中考数学专题复习课件第26讲图形的性质三角形综合专题练习

备战2024中考数学专题复习第26讲图形的性质——三角形综合专题练习一．三角形中位线定理二．三角形综合题一．三角形中位线定理1.如图，△ABC的边AB，BC，CA上的中点分别是D，E，F，且AB=5cm,AC=6cm,则四边形ADEF的周长为(____)A.9cmB.10cmC.11cmD.12cm

C∴四边形ADEF的周长为2(2.5+3)=11(cm)，故选：C．2.如图，为了测量水池的宽AB，在水池外找一点P，点C，D分别为PA，PB的中点，测得CD=8.5m,则水池的宽AB为(____)A.17mB.12mC.10m【解析】解：∵点C，D分别为PA，PB的中点，CD=8.5m,∴AB=2CD=2×8.5=17(m)，故选：A．A3.如图，在△ABC中，DE为中位线，连CD，则下列结论不一定成立的是(____)A.BC=2DEB.∠EDC=∠BCDC.S△ADC=S△BDCD.C△ABC=2C△DEC(代表周长)【解析】解：∵△ABC中，DE为中位线，∴BC=2DE，故A正确；∴BD∥DE，∴∠EDC=∠BCD，故B正确；D∵D是AB的中点，∴S△ADC=S△BDC，故C正确；故选：D．4.如图，在四边形ABCD中，AB=3，CD=7，E、F分别是AD、BC的中点，若EF的长恰为整数，则EF的长可以是(____)A.2，3，4B.3，4C.3，4，5D.2，3，4，5【解析】解：如图，连接AF并延长至G，使得AF=FG，连接CG、DG，C

5.如图，点P是△ABC内一点，AP⊥BP，BP=12，CP=15，点D，E，F，G分别是AP，BP，BC，AC的中点，若四边形DEFG的周长为28，则AP长为(____)A.13B.9C.5D.4

C

【解析】解：∵BD平分∠ABC交AC于点D，A

BB.3C.2D.1

∵GN⊥AB，∴FG=GB，故②符合题意；∵∠EAF=∠MAF，AF=AF，∠AFE=∠AFM，∴△AEF≌△AMF(ASA)，∴FE=FM，∵EG=GC，∴FG∥AC，故③符合题意；∵∠BFG+∠FBG+∠FGB=180°，∠EAF=∠MAF=∠BFG=∠GBF，∴∠EAC+∠FGB=180°，故④符合题意，故选：B．

【解析】解：∵∠BAC=90°，∠B=30°，AC=2，∴BC=2AC=4，B

9.如图：在△ABC中，AB=13，BC=12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE=2.5，那么△ACD的周长是(____)A.15B.16C.17D.18【解析】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，∴AC=2DE=5，AC∥DE，∵AC2+BC2=52+122=169，D

10.如图，AB是半径为2的⊙O的弦，点C是⊙O上的一个动点．若点M，N分别是AB，BC中点，则MN长的最大值是____．

211.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8，D，E分别为AC，BC上的点，AD=CE=2，F，G分别为AE，BD的中点，连FG，则FG的长度是

．【解析】解：如图，取AB的中点H，连接HF，HG并延长交AC于点I，交BC于点J，____∵F，G分别为AE，BD的中点，

12.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，点E，F分别是AD，BC的中点，连接EF，已知BD=6，AC=8．则(1)四边形ABCD的面积为____；(2)EF的长为____．

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13.如图，△ABC中，AB=AC=4，AD平分∠BAC，点E为AC中点，则DE的长为____．【解析】解：∵AB=AC=4，∴△ABC是等边三角形，∵AD平分∠BAC，∴点D是BC的中点，∵点E是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=AB=2．故答案为：2．214.如图所示，某居民小区为了美化居住环境，要在一块等边三角形空地上围一个四边形花坛．已知四边形BCFE的顶点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF=8米，∠B=∠C=60°，则四边形花坛的周长是______．

40米∴四边形花坛的周长是BC+CF+EF+BE=16+8+8+8=40米．故答案为：40米．15.如图，在四边形ABCD中，AB=12，CD=10，∠ABD=30°，∠BDC=120°，E，F分别是AD，BC的中点，则EF的长为

．【解析】设BD的中点为H，连接EH、FH，如图：_____∵E，F分别是AD，BC的中点，∴EH，FH都是中位线，

16.如图，在△ABC中，M、N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是线段CN的中点，连接ME并延长交BC的延长线于点D，若BC=10，求CD的长．

∴CD=MN=5．17.如图，把一个等边三角形各边中点连接起来组成第二个等边三角形，再把第二个等边三角形各边中点连接起来组成第三个等边三角形，按照这样的规律，第四个三角形的面积是第一个三角形的面积的几分之几？

18.在证明定理“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，小明给出如下部分证明过程．已知：在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点．求证：

