2018-2019学年广东省深圳市宝安区九年级（上）期末数学试卷(一)

2018-2019学年广东省深圳市宝安区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.（3分）下面的几何体中，俯视图为三角形的是（）

B

2.（3分）一元二次方程（尤-2）2=0的根是（）

A.x~~2B.XI=X2=2C.xi=-2,X2=2D.xi=0,X2=2

3.（3分）如图，在矩形ABC。中，对角线AC,8。交于点O,若NCO0=5O°,那么N

4.（3分）已知-1是一元二次方程a/+6x+l=0的一个根，则a-6的值是（）

A.-1B.0C.1D.无法确定

5.（3分）已知菱形的面积为10,对角线的长分别为x和》则y关于尤的函数图象是（）

6.（3分）在不透明的袋子里装有16个红球和若干个白球，这些球除颜色不同外无其它差

另人每次从袋子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球

的频率稳定在0.6,则袋中白球有（）

A.12个B.20个C.24个D.40个

7.（3分）如图，这是某市政道路的交通指示牌.8。的距离为3加，从。点测得指示牌顶端

A点和底端C点的仰角分别是60°和45°,则指示牌的高度，即AC的长度是（）

DB

A.3aB.3aC.3^3-3^2D.3技3

8.（3分）下列说法正确的是（）

A.两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

B.任意两个等腰三角形相似

C.一元二次方程"-2=0,无论。取何值，一定有两个不相等的实数根

D.关于反比例函数＞=4,y的值随x值的增大而减小

x

9.（3分）如图，已知△ABO与△QCO位似，且△A3。与△ZJC。的面积之比为1：4,点B

的坐标为（-3,2）,则点C的坐标为（）

A.（3,-2）B.（6,-4）C.（4,-6）D.（6,4）

10.（3分）如图，在菱形ABC。中，ZA=60°,A8=2,点M为边的中点，连接8。

交CM于点N,则BN的长是（）

33

11.（3分）二次函数尸办2+bx+c的图象如图所示，以下结论中正确的是（）

y

A.abc<0

B.4ac-Z?2>0

C.当尤<1时，y随x的增大而减小

D.4a-2b+c>0

12.（3分）如图，矩形ABC。，AB=8,A£）=14,点M,N分别为边AD和边BC上的两点,

且MN〃AB,点、E是点A关于MN所在的直线的对称点，取CD的中点F,连接EF,NF,

分别将△即尸沿着E尸所在的直线折叠，将△CNF沿着NF所在的直线折叠，点。和点

C恰好重合于EN上的点G.以下结论中:

①EFLNF；②/MNE=NCNE；③AMNEs^DEF；④四边形MNC。是正方形；⑤AM

=5.其中正确的结论是（）

C.①③⑤D.①④⑤

二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分.

13.（3分）已知三二上，则"工=

25X

14.（3分）抛物线y=7-6x+5向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到

的抛物线解析式是.

15.（3分）如图，在A时测得一棵大树的影长为4米，2时又测得该树的影长为6米，若

两次日照的光线互相垂直，则树的高度是

B时°溺

16.（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=L与双曲线y=k（ZWO）交于点A,过

3x

点C（0,2）作A。的平行线交双曲线于点3,连接并延长与y轴交于点。（0,4）,

三、解答题：本题共7题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（5分）计算：-12+（V?）2+COS45°+|1-V2I

18.（8分）有3张正面分别写有数字-2,0,1的卡片，它们的背面完全相同，现将这3

张卡片背面朝上洗匀，小明先从中任意抽出一张卡片记下数字为x；小亮再从剩下的卡片

中任意取出一张记下数字为y,记作尸（x,y）.

（1）用列表或画树状图的方法列出所有可能的点尸的坐标；

（2）若规定：点P（x,y）在第二象限小明获胜；点P（无，y）在第四象限小亮获胜，

游戏规则公平吗？

19.（5分）如图，一次函数yi=7+2的图象与反比例函数”=其（20）的图象分别交于

x

第二、四象限的A,8两点，点A的横坐标为-1.

（1）求反比例函数的表达式；

（2）根据图象回答：当无取何值时，声〈”.请直接写出答案：.

20.（8分）如图，在平行四边形A8C。中，ACLAD,延长D4于点E,使得连

接相

（1）求证：四边形AEBC是矩形；

（2）过点E作A8的垂线分别交A8,AC于点尸，G,连接CE交A8于点O,连接。G,

若AB=6,ZCAB=30°,求△OGC的面积.

