2021届山东省高考数学模拟试卷（新高考模拟Ⅰ）

2021年山东省高考数学模拟试卷(新高考I)

一.选择题(共8小题)

1.已知集合A={x|e*>1,xwR};B={x\x2-x-2<0,xeR},贝UA|JB=()

A.(0,1)B.(0,2)C.(-1,-K»)D.(-2,-H»)

解：集合A={x|e*>l,xeR}=(0,+oo);B={x\x2-x-2<0,xe/?}=(-1,2),

则AU8=(-1,+OO),故选：C.

2.设z为复数，则下列命题中错误的是()

A.\z\2=zzB.若|z|=l,则|z+i|的最大值为2

C.z2=|z|2D.若|z-l|=l,贝1」喷射|2

解：设z=a+bi(a,beR),则2=又一

z-z=(a+hi)(a-hi)=a2-b2i2=a2+fe2=|z|2,故A正确；

由|z|=l,得/+/=1(_啜卜］),则|z+i|=+=j2+»,

当6=1时，|z+i|的最大值为2,故3正确；

z2=(a+bi)2-a2-b2+2abi,|z|2=a2+Z>2>z。与|z『不一定相等，故C错误;

满足|z-1|=1的z的轨迹是以(1,0)为圆心，以1为半径的圆，如图，

3.某市为了解高中教师对新冠肺炎防控知识的掌握情况，调研组采用分层抽样

的方法，从甲、乙、丙三所不同的高中共抽取60名教师进行调查.已知甲、乙、

丙三所高中分别有180名、270名、90名教师，则从乙校中应抽取的人数为(

)

A.10B.20C.30D.40

270

解：根据分层抽样原理，可知从乙校应抽取的人数为60x=30(人).故

180+270+90

选：c.

4.已知单位向量之〃满足（a+b）_L（a-b）,|&+6|=0，则向量•的夹角是（

）

A.-B.-C.-D.—

6323

解：根据题意，设向量,石的夹角为6,

向量都是单位向量且|a+E|=6,则有（a+b）2=a2+b2+2a-b=1+1+2cos6=3,

则cos^=—>

2

又由旗上7i,则6=工，故选：B.

3

5.已知〃€{1,2,3},he{4,5,6,7},则方程（x-a>+（y-4=4可表示不同

的圆的个数为（）

A.7B.8C.12D.16

解：根据题意，方程（i>+-中,其圆心为（a,b）,半径为2,

〃的取法有3种，Z?的取法有4种，

则圆心的情况有3x4=12种，故可以表示12个不同的圆，故选：C.

6.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块

圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环

依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增

加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则下层最后一环的石板数

为（）

A.189B.216C.243D.270

解：设每一层有〃环，由题意可知从内到外每环上扇面形石板数之间构成等差数

列，且公差d=9,q=9,

由等差数列的性质可得S”，S2„-S„,与-邑,成等差数列，

且巴「SQ-(5“-S“)=/d,

则”24=729,解得〃=9,

•.q=9+(〃-1)x9=9n,

下层最后一环的石板数为：

a21=9x27=243.故选：C.

7.蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早

系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，

类似今日的踢足球活动.如图所示，已知某“鞠”的表面上有四个点，A,B,

C,。满足A8=8C=C£>=D4=/M=2cm,AC=3cm,则该“鞠”的表面积为(

)

A28万2D70乃2小2n35A/35^-,

A.cmD.------cmC.354cnrD.------ctn~

3327

解：由已知得，MBD,△<?如均为等边三角形，如图所示，

设球心为O,ABC。的中心为(7,取a)中点F,连接"CF,OB,O'B,AO,

则CF±BD,ffi]AFp\CF=F,r.3£>_L平面ACF,

且求得AF=CF=>/5cm,而AC=3cm,/.cosZAFC=3+^~9^=,则ZAFC=120°,

2x6x62

在平面AFC中，过点A作CF的垂线，与b的延长线交于点£,

由8。J■平面ACr,得故AE_L平面88,

过点O作OGLAE于点G,则四边形。EGO是矩形，

o9/31n

而O'B=BCsin60°x-=—cm,O'F=-O,B=—cm,

3323

设球的半径为R,0(7=x(cm),则由OO2+OB2=OB2,ft42=AG2+GO2,

得=K(.4+(争争W

解得x=\cm，R2=­d

3

故三棱锥A-3CD外接球的表面积为S=4乃炉=日万(而).故选：A.

