设梯子的底端与墙的距离是xm，怎样用方程来描述其中的数量关系？xm5

m(x－1)m

x

2＋（x

－1）2

＝25．课堂小结一元二次方程只含有一个未知数未知数的最高次数是2是整式方程ax2+bx+c=0(a≠0)一元二次方程的概念一元二次方程的一般形式一元二次方程模型解决现实生活中的问题二次项系数一次项系数常数项1.一元二次方程3x2=5x的二次项系数和一次项系数分别

是（

）

A.3，5B.3，0C.3，-5D.5，0C当堂小练2.下列哪些数是方程x2+x-12=0的根？

－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.解：－4，3.当堂小练3.根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.有一根1m长的铁丝，怎样用它围一个面积为0.06m2的平

方的长方形?解：设长方形的长为xm，则宽为(0.5-x)m.

根据题意，得x(0.5-x)=0.06.

整理，得50x2-25x+3=0.D拓展与延伸1.若a+b+c=0，则一元二次方程ax2+bx+c必有一解为

.

2.若a-b+c=0，则一元二次方程ax2+bx+c必有一解为

.

3.若4a+2b+c=0，则一元二次方程ax2+bx+c必有一解为

.

1-12谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。1.2一元二次方程的解法课时1 直接开平方法第一章一元二次方程目录CONTENTS1学习目标2

新课导入3

新课讲解4

课堂小结5

当堂小练6

拓展与延伸7

布置作业1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.（难点）2.运用开平方法解形如x2=p或（x+n)2=p(p≥0)的方程.（重点）学习目标若方程(a＋2)-(a－2)x＋1＝0是关于x的一元二次方程，则a的值为()A．±2B．2C．－2D．以上都不对新课导入知识回顾【解析】：由已知条件得a2－2＝2且a＋2≠0，解得a＝2.注意不要漏掉二次项系数不为0这个条件．B新课导入情境导入

一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗?新课导入情境导入解：设其中一个盒子的棱长为xdm，则这个盒子的表面积为6x2dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程

10×6x2=1500；

①整理，得

x2=25；根据平方根的意义，得x=±5

；即

x1=5，

x2=－5可以验证，5和－5是方程①的两个根，因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5dm.新课导入思考形如x2=

p(p≥0)的方程可用什么方法求解？新课讲解

知识点1形如x2=p(p≥0)型方程的解法解：1

用直接开平方法解方程x2－81＝0.移项得x2＝81.根据平方的意义，得x＝±9，即x1＝9，x2＝－9.移项，要变号开平方降次方程有两个不相等的实数根典例分析例新课讲解用直接开平方法解一元二次方程的方法：首先将方程化成左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负数，然后化完全平方式的系数为1，最后根据平方根的定义求解．归纳新课讲解解得：练一练12新课讲解2.解：方程-x2+3=0的解为x1=,x2=-；x2+1=0不能求解，x2不能为负数；可以求解的一元二次方程的二次项系数与常数项的符号相反。新课讲解知识点2对于常数p，为什么限定条件p≥0

一般地，对于x2＝p当p＞0时，方程有两个不相等的实数根，即：当p＜0时，方程无实数根.当p=0时，方程有两个相等的实数根，即：新课讲解知识点3形如(mx+n)²=p(p≥0)型方程的解法例2

你认为应怎样解方程(x＋3)2＝5?

解：由方程(x＋3)2＝5，

得

x＋3＝±，

即

x＋3＝

，或x＋3＝－

，

于是，方程(x＋3)2＝5的两个根为

x1＝－3＋

，x2＝－3－.例1.当方程的一边容易变形为含未知数的完全平方式，另一边是非负数时，可以用直接开平方法求解，即：对于(mx＋n)2＝p(p≥0)，得：新课讲解

对于可化为(mx＋n)2＝p(p≥0)或（ax+b）2=(cx+d)2的方程，可以用直接开平方发求解吗？归纳2.若两边都是完全平方式，即：（ax+b）2=(cx+d)2，得课堂小结直接开平方法解一元二次方程的“三步法”开方求解变形将方程化为含未知数的完全平方式＝非负常