DC

E

21.（7分）天猫商城某网店销售某款蓝牙耳机，进价为100元.在元旦即将来临之际，开

展了市场调查，当蓝牙耳机销售单价是180元时，平均每月的销售量是200件，若销售

单价每降低2元，平均每月就可以多售出10件.

（1）设每件商品降价尤元，该网店平均每月获得的利润为y元，请写出y与尤元之间的

函数关系；

（2）该网店应该如何定价才能使得平均每月获得的利润最大，最大利润是多少元？

22.（9分）如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=2,点E是边的中点.动点尸从点A

出发，沿着A8运动到点8停止，速度为每秒钟1个单位长度，连接PE,过点E作PE

的垂线交射线与点。，连接尸。设点尸的运动时间为/秒.

（1）当t=l时，sinZPEB=；

（2）是否存在这样的/值，使△AP。为等腰直角三角形？若存在，求出相应的f值，若

不存在，请说明理由；

（3）当/为何值时，△PE。的面积等于10?

23.（10分）如图，抛物线y=/+6x+c与x轴相交于A,8两点，与y轴相交于点C,已知

抛物线的对称轴所在的直线是尤=旦，点B的坐标为（4,0）.

4

(1)抛物线的解析式是

(2)若点尸是直线BC下方抛物线上一动点，当NA2P=2NA8C时，求出点尸的坐标;

(3)若"为x轴上一动点，在抛物线上是否存在点N,使得点8,C,M,N构成的四

边形是菱形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由.

2018-2019学年广东省深圳市宝安区九年级（上）期末数

学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.【考点】U1：简单几何体的三视图.

【分析】根据俯视图是从物体上面看所得到的图形进行解答即可.

【解答】解：俯视图为三角形的是m

故选：C.

【点评】本题考查了几何体的三视图，掌握定义是关键.注意所有的看到的棱都应表现

在三视图中.

2.【考点】A5：解一元二次方程-直接开平方法.

【专题】523：一元二次方程及应用.

【分析】方程两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.

【解答】解：（x-2）2=0,

则X1=X2=2,

故选：B.

【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是掌握要把方程化为“左

平方，右常数，先把系数化为1,再开平方取正负，分开求得方程解”来求解.

3.【考点】LB：矩形的性质.

【专题】556：矩形菱形正方形.

【分析】只要证明根据三角形的外角的性质即可解决问题；

【解答】解：：矩形43。中，对角线AC,8。相交于点O,

C.DB^AC,OD=OB,OA=OC,

.,.OA=OD,

J.ZCAD^ZADO,

"：ZCOD=50°=ZCAD+ZADO,

.\ZCA£>=25

故选：B.

【点评】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运

用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

4.【考点】A3：一元二次方程的解.

【专题】523：一元二次方程及应用.

【分析】把x=-1代入方程计算求出a-b的值即可.

【解答】解：把x=-l代入方程得：a-6+1=0,即a-b=-l,

故选：A.

【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数

的值.

5.【考点】E6：函数的图象；L8：菱形的性质.

【专题】534：反比例函数及其应用.

【分析】根据菱形的面积列出等式后即可求出y关于x的函数式.

【解答】解：由题意可知：10=*wy,

(x>0),

x

故选：D.

【点评】本题考查反比例函数，解题的关键是熟练运用菱形的面积公式，本题属于基础

题型.

6.【考点】X8：利用频率估计概率.

【专题】543：概率及其应用；65：数据分析观念.

【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二

者的比值就是其发生的概率.

【解答】解：设袋中白球有x个，根据题意得：

解得：x=24,

经检验：x=24是分式方程的解,

故袋中白球有24个.

故选：C.

【点评】此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有〃种可能，而

且这些事件的可能性相同，其中事件A出现机种结果，那么事件A的概率尸（A）=2是

n

解题关键.

7.【考点】TA：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】55E：解直角三角形及其应用.

【分析】直接利用等腰直角三角形的性质结合锐角三角函数关系得出答案.

【解答】解：由题意可得：ZCDB=ZDCB=45°,

故BD=BC=3m,

设AC=尤，

则tan60°=受二=，5,

3

解得:-3,

故选：D.

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键.

8.【考点】AA：根的判别式；G4：反比例函数的性质；LF：正方形的判定；S8：相似三角

形的判定.