8.已知〃，。满足Ovavbve,则a"+色^与+色^的大小关系为()

ab

bMa]al〃b

AA.a+——>b+——B.一+%=。"+”

abb

「b加。

C.a+——<b4-——InbD.不能确定

ab

解:btab-lnba=blna-alnb=ab(也■-,且ah>0,

ah

・•・比较ah和h"的大小关系等价于比较殷与物的大小关系,

ab

设3也

X

.,.xe(O,e)时，f'(x)>0,/(x)单调递增，S.O<a<b<e,

/\日n加〃Inb

■-f<a)<f(ub)，即——<——,

ab

bIna.0

a+—<b+妙.故选：j

ab

二.多选题(共4小题)

9.已知函数f(x)=2-,则下列结论正确的是()

\x-l\

A.函数f(x)在(fO,l)上是增函数

B.函数f(x)的图象关于点(1,2)中心对称

C.函数/(x)的图象上存在两点A,B,使得直线反〃x轴

D.函数f(x)的图象关于直线x=l对称

二,X>1

解：由题意函数/(x)可化为/(x)=，\T,即“r)=

2

二,x<l-2--------,x<1

x-l

可由f(x)=2和g(x)=一2的图象进行平移变换得到如下图：

XX

・•・函数/⑴在(YO,1)上是增函数，故A正确；

由函数一(幻的图象可知函数没有对称性，故3错误；。错误

由函数/(x)的图象上有两点A,B,使得直线A8//x轴，故C正确.故选：AC.

10.已知点P为双曲线C:£=1右支上一点，，，为双曲线C的两条渐近线,

62

点A,〃在4上，点3,N在&上，且PBL",PM/H2,PN/,O为

坐标原点，记APAB,APMN的面积分别为S「邑，则下列结论正确的是()

A.\PA\\PB\=-B.\OP\..\A8\C.3s1=25D.|W|...>/2

解：由PA_L/|,则O,P,A,3四点在以OP为直径的圆上，则

故选项8正确；

由双曲线的方程C：W-q=1,

62

日］"设4：y=@x,/,:y=--x,

1323

则ZAO8=60。，

由PM///?，PN/II、,

贝ljAPNB=ZPMA=ZAOB=60°,

所以PM=-，，A,PN=-，，B-,

sin60°sin60°

।h

故S=-PAPBsm\200=—PAPB,

124

S,=-PMPN-sin600=—PA-PB,

23

所以4sl=35?,故选项C错误；

22

设P（X0，%），满足至-"=1，

62

则与2-3为2=6,

由点到直线的距离的公式可得,

同理可得由"加,

所以PA.昨区产.

故选项A正确;

PAPB

故PMPN==2,

sin2600

在APM?V中，由余弦定理可得:

MN2=PM2+PN2-2PM-PNcos600=PM2+PN2-2..2PM-PN-2=2,

所以|MN|…四，当且仅当PM=PN=0时等号成立，故选：ABD.

11.等比数列｛。“｝的公比为<7,且满足4>1,01010alou>1，（Hoio-1）（%“一1）<0.记

Tn=2a3・•4，则下列结论正确的是（）

A.0<q<1

B•4oio4oi2-1>°

C1011

D.使北<1成立的最小自然数"等于2021

解：由(4oio-1)­)<0・得或卜">:，又q>1；a1()10a10ll>1,则al(M>1,

0<al01l<1,所以0<q=9<l,A正确.

“1010

由“ioio4oi2="1011，又所以“ioio4oi2—1=4oil—I<。，8错诙.

由4>1、a1010>1,0<al01I<1,可知当“,1010时,an>1;当〃..1011时，0<an<l9

所以7；的最大值7;(“0，C错误.

因为^2020=4X%X…X々2020=(^1010^1011)>1；&21=4X^2X,*,X42021=(4oi1)~<1，所

以使7；vl成立的最小自然数〃等于2021,。正确.故选：AD.

12.已知函数/(x)=2sin(2x+为，则()

6

A.函数/(x)的最小正周期为万

B.f(x)的图像关于直线》=工对称

6

C.f(x)的图象关于点仔,0)对称

D./(x)在区间(0,外上有两个零点

解：对于函数/(x)=2sin(2x+三)，它的最小正周期为也=乃，故A正确；

62

令尤=生,求得,f(x)=2,为最大值，故f(x)的图像关于直线*=工对称，故B正确；

66

令x",求得/(x)=lwo,故/(x)的图像不关于点g,0)对称，故C错误；

在区间(0,乃)上，2x+-e(-,—),故/(x)在区间(0,乃)上有两个零点，

666

分别为2%+乙=乃和2x+工=24，即工=包和工=^^,故。正确，故选：ABD.

661212

三.填空题(共4小题)

13.若(l+2x)M=%+qx+…+o202dM(xwR),则4+粤+...+需的值为.

解：令x=0,则q>=1,

因为(1+2-；产=%+”［段+生・亲■+…+%)21,春函■=%+}+殳/+…+与得/⑶，

所以令x=l,则2*4+»..+/，

所以幺+$+...+黑=2的-4=22阳-1.

