2020-2021学年宜春市高安中学高一年级上册期末数学试卷(文科)(含解析)

2020-2021学年宜春市高安中学高一上学期期末数学试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60・0分）

1.设集合4={%|-3<%<4],5={%|-2<%<5},则4U8=()

A.{x|-2<x<4}B.{%|-3<%<5]

C.{x|—3<x<-2}D.{x|4<%<5]

2.将函数/（%）=VSsinxcosx+cos?%-g的图象向左平移泠单位得到函数g（x）的图象，则函数

9。）是（）

A.周期为兀的奇函数B.周期为兀的偶函数

C.周期为2兀的奇函数D.周期为27r的偶函数

3.函数7•（%）=2%+?的定义域为（）

A.[-2,2]B.[-2,0)U(0,2]

C.(-co,-2]U[2,+oo)D.(-2,0)U(0,2)

4.己知角a的终边经过点P（l,-百）,则cosa等于（）

V3

ABcD.

-I-T-42

sinacosa

已知向量五=(4sina,1—COSQ),b=(1,-2)，若五.石=一2,则=()

2cos2a-sin2a

A.1B.-1c*D-

6.若扇形的弧长是8c/n,面积是8c/n2,则扇形的圆心角的弧度数为（）

A.1B.2C.7TD.4

7.点G为△4BC的重心，设耘=4,GC=则四=（）

A.|五一/B.坦+转C.b-2aD.2a+b

8.如果将函数y=g（x）图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,再向左平移m个单位长度，得到函

数〃乃=5也（：》+》的图象，则y=g（x）图象的一条对称轴的直线方程为（）

.IT

A.x=-B.%*C.x=；D.x=2n

9.cosl05°cos450+sin450si/il05°的值()

A-；B*C-TDT

10.关于哥函数y=；4下列说法正确在是()

A.偶函数且在定义域内是增函数

B.非奇非偶函数且在定义域内是减函数

C.奇函数且在定义域内是增函数

D.非奇非偶函数且在定义域内是增函数

11.函数/(X)的定义域为实数R，/(x)=-f(2)X-1--1-x<0对任意的X6R都有f(x+2)=

(,log2(x+1),0<x<3.

f(x-2).若在区间［—5,3］上函数g(x)=f(x)—mx+m恰好有三个不同的零点，则实数m的取值

范围是()

A.W)B.W)C.D.

12.如图，48是圆。的直径，C、。是圆。上的点，4CB4=60°,/.ABD=45°,

CD=xOA+yBC^则%+y=()

A"

3

D.-V3

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知向量沅=(百％1),万=(2g,2).若记〃7则尤=.

14.对一切正整数力不等式an+2a<n+1恒成立，则实数a的范围是.

15.已知函数〃乃=保］：；1,若函数y=/(x)-a%恰有一个零点，则实数a的取值范围是

16.命题“若产—3x+2力0,则x羊2”的逆否命题为.

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.过点p(2,l)作直线［与x轴和y轴的正半轴分别交于4、B两点，求

(1)△40B面积的最小值及此时直线，的方程;

(2)求直线2在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线2的方程;

(3)求E4PH的最小值及此时直线，的方程。

18.记所有非零向量构成的集合为V,对于乙b&V，定义U0,B)=|xe-x•元=x•另|

(1)请你任意写出两个平面向量落b，并写出集合V0，E)中的三个元素；

(2)请根据你在(1)中写出的三个元素，猜想集合V01)中元素的关系，并试着给出证明；

⑶若U(五是)=其中方主阳求证：一定存在实数及，左，且%+%=1，使得Z%乙

19.如图，。是直角AABC斜边BC上一点，AB

乙ABC=

(1)证明sina+cos2p=0；

(2)若4c=0DC,求6的值.

20.如图，在直四棱柱48CD—4B1G5中，底面四边形4BCD是直角

梯形，其中481AD,AB=BC=1且4。==2.

(1)求证：直线GD1平面ACDi；

(2)试求三棱锥&-AC/的体积.

21.已知三个互不相同的平面向量|初=|3|=©=1，五与1夹角为60。，石与了夹角为60。,

(1)求证：(a-b)1c;

(2)\ka+b+c\>V6-求k的范围.

22.已知某函数g(x)=(Hi?-2)xm(meR)在(o,+8)为减函数，已知/'(x)是对数函数且/'(-m+

1)+/(-771-1)=i.