数的形式；利用平方根的定义，将方程转化为两个一元一次方程；解一元一次方程，得出方程的根．当堂小练1.下列方程可用直接开平方法求解的是()A．

x2＝4B．4

x2－4x－3＝0C．

x2－3x＝0D．

x2－2x－1＝9A2.已知b＜0，关于x的一元二次方程(x－1)2＝b的根的情况是(

)A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．有两个实数根C当堂小练3.一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是(

)A．x－6＝4B．x－6＝－4C．x＋6＝0D．x＋6＝－44.一元二次方程(x－2)2＝1的根是(

)A．x＝3B．x1＝3，x2＝－3C．x1＝3，x2＝1D．x1＝1，x2＝－3DC当堂小练解：把代入得：解得原方程为：所以方程的根为：即方程的另一个根为-15.已知方程的一个根是,求k的值和方程的另一个根。

拓展与延伸1.降次的实质：

将一个二次方程转化为两个一次方程；

降次的方法：直接开平方法；

降次体现了：转化思想；2.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤：

先要将方程化为左边是含有未知数的完全平方

式，右边是非负数的形式，再利用平方根的定

义求解.谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。1.2一元二次方程课时2配方法（二次项系数为1）第一章一元二次方程目录CONTENTS1学习目标2

新课导入3

新课讲解4

课堂小结5

当堂小练6

拓展与延伸7

布置作业1.理解配方的基本过程，会运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.（重点）2.经历探索利用配方法解一元二次方程的过程，体会转化的数学思想.学习目标新课导入知识回顾解下列方程：(1)2x²=8(2)(x+3)²-25=0(3)9x²+6x+1=4直接开平方法新课导入知识回顾因式分解的完全平方式，你还记得吗?完全平方式新课导入新课导入填一填(1)x²+10x+

=(x+

)²(2)x²-12x+

=(x-

)²(3)x²+5x+

=(x+

)²(4)x²-x+

=(x-

)²(5)4x²+4x+

=(2x+

)²6²55²61²1新课导入新课导入

移项两边加上32,使左边配成完全平方式左边写成完全平方的形式开平方变成了(x+h)2=k的形式想一想如何解方程？x2+6x+4=0新课导入思考

以上解法中,为什么在方程两边加9?加其他数行吗?像上面那样,通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,这个方程怎样解？变形为的形式．（ａ为非负常数）变形为x2－8x＋1＝0(x－4)2=15x2-8x+16=-1+16叫做配方法.新课讲解知识点1

一元二次方程配方的方法

例1用利用完全平方式的特征配方，并完成填空．(1)x2＋10x＋________＝(x＋________)2；(2)x2＋(________)x＋36＝[x＋(________)]2;(3)x2－4x－5＝(x－________)2－______．255±12±629分析：配方就是要配成完全平方，根据完全平方式的结构特征，当二次项系数为1时，常数项是一次项系数一半的平方．例新课讲解归纳

当二次项系数为1时，已知一次项的系数，则常数项为一次项系数一半的平方；已知常数项，则一次项系数为常数项的平方根的两倍。新课讲解练一练1.填空：(1)x2＋10x＋____＝(x＋____)2；(2)x2－12x＋____＝(x－____)2；(3)x2＋5x＋____＝(x＋____)2；(4)x2－x＋____＝(x－____)2.2.将代数式a2＋4a－5变形，结果正确的是(

)A．(a＋2)2－1B．(a＋2)2－5C．(a＋2)2＋4D．(a＋2)2－9255366

D新课讲解3.将代数式x2－10x＋5配方后，发现它的最小值为(

)A．－30B．－20C．－5

D．04.不论x，y为何实数，代数式x2＋y2＋2x－4y＋7的值(

)A．总不小于2B．总不小于7

C．可为任何实数D．可能为负数BA课堂小结用配方法解系数为1的一元二次方程的步骤:1.移项:把常数项移到方程的右边;2.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;3.变形:方程左边分解因式,右边合并同类项;4.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;5.求解:解一元一次方程;6.定解:写出原方程的解.当堂小练1.用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是(