．证明：如图，延长DE到点F，使EF=DE，连接CF．(1)补全求证：(2)请根据添加的辅助线，写出完整的证明过程；(3)若CE=3，DE=4，请你直接写出边AB的取值范围．

19.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知AC=BD，M，N分别是AD，BC的中点，MN与AC，BD分别交于点E，F，请判断△OEF的形状．

二．三角形综合题20.如图，等边三角形ABC的边长是定值，点O是它的内心，过点O任意作一条直线分别交AB，BC于点D，E．将△BDE沿直线DE折叠，得到△B'DE，若B'D，B'E分别交AC于点F，G，连接OF，OG，则下列判断错误的是(____)A.△ADF≌△CGEB.△B'FG的周长是一个定值C.四边形FOEC的面积是一个定值D.四边形OGB'F的面积是一个定值【解析】解：A、连接OA、OC，D

∴∠DOF=60°，同理可得∠EOG=60°，∴∠FOG=60°=∠DOF=∠EOG，∴△DOF≌△GOF≌△GOE(ASA)，∴OD=OG，OE=OF，∠OGF=∠ODF=∠ODB，∠OFG=∠OEG=∠OEB，∴△OAD≌△OCG(SAS)，△OAF≌△OCE(SAS)，∴AD=CG，AF=CE，∴△ADF≌△CGE(SAS)，故选项A正确；B、∵△DOF≌△GOF≌△GOE，∴DF=GF=GE，

OFG的面积变化，从而四边形OGB′F的面积也变化，故选项D不一定正确；故选：D．___21.如图，已知点E在△ABC的外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1=∠2=∠3，AC=AE，则①AB=AD；②BC=DE；③∠B=∠ADE；④△ABC≌△AFE．以上结论中，正确的有(____)A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】证明：∵∠2=∠3，∠AFE=∠CFD，∴∠E=∠C．C

22.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，若点D为BC的中点，过点D作∠MDN=90°，分别交AB，AC于点M，N，连接MN，则下列结论中：①△DMN是等腰直角三角形；②△DMN的周长有最小值；③四边形AMDN的面积为定值8；④△DMN的面积有最小值；⑤△AMN的面积有最大值．正确的有(____)A.5个B.4个BC.3个D.2个【解析】解：∵△ABC是等腰直角三角形，D为BC的中点，∴∠BAC=∠DAC=∠C=45°，AD=CD，∠ADC=90°，∵∠MDN=90°，∴∠ADC=∠MDN，∴∠ADM=∠CDN，在△AMD和△CND中，

∴△ABC的面积为4×4÷2=8，∴△ACD的面积为4，∴四边形AMDN的面积为定值4，故③错误；∴当△DMN的面积有最小时，此时△AMN的面积最大，故⑤正确，∴正确的有①②④⑤，共4个，故选：B．

B【解析】解：如图，延长ED交AB于M，____则∠DMB=90°，∵∠ADB=105°，△ABC是等腰直角三角形，∴∠CDE=∠MDB=45°，∠ADC=75°，∠CAD=15°，∴△DCE是等腰直角三角形，∴CE=CD，在△ACD和△BCE中，

24.在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③四边形CDFE的面积保持不变；④△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论有(____)个．A.1个CB.2个C.3个D.4个

25.如图，O为△ABC内的一点，D为AB边上的一点，OD=OB，OA=OC，∠AOC=∠BOD=90°，连接CD．下列结论：①AB=CD；②AB⊥CD；③∠AOD+∠OCD=45°；④S△BOC=S△AOD．其中所有正确结论的序号是(____)A.①②B.①③C.①②③D.①②③④【解析】解：∵∠AOC=∠BOD=90°，∴∠AOC+∠AOD=∠BOD+∠AOD，D

∴∠CDO+∠BDO=∠ABO+∠BDO=90°，∠BDO=∠DBO=45°，∴AB⊥CD，②正确；∵∠BDO=∠BAO+∠AOD=45°，∵△AOB≌△COD，∴∠BAO=∠DCO，∴∠AOD+∠OCD=45°，③正确；过点D作DE⊥OA于E，过点B作BF⊥CO交CO的延长线于F，____

∴S△BOC=S△AOD，④正确，故选：D．26.如图，点B为线段AC上一点，以AB和BC为边在线段AC同侧作等边△ABD和等边△BCE，连接AE与BD交于点G，连接CD与BE相交于点H、与AE相交于点P，连接BP，(1)△ABE绕点B顺时针旋转60°与△DBC重合(2)△HBC绕点B逆时针旋转60°与△GBE重合(3)∠EPC=60°(4)PC=PE+PB(5)PB平分∠APC．以上结论错误的个数为(____)个．A.3B.2C.1DD.0