(1)求g(x),/"(X)的解析式；

(2)若实数，满足/(2t-1)</(5-t),求实数t的取值范围.

参考答案及解析

1.答案：B

解析：解：A={x|-3<x<4},B={x|-2<x<5]；

[AUB={x[-3<x<5}.

故选：B.

进行并集的运算即可.

考查描述法的定义，以及并集的运算.

2.答案：B

解析：

本题考查三角恒等变换，三角函数的图象与性质、图象变换，属于中等题.

由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f(x)=sin(2x+§,由平移变换可得g(x)

cos2x,由三角函数的图象与性质可得函数g(x)是周期为兀的偶函数.

解：=V3sinxcosx+cos2x—|

V31

=—sin2x+-cos2x

22

=sin(2x+-),

6

nn

:•g«)=sin[2(x+-)+-]

7T

=sin(2x+—)

=cos2x,

...「=§=兀，即函数g(%)是周期为兀的偶函数.

故选反

3.答案：B

解析：解：要使/(%)有意义,则：[”.NO；

1%H0

解得一24XW2,且x于0；

・••/。)的定义域为：[-2,0)U(0,2].

故选：B.

可看出，要使得函数/(x)有意义，则需满足匕工不？。，解出x的范围即可.

考查函数定义域的概念及求法，指数函数的定义域.

4.答案：A

11

解析：解：,角a的终边经过点则cosa=q^=a，

故选:A.

由题意利用任意角的三角函数的定义，求得结果.

本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题.

5.答案：C

解析：解：由五•方=-2可得：4-sina+2cosa-2=-2,

•••cosa=-2sina,即tana=—

sinacosa_tana_2

2cos2a-sin2a2-tan2a7

故选：c.

根据数量积公式计算tana,再利用三角恒等变换计算求值.

本题考查平面向量的数量积，三角恒等变换，属于基础题.

6.答案：D

解析：解：•••设扇形的弧长为E,半径为r,面积为S,圆心角为a,

可得扇形的弧长1=8,面积为S=“r=8,

・•・r=2,

i.

.・•a=-=4.

r

故选：D.

由已知利用扇形的面积公式可求其半径，进而根据扇形的弧长公式即可求解.

本题主要考查了扇形的面积公式及弧长公式的应用，属于基础题.

7.答案：C

解析：解：由题意知，

EB+BG=EG，

即海+阳=萍，

故荏=就-2前=»-2方，

故选：C.

由题意作图辅助，从而利用线性运算求解即可.

本题考查了学生的作图能力及数形结合的思想应用.

8.答案:A

解析：解：•••将函数y=9。)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向左平移与个单位长度，得到

函数/'(x)=sin(|x+》的图象，

即将=sinGx+》的图象上所有点向右平移弓个单位长度，再把所有点的横坐标变为原来的;倍,

ZO-5Z

可得g(x)=sin(x-7O+7O)=sinx的图象，

则y=g。)图象的对称轴的直线方程为x=]+k兀，kez,

故选：力.

由题意利用函数y=4sin(3x+0)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再利用正弦函数的图象的

对称性，得出结论.

本题主要考查函数y=4sin(3x+(p)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题.

9.答案：B

解析：解：cosl050cos45°+sin45°sinl05°

=cos(105°-45°)

=cos60°

_1

-2'

故选：B.

由已知利用两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值即可计算得解.

本题主要考查了两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于

基础题.

10.答案:D

解析：解：基函数y=£(xN0)，定义域不关于原点对称，不是偶函数，4错误；

在定义域内是增函数，.方错误；

是非奇非偶的函数，，C错误；

是非奇非偶函数且在定义域内是增函数，.•.£)正确.

故选：D.

根据基函数y=£(x20),是定义域内的增函数，且非奇非偶，对每一个选项进行判断即可.

本题考查了某函数的图象与性质的应用问题，解题时应熟记常见基本初等函数的图象与性质是什么.

11.答案：B

解析：解：••・任意的X6R都

有f(x+2)=/Q-2).

••・函数f(x)的周期是4,

•••在区间［-5,3］上函数

g(x)=/(x)—mx+?n恰

好有三个不同的零点，

即函数/(x)与函数h(x)=

mx-m在区间［一5,3］上有

三个不同的交点，

在同一直角坐标系上画出两个函数的图象:

得到辞4机<

-1—1—5—1

即一三m<

故选：B.

由函数的性质得到周期性，由函数零点转换为两图象相交，由数形结合得到m的范围.

