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文档简介
2021年山东省高考数学模拟试卷(新高考I)
一.选择题(共8小题)
1.已知集合A={x|e*>1,xwR};B={x\x2-x-2<0,xeR},贝UA|JB=()
A.(0,1)B.(0,2)C.(-1,-K»)D.(-2,-H»)
解:集合A={x|e*>l,xeR}=(0,+oo);B={x\x2-x-2<0,xe/?}=(-1,2),
则AU8=(-1,+OO),故选:C.
2.设z为复数,则下列命题中错误的是()
A.\z\2=zzB.若|z|=l,则|z+i|的最大值为2
C.z2=|z|2D.若|z-l|=l,贝1」喷射|2
解:设z=a+bi(a,beR),则2=又一
z-z=(a+hi)(a-hi)=a2-b2i2=a2+fe2=|z|2,故A正确;
由|z|=l,得/+/=1(_啜卜]),则|z+i|=+=j2+»,
当6=1时,|z+i|的最大值为2,故3正确;
z2=(a+bi)2-a2-b2+2abi,|z|2=a2+Z>2>z。与|z『不一定相等,故C错误;
满足|z-1|=1的z的轨迹是以(1,0)为圆心,以1为半径的圆,如图,
3.某市为了解高中教师对新冠肺炎防控知识的掌握情况,调研组采用分层抽样
的方法,从甲、乙、丙三所不同的高中共抽取60名教师进行调查.已知甲、乙、
丙三所高中分别有180名、270名、90名教师,则从乙校中应抽取的人数为(
)
A.10B.20C.30D.40
270
解:根据分层抽样原理,可知从乙校应抽取的人数为60x=30(人).故
180+270+90
选:c.
4.已知单位向量之〃满足(a+b)_L(a-b),|&+6|=0,则向量•的夹角是(
)
A.-B.-C.-D.—
6323
解:根据题意,设向量,石的夹角为6,
向量都是单位向量且|a+E|=6,则有(a+b)2=a2+b2+2a-b=1+1+2cos6=3,
则cos^=—>
2
又由旗上7i,则6=工,故选:B.
3
5.已知〃€{1,2,3},he{4,5,6,7},则方程(x-a>+(y-4=4可表示不同
的圆的个数为()
A.7B.8C.12D.16
解:根据题意,方程(i>+-中,其圆心为(a,b),半径为2,
〃的取法有3种,Z?的取法有4种,
则圆心的情况有3x4=12种,故可以表示12个不同的圆,故选:C.
6.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层,上层中心有一块
圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环
依次增加9块,下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增
加9块,已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则下层最后一环的石板数
为()
A.189B.216C.243D.270
解:设每一层有〃环,由题意可知从内到外每环上扇面形石板数之间构成等差数
列,且公差d=9,q=9,
由等差数列的性质可得S”,S2„-S„,与-邑,成等差数列,
且巴「SQ-(5“-S“)=/d,
则”24=729,解得〃=9,
•.q=9+(〃-1)x9=9n,
下层最后一环的石板数为:
a21=9x27=243.故选:C.
7.蹴鞠,又名“蹴球”“蹴圆”等,“蹴”有用脚蹴、踢的含义,“鞠”最早
系外包皮革、内饰米糠的球,因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动,
类似今日的踢足球活动.如图所示,已知某“鞠”的表面上有四个点,A,B,
C,。满足A8=8C=C£>=D4=/M=2cm,AC=3cm,则该“鞠”的表面积为(
)
A28万2D70乃2小2n35A/35^-,
A.cmD.------cmC.354cnrD.------ctn~
3327
解:由已知得,MBD,△<?如均为等边三角形,如图所示,
设球心为O,ABC。的中心为(7,取a)中点F,连接"CF,OB,O'B,AO,
则CF±BD,ffi]AFp\CF=F,r.3£>_L平面ACF,
且求得AF=CF=>/5cm,而AC=3cm,/.cosZAFC=3+^~9^=,则ZAFC=120°,
2x6x62
在平面AFC中,过点A作CF的垂线,与b的延长线交于点£,
由8。J■平面ACr,得故AE_L平面88,
过点O作OGLAE于点G,则四边形。EGO是矩形,
o9/31n
而O'B=BCsin60°x-=—cm,O'F=-O,B=—cm,
3323
设球的半径为R,0(7=x(cm),则由OO2+OB2=OB2,ft42=AG2+GO2,
得=K(.4+(争争W
解得x=\cm,R2=d
3
故三棱锥A-3CD外接球的表面积为S=4乃炉=日万(而).故选:A.