不合题意；∵△ABE≌△DBC，∴∠BCD=∠BEA，又∵∠GBE=∠CBH=60°，BC=BE，∴△BCH≌△BEG(ASA)，∴△HBC绕点B逆时针旋转60°与△GBE重合，故(2)不合题意；∵∠BCD=∠BEA，∴B、C、E、P四点共圆，∴∠EPC=∠EBC=60°，∠BPC=∠BEC=60°，故(3)不合题意；∴∠APB=180°-60°-60°=60°=∠BPC，∴BP平分∠APC，故(5)不合题意；如图，在PC上截取PF=PE，连接EF，∵∠CPE=60°，PE=PF，∴△PEF是等边三角形，∴EF=PE=PF，∠FEP=∠EFP=∠EPF=60°=∠BEC，∴∠BEP=∠CEF，∠BPE=∠EFC=120°，又∵BE=EC，∴△BPE≌△CFE(AAS)，∴CF=BP，∴PC=PF+CF=PB+PE，故(4)不合题意；故选：D．27.如图，在△ABC中，分别以AB、AC为边作等边三角形ABD与等边三角形ACE，连接BE、CD，BE与CD交于点F，连接AF．有以下四个结论：①BE=CD；②FA平分∠DFE；③EF=FC；④AF+BF=FD．其中结论一定正确的个数有(____)A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】解：①∵三角形ABD与等边三角形ACE是等边三角形，C

____∵△ADC≌△ABE，∴S△ADC=S△ABE，DC=BE，∴AP=AQ，∵AP⊥CD，AQ⊥BE，∴点A在∠PFE的平分线上，∴FA平分∠DFE，②正确；④如图，在DF上截取DO=BF，连接AO，

∵∠DAB=∠DAO+∠OAB=60°，∴∠OAF=∠BAF+∠OAB=60°，∴△AOF是等边三角形，∴AF=OF，∴AF+BF=DO+OF=FD，④正确；③∵AF+BF=DO+OF=FD，BE=CD，∴BE-BF≠CD-DF，即EF≠FC，③不正确；综上所述：正确的结论是①②④，共3个，故选：C．

D

∴△DCF≌△DCH(AAS)，∴S△DCH=S△DCF，∴S△ADE+S△DCF=S△DCE，故④正确；故选：D．29.【问题引入】“逆等线问题”是几何最值中的一个热点问题，数学老师有一天在讲到下面这个问题时：如图，等腰Rt△ABC中，∠C=90°且AC=BC=4．D、E分别是线段AC、BC边上两个动点，且CD=BE．连接BD、AE，求BD+AE的最小值．【问题解决】过B点作BF∥AC，且BF=BC，连接EF；当A、E、F三点共线时，BD+AE最小．【能力运用】小明在回家思考这个问题时发现，

B

【解析】(1)①证明：如图1中，____∵AB=AC，∠BAC=90°，∴ABC=∠ACB=45°，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBC=22.5°，∴∠APB=67.5°，∵BE=BE，∠AEB=∠BEM=90°，∴△BEA≌△BEM(ASA)，∴BA=BM，AE=EM，∴PB垂直平分线段AM，∴PA=PM，∵EP⊥AM，∴∠BPM=∠BPA=67.5°，∴∠CPM=∠C=45°，∴∠PMC=90°，∵PA⊥AB，BP平分∠ABC，∴PA=PM．②如图2中，作CH⊥AC交AM的延长线于H．___∵∠APB+∠PAE=90°，∠PAE+∠H=90°，∴∠APB=∠H，∵∠BAP=∠ACH=90°，AB=AC，∴△BAP≌△ACH(AAS)，∴PA=CH=PC，PB=AH，∵CM=CM，∠PCM=∠MCH=45°，∴△CMP≌△CMH(SAS)，∴PM=MH，∴PB=AH=AM+MH=AM+PM．(2)解：如图3中，作PG⊥AC交BC于G，连接GN，AG交于点H．____∵∠GPC=90°，∠C=45°，∴∠PGC=∠C=45°，∴PG=PC，∵AN=PC，∴AN=PG，∵AN∥PG，∴四边形ANGP是平行四边形，∵∠NAP=90°，∴四边形ANGP是矩形，∴∠HAP=∠HPA，AG=PN，∵∠BAM+∠MAP=90°，∠APH+∠MAP=90°，∴∠BAM=∠HPA=∠CAG，∵AB=AC，∠B=∠C，∴△ABM≌△ACG(ASA)，∴AM=AG，∴AM=PN，

31.如图(1)，AB=7cm,AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC=5cm.点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t(s)(当点P运动结束时，点Q运动随之结束)．_______(1)AP=____cm,BP=______cm(用含t的代数式表示)；(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；(3)如图(2)，若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA”，2t7-2t点Q的运动速度为xcm/s,其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值．【解析】解：(1)P点运动速度为2cm/s,运动t(s)走的路程为2t(cm)，AB长度为7，BP=(7-2t)(cm)，故答案为2t,7-2t.(2)△CAP≌△PBQ，PC⊥PQ．证明：∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等，∴当t=1时，AP=BQ=2(cm)，BP=7-2=5(cm)，∵AC=5(cm)，∠A=∠B=90°，∴△CAP≌△PBQ(SAS)，