【专题】523：一元二次方程及应用；534：反比例函数及其应用；556：矩形菱形正方

形；55D：图形的相似.

【分析】利用正方形的判定定理、相似三角形的判定定理、一元二次方程的解及反比例

函数的性质分别判断后即可确定正确的选项.

【解答】解：A、两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故错误；

8、等腰三角形的对应角不一定相等，故错误；

C、方程X?-办-2=0中△=/+8>0,一定有两个不相等的实数根，故正确；

D、关于反比例函数>=&,在每一象限内y的值随尤值的增大而减小，故错误，

x

故选：C.

【点评】考查了正方形的判定定理、相似三角形的判定定理、一元二次方程的解及反比

例函数的性质，知识点比较多，较复杂.

9.【考点】D5：坐标与图形性质；SC：位似变换.

【专题】55D：图形的相似.

【分析】利用位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和B'C以原点为位似中心,

相似比是总ZXABC上一点的坐标是（x,y）,则在B'C中，它的对应点的坐标

是〈kx,ky）或（-履，ky）.

【解答】解：：△ABO与△DC。位似，且△ABO与△QCO的面积之比为1：4,

AABO与△QCO的相似比为1：2,

:点3的坐标为（-3,2）,

.,.点C的坐标为（6,-4）,

故选：B.

【点评】此题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点

位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键.

10.【考点】L8：菱形的性质；S9：相似三角形的判定与性质.

【专题】55D：图形的相似.

【分析】首先证明△ABC是等边三角形，推出8。=2,再利用相似三角形的性质即可解

决问题.

【解答】解：：四边形ABC。是菱形，

：.AB=BC=CD=AD,AD//BC,

VZA=60°,

•*.ZxABD是等边三角形，

:.BD=AB=2,

"：AM=MD,

：.BC=2DM,

•：DM〃BC,

:.ADMNs^BCN,

•DM=DN=1

,•而BNT

:.BN=2~BD=*,

33

故选：B.

【点评】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等

知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

11.【考点】H4：二次函数图象与系数的关系.

【专题】535：二次函数图象及其性质.

【分析】根据二次函数的性质即可求出答案.

【解答】解：..•抛物线的开口向上，

・・•对称轴在y轴的右侧，

：.b<0,

\'c=-3,

abc>0,故A错误；

•・,抛物线与兀轴有两个交点，

-4〃c>0,

2

：.4ac-b<0f故5错误；

・・•抛物线与％轴的两个交点分别为(-1,0),(2,0),

•••对称轴方程为直线X=L,

2

.•.当时，y随X的增大而减小，故C错误；

2

当尤=-2时，y—4a-2b+c>0,故£)正确；

故选：D.

【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本

题属于中等题型.

12.【考点】LB：矩形的性质；LE：正方形的性质；P7：作图-轴对称变换；S9：相似三

角形的判定与性质.

【专题】556：矩形菱形正方形；558：平移、旋转与对称；55D：图形的相似.

【分析】由折叠的性质得到//GFN=/CFN,根据平角的定义得到EF

人NF；故①正确；连接AN,根据轴对称的性质得到推出NMNEWN

CNE；故②错误；根据余角的性质得到NOBEWNNEM,推出△MNEs△。斯错误，故

③错误；设DE=x,根据相似三角形的性质得到CN=8,推出四边形MNC。是正方形；

故④正确；根据线段的和差得到AM=6,故⑤错误.

【解答】解：：由折叠的性质得，ZDFE^ZGFE,/GFN=/CFN,

VZDFE+ZGFE+ZGFN+ZCFN=180°,

NGFN+/C尸N=90°，

：.ZNFE=90°,

：.EF±NF；故①正确；

连接AM

:点E是点A关于MN所在的直线的对称点，

，ZANM=ZENM,

：./ANB=NCNE,

而四边形不是正方形，

ZANB^ZANM,

：.ZMNE^ZCNE；故②错误；

VZNEF^90°,/DFE+NDEF=9Q°,ZDEF+ZMEN^90°,

ZDFE^ZNEM,

:.LMNEsADEF错误,故③错误；

设DE=x,

.•.BN=AM=14-X,

2

CN=14-附=型区，

2

VZEFD+ZCFN=ZEFD+ZDEF=90°,

：.NDEF=/CFN,

：/D=/C=90°,

：.△DEFsACFN,

•DF=DE

"CNCF）

•.•尸是CD的在中点，

:.CF=DF=4,

•4_L区

14+x4'

2

.*.x=2,x=-16（不合题意舍去）,

:・DE=2,CN=8,

:.CD=CN,

・•・四边形MNCD是正方形；故④正确；

，：CN=DM=8,

.\AM=6,故⑤错误,

故选：B.