8.已知〃,。满足Ovavbve,则a"+色^与+色^的大小关系为()
ab
bMa]al〃b
AA.a+——>b+——B.一+%=。"+”
abb
「b加。
C.a+——<b4-——InbD.不能确定
ab
解:btab-lnba=blna-alnb=ab(也■-,且ah>0,
ah
・•・比较ah和h"的大小关系等价于比较殷与物的大小关系,
ab
设3也
X
.,.xe(O,e)时,f'(x)>0,/(x)单调递增,S.O<a<b<e,
/\日n加〃Inb
■-f<a)<f(ub),即——<——,
ab
bIna.0
a+—<b+妙.故选:j
ab
二.多选题(共4小题)
9.已知函数f(x)=2-,则下列结论正确的是()
\x-l\
A.函数f(x)在(fO,l)上是增函数
B.函数f(x)的图象关于点(1,2)中心对称
C.函数/(x)的图象上存在两点A,B,使得直线反〃x轴
D.函数f(x)的图象关于直线x=l对称
二,X>1
解:由题意函数/(x)可化为/(x)=,\T,即“r)=
2
二,x<l-2--------,x<1
x-l
可由f(x)=2和g(x)=一2的图象进行平移变换得到如下图:
XX
・•・函数/⑴在(YO,1)上是增函数,故A正确;
由函数一(幻的图象可知函数没有对称性,故3错误;。错误
由函数/(x)的图象上有两点A,B,使得直线A8//x轴,故C正确.故选:AC.
10.已知点P为双曲线C:£=1右支上一点,,,为双曲线C的两条渐近线,
62
点A,〃在4上,点3,N在&上,且PBL",PM/H2,PN/,O为
坐标原点,记APAB,APMN的面积分别为S「邑,则下列结论正确的是()
A.\PA\\PB\=-B.\OP\..\A8\C.3s1=25D.|W|...>/2
解:由PA_L/|,则O,P,A,3四点在以OP为直径的圆上,则
故选项8正确;
由双曲线的方程C:W-q=1,
62
日]"设4:y=@x,/,:y=--x,
1323
则ZAO8=60。,
由PM///?,PN/II、,
贝ljAPNB=ZPMA=ZAOB=60°,
所以PM=-,,A,PN=-,,B-,
sin60°sin60°
।h
故S=-PAPBsm\200=—PAPB,
124
S,=-PMPN-sin600=—PA-PB,
23
所以4sl=35?,故选项C错误;
22
设P(X0,%),满足至-"=1,
62
则与2-3为2=6,
由点到直线的距离的公式可得,
同理可得由"加,
所以PA.昨区产.
故选项A正确;
PAPB
故PMPN==2,
sin2600
在APM?V中,由余弦定理可得:
MN2=PM2+PN2-2PM-PNcos600=PM2+PN2-2..2PM-PN-2=2,
所以|MN|…四,当且仅当PM=PN=0时等号成立,故选:ABD.
11.等比数列{。“}的公比为<7,且满足4>1,01010alou>1,(Hoio-1)(%“一1)<0.记
Tn=2a3・•4,则下列结论正确的是()
A.0<q<1
B•4oio4oi2-1>°
C1011
D.使北<1成立的最小自然数"等于2021
解:由(4oio-1))<0・得或卜">:,又q>1;a1()10a10ll>1,则al(M>1,
0<al01l<1,所以0<q=9<l,A正确.
“1010
由“ioio4oi2="1011,又所以“ioio4oi2—1=4oil—I<。,8错诙.
由4>1、a1010>1,0<al01I<1,可知当“,1010时,an>1;当〃..1011时,0<an<l9
所以7;的最大值7;(“0,C错误.
因为^2020=4X%X…X々2020=(^1010^1011)>1;&21=4X^2X,*,X42021=(4oi1)~<1,所
以使7;vl成立的最小自然数〃等于2021,。正确.故选:AD.
12.已知函数/(x)=2sin(2x+为,则()
6
A.函数/(x)的最小正周期为万
B.f(x)的图像关于直线》=工对称
6
C.f(x)的图象关于点仔,0)对称
D./(x)在区间(0,外上有两个零点
解:对于函数/(x)=2sin(2x+三),它的最小正周期为也=乃,故A正确;
62
令尤=生,求得,f(x)=2,为最大值,故f(x)的图像关于直线*=工对称,故B正确;
66
令x",求得/(x)=lwo,故/(x)的图像不关于点g,0)对称,故C错误;
在区间(0,乃)上,2x+-e(-,—),故/(x)在区间(0,乃)上有两个零点,
666
分别为2%+乙=乃和2x+工=24,即工=包和工=^^,故。正确,故选:ABD.
661212
三.填空题(共4小题)
13.若(l+2x)M=%+qx+…+o202dM(xwR),则4+粤+...+需的值为.