22222&iu

故答案为：2仙-1.

14.已知抛物线C:J=2px的焦点为E,点A为抛物线C上横坐标为3的点，过

点A的直线交无轴的正半轴于点3,且AW/为正三角形，则2=—.

解：由题意可知，当8在焦点下的右侧时，

A尸=3+",尸。=3?£=3?4」（3+马=2=2,

22222

当5在焦点F的左侧时，同理可得P=18,此时点5在x轴的负半轴，不合题意.

故答案为：2.

5如图,已知圆锥的母线长为2,高为6。为底面圆心，且冰况=《'E

为线段外上靠近点P的四等分点，则在此圆锥的侧面上，从E到C的最短路径

长度为

解：由O/toe=lxlxcosZAOC=-L,

2

可得ZAOC=120。，AC=—,

3

沿母线外展开的圆锥的侧面展开图中弧AC所对的圆心角为NAPC=工,

3

连接E4,可得从E到C的最短路径长度为：

AE=yIPE2+PC2-2PEPC-cosZAPC

故答案为：孚

16.实数0与函数/(x)满足/(1)=1,且对任意xwA均有fd)=4(x)-x.令

X

A={x|xwR,|/(x)|„l},则g(x)=f(ax)fd)(xwA)的值域为•

X

解：因为函数/(x)满足/(1)=1,且对任意xwR均有/d)=4(x)-x，

X

所以/(1)=af(1)-1,即l=a-l,解得a=2,

所以f(3=2f(x)-x,

X

所以f(x)=2/d)-L

XX

联立可解得f(x)=2x+_L,

33x

由I/(x)|,,1,解得-啜k-g或；熟1,

所以A=[—1,-；1U(，1],

所以g(x)=/(2x)/d)=[+2(4x2+二),XG[-1>—>I],

x189xr2^2

令Udeg,1],贝lJy=V+1(4f+；)在[；,g]上单调递减，在g,1]上单调递增

所以当f=l时，y=—>f=L时，y=—,f=工时，y=—,

242218

所以y=!Z+l_⑷+1)的最大值为3,最小值为生，

189t218

所以g(x)的值域为瞪，|].

故答案为：[交，2].

182

四.解答题（共6小题）

17.记S〃是公差不为0的等差数列｛.a｝的前〃项和，若〃3=$5，ci2a4=S4.

（I）求数列｛q｝的通项公式％;

(II)求使s“>可成立的〃的最小值.

解：(I)数列S,是公差”不为0的等差数列｛““｝的前〃项和，若4=号，02d

根据等差数列的性质，4=&=54，故/=0，

根据a2a4=S4可得(％-d)(a3+d)=(a3-2d)+(%-d)+a3+(%+d)，

整理得-/=_2d,可得d=2(d=0不合题意)，

故4=“3+("-3)1=2n-6.

(II)4=2九—6,4=-4,

°/n(n-l)-2广

S„=-4n+-----x2=〃-一5〃，

〃2

2

Sn>an9n-5n>2n-69

整理可得-7〃+6>0,

当〃>6或时，S“>a〃成立，故〃的最小正值为7.

18.已知函数/(%)=8$2]—5皿2%—2852(工+工)，XG[0,7].

4

(I)求函数/a)的最小值及对应的尢的值：

(II)设AABC的内角是A,B,C,若/(A)=-2,且人工擀，ZABC的角平

分线加交AC于O,BD=CD,求AD:DC的值.

解：(I)函数

/(X)=cos2x-sin2x-2cos2(%+—)=cos2x-cos(2x+—)-1=>/2sin(2x+—)-1.

424

由于工£[0,%],

W2x+—e,

444

故当》=包时，函数/(x)的最小值为-&-1.

8

(II)由于/(A)=-2,

所以&sin(24+()=-l,

由于Ae(0,%),

所以A=网，

4

由于为乙的平分线,

所以ZABZ)=ZZ)3C,

所以能啜BD=CD,

所以ND8C=NC,

故ZABD=ZDBC=ZC,

所以Z4BC=2NC,由于NA+NABC+NC=7,

所以*3NC=*故"=?

利用正弦定理：组=包工=一，=拒疝工，

BCsinA加3%12

4

/7_i

AD:DC=AB:HC=~~~.

2

19.如图，已知四棱锥P-A8a)的底面是菱形，AC交BD于O,PO_L平面ABC,

E为4)的中点，点厂在E4上，AP=3AF.

(1)证明：PC//平面BEF;

(2)若ZADB=ZBPD=60。,求二面角3-A尸-E的余弦值.