【点评】本题考查了作图-轴对称变换，正方形的判定，矩形的性质，相似三角形的判

定和性质，正确的识别图形是解题的关键.

二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分.

13.【考点】S1：比例的性质.

【专题】513：分式.

【分析】根据比例的性质解答即可.

【解答】解：设1上=左，

25

可得：x='2k,y=5左，

把x=2左，y=5Z代入空工二^二近=」，

X-2k-2

故答案为：-L.

2

【点评】此题考查比例的性质，关键是根据比例的性质解答.

14.【考点】H6：二次函数图象与几何变换.

【专题】535：二次函数图象及其性质.

【分析】先把y=/-6x+5配成顶点式，得到抛物线的顶点坐标为（3,-4）,再把点（3,

-4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4,-2）,然

后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式.

【解答］解:-6x+5=（尤-3）2-4,即抛物线的顶点坐标为（3,-4）,

把点（3,-4）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后得到点的坐标为（1,

-1）,

所以平移后得到的抛物线解析式为y=（x-1）2-1.

故答案是：y—（x-1）2-1.

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故。不

变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点

平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出

解析式.

15.【考点】SA：相似三角形的应用.

【专题】55D：图形的相似；55F：投影与视图.

【分析】根据题意，画出示意图，易得:RtA££)C-RtAFDC,进而可得胆=匹，即

DCFD

=代入数据可得答案.

【解答】解：根据题意，作AEFC；

树高为CD,且/ECT=90°,ED=4,FD=6；

'：ZECF=90°,

：.ZECD+ZDCF=90°,

'：CD±EF,

:.NCDE=/FDC=90°,

：.ZDCF+ZF=90°,

：./ECD=/F,

：.RtA££)C^RtAF£)C,

.•.毁=毁，即DC2=ED-FD,

DCFD

代入数据可得。。2=24,

解得：DC=2&(米)；

故答案为：2米.

【点评】本题考查相似三角形的应用，关键是通过投影的知识结合三角形的相似，求解

高的大小；是平行投影性质在实际生活中的应用.

16.【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题.

【专题】533：一次函数及其应用；534：反比例函数及其应用.

【分析】根据"直线y=Lx与双曲线>=上(20)交于点A,过点C(0,2)作A。的

3x

平行线交双曲线于点8"，得到BC的解析式，根据“。。=4,OC=2,BC//AO",得到

△BCD〜△AO。，结合点A和点B的坐标，根据点A和点2都在双曲线上，得到关于加

的方程，解之，得到点A的坐标，即可得到k的值.

【解答】解：：。4的解析式为：j=lx,

,3

又•.,AO〃8C,点C的坐标为：（0,2）,

的解析式为：y=Lx+2，

3

设点5的坐标为：（根，_Lm+2）,

3

VOD=4,OC=2,BC//AO,

:・ABCD〜AAOD,

・••点A的坐标为：（2m,2加），

3

•・,点A和点3都在y=k上，

x

:・m（―jppi-o）

33

解得：m=2,

即点A的坐标为：（4,1）,

3

^=4x

33

故答案为：1L.

3

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确掌握代入法和三角形相似

的判定定理是解题的关键.

三、解答题：本题共7题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.【考点】2C：实数的运算；73：二次根式的性质与化简；T5：特殊角的三角函数值.

【专题】511：实数；514：二次根式.

【分析】先根据二次根式的性质和绝对值的性质以及特殊角的三角函数进行计算，然后

合并同类项即可.

【解答】解：原式=-12+7+返+&-l=^Zl-6.

22

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，关键是根据绝对值的性质和特殊角的三角函

数值计算.

18.【考点】D1：点的坐标；X6：列表法与树状图法；X7：游戏公平性.

【专题】543：概率及其应用.

【分析】（1）通过列表展示所有6种等可能情况；

（2）利用第二、四象限的点的坐标特点得到对应的结果数，然后根据概率公式求解.