32.下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．已知：∠O(如图①)．求作：一个角，使它等于∠O．作法：如图②．(i)在∠O的两边上分别任取一点A，B．(ii)以点A为圆心，OA长为半径画弧；以点B为圆心，OB长为半径画弧；两弧交于点C．(iii)连接AC，BC．∠C即为所求作的角．请根据小明设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)(2)完成下面的证明．证明：连接AB．在△OAB和△CAB中，OA=CA，OB=____，________，∴△OAB≌△CAB(_____)．∴∠C=∠O(____________________________)．_______【解析】解：(1)如图2，即为补全的图形；BCAB=ABSSS全等三角形的对应角相等

故答案为：BC，AB=AB，SSS，全等三角形的对应角相等．33.已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，AQ=MN．(1)求证：△AMN≌△PAQ；(2)若NP=2，AQ=4，①求BC的长为

；②连接QC，则QC的长为

．【解析】(1)证明：∵BA⊥AM，MN⊥AC，∴∠BAM=∠ANM=90°，∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°，

∵∠APM=∠BPC，∠BPC+∠PBC=90°，∠AMB+∠ABM=90°，∴∠ABM=∠PBC，∵PQ⊥AB，PC⊥BC∴PQ=PC(角平分线的性质)，∴PC=AN，∵AM2=AN2+MN2，∴AM2=(AP-NP)2+MN2，又∵NP=2，AQ=MN=4，∴AM2=(AM-2)2+16，∴AM=5，∴AP=5，AN=3=QP=PC，∴AC=8，∵QP=PC，BP=BP，∴Rt△BPC≌Rt△BPQ(HL)，∴BC=BQ，在Rt△ABC中，AB2=BC2+AC2，∴(4+BC)2=BC2+64，∴BC=6．故答案为：6；②解：如图，

34.互动学习课堂上，某小组同学对一个课题展开了探究．小亮：已知，如图①，在△ABC中，点D是△ABC内一点，连接BD，CD，试探究∠BDC与∠A、∠1、∠2之间的关系．小红：可以用三角形内角和定理去解决．小明：用外角的相关结论也能解决．(1)请你在横线上补全小红的探究过程：∵∠BDC+∠DBC+∠BCD=180°____________________)∴∠BDC=180°-∠DBC-∠BCD(等式性质)三角形内角和定理∵∠A+∠1+____+∠DBC+∠BCD=180°，∴∠A+∠1+∠2=180°-______-∠BCD．∴∠BDC=∠A+∠1+∠2．(__________)(2)请你按照小明的思路完成探究过程．(3)利用探究的结果填空．如图②，∠BDC=125°，∠B=∠C=25°，则∠A=_____．【解析】解：(1)∵∠BDC+∠DBC+∠BCD=180°，(三角形内角和定理)∴∠BDC=180°-∠DBC-∠BCD，(等式性质)∵∠A+∠1+∠2+∠DBC+∠BCD=180°，∴∠A+∠1+∠2=180°-∠DBC-∠BCD，∠2∠DBC等量代换75°∴∠BDC=∠A+∠1+∠2(等量代换)，故答案为：三角形内角和定理；∠2；∠DBC；等量代换；(2)如图，延长BD交AC于E，由三角形的外角性质可知，∠BEC=∠A+∠1，∠BDC=∠BEC+∠2，∴∠BDC=∠A+∠1+∠2．(3)由(2)可知∠BDC=∠A+∠B+∠C．∵∠BDC=125°，∠B=∠C=25°，∴∠A=∠BDC-∠B-∠C=125°-25°-25°=75°，故答案为：75°．

(-2，0)______【解析】解：(1)∵AC=8，A(6，0)，∴OA=6，OC=2，∴C的坐标为(-2，0)，故答案为：(2，0)．

∴OP=4设P(0，m)∴OP=|m|，∴m=±4，∴P(0，4)或(0，-4)．(3)当M点位于线段CH上时，过M作MN∥x轴，∴BH∥MN∥x轴，∴∠BMN=∠HBM=β，∠NMA=∠MAC=γ，∴α=β+γ．当M位于不在线段CH上时，∵∠CMA=90°-∠MAC=90°-γ，∴α+∠CMA+β=90°，∴γ=α+β，即∠BMA=∠MAC+∠HBM或∠MAC=∠HBM+∠BMA．36.△ABC和△CEF都是等腰直角三角形，其中∠BAC=∠ECF=90°，AB=AC，CE=CF，点G是AC的中点，且B、G、F三点在一条直线上．(1)如图1，点E在线段BC上时，EF交AC与点D，若EF=4，则CD=____；(2)如图2，点E在△ABC内部时，连接AE，求证AE+GF=BG；(3)如图3，点E在△ABC外部时，点P是线段BF上的一点，连接AP，EP，若BG=10，FG=13，△BAG的面积为20，求当AP+EP最小时，AP+EP的值．2_____【解析】(1)解：∵△ABC是等腰直角三角形