解:令x=0,则q>=1,
因为(1+2-;产=%+”[段+生・亲■+…+%)21,春函■=%+}+殳/+…+与得/⑶,
所以令x=l,则2*4+»..+/,
所以幺+$+...+黑=2的-4=22阳-1.
22222&iu
故答案为:2仙-1.
14.已知抛物线C:J=2px的焦点为E,点A为抛物线C上横坐标为3的点,过
点A的直线交无轴的正半轴于点3,且AW/为正三角形,则2=—.
解:由题意可知,当8在焦点下的右侧时,
A尸=3+",尸。=3?£=3?4」(3+马=2=2,
22222
当5在焦点F的左侧时,同理可得P=18,此时点5在x轴的负半轴,不合题意.
故答案为:2.
5如图,已知圆锥的母线长为2,高为6。为底面圆心,且冰况=《'E
为线段外上靠近点P的四等分点,则在此圆锥的侧面上,从E到C的最短路径
长度为
解:由O/toe=lxlxcosZAOC=-L,
2
可得ZAOC=120。,AC=—,
3
沿母线外展开的圆锥的侧面展开图中弧AC所对的圆心角为NAPC=工,
3
连接E4,可得从E到C的最短路径长度为:
AE=yIPE2+PC2-2PEPC-cosZAPC
故答案为:孚
16.实数0与函数/(x)满足/(1)=1,且对任意xwA均有fd)=4(x)-x.令
X
A={x|xwR,|/(x)|„l},则g(x)=f(ax)fd)(xwA)的值域为•
X
解:因为函数/(x)满足/(1)=1,且对任意xwR均有/d)=4(x)-x,
X
所以/(1)=af(1)-1,即l=a-l,解得a=2,
所以f(3=2f(x)-x,
X
所以f(x)=2/d)-L
XX
联立可解得f(x)=2x+_L,
33x
由I/(x)|,,1,解得-啜k-g或;熟1,
所以A=[—1,-;1U(,1],
所以g(x)=/(2x)/d)=[+2(4x2+二),XG[-1>—>I],
x189xr2^2
令Udeg,1],贝lJy=V+1(4f+;)在[;,g]上单调递减,在g,1]上单调递增
所以当f=l时,y=—>f=L时,y=—,f=工时,y=—,
242218
所以y=!Z+l_⑷+1)的最大值为3,最小值为生,
189t218
所以g(x)的值域为瞪,|].
故答案为:[交,2].
182
四.解答题(共6小题)
17.记S〃是公差不为0的等差数列{.a}的前〃项和,若〃3=$5,ci2a4=S4.
(I)求数列{q}的通项公式%;
(II)求使s“>可成立的〃的最小值.
解:(I)数列S,是公差”不为0的等差数列{““}的前〃项和,若4=号,02d
根据等差数列的性质,4=&=54,故/=0,
根据a2a4=S4可得(%-d)(a3+d)=(a3-2d)+(%-d)+a3+(%+d),
整理得-/=_2d,可得d=2(d=0不合题意),
故4=“3+("-3)1=2n-6.
(II)4=2九—6,4=-4,
°/n(n-l)-2广
S„=-4n+-----x2=〃-一5〃,
〃2
2
Sn>an9n-5n>2n-69
整理可得-7〃+6>0,
当〃>6或时,S“>a〃成立,故〃的最小正值为7.
18.已知函数/(%)=8$2]—5皿2%—2852(工+工),XG[0,7].
4
(I)求函数/a)的最小值及对应的尢的值:
(II)设AABC的内角是A,B,C,若/(A)=-2,且人工擀,ZABC的角平
分线加交AC于O,BD=CD,求AD:DC的值.
解:(I)函数
/(X)=cos2x-sin2x-2cos2(%+—)=cos2x-cos(2x+—)-1=>/2sin(2x+—)-1.
424
由于工£[0,%],
W2x+—e,
444
故当》=包时,函数/(x)的最小值为-&-1.
8
(II)由于/(A)=-2,
所以&sin(24+()=-l,
由于Ae(0,%),
所以A=网,
4
由于为乙的平分线,
所以ZABZ)=ZZ)3C,
所以能啜BD=CD,
所以ND8C=NC,
故ZABD=ZDBC=ZC,
所以Z4BC=2NC,由于NA+NABC+NC=7,
所以*3NC=*故"=?
利用正弦定理:组=包工=一,=拒疝工,
BCsinA加3%12
4
/7_i
AD:DC=AB:HC=~~~.
2
19.如图,已知四棱锥P-A8a)的底面是菱形,AC交BD于O,PO_L平面ABC,
E为4)的中点,点厂在E4上,AP=3AF.
(1)证明:PC//平面BEF;
(2)若ZADB=ZBPD=60。,求二面角3-A尸-E的余弦值.