)A．x2＋4x＝5B．2x2－4x＝5C．x2－2x＝5D．x2＋2x＝52.用配方法解方程x2＋8x＋9＝0，变形后的结果正确的是(

)A．(x＋4)2＝－9B．(x＋4)2＝－7C．(x＋4)2＝25D．(x＋4)2＝7AD当堂小练3.解下列方程：

(1)x2－x－＝0(2)x(x＋4)＝8x＋12.

拓展与延伸

—般地，如果一个系数为1的一元二次方程通过配方转化成(x＋n)2＝p的形式，那么就有：(1)当p>0时，方程有两个不等的实数根

(2)当p＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－n；(3)当p<0时，因为对任意实数x，都有(x＋n)2≥0，

所以方程无实数根．x1＝－n－，x2＝－n＋；谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。第一章一元二次方程21.1一元二次方程1.2一元二次方程课时3配方法（二次项系数不为1）目录CONTENTS1学习目标2

新课导入3

新课讲解4

课堂小结5

当堂小练6

拓展与延伸7

布置作业学习目标1.理解配方的基本过程，会运用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程.（重点）2.经历探索利用配方法解一元二次方程的过程，体会转化的数学思想.新课导入知识回顾用配方法解下列方程：(1)x2－6x－16＝0；(2)x2＋3x－2＝0． 新课导入新课导入比较方程x2－x+1=0与方程2x2－5x+2=0有什么关系？后一个方程中的二次项系数变为1，即方程两边都除以2就得到前一个方程，这样就转化为学过的方程的形式，用配方法即可求出方程的解新课讲解解：

常数项移到“＝”右边1.

解方程：3x2－6x＋4＝0.移项，得

3x2－6x＝－4二次项系数化为1，得配方，得因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x－1)2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根．

x2－2x＝.x2－2x＋12＝＋12.

(x－1)2＝

.两边同时除以3两边同时加上二次项系数一半的平方例知识点1用配方法解一元二次方程新课讲解2.

解下列方程．(1)x2－8x＋1＝0；(2)2x2＋1＝3x；

(1)方程的二次项系数为1，直接运用配方法．

(2)先把方程化成2x2－3x＋1＝0.它的二次项系数为2，为了便于配方，需将二次项系数化为1，为此方程的两边都除以2.分析：例新课讲解解：(1)移项，得

x2－8x＝－1.配方，得

x2－8x＋42＝－1＋42，

(x－4)2＝15.由此可得新课讲解

(2)移项，得2x2－3x＝－1.二次项系数化为1，得

配方，得

由此可得

课堂小结用配方法解系数不为1的一元二次方程的步骤:1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数);2.移项:把常数项移到方程的右边;3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类项;5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;6.求解:解一元一次方程;7.定解:写出原方程的解.当堂小练1.解方程2x2－5x＋2＝0.解：两边都除以2，得移项，得配方，得

两边开平方，得

∴，．当堂小练2.解方程－3x2＋4x＋1＝0．解：两边都除以－3，得移项，得

配方，得

两边开平方，得∴．当堂小练3.下列用配方法解方程2x2－x－6＝0，开始出现错误的步骤是(

)2x2－x＝6，①

，②

，③

④A．①

B．②

C．③

D．④C拓展与延伸5.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，问几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半？ACBPQ拓展与延伸

解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．所以2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．

整理，得x2-14x+24=0,即(x-7)2=25,解得x1=12，x2=2，

x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去．谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。1.2一元二次方程的解法课时4公式法第一章一元二次方程目录CONTENTS1学习目标2

新课导入3

新课讲解4

课堂小结5

当堂小练6

拓展与延伸7

布置作业经历求根公式的推导过程.