_____∵AG=GC，HG=GF，∴四边形AHCF为平行四边形，∴AH=CF，∵CE=CF，∴AH=CE，∵AH∥CF，∴∠HAC=∠ACF，∵∠BAH+∠HAG=90°，∠ACE+∠ACF=90°，∴∠BAH=∠ACE，∵AB=AC，AH=CE，∴△ABH≌△ACE(SAS)，∴BH=AE，∴BG=BH+HG=AE+GF．(3)解：在GF上取点H使GH=BG，连接CH，AH，延长EA交BF于点P′，_____∵AG=GC，BG=GH，∴四边形ABCH为平行四边形，∴CH=AB=AC，∵∠ECH+∠ECA=90°，∠FCH+∠ECH=90°，∵∠ECA=∠FCH，∵CE=CF，∴△ACE≌△HCF(SAS)，

37.如图，在等腰三角形ABC中，底边BC=8cm,腰长为5cm.以BC所在直线为x轴，以BC边上的高所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．(1)直接写出点A，B，C的坐标．(2)一动点P以0.25cm/s的速度沿底边从点B向点C运动(点P不运动到点C)，设点P运动的时间为t(s)．①写出△APC的面积S关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．②当t为何值时，PA与一腰垂直？【解析】解：(1)∵△ABC为等腰三角形，腰长为5cm,BC=8cm,

39.在△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交射线BC于点F．(1)如图①，当AE⊥BC时，求证：DE∥AC．(2)若∠C=2∠B，∠BAD=x°(0＜x＜60)．①如图②，当DE⊥BC时，x的值为_____．②当△DEF是等腰三角形时，直接写出x的值．________15°【解析】(1)证明：∵∠BAC=90°，AE⊥BC，∴∠CAF+∠BAF=90°，∠B+∠BAF=90°，∴∠CAF=∠B，由翻折可知，∠B=∠E，∴∠CAF=∠E，∴AC∥DE；(2)解：①∵∠C=2∠B，∠C+∠B=90°，∴∠C=60°，∠B=30°，∵DE⊥BC，∠E=∠B=30°，∴∠BFE=60°，∵∠BFE=∠B+∠BAF，

40.对于平面内的∠P和∠Q，若存在一个常数k＞0，使得∠P+k∠Q=360°，则称∠Q为∠P的k系补周角．例如∠P=120°，∠Q=80°，显然∠P+3∠Q=360°，所以∠Q为∠P的3系补周角．(1)若∠P=100°，∠P的k系补周角为65°，则k的值为____；(2)在△ABC中，已知∠A=60°．①若∠B为∠A的6系补周角，求∠C的度数；②若∠B为∠A的m系补周角，∠C为∠A的n系补周角，且n=3m.判断△ABC的形状，并说明理由．【解析】解：(1)∵∠P=100°，∠P的k系补周角为65°，∴100°+65°k=360°，4∴k=4，故答案为：4；(2)①∵∠B为∠A的6系补周角，∴∠A+6∠B=360°，∵∠A=60°，∴∠B=50°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=70°；②△ABC是直角三角形，理由如下：∵∠B为∠A的m系补周角，∠C为∠A的n系补周角，∴∠A+m∠B=360°，∠A+n∠C=360°，∴m∠B=n∠C，∵n=3m.∴m∠B=3m∠C，∵m＞0，∴∠B=3∠C，∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=60°，∴∠B=90°，∠C=30°，∴△ABC是直角三角形．41.如图1，C，O，B三点在同一条直线上，点A在线段OC上，点D在线段OE上，且OA=OD，AC=DE，连接CD，AE．(1)求证：AE=CD；(2)写出∠1，∠2和∠C三者间的数量关系，并说明理由；(3)如图2，OC，OE两根长度相等的木棍固定在点O处，∠2=90°．点A在木棍OC上，点D在木棍OE上，AE与CD是两根皮筋，皮筋的端点C，E固定，改变皮筋端点A，D的位置，始终保持OA=OD，且皮筋处于绷直状态，若∠1增加了3°，则∠CFE_____(减少填“增加”或“减少”)____度．