【解答】解：（1）根据题意，列表如下：

-210

-2(1,-2)(0,-2)

1(-2,1)(0,1)

0(-2,0)(1,0)

一共有6种等可能情况;

（2）由表知，点尸在第二象限有1种结果，在第四象限的有1种结果，

小明获胜的概率为L,小亮获胜的概率为上，

66

因此此游戏规则公平.

【点评】本题考查的是游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，

概率相等就公平，否则就不公平.

19.【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题.

【专题】533：一次函数及其应用；534：反比例函数及其应用.

【分析】（1）把x=-1代入一次函数yi=-尤+2,解之，即可得到点A的坐标，把点A

的坐标代入反比例函数y2=K,求公即可得到答案，

X

（2）一次函数y=-x+2与反比例函数y=-2联立，解之，即可得到点A和点B的坐

X

标，根据图象，即可得到答案.

【解答】解：（1）把％=-1代入一次函数yi=-x+2得：

y\=-1+2=3,

即点A的坐标为：（-1,3）,

把点A（-1,3）代入反比例函数得：

X

3=旦

-1

解得：k=-3,

即反比例函数为"=-3，

（2）一次函数）=-x+2与反比例函数y=-上联立得：

x

V=-x+2

<3，

y=一

X

解得：产T或产3,

1y=3（y=-l

即点A的坐标为：（-1,3）,点8的坐标为：（3,-1）,

由图象可知：当-1<尤<0或x>3时，yi<y2,

故答案为：-1〈尤<0或x>3.

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键：（1）正确掌握代

入法和待定系数法，（2）正确掌握数形结合思想.

20.【考点】K3：三角形的面积；L5：平行四边形的性质；LD：矩形的判定与性质.

【专题】555：多边形与平行四边形；556：矩形菱形正方形.

【分析】（1）根据平行四边形的性质得到〃/?C,AD=BC,推出四边形AEBC是平行

四边形，求得/CAE=90°,于是得到四边形AEBC是矩形；

（2）根据三角形的内角和得到/AGF=60°,/EAF=60°,推出△AOE是等边三角形，

得到AE=EO,求得/3。/=/64尸=30°,根据直角三角形的性质得到OG=2«,根

据三角形的面积公式即可得到结论.

【解答】解：（1）•••四边形A8C。是平行四边形，

C.AD//BC,AD=BC,

'：DA^AE,

J.AE^BC,AE//BC,

...四边形AEBC是平行四边形，

'：AC.LAD,

：.ZDAC=9Q°,

AZCAE=90°,

四边形AEBC是矩形；

（2）'：EG±AB,

：.ZAFG=90°,

VZCAB=30",

/.ZAGF=60°,ZEAF=60a,

:四边形AE8C是矩形，

：.OA=OC=OB=OE,

：.△AOE是等边三角形，

：.AE=EO,

J.AF^OF,

C.AG^OG,

：.ZGOF=ZGAF=30°,

：.ZCGO=6Q°,

；./COG=90°,

'：OC=OA=1AB=3,

2

：.OG=M，

【点评】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，直角

三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键.

21.【考点】HE：二次函数的应用.

【专题】12：应用题；34：方程思想.

【分析】(1)由题意得：y=(180-100-x)(200+A^l)=-5?+200.r+16000；

2

(2)。=-5<0,故函数有最大值，当尤20时，>=36000,即可求解.

2a

【解答】解：(1)由题意得：y=(180-100-x)(200+也三)=-5?+200.x+16000；

2

(2)\'a=-5<0,故函数有最大值，

当彳=一且=20时，j=18000,

2a

答：网店降价为20元时，即：定价为180-20=160元时，获得的利润最大，最大利润

是18000元.

【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用.最大销售利润的问题常利函

数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选

择最优方案.

22.【考点】LO：四边形综合题.

【专题】153：代数几何综合题；556：矩形菱形正方形.

【分析】（1）由题意得出AP=1,BP=3,BE=CE=L利用勾股定理求得尸E=伍，

根据正弦函数的定义可得答案；

（2）证得里=型，据此求得0P=15-41,再证

CECF4-t4-t

△Q。尸得毁=空，据此求得。Q=15-4f,AQ=17-4t,根据△APQ为等腰直角三角

DQDF

形列方程求解可得答案；

（3）根据SAPEQ=S直角梯形4BEQ-S^APQ-S^BPE=2^-16Z+34及△PE。的面积等于10歹!J

方程求解可得.

