工程水文：第四章第四节 理论频率曲线

一、正态分布密度函数

（1）单峰左右对称

（3）曲线两端趋于无限，并以

x轴为渐进线。

（2）在第四节理论频率曲线1、特点2、正态分布函数：F（x）=P(X>x)=

正态频率曲线在普通格纸上是一条规则的S形曲线，他在P=50%前后的曲线方向相反，但形状完全一样。50

水文计算中的“频率格纸”的横坐标就是将标准正态频率曲线拉成直线的原理计算出来的。P=50%时,x=0;P=0.01%,x=3.72;

频率格纸中间分隔较密，越往两端越稀。

把频率曲线画在普通方格纸上，因频率曲线两端特别陡，加上图幅的限制特大频率或特小频率难点在图上，频率格纸能解决这样的困难。二、皮尔逊Ⅲ型分布

英国生物学家皮尔逊注意到物理学、生物学、以及经济学上有些随机变量不具有正态分布，因此致力于探讨各种非正态的分布曲线，最后提出13种分布曲线的类型。其中第Ⅲ型曲线被引入水文计算中。

１、密度函数：

f(x)=----------参数：

α的伽玛函数2、密度函数的特点（1）一端有限，一端无限（2）不对称单峰铃形分布

可证这三参数与统计参数密度函数中三参数确定后，f(x)

也就确定了。所以，有下列关系：α，β，a0

就确定了，f(x)也定了。三参数确定后，3、分布函数：P=p(X>xp)=βα/Г(α)XP

取决于P，P又取决于α，β，a0，这三个参数又取决于。水文中的问题是：指定频率P求与P对应的随机变量XpXP与P是一一对应关系，但直接由积分式计算较复杂。前人（美国的福斯特和俄罗斯的雷布京）已将此项工作完成，制成了表）取标准变量Φ=（离均系数）Φ的均值为0，标准差为1。当x=xp

时，由上式可得得：XP=（ΦPCV+1）则皮尔逊Ⅲ型分布函数变为：

P（Φ>ΦP）=式中被积函数只含有一个参数CS

，只要给定CS

就可算出ΦP

和P

的对应值。对于若干给定的CS

值，ΦP

和P的对应数值已制成表，见附表1例某站平均年径流量=1000mm,CV=0.25,CS=0.5

若年径流的分布符合皮尔逊Ⅲ型分布，求P=1%的年径流为多少？查Φ值表ΦP=2.68

R1%=（1+CVΦ）=1000（1+0.25*2.68）=1670mm为实用方便，对常用的若干CV

，CS

，采用模比系数KP由附表1的ΦP

和P的对应关系，经KP=ΦPCV+1的转换，建立KP

与P的直接对应数值关系。常用的KP

与P的关系见附表2。在已有的Ф值表基础上作数值外延或内插：与数值积分法相比，插值法具有计算简便、迅速、省力等优点，应用十分广泛，但其精度受到Ф值表的精度、密度和插值方法的限制。目前所使用的Ф值表，一般都具有三到四位有效数字，已能满足要求，但节点密度各表相差较大。若将频率P化分为十几到几十个节点，将偏态系数CS，每隔0.05----0.5化分一个节点，那么一张Ф值表共有数千甚至上万个数据因此，试图用扩充Ф值表的办法来提高Ф值计算精度是不足取的，也是不现实的。且不说制作这样的数表将要花费的人力、物力和经费，就是在应用过程中也将因占用计算机内存空间太多，使用起来极不方便，而且耗时、费力，从而丧失其实用价值。

因此，提高Ф值计算精度的可行出路是寻求一种简便易行的高精度插值法．P—Ⅲ型分布离均系数Ф值随偏态系数CS的变化比较平缓，一般的Ф值表经线性内插所带来的误差都小于Ф值表自身四舍五入的容许误差，实际应用时采用抛物线插值即可，无需再作处理。然而Ф值随频率P的变化十分剧烈即使密度最大的函值表采用三点甚至四点插值所产生的误差都很大。由插值理论可知，仅提高插值函数的阶数是不可能无限降低插值误差的。三、经验频率曲线由数学方程表示的频率曲线属于理论频率曲线由实测资料（样本）绘制的频率曲线是经验频率曲线。它是水文频率计算的基础。设某水文要素的实测系列有n项，将它们由大到小排序：X1，X2

，X3

，。。。。。。。。Xn-2，Xn-1

，Xn

经验频率：在系列中大于及等于样本Xi

的出现次数与样本容量之比值。P=P:大于及等于Xm

的经验频率

m：Xm

的序号，即观测资料中大于及等于样本Xm

项数n:样本容量，即观测资料的总项数*100%系列中大于及等于X1

的频率为。。。。。。当m=n时，最末项Xn

频率为100%，

大于及等于X2的频率为系列中大于及等于X1

的频率为=

大于及等于X2的频率为。。。。。。最末项大于等于的频率为即样本的末项Xn

是总体中的最小值，样本以外不会出现比Xn

更小的值，不符合实际。若n项实测资料