6(2)解：∠2=∠1+∠C，理由：∵△AOE≌△DOC，∴∠C=∠E，∵∠2=∠1+∠E，∴∠2=∠1+∠C；(3)解：∵△AOE≌△DOC，∴∠1=∠CDO，∴若∠1增加了3°，则∠CDO也增加3°，∵∠2=90°，∴∠COD=180°-∠2=90°，∵∠1+∠COD+∠CDO+∠AFD=360°，∴若∠1增加了3°，∠CDO也增加3°，则∠AFD会减少6°，∵∠AFD=∠CFE，∴若∠1增加了3°，则∠CFE会减少6°，故答案为：减少；6．42.[旧知重温]课本第64页作业题第2题：如图1，AD平分△ABC的外角∠EAC，AD∥BC，求证：△ABC是等腰三角形．证明：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠C，∠EAD=∠B．∵AD平分∠EAC，∴∠DAC=∠EAD，∴∠B=∠C，∴AB=AC，即△ABC为等腰三角形．[拓展知新]如图2，AD平分△ABC的外角∠EAC，AF平分∠BAC交BC于点F，连结DF交AC于点H，已知DF∥AB，求证：H为DF中点．【解析】证明：∵AF平分∠BAC，∴∠BAF=∠CAF，∵AB∥DF，∴∠BAF=∠AFH，∴∠CAF=∠AFH，∴HA=HF，同理HA=HD，∴HD=HF，即H为DF中点．

在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即2AC2=AB2，∴AE2+AD2=BD2+AD2=2AC2；(2)解：如图，过点E作EH⊥AC于H，EN⊥BC于N，__又∵∠ACB=90°，∴四边形CNEH是矩形，∴EH=CN，∵∠ACB=90°，CA=CB，

44.综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动．在△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，将△ABC沿AD翻折后得到△AED，边AE和边AC重合时结束，边AE交边BC于点F．(1)如图1，当AE上BC时，求证：DE∥AC．________(2)若∠C=2∠B，则∠C=____°，∠B=____°．(6030此结论在下面计算过程中可直接用．)①如图2，当DE⊥BC时，求∠BAD的度数．②若折叠过程中，△DEF中有两个角相等，请直接写出此时∠BAD的度数．【解析】(1)证明：∵∠BAC=90°，AE⊥BC，∴∠B+∠C=90°，∠CAF+∠C=90°，∴∠B=∠CAF，由翻折可得：∠B=∠E，∴∠CAF=∠E，∴AC∥DE．(2)解：∵∠BAC=90°，∴∠C+∠B=90°，∵∠C=2∠B，∴3∠B=90°，∴∠B=30°，∴∠C=60°，故答案为：60，30．①∵DE⊥BC，∠E=∠B=30°，∴∠DFE=60°，∵∠DFE=∠B+∠BAF，∴∠BAF=∠DFE-∠B=60°-30°=30°，

PAB是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标．

点P的坐标为(-8，0)或(8，0)，∵B(-8，0)，∴点P的坐标为(8，0)，若AB与BP为腰，则AB=BP∴x2+82=100，解得x1=6，x2=-6，点P的坐标为(-6，0)或(6，0)，综上所述，点P的坐标为(8，0)或(6，0)或(-6，0)46.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，作直线AP，使得45°＜∠PAC＜90°．过点B作BD⊥AP于D，在DA的延长线上取点E，使DE=BD．连接BE，CE．(1)依题意补全图形；(2)若∠ABD=α，求∠CBE(用含α的式子表示)；(3)用等式表示线段AE，CE，DE之间的数量关系，并证明．【解析】解：(1)依题意补全图形如下：___(2)∵BD⊥AP于D，∴∠BDE=90°，∵BD=DE，∴∠DBE=∠DEB=45°，∵∠ABD=α，∴∠ABE=∠DBE-∠ABD=45°-α．∵∠ABC=90°，∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=45°+α；(3)AE+CE=2DE．证明：如图，在AD延长线上取点F，使DF=AD，连接BF，___∵BD⊥AP，AD=DF，∴BA=BF．∴∠FBD=∠ABD=α，∵∠DBE=45°，∴∠EBF=∠DBE+∠DBF=45°+α，∴∠EBF=∠CBE，∵AB=BC，∴BF=BC，∵BE=BE，∴△BEF≌△BEC(SAS)，∴FE=CE，∵AE=DE-AD，CE=FE=DE+DF，AD=DF，∴AE+CE=2DE．47.在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P的横纵坐标的绝对值之和等于点Q的横纵坐标的绝对值之和，则称P，Q两点为“等和点”．下图中的P，Q两点即为“等和点”．___(1)已知点A的坐标为(-2，4)，①在点S(0，2)，T(1，5)，W(2，-4)中，与点A为“等和点”的是_____(T，W只填字母)；②若点B在第一象限的角平分线上，且A，B两点为“等和点”，则点B的坐标为________；(2)已知点C的坐标为(3，0)，点D的坐标为(0，-3)，连接CD，点M为线段CD上一点，过点N(n,0)作x轴的垂线l,若垂线l上存在点M的“等和点”，求n的取值范围．(3，3)___【解析】解：(1)①∵点A的坐标为(-2，4)，∴|-2|+|4|=6，在点S(0，2)，T(1，5)，W(2，-4)中，|0|+|2|=2，|1|+|5|=6，|2|+|-4|=6，∴T、W为点A的“等和点”，故答案为：T，W；②∵点B在第一象限的角平分线上，A，B两点为“等和点”，设B(b,b)，∴b+b=6，∴b=3，∴B(3，3)，故答案为：(3，3)；(2)设M(x,y)，过点M作ME⊥x轴于点E，___则|x|=OE，|y|=ME，∵OC=|3|=3，OD=|-3|=3，∴OC=OD．∵∠COD=90°，∴∠OCD=∠ODC=45°，∴ME=EC，∴|x|+|y|=OE+ME=OE+EC=OC=3．∴点M的“等和点”满足横纵坐标的绝对值之和为3．∴-3≤n≤3．