(1)证明：设AO交于G,连接尸G,

因为O,£分别是8。，AD的中点，

所以G为MBD的重心，

AG1

所以亲IAC-3

又AP=3AF,所以竺=任=!，

APAC3

所以GF//PC,

因为G尸u平面8EF,PCC平面3EF,

所以PC//平面BEF.

(2)解：以O为原点，OB,OP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所

示的空间直角坐标系，

设。8=1,

在菱形A8CD中，因为ZA/M=60。，所以AA8D为等边三角形，所以。4=6，

因为N8P£>=60。，POJL平面A8C,所以尸0=6，

所以4G,0,0),8(0,1,0),P(0,0,5,0(0,-1,0),

所以标=(-G,-1,0),Q=(-G,0,6)，AB=(-V3,1,0),

设平面皿>(即平面AEF)的一个法向量为而=(x,y,z),

则怜空=0,即产尤+y=0,

\m-AP=Q[x-z=0

令x=贝Uy=—3,z=y/39所以"2=(6,—3,6)，

同理可得，平面4弗的一个法向量为为=(百，3,V3),

3-9+3£

所以cos<m,n>=---------

\m\-\h\715x7155

由图知，二面角Z?-AF-石为锐角,

故二面角53-E的余弦值型.

20.某市为了解2020年十一双节期间市民旅游出行的方式及满意程度，对去该

市市区内甲、乙、丙三个景点旅游的市民进行了调查.现从中随机抽取100人作

为样本，得到如表（单位：人）：

满意度得甲乙丙

分

报团游自驾游报团游自驾游报团游自驾游

10分1211210714

5分414449

0分107217

合/p>

（1）从样本中任取1人，求这人没去丙景点的概率；

（2）根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.针对甲、乙、

丙三个景点，从全市十一双节期间旅游出行选自驾游的所有人中，随机选取2

人，记X为去乙景点的人数，求X的分布列和数学期望；

（3）如果王某要去甲、乙、丙三个景点旅游，那么以满意度得分的均值为依据,

你建议王某是报团游还是自驾游？说明理由.

解：（1）设事件“从样本中任取1人，这人没去丙景点”为事件A,

由表格中所给数据可得，去甲，乙，丙旅游的人数分别为19,39,42,

故P(A)=19+3929

10050

（2）由题意可得，X的所有可能取值为0,1,2,

从全市十一双节期间旅游出行选自驾游的所有人中，随机取1人，此人取乙景点

的概率为史」，

483

114

X^=

P(X=0)=C；x(l-g)2=[,尸(X=1)=G3--39-

,1,1

P(X=2)=C^x(-)2=-,

故X的分布列为：

X012

P442

999

4412

£(X)=0x-+lx-+2x-=-.

9993

(3)由题干所给表格中数据可知，报团游，自驾游的总人数分别为52,48,

得分为10分报团游，自驾游的总人数分别为31,25,得分为5分报团游，自驾

游的总人数分别为12,14,

得分为0分报团游，自驾游的总人数分别为9,9,

所以从满意度来看，报团游满意度的均值为31xl°+12x5+9x0=遛,

5226

自驾游满意度的均值为25x10+14x5+9x0=型,

483

——185>一20，

263

.♦•建议王某选择报团游.

22

21.如图，椭圆W+]=l(a>b>0)的左焦点为尸，过点尸的直线交椭圆于A,B

ab

两点，|4用的最大值为M,用的最小值是机，满足=

4

(1)求该椭圆的离心率；

(2)设线段45的中点为G,钻的垂直平分线与x轴交于。点，求幽的值.

\FD\

解：(1)设F(-c,0)(c>0),

根据椭圆的性质，得用=a+Cjm-a-c

所以Mm=­a2，

4

所以°2=九2,

4

2

即a=4c2,

所以a=2c,

所以椭圆的离心率为e=£=』.

a2

(2)由(1)知人=\la2-c2=A/3C,

根据题意，可得直线钻的斜率存在且不为0,

设直线的方程为y=R(x+c),4(X[,y),8(%，%)，

y=k(x+c)

联立JY2,得(4公+3)f+842》+42%2-12/=0,

行+记=1

所以…“黑4k2c2-l2c2

X.X=-------z------------

12-4k2+3

6ck

X+%=%(%+%2+2c)=

4公+3

所以G（-品3ck

因为Z）GJ_45,

3ck

73

所以占•k=-1,

4ck

~4I^3~XD

解得3人

所以|AB|=J+22口―w|=Jl+%2j(%+v)2—4X|W

E（-各-4・亨普

64c2162、+3)

=Jl+%2〃一(〃。-48C2)(4/

(4/+3)2

/144C;(J(:2+1)-

=Jl+K

1(4&2+3>

12c(1+r)

4k2+3