【解答】解：（1）根据题意知，当f=l时，AP=1,

则PB=3,

:BC=2,点E是边BC的中点，

：.BE=CE=\,

则P£=VPB2+BE2=V32+12^^>

.•.在Rt/XPBE中，sinZPEB==2^12,

_PEV1010

故答案为：为叵；

10

（2）存在，

5

如图，记。石与。。的交点为R

由题意知AP=3BP=4-3

•・•四边形A3CD是矩形，AB=4fBC=2,

：.AB=ZC=ZADC=90°,OC=4,AD=2,

：.ZPEB+ZBPE=90°,

'：ZPEQ=90°,

：.ZPEB+ZCEF=90°,

:・/BPE=/CEF,

:ABPEsACEF,

,BP—BE目口4-t=1

CECF1CF

4-t

；.DF=CD-CP=4-1=15-41,

4-t4-t

;NC=/FDQ=90°,NCFE=/DFQ,

:.丛ECFs丛QDF,

1

-EC_CF叩1_4T

DQDFDQ15毋

4-t

.1.02=15-4r,

则AQ=AD+DQ=2+15-4f=17-4t,

•••△AP。为等腰直角三角形，

J.AP^AQ,即f=17-4t,

解得t^H,

5

故当r=TL时，△AP。为等腰直角三角形.

5

(3)S/\PEQ=S直角梯形ABEQ-S丛APQ-S/\BPE

=Lx(1+17-4?)X4--3-X。+17-4力X?--Lx(47)XI

222

=2?-16/+34,

由题意知2於-16f+34=10,

解得t=2或?=6,

：0WK4,

••/=2.

【点评】本题是四边形的综合问题，解题的关键是熟练掌握矩形的性质、相似三角形的

判定与性质、三角函数的应用及割补法求三角形的面积等知识点.

23.【考点】HF：二次函数综合题.

【专题】15：综合题.

【分析】(1)利用抛物线对称性得到点A(L0),然后利用交点式写出抛物线解析式；

2

(2)如图，ZABP=2ZABC,直线8尸交y轴于E,作C点关于x轴的对称轴点D,DH

_LBE于H,则ZABD=ZPBD,则0。=。"=2,设。E=f,利用相似

比表示出EH=1+L,根据勾股定理得到2?+(1+L)2=尸，解得〃=-2,从

223

而得到E(0,-W),利用待定系数法得直线BE的解析式为y=&-迈，然后解方程

333

(416

组I得尸点坐标；

29

y=x3x+2

(3)若8C为对角线，易得点B,C,M,N构成的四边形不是菱形；若8c为边，则CN

//BM,贝!]CN=m,而8C=2掂，利用8CWCN可判断点8,C,M,N构成的四边形

2

不可能为菱形.

【解答】解：(1);点A与点2(4,0)关于直线是x=W,

4

.•.点A(L,0),

2

,抛物线解析式为尸(X--L)(X-4),

即y=/-2r+2；

2

故答案为y=f-Xc+2；

（2）如图，/ABP=2NABC,

直线B尸交y轴于E,作C点关于无轴的对称轴点。，DHLBE于H,

则/ABC=AABD,

：.ZABD=ZPBD,

：.DO=DH,

当x=0时，y=/-2x+2=2,则C(0,2),

2

；.OD=DH=2,

设DE=t,

■:/DEH=/BEO,

.•.△EDHsAEBO,

・,•旦旦=01,即EH=2,则E”=I+L,

0EOB2+t42

在RtZYDEH中，22+(1+1/)2=?,解得A=-2,四=妆,

23

OE=OD+DE=2+^L=1^-,

33

：.E(0,-迈)，

3

设直线BE的解析式为y-mx+n,

4m+n=0

把8(4,0),E(0,-代入得,.16,

3n~~

直线BE的解析式为y=&-迈,

33

41611

尸石x丁得x

^6"x=4

解方程组29侍或

26y=0

y=x3x+2尸T

点坐标为（*，-空）;

69

（3）在抛物线上不存在点N,使得点8,C,M,N构成的四边形是菱形.

理由如下：

若BC为对角线，易得点B,C,M,N构成的四边形不是菱形；

若BC为边，贝UCN〃氏W,则CN=5,而3币=2旄，所以点8,M,N

构成的四边形不可能为菱形.

【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次

函数的性质和菱形的判定；会利用待定系数法求函数解析式，会通过解方程组求两函数

的交点坐标.

考点卡片

1.实数的运算

（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、

乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方.

（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算

乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行.