_________

∵∠DAC=∠DEC=90°，∴A，D，C，E四点共圆，∴∠EAC=∠EDC，∵△DEC为等腰直角三角形，∴∠EDC=45°，∴∠EAC=45°．(3)过点D作DN⊥BC于点N，PM⊥CD于点M，连接PG，____∵点P到直线CD的距离等于线段GE的长度，∴PM=EG，∵∠DCE=∠ACB=45°，∴∠ACE=∠BCD，∵∠E=∠PMC=90°，∴△CEG≌△CMP(AAS)，∴CP=CG，∴∠CGP=∠CPG，又∵∠CGD=∠CPD，∴∠DGP=∠DPG，∴DG=DP，∴△CGD≌△CPD(SSS)，

49.有一根直尺短边长4cm,长边长10cm,还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长为16cm,如图，将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合．将直尺沿射线AB方向平移，设平移的长度为xcm,且直尺和三角形纸板重叠部分的面积为Scm2．(1)当直角顶点C落在直尺的长边上时，x=______cm.(2)当0＜x＜12时，求S与x之间的函数关系式．(3)是否存在一个位置，使重叠部分面积为28cm2？若存在直接写出x的值；若不存在说明理由．4或8

(3)当x=4时，S=24cm2，所以当S=28cm2时，x必然大于4，即-x2+12x-8=28，解得x1=x2=6，所以当x=6cm时，阴影部分面积为28cm2．50.在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，连接BE，CD．_____(1)如图1，若α=90°，点E在△ABC内部，且∠CAE=30°．①CD与BE有怎样的数量关系？请说明理由；②延长BE，与AC，CD分别交于点P，F，求证∠BFC=90°；(2)如图2，若α=100°，点E在△ABC外部，BE，CD交于点M．①(1)中①的结论是否仍然成立？请说明理由；②直接写出∠BMD的度数．【解析】解：(1)①CD=BE，理由如下：∵∠BAC=∠DAE=α，∴∠BAC-∠CAE=∠DAE-∠CAE，即∠DAC=∠EAB，又∵AD=AE，AC=AB，∴△DAC≌△EAB(SAS)，∴CD=BE；②∵△DAC≌△EAB，∴∠DCA=∠EBA，∵∠CPF=∠APB，∠CPF+∠CFP+∠FCP=∠APB+∠BAP+∠ABP=180°，∴∠CFP=∠BAP=90°，即∠BFC=90°；(2)①(1)①的结论仍然成立，理由如下：∵∠BAC=∠DAE=α，∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，即∠DAC=∠EAB，又∵AD=AE，AC=AB，∴△DAC≌△EAB(SAS)，∴CD=BE；②如图所示，设AE，CD交于N，∵△DAC≌△EAB，∴∠ADC=∠AEB，∵∠ENM=∠DNA，∠ENM+∠EMN+∠NEM=∠DNA+∠DAN+∠ADN=180°，∴∠EMN=∠DAN=100°，∴∠BMD=180°-∠EMN=80°．___51.已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC，作FA⊥AB于点A，且AF=BD，连结DC、DF．(1)自主探究：如图1，当点D在线段AB上，点F在点A右侧时，DF与DC的数量关系为________，位置关系为________；(2)思考拓展：如图2，当点D在线段AB的延长线上，点F在点A的左侧时，(1)中的结论还成立吗？请说明理由；(3)能力提升：当点D在线段BA的延长线上，点F在点A的____侧时，(1)中的两个结论依然成立，若此时BC=2，AB=1，则AF的长度为____．DF=DCDF⊥DC左3_______