本题考查函数的性质，函数零点转换，数形结合.

12.答案：A

解析：解：如图，过C作CE10B于E,因为是圆。的直径，C、。是圆。上

的点,“B力=6。。所以E为。B的中点,连结。D,则方叠扬

―,—>—>—►1—»

：.CE=CB+BE=-BC^-OA

2

__>2__>

.•.CD=C0^0D=0A-~BC^—CE

V3

21

=0A-BC+—(-BC=-(1++(—+1)04

V32

•・•CD=x0^4+y5C

21V3

.•-x+y=-(l+-)+(-+l)=-T

故选A.

利用向量的线性运算，可得而=-（1+务前+G+1）双结合条件，即可确定结论.

本题考查向量在几何中的应用，考查分析问题解决问题的能力，利用已知向量表示所求向量是解题

的难点.

13.答案:1

解析：解：m=（V3x,1）.p=（2A/3,2）.

由沆〃万，得：2xbx-lx2%=0，

解得：x=1.

故答案为：1.

直接由向量共线的坐标表示列式求得x的值.

平行问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一

起，要特别注意垂直与平行的区别.若五=（。1列2）,石=（瓦也）,则五13o%a2+瓦尻=0,

a//b<=>a1b2—a2b1=0>是基础题.

14.答案：（―8,|）

解析：解：由不等式cm+2a<n+l恒成立，得

a<窸=1一2恒成立，只需a<1-2的最小值，而对一切正整数n,（1-

故a<

故答案为：（一8,|）.

分离变量，利用函数的最值求解即可.

本题考查函数恒成立的应用，分离变量的方法，函数的最值的求法，考查计算能力.

15.答案：aS0或a21

解析：

本题考查分段函数及函数零点问题，属于基础题.

根据题意画出函数的图象，然后数形结合即可得到结果.

解：函数fCOnlELrZ/ql,图象如图所示：

12,x>1

函数y=/(%)-ax恰有一个零点，即函数y=/(%)与、=ax恰有一个交点,

由图可得a40时，函数y=/(无)—aX恰有一个零点，

将(1,1)代入y=ax得a=1,

・•・a>1时函数y=/(%)与y=a%恰有一个交点，

综上所述实数Q的取值范围是Q<0或a>1.

故答案为Q<。或a>1.

16.答案：若x=2,则％2—3x+2=0

解析：解：•.•命题“若》2一3冗+2。0,则％W2”，

・,•其逆否命题为：若％=2,则%2一3%+2=0；

故答案为：若％=2,则/—3%+2=0.

已知命题“若%2一3%+2W0,则％W2”可以根据逆否命题的定义进行求解；

此题主要考查否命题和逆命题的定义，四种命题间的逆否关系是高考常考的内容，注意原命题与其

逆否命题之间的关系.

17.答案：解：(1)设直线［的方程为y—l=k(%—2).

2发一1

令y=0,得％=—...;令％=0,得y=1-2fc.

k

2上一1

・・・4、8两点坐标分别为4(二——，0),8(0,1-2k).

k

A.B是l与x轴、y轴正半轴的交点,

k<0,

2k-1八

—>0"

\-2k>0.

S-BC=--\OA\-OB\=---(l-2/c)=I(4-l-4k).

22k2k

由一工>0,-4k>0,有一工一4九22

・（-4左）=4.

当且仅当一9一工时，-1-4k取最小值4.

-4k,即k

2k

•••S-OB的最小值为°X(4+4)=4.

2

此时[的方程是y-1=-4(x-2),即x+2y-4=0.

2

(2)7/1(^11,0),8(0,1-2k)(k<0),

k

2k1Ii

・,•截品巨之和为-----+1—2k=3—2k.——=3+(—2k)+(——)N3+22镣(——)=3+2•

kkk\k

此时—2/c=即/c=一走.故截距之和的最小值为3+2J5.

k27

此时1的方程为y-1=一#(x-2).即x-72y-2+72=0.

(3)vA(2--,0),8(0,1-2/c)(k<0),

k

■■\PA\'\PB\=,^44.4^2—2]――+(—fc)J>4.

当且仅当一卜=一工，即k=-1时上式等号成立.

k

故|P*,|PB|的最小值为4.此时直线，的方程为x+y-3=0.

解析：本题的关键是何时取得最值.可以先设出斜率，分别求出|0川，|OB|,然后再由不等式、判别

式或三角变换等有关方法来求.