会用公式法解简单系数的一元二次方程.(重点）

学习目标新课导入知识回顾配方法解一元二次方程的一般步骤:

(1)移项;(2)二次项系数化为1;(3)配方;(4)开平方.新课导入新课导入你能用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0)吗?移项，得

ax2+bx=-c．

二次项系数化为1，得

配方，得即

新课导入新课导入

因为a≠0,4a2>0,当b2－4ac≥0时，由②式得②新课讲解知识点1

公式法由上可知，一元二次方程的根由方程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ，当 时，将a，b，c代入式子

就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．新课讲解提示：用公式法解一元二次方程的前提是:1.方程是一般形式的一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0);2.b2-4ac≥0.新课讲解1

用公式法解方程：x2－4x－7＝0；a＝1，b＝－4，c＝－7.Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－7)＝44＞0.方程有两个不等的实数根解：即1.确定系数；2.计算Δ；3.代入；4.定根；提示：方程必须要转化成一般形式才能确定系数例新课讲解2

用公式法解下列方程：

(1)2x2－

＋1＝0；

(2)5x2－3x＝x＋1；(3)

x2＋17＝8x.解：(1)a＝2，b＝

，c＝1.Δ＝b2－4ac＝

－4×2×1＝0.方程有两个相等的实数根例新课讲解

(2)方程化为5x2－4x－1＝0.a＝5，b＝－4，c＝－1.Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×5×(－1)＝36>0.方程有两个不等的实数根即新课讲解

(3)方程化为x2－8x＋17＝0.a＝1，b＝－8，c＝17.Δ＝b2－4ac＝(－8)2－4×1×17＝－4<0.方程无实数根．课堂小结公式法求解一元二次方程的步骤：一元二次方程化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式a=？b=？c=？求Δ＝b2－4acΔ≥0？无实数根否套公式求解是当堂小练1.一元二次方程

的根是(

)A．

B．

C．

D．

C当堂小练2.已知4个数据：－，2，a，b，其中a，b是方程x2－2x－1＝0的两个根，则这4个数据的中位数是(

)A．1B.C．2D.A拓展与延伸(x＋2)2＝2x＋4；

谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。第一章一元二次方程1.2一元二次方程的解法课时5一元二次方程的根的判别式目录CONTENTS1学习目标2

新课导入3

新课讲解4

课堂小结5

当堂小练6

拓展与延伸7

布置作业1.理解并会计算一元二次方程根的判别式.2.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.（重点）3.会根据一元二次方程根的情况确定字母的取值范围.（重点、难点）学习目标新课导入公式法求解一元二次方程的根的步骤是什么？1.变形:化已知方程为一般形式;

2.确定系数:确定a,b,c的值（注意符号）;

3.计算:求出b2-4ac的值;

4.判断：若b2-4ac≥0，则利用求根公式求出;若b2-4ac<0，则方程没有实数根.新课讲解

知识点1根的判别式一般地，式子b2−4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b2−4ac．

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根有三种情况：

当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；

当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；

当Δ<0时，方程无实数根．新课讲解1

若关于x的一元二次方程kx2−4x+2=0有两个不相等的实数根，则k

的取值范围为

．分析：因为关于x的一元二次方程kx2-4x+2=0有两个不相等的实数根，所以k≠0且Δ＞0，即(-4)2-4×k×2＞0，解得k＜2且k≠0，所以k的取值范围为k＜2且k≠0．例k＜2且k≠0．新课讲解归纳判断方程根的情况的方法：1．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中的左边是一个完全平方式，则该方程有两个相等的实数根；2．若方程中a，c异号，或b≠0且c＝0时，则该方程有两个不相等的实数根；3．当方程中a，c同号时，通过Δ的符号来判断根的情况．新课讲解练一练1方程3x2－x＝4化为一般形式后的a，b，c的值分别为(

)A．3、1、4B．3、－1、－4C．3、－4、－1D．－1、3、－4一元二次方程

中，b2－4ac的值应是(

)A．64B．－64C．32D．－322BA新课讲解则该方程根的情况是()A．有两个不相等的实数根

B．有两个相等的实数根

C．两个根都是自然数

D．无实数根A（2015重庆）已知一元二次方程2x2-5x+3=03.课堂小结根的判别式b2-4ac当堂小练1.