∴△FAD≌△DBC(SAS)，∴DF=DC，∠FDA=∠DCB，∵∠BDC+∠DCB=90°，∴∠BDC+∠FDA=90°，∴∠CDF=180°-90°=90°，∴DF⊥DC，故答案为：DF=DC，DF⊥DC；(2)(1)中的结论还成立，理由如下：∵∠ABC=90°，∴∠DBC=180°-90°=90°，同(1)得：△FAD≌△DBC(SAS)，∴DF=DC，∠FDA=∠DCB，∵∠BDC+∠DCB=90°，∴∠BDC+∠FDA=90°，即∠CDF=90°，∴DF⊥DC；(3)如图3，当点D在线段BA的延长线上，点F在点A的左侧时，(1)中的两个结论依然成立，理由如下：____同(1)得：△FAD≌△DBC(SAS)，∴DF=DC，AF=BD，∠FDA=∠DCB，∵∠BDC+∠DCB=90°，∴∠BDC+∠FDA=90°，即∠CDF=90°，∴DF⊥DC，∵AD=BC=2，AB=1，∴BD=AD+AB=2+1=3，∴AF=3，故答案为：左，3．52.综合与实践：数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究线段之间的关系．问题情境：已知，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是直线BC上的一个动点，连接AD，在直线AD的右侧作∠DAE=90°，且AE=AD，连接DE，CE．实践探究：(1)如图1是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点D在线段BC上，请直接写出线段BD与CE的数量关系与位置关系：________，________；(2)如图2是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点D在线段BC的延长线上，请判断(1)中的结论是否成立，并说明理由；拓展应用：(3)“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，BD=CEBD⊥CE在点D运动的过程中，如果BC=5，CE=2，请直接写出线段CD的长．_______【解析】解：(1)∵∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，∴∠BAD=∠CAE，∠B=∠ACB=45°，在△ABD和△ACE中

由(1)证明可知：△ABD≌△ACE，∴BD=CE，∴CD=BC-BD=5-2=3，②当点D在CB延长线上时，如图所示：____由(2)证明可知：△ABD≌△ACE，∴BD=CE，∴CD=BC+BD=5+2=7，综上所述，CD=3或7．53.如图，在等边△ABC中，AB=18，点P从点A出发沿AB边向点B以每秒2个单位的速度移动，点Q从点C出发沿CA边向点A以每秒4个单位的速度移动．P，Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒．(1)用含t的代数式表示：AP=____，AQ=________；(2)当点Q到达AC中点时，判断PQ与AB的位置关系，并请说明理由；(3)在点P，Q的运动过程中，是否存在t,使得△APC与△ABQ全等？如果能，请求出t的值；如果不能，请说明理由；2t18-4t(4)若P、Q两点分别从A、C两点同时出发，并且都按逆时针方向沿△ABC的三边运动，请问经过几秒点P与点Q第一次相遇？并说明相遇的位置．【解析】(1)解：在等边△ABC中，AB=18，∴AB=BC=AC=18，∵点P从点A出发沿AB边向点B以每秒2个单位的速度移动，点Q从点C出发沿CA边向点A以每秒4个单位的速度移动，P，Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒，∴AP=2t,CQ=4t,∴AQ=AC-CQ=18-4t,

___(4)∵点Q的速度大于点P的速度，∴当点Q比点P多运动AC=18个单位时，两点第一次相遇，即4t=2t+18，∴t=9，∵4t=36=2×9+18，∴点P、Q在点B处相遇，即经过9秒点P与点Q第一次在点B处相遇．

______【解析】(1)解：∵AE=DE，∠AED=90°，∴∠ADE=45°，∴∠EDF=180°-∠ADE=135°；(2)证明：延长EF至M，使FM=EF，连接CM，__由【发现】可知ED=CM，EN∥CM，∵AE=DE，∠AED=90°，∴∠EAD=45°，CM=AE，∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠BAC=45°，∴∠BAE=90°，∴BA∥DE，∴BA∥CM，∴∠BCM=∠ABC=90°，∵AB=BC，∴△ABE≌△CBM(SAS)，∴BE=BM，∠ABE=∠CBM，∴∠EBM=∠ABC=90°，即△BEM是等腰直角三角形，∵F为EM的中点，

∴CD=AC-AD=8，∵F为CD的中点，∴CF=4，设FG=x,则AG=8-x,∴(8-x)2+42=x2，∴x=5，∴FG=5；如图③，当点G在CA的延长线上时，CD=AC+AD=12+4=16，∴CF=8，AF=4，___由(2)可知∠EBF=45°，同理可知FG2=AG2+CF2，设AG=x,∴(12+x-8)2=x2+82，∴x=6，∴AG=6，∴FG=6+4=10．综上所述，FG的长为5或10．55.规定概念：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．理解概念：(1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”．概念应用：(2)如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°．求证：CD为△ABC的等角分割线．【解析】(1)解：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∠BCD+∠ACD=90°，∵CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠BCD+∠B=90°，∴∠ACD=∠B，∠BCD=∠A，在△ACD和△ABC中，∠A=∠A，∠ACD=∠B，∠ADC=∠ACB=90°，∴△ACD和△ABC是互为“等角三角形”；在△ACD和△BCD中，∠A=∠BCD，∠ACD=∠B，∠ADC=∠BCD=90°，∴△ACD和△BCD是互为“等角三角形”；(2)证明：在△ABC中，∠A=40°，∠B=60°，则∠ACB=180°-40°-60°=80°，

∴CD为△ABC的等角分割线．56.如图