(1)先设直线/的方程为y-1=/c(x-2)(fc>0)

2^-1111

令y=0,得％=----->0;令％=0,得y=1-2k>0.可得到S△4BC=一•|。川•OB|=—(4一一

上22k

-4k).

由一1>o,-4k>0,然后利用基本不等式求解最小值并求得当且仅当-4=

-4k,即k时,

kk2

-1-4k取最小值4,并求得直线方程.

k

2上一1

(2)・.・力(-----,0),5(0,1-2/c)(fc<0),

k

•・.截距之和为S北一」1+1-2k(k<0),则可利用基本不等式求得最小值3+2五.

此时一2k=-4，即卜=一42即可求得直线方程.

k2

⑶「4(2」，0),F(0,l-2/c)(fc<0),

k

\PA\-\PB\=jj+i•石石m化简整理可利用基本不等式求得最小值上

当且仅当-k=即k=-1时上式等号成立，即可求得直线方程.

k

18.答案：解:(1)比如苍=(1,2),b=(3,4)>设3?=(x,y),

由*方=*方，可得x+2y=3x+4y,

即为久+y=0,

则集合V0，E)中的三个元素为(1,一1)，(2,-2),(3,-3)；

(2)由(1)可得这些向量共线.

理由：设三=(s,t),a-(a,b),b—(c,d)>

由*苍=*9，可得as+bt=cs+dt,

即有s="t,

a-c

即H=(—t,t),

xa-c'

故集合中元素的关系为共线；

(3)证明：设三=(s,t),a=(a,b),b=(c,d)>

y=(u,v),c=(e,f),

若U0,石)=V(a,c)>

即有as+bt=cs+dt,au+bv=ue+fv,

解得a==£C+乐飞+濡二丁,

可令d=f，可得及=言，

%=^7，

sv-ut

则一定存在实数％,A2,且;11+%=1，使得五加+%乙

解析：(1)比如五=(1,2),3=(3,4)，设m=(x,y),运用数量积的坐标表示，即可得到所求元素：

(2)由(1)可得这些向量共线.理由：设M=(s,t),方=(a,b),方=(c,d)，运用数量积的坐标表示,

以及共线定理即可得到；

(3)设宣=(s,t),a=(a,b),b=(c,d)>y=(u,v),c=(e,/),运用新定义和数量积的坐标表示,

解方程可得a,即可得证.

本题考查新定义的理解和运用，以及平面向量的数量积的坐标表示，考查化简整理运算和推理能力,

属于中档题.

19.答案：解：(l)・.・a=^—4840=5-(兀-2夕)=2/7一]

・•・sina=sin(2/?一])=~cos2p,

BfJsina+cos2s=0

(2)△ADC中由正弦定理熬=合即黑=焉

、/sinasin(7r—p)sinasinp

则si川？=6sina

由(1)得sin/?=—y]3cos2p=—V3(l—2sin2/?)

即2百sin?6-sin/?-V3=0

解得sin。=苧或=—日

nV3TI

■-0<P<-sinp=—•,•J?=-

解析：（1）利用诱导公式可求得a=2£-壬进而利用诱导公式求得sina=-cos20,整理得sina+

cos2j3=0.原式得证.

（2）根据正弦定理可求得s讥夕=6sina进而利用（1）中的结论求得s讥夕-73（1-2$讥2。）代入

sin/3-gsina即可求得sin/?,

进而求得0的值.

本题主要考查了诱导公式化简求值，正弦定理.考查了学生综合分析问题和基本的运算能力.

20.答案：解：（1）证明：在梯形力BCD内过C点作CE14。交4。于点E,

则由底面四边形ABCD是直角梯形，ABLAD,AB=BC=1,

以及AD=y/2AA±=2可得：CE=1,且AC=CD=y/2=AA1=CQ,AC1CD.

又由题意知CCil^ABCD,从而4C1CC「而CC】QCD=C,

故AC1CQ

因CD=CG，及已知可得CDDiG是正方形，从而GD1CDX.

因GD，CZ）i，GDIAC,E.ACClCDt=C,

所以GD_1_面/^。1.（6分）

（2）因三棱锥&-4CD1与三棱锥C-AAiA是相同的，故只需求三棱锥。一4必久的体积即可，而

CELAD,

且由441JL面ABCD可得CEJLA4,又因为ADn441=4,

所以有CE1平面40D1&,即CE为三棱锥C一人久久的高.

故％-"W[=1x1-CE=|xixV2x2xl=号.（12分