关于x的一元二次方程(m－1)x2－2x－1＝0有两个实数根，则实数m的取值范围是(

)A．m≥0B．m＞0C．m≥0且m≠1D．m＞0且m≠1C2.

若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是(

)B当堂小练3.关于x的一元二次方程(k+1)x2-2x+1=0有两个实数根，则k

的取值范围是()A．k≥0B．k≤0C．k<0且k≠-1D．k≤0且k≠-1D拓展与延伸已知a，b，c为三角形的三边长，且方程b(x2-1)-2ax+c(x2+1)=0有两个相等的实数根.试判断此三角形的形状.解：方程整理得(b+c)x2-2ax-(b-c)=0，

因为方程b(x2-1)-2ax+c(x2+1)=0有两个相等的实数根，

所以Δ=4a2-4(b+c)·[-(b-c)]=0，

即a2+b2=c2，

所以此三角形为直角三角形．谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。1.2一元二次方程的解法课时6因式分解法第一章一元二次方程目录CONTENTS1学习目标2

新课导入3

新课讲解4

课堂小结5

当堂小练6

拓展与延伸7

布置作业1.会用因式分解法解一元二次方程.（重点）

2.能选用合适的方法解一元二次方程.（重点、难点）学习目标新课导入知识回顾解一元二次方程的基本思路是什么?我们已经学过哪些解一元二次方程的方法?降次直接开平方法，配方法，求根公式法.新课导入情景导入

根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过xs离地面的高度(单位：m)为10x－4.9x2.根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)?新课导入思考设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度为0m，即10x－4.9x2＝0.①

除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程①?新课讲解知识点1

用因式分解法解方程观察方程10x－4.9x2＝0，它有什么特点？你能根据它的特点找到更简便的方法吗？两个因式的积等于零至少有一个因式为零10x

-

4.9x2=

0x1

=

0，x2

=x

=

0或10

-

4.9x

=

0x(10-4.9x)=0因式分解法的依据：如果a·b=0，那么a=0或b=0．新课讲解解方程10x－4.9x2＝0时，二次方程是如何降为一次的？可以发现，上面的解法中，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．新课讲解1

解方程：x(x－2)＋x－2＝0；解：

转化为两个一元一次方程因式分解，得(x－2)(x＋1)＝0.于是得x－2＝0，或x＋1＝0，x1＝2，x2＝－1.

例新课讲解2

解方程：移项、合并同类项，得4x2－1＝0.因式分解，得(2x＋1)(2x－1)＝0.于是得2x＋1＝0，或2x－1＝0，解：例新课讲解归纳采用因式分解法解一元二次方程的技巧为：

右化零，左分解，两因式，各求解.2.用因式分解法解一元二次方程时，不能将“或”

写成“且”，因为降次后两个一元一次方程并

没有同时成立，只要其中之一成立了就可以了.新课讲解1因式分解法解下列方程：(1)x2＋x＝0；

(2)3x2－6x＝－3；解：(1)因式分解，得x(x＋1)＝0，于是得x＝0，或x＋1＝0，x1＝0，x2＝－1.(2)

移项，化简，得x2－2x＋1＝0，因式分解，得(x－1)2＝0，于是得x－1＝0，x1＝x2＝1.练一练新课讲解3△ABC的三边长都是方程x2－6x＋8＝0的解，则△ABC的周长是(

)A．10 B．12C．6或10或12 D．6或8或10或12已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是(