另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

【规律方法】实数运算的“三个关键”

1.运算法则：乘方和开方运算、塞的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根

式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等.

2.运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从

左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算.

3.运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度.

2.二次根式的性质与化简

（1）二次根式的基本性质：①（双重非负性）.②（a）2=a（心0）（任何

一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）.@a2=aQNO）（算术平方根的意义）

（2）二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性

质和商的算术平方根的性质进行化简.ab=a'bab=ab

（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被

开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每

一个因数（或因式）的指数都小于根指数2.

【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法

1.常见题型：与分式的化简求值相结合.

2.解题方法：

（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简.

（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果.

（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式.

3.一元二次方程的解

（1）一元二次方程的解（根）的意义：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解•又因为只含有一个未知

数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.

（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解.这XI,X2是一元二次方程a^+bx+c

=0QW0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量.

axi2+bxi+c-0ax22+bx2+c—0（aWO）.

4.解一元二次方程-直接开平方法

形如/=。或（加+相）2=p（p\o）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方

程.

如果方程化成J?=P的形式，那么可得X=土丘；

如果方程能化成（MX+7”）2—p（p20）的形式，那么土丘.

注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数.

②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程.

③方法是根据平方根的意义开平方.

5.根的判别式

利用一元二次方程根的判别式（△=庐-4℃）判断方程的根的情况.

一元二次方程a/+6x+c=0（aWO）的根与△=■-4ac有如下关系：

①当时，方程有两个不相等的两个实数根；

②当△=（）时，方程有两个相等的两个实数根；

③当△＜（）时，方程无实数根.

上面的结论反过来也成立.

6,点的坐标

（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作Q,b）.

（2）平面直角坐标系的相关概念

①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴.

②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方

向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点.它既属于x轴，又属于y轴.

（3）坐标平面的划分

建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，

第三象限，第四象限.坐标轴上的点不属于任何一个象限.

(4)坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系.

7.坐标与图形性质

1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵

坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距

离求坐标时，需要加上恰当的符号.

2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，

是解决这类问题的基本方法和规律.

3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去

解决问题.

8.函数的图象

函数的图象定义

对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平

面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象.

注意：①函数图形上的任意点(尤，y)都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、

y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P(x,y)是否在函数图象上的方法是：

将点P(x,y)的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数

的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上..

9.反比例函数的性质

反比例函数的性质

(1)反比例函数y=K(左WO)的图象是双曲线；

x

(2)当上＞0,双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；

(3)当左＜0,双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大.

注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点.

10.反比例函数与一次函数的交点问题

反比例函数与一次函数的交点问题

(1)求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程

组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点.

(2)判断正比例函数y=kix和反比例函数y=组在同一直角坐标系中的交点个数可总结

为:

①当ki与fe同号时，正比例函数y=kix和反比例函数>=_^2在同一直角坐标系中有2个

X

交点；

②当ki与左2异号时，正比例函数y=k\x和反比例函数>=占2在同一直角坐标系中有0个

x

交点.

11.二次函数图象与系数的关系

二次函数（aWO）

①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.

当a>0时，抛物线向上开口；当tz<0时，抛物线向下开口；间还可以决定开口大小，同

越大开口就越小.

②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.

当a与6同号时（即ab>0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即a6<0）,对称轴在y

轴右.（简称：左同右异）

③.常数项c决定抛物线与y轴交点.抛物线与y轴交于（0,c）.

④抛物线与x轴交点个数.

△=启-4℃>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=庐-4℃=0时，抛物线与尤轴有1个交

点；△=层-4碇<0时，抛物线与无轴没有交点.

12.二次函数图象与几何变换

由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方

法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑

平移后的顶点坐标，即可求出解析式.

13.二次函数的应用

（1）利用二次函数解决利润问题

在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题.解此类题的关键是通过题意，

确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有

意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围.

（2）几何图形中的最值问题

几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几

何中的最值的讨论.

（3）构建二次函数模型解决实际问题

利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中

的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决

一些测量问题或其他问题.

14.二次函数综合题

（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题

解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系

式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即

为正确选项.

（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用

将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起.这类试题一般难度较大.解这类问题关键

是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识,

并注意挖掘题目中的一些隐含条件.

（3）二次函数在实际生活中的应用题

从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型.关键在于观察、分析、创建，建立

直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的

取值范围要使实际问题有意义.

15.三角形的面积

（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即