(1)证明:设AO交于G,连接尸G,
因为O,£分别是8。,AD的中点,
所以G为MBD的重心,
AG1
所以亲IAC-3
又AP=3AF,所以竺=任=!,
APAC3
所以GF//PC,
因为G尸u平面8EF,PCC平面3EF,
所以PC//平面BEF.
(2)解:以O为原点,OB,OP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所
示的空间直角坐标系,
设。8=1,
在菱形A8CD中,因为ZA/M=60。,所以AA8D为等边三角形,所以。4=6,
因为N8P£>=60。,POJL平面A8C,所以尸0=6,
所以4G,0,0),8(0,1,0),P(0,0,5,0(0,-1,0),
所以标=(-G,-1,0),Q=(-G,0,6),AB=(-V3,1,0),
设平面皿>(即平面AEF)的一个法向量为而=(x,y,z),
则怜空=0,即产尤+y=0,
\m-AP=Q[x-z=0
令x=贝Uy=—3,z=y/39所以"2=(6,—3,6),
同理可得,平面4弗的一个法向量为为=(百,3,V3),
3-9+3£
所以cos<m,n>=---------
\m\-\h\715x7155
由图知,二面角Z?-AF-石为锐角,
故二面角53-E的余弦值型.
20.某市为了解2020年十一双节期间市民旅游出行的方式及满意程度,对去该
市市区内甲、乙、丙三个景点旅游的市民进行了调查.现从中随机抽取100人作
为样本,得到如表(单位:人):
满意度得甲乙丙
分
报团游自驾游报团游自驾游报团游自驾游
10分1211210714
5分414449
0分107217
合/p>
(1)从样本中任取1人,求这人没去丙景点的概率;
(2)根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.针对甲、乙、
丙三个景点,从全市十一双节期间旅游出行选自驾游的所有人中,随机选取2
人,记X为去乙景点的人数,求X的分布列和数学期望;
(3)如果王某要去甲、乙、丙三个景点旅游,那么以满意度得分的均值为依据,
你建议王某是报团游还是自驾游?说明理由.
解:(1)设事件“从样本中任取1人,这人没去丙景点”为事件A,
由表格中所给数据可得,去甲,乙,丙旅游的人数分别为19,39,42,
故P(A)=19+3929
10050
(2)由题意可得,X的所有可能取值为0,1,2,
从全市十一双节期间旅游出行选自驾游的所有人中,随机取1人,此人取乙景点
的概率为史」,
483
114
X^=
P(X=0)=C;x(l-g)2=[,尸(X=1)=G3--39-
,1,1
P(X=2)=C^x(-)2=-,
故X的分布列为:
X012
P442
999
4412
£(X)=0x-+lx-+2x-=-.
9993
(3)由题干所给表格中数据可知,报团游,自驾游的总人数分别为52,48,
得分为10分报团游,自驾游的总人数分别为31,25,得分为5分报团游,自驾
游的总人数分别为12,14,
得分为0分报团游,自驾游的总人数分别为9,9,
所以从满意度来看,报团游满意度的均值为31xl°+12x5+9x0=遛,
5226
自驾游满意度的均值为25x10+14x5+9x0=型,
483
——185>一20,
263
.♦•建议王某选择报团游.
22
21.如图,椭圆W+]=l(a>b>0)的左焦点为尸,过点尸的直线交椭圆于A,B
ab
两点,|4用的最大值为M,用的最小值是机,满足=
4
(1)求该椭圆的离心率;
(2)设线段45的中点为G,钻的垂直平分线与x轴交于。点,求幽的值.
\FD\
解:(1)设F(-c,0)(c>0),
根据椭圆的性质,得用=a+Cjm-a-c
所以Mm=a2,
4
所以°2=九2,
4
2
即a=4c2,
所以a=2c,
所以椭圆的离心率为e=£=』.
a2
(2)由(1)知人=\la2-c2=A/3C,
根据题意,可得直线钻的斜率存在且不为0,
设直线的方程为y=R(x+c),4(X[,y),8(%,%),
y=k(x+c)
联立JY2,得(4公+3)f+842》+42%2-12/=0,
行+记=1
所以…“黑4k2c2-l2c2
X.X=-------z------------
12-4k2+3
6ck
X+%=%(%+%2+2c)=
4公+3
所以G(-品3ck
因为Z)GJ_45,
3ck
73
所以占•k=-1,
4ck
~4I^3~XD
解得3人
所以|AB|=J+22口―w|=Jl+%2j(%+v)2—4X|W
E(-各-4・亨普
64c2162、+3)
=Jl+%2〃一(〃。-48C2)(4/
(4/+3)2
/144C;(J(:2+1)-
=Jl+K
1(4&2+3>
12c(1+r)
4k2+3
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