)A．5B．7C．5或7D．102BC课堂小结因式分解法概念步骤简记歌诀：右化零左分解两因式各求解如果a·b=0，那么a=0或b=0.原理将方程左边因式分解，右边=0.因式分解的方法有ma+mb+mc=m(a+b+c);a2±2ab+b2=(a±b)2；a2-b2=(a+b)(a-b).当堂小练1.一元二次方程(x-3)(x-5)=0的两根分别为（

）A.3，-5B.-3，-5C.-3，5D.3，52.一元二次方程x(x-2)=2-x的根是（

）

A.-1B.2C.1和2D.-1和23.方程x2-3x+2=0的根是

.4.方程

的根是

.DDx1=1,x2=2拓展与延伸一元二次方程解法的比较方法理论依据适用方程关键步骤主要特点直接开平方法平方根的定义(ax+b)2=n(a≠0，n≥0)型方程开平方求解迅速、准确，但只适用于一些特殊结构的方程因式分解法若ab=0，则a=0或b=0能化为一边为0，另一边为两个因式乘积的形式的方程分解因式求解迅速、准确，但适用范围小配方法完全平方公式所有一元二次方程配方解法烦琐，当二次项系数为1时用此法比较简单公式法配方所有一元二次方程代入求根公式计算量大，易出现符号错误谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。1.3一元二次方程的根与系数的关系第一章一元二次方程目录CONTENTS1学习目标2

新课导入3

新课讲解4

课堂小结5

当堂小练6

拓展与延伸7

布置作业1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（难点）

2.不解方程的情况下利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（重点）学习目标新课导入知识回顾写出一元二次方程的一般式：2.一元二次方程求根公式.ax2＋bx＋c＝0(a≠0)新课导入新课导入

方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式不仅表示可以由方程的系数a，b，c决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系，一元二次方程根与系数之间的联系还有其他表现方式吗?新课讲解知识点1

一元二次方程的根与系数的关系

【思考1】

从因式分解法可知，方程(x－x1)(x－x2)＝0(x1，x2为已知数)的两根为x1和x2，将方程化为x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗?方程两个根的和、积与系数分别有如下关系：

x1＋x2＝－p，x1x2＝q.新课讲解

【思考2】

一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢?新课讲解知识点由求根公式知新课讲解方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：

项与二次项系数的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数比．满足上述关系的前提条件b2-4ac≥0.新课讲解1

根据一元二次方程的根与系数的关系，求

下列方程两个根x1，x2的和与积：

(1)x2－6x－15＝0(2)3x2＋7x－9＝0；(3)5x－1＝4x2.

解：(1)x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15.

(3)方程化为4x2－5x＋1＝0，

例新课讲解练一练1若x1，x2是一元二次方程x2

－4x－5＝0的两根，则x1·x2的值为(

)A．－5

B．5

C．－4

D．4已知x1，x2是一元二次方程x2－2x＝0的两个实数根，则下列结论错误的是(

)A．x1≠x2

B．x12－2x1＝0C．x1＋x2

＝2

D．

x1•

x2＝22AD新课讲解3不解方程，求下列方程两个根的和与积：(1)x2－3x＝15；(2)3x2＋2＝1－4x；(3)5x2－1＝4x2＋x；(4)2x2－x＋2＝3x＋1.解：(1)方程化为x2－3x－15＝0，x1＋x2＝－(－3)＝3，x1x2＝－15.新课讲解

新课讲解知识点2一元二次方程根与系数关系的应用2

已知一元二次方程x2－6x＋q＝0有一个根为2，

求方程的另一个根和q的值．分析：利用两根之和与积求解例新课讲解解：设这个方程的另一个根为m，则∵m＋2＝6，2m＝q.∴

m＝4，

q＝8.当q

＝8时，Δ=(-6)2-4×8=4＞0，

∴另一个根为4，q的值为8.课堂小结若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别为x1，x2，则若方程x2+px+q=0有两个实根x1，x2，则x1+x2=-p,x1x2=q.当堂小练1.早期，甲肝流行，传染性很强，曾有2人同时患上甲肝.在一天内，一人平均能传染x人，经过两天传染后128人患上甲肝，则x的值为()A.10 B.9 C.8

D.7D分析：依题意得2+2x+x(2+2x)=128，解得x1=7，x2=-9(不合题意，舍去)．故x

的值为7．当堂小练2.参加足球联赛的每两队之间都进行了两次比赛（双循环比赛），共要比赛90场，共有多少个队参加了比赛？解：设共有x个队参加了比赛.

依题意x(x-1)=90.

解得x1=10,x2=-9(舍去).答：共有10个队参加了比赛.当堂小练3.两个相邻偶数的积是168.求这两个偶数的和．解：设较小的偶数为x，则另一个偶数为(x+2)，依题意，得x(x+2)=168，解得x1=12，x2=-14，∴x+2=14或x+2=-12，∴x+(x+2)=±26．答：这两个偶数的和为±26．拓展与延伸一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系数学语言文字语言一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.使用条件1.方程是一元二次方程，即二次项系数不为0；2.方程有实数根，即Δ≥0.重要结论1.若一元二次方程x2+px+q=0的两根为x1，x2，则x1+x2=-p，x1x2=q.2.以实数x1，x2为两根的二次项系数为1的一元二次方程是

x2-(x1+x2)x+x1x2=0.谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。第一章一元二次方程1.4用一元二次方程解决问题课时1面积问题和增长率问题目录CONTENTS1学习目标2

新课导入3

新课讲解4

课堂小结5

当堂小练6

拓展与延伸7

布置作业1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.（难点）2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.（重点）3.掌握建立数学模型以解决增长率问题（重点）学习目标新课导入知识回顾新课导入情境导入

第三年种的水稻平均每公顷的产量为

.第一年平均每公顷产8000kg第二年种的水稻平均每公顷的产量为

；

新课讲解

知识点1面积问题1等腰梯形的面积为160cm2，上底比高多4cm，下底比上底多16cm，求这个梯形的高.分析：本题可设高为xcm，上底和下底都可以用含x的代数式表示出来.然后利用梯形的面积

公式来建立方程求解.例新课讲解

解：设这个梯形的高为xcm，则上底为（x+4）cm，

下底为(x+20)cm.根据题意得

整理，得解得x1=8,x2=－20(不合题意，舍去)答：这个梯形的高为8cm.新课讲解归纳

利用一元二次方程解决规则图形问题时，一般要熟悉几何图形的面积公式、周长公式或体积公式，然后利用公式进行建模并解决相关问题.新课讲解练一练某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为(

)A．x(x－11)＝180B．2x＋2(x－11)＝180C．x(x＋11)＝180D．2x＋2(x＋11)＝180C1新课讲解解：设一条直角边的长为xcm，则另一条直角边的长

为(14－x)cm.可得到12x(14－x)＝24，方程可化为x2－14x＋48＝0，解得x1＝6，x2＝8.当x＝6时，14－x＝14－6＝8；当x＝8时，14－x＝14－8＝6.所以两条直角边的长分别为8cm和6cm.一个直角三角形的两条直角边的和是14cm，面积是24cm2.求两条直角边的长。2新课讲解知识点2不规则图形的应用

如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形．如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之—，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(结果保留小数点后一位)?新课讲解分析：封面的长宽之比是27∶21＝9∶7，中央的矩

形的长宽之比也应是9∶7.设中央的矩形的长

和宽分别是9acm和7acm，由此得上、下边

衬与左、右边衬的宽度之比是

＝9(3－a)∶7(3－a)

＝9∶7新课讲解设上下边衬的宽为9xcm,左右边衬的宽为7xcm,依题意得∴上、下边衬的宽均为

1.8cm，左、右边衬的宽均为

1.4cm解：新课讲解

如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题?请你试一试．解：设正中央的矩形两边长分别为9xcm，7xcm.

依题意得

解得故上下边衬的宽度为：