2021-2022学年江苏省无锡市宜兴外国语学校九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2021-2022学年江苏省无锡市宜兴外国语学校九年级（下）月考

数学试卷（3月份）

一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）

1.卜9|的值是（）

A.9B.-9C.—D.±9

9

2.据报道，人类首张黑洞照片于北京时间2019年4月10日子全球六地同步发布，该黑洞

位于室女座一个巨椭圆星系M87的中心，距离地球5500万光年.其中5500万用科学记

数法表示为（）

A.55X106B.5.5X106C.0.55X108D.5.5X107

3.下列调查方式中适合的是（）

A.要了解一批节能灯的使用寿命，采用普查方式

B.调查你所在班级同学的身高，采用抽样调查方式

C.环保部门调查沱江某段水域的水质情况，采用抽样调查方式

D.调查全市中学生每天的就寝时间，采用普查方式

4.一几何体的三视图如图所示，这个几何体是（)

俯视图主视图左视图

A.四棱锥B.圆锥C.三棱柱D.四棱柱

5.下列说法不一定成立的是（）

A.若a>6,则a+c>6+cB.若a+c>b+c,则a>b

C.若a>b，则ac2〉％。？D.若a>b,则l+a>b-1

6.在音乐比赛中，常采用一“打分类制”,经常采用这样的办法来得到一名选手的最后成

绩：将所有评委的打分组成一组数据，去掉一个最高分和一个最低分，得到一组新的数

据,再计算平均分.假设评委不少于10人，则比较两组数据，一定不会发生变化的是（）

A.平均数B.中位数C.众数D.方差

7.如图，在3X3的网格中，A,8均为格点，以点A为圆心，以4B的长为半径作弧，图

中的点C是该弧与格线的交点，贝Usin/54c的值是（）

2

AB.c.等

-23-4

8.如图，△AOB和△ACD均为正三角形，且顶点8、。均在双曲线>=区(尤>0)上，若

X

)

C.-4D.4

：|x|,y

9.在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点P(x,y),规定"(x,y)=

|yhxy

比如/(-4,-|)=4,/(-2,-3)=3.当/(x,y)=2时，所有满足该条件的点P

组成的图形为()

10.如图，在矩形ABC。中，AB=3,BC=4,尸是对角线AC上的动点，连接。尸，将直线

DP绕点P顺时针旋转使ADAC,且过D作DE±PE,连接CE,则CE最小值

为()

二、填空题（本大题共有8小题，共10空，每题3分，共24分）

11.分解因式：.

12.如果分式笑有意义，那么尤的取值范围是

x-3---------

13.如图，为直径，/BED=40°,则/ACD=度.

D

14.若一个多边形的内角和为1800。，则这个多边形是边形，其对角线条数

是.

15.已知反比例函数＞=上工的图象经过点（2,-3）,则左的值为.

x

16.如图，RtZ\A8C中，ZACB=90°,AC=4,8C=6,点。在BC上，延长8c至点E,

点B重合），点。是夹子转轴位置，OE_LAC于点E,。尸，2。于点ROE=OF=lcm,

AC=BD=6cm,CE=DF,CE：AE=2：3.按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点。

转动.

（1）当E,尸两点的距离最大时，以点A,B,C,。为顶点的四边形的周长是cm.

（2）当夹子的开口最大（即点C与点D重合）时，A,8两点的距离为cm.

18.直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A、B,抛物线>="2+法-3。经过点A,将点2

向右平移5个单位长度，得到点C,若抛物线与线段8c恰有一个公共点，则。的取值范

围是.

三、解答题(本大题共有10小题，共96分)

19.(1)计算：4cos30。+(1-^2)°-V12,

(2)化简：(a+6)2+(a-b)(2a+b).

20.(1)解方程：x2-4x=1；

f4(x+l)<7x+10

21.如图，在□ABC。中，点E、尸分别在边CD、A8上，且满足CE=AE

(1)求证：AADE义ACBF；

(2)连接AC,若AC恰好平分/EAF,试判断四边形AECF为何种特殊的四边形？并说

明理由.

AD

BC

22.某校想了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每周的课外阅

读时间x(单位：小时)进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和

扇形统计图.

根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)补全频数分布直方图；

(2)求扇形统计图中山的值和“E”组对应的圆心角度数；

(3)请估计该校3000名学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数.

质量（人数）

A：0<r<2

B：2<r<4

C:4<r<6

D:6<r<8

E:S<r<10

23.一个不透明的盒子中放有四张分别写有数字1,2,3,4的红色卡片和三张分别写有数

字1,2,3的蓝色卡片，卡片除颜色和数字外完全相同.

（1）从中任意抽取一张卡片，求该卡片上写有数字1的概率；

（2）将3张蓝色卡片取出后放入另外一个不透明的盒子内，然后在两个盒子内各任意抽

取一张卡片，以红色卡片上的数字作为十位数，蓝色卡片上的数字作为个位数组成一个

两位数，求这个两位数大于22的概率.

24.如图，己知点M在直线/外，点N在直线/上，请用无刻度的直尺和圆规完成下列作

图，要求保留作图痕迹，不写作法.

Af-A/.

图①图②

（1）在图①中，以线段为一条对角线作菱形MPNQ,使菱形的边PN落在直线/上；

（2）在图②中，作O。，使O。过点且与直线/相切于点M

25.某企业接到一批防护服生产任务，按要求15天完成，已知这批防护服的出厂价为每件

80元，为按时完成任务，该企业动员放假回家的工人及时返回加班赶制.该企业第x天

生产的防护服数量为y件，y与X之间的关系可以用图中的函数图象来刻画.

（1）直接写出了与x的函数关系式；

（2）由于特殊原因，原材料紧缺，服装的成本前5天为每件50元，从第6天起每件服

装的成本比前一天增加2元，设第尤天创造的利润为卬元，直接利用（1）的结论，求卬

与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元？（利润=出厂

价-成本）

26.如图，在菱形A8CZ）中，已知NBAZ）=120°,对角线8。长为12.

（1）求菱形A2CD的周长；

（2）动点P从点A出发，沿A-8的方向，以每秒1个单位的速度向点B运动；在点P

出发的同时，动点。从点。出发，沿D-C-B的方向，以每秒2个单位的速度向点2

运动.设运动时间为f（s）.

①当PQ恰好被平分时，试求f的值；

②连接A。，试求：在整个运动过程中，当/取怎样的值时，△APQ恰好是一个直角三角

我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形.如图1,一个矩形发生变形后成为一个平行

四边形.设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为a,我们把一上二的值叫

sina

做这个平行四边形的变形度.

（1）若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是150。，则这个平行四边形的变形度

是;

猜想证明：

（2）若矩形的面积为Si,其变形后的平行四边形面积为Si,试猜想Si,之

sina

间的数量关系，并说明理由;

拓展探究：

(3)如图2,在矩形ABC。中，E是边上的一点，且AB2=AE・A。，这个矩形发生

变形后为平行四边形AiBCbDi,Ei为E的对应点，连接SEi,BtDi,若矩形ABC。的面

积为小加(相＞0)，平行四边形AI&CLDI的面积为在(机＞0)，试求N4E由1+/4。由1

的度数.

28.如图，抛物线＞=工2+a+(?的顶点为对称轴是直线x=l,与无轴的交点为A(-3,

4

0)和8,将抛物线y=3x2+6x+c绕点B逆时针方向旋转90°,点Ml、4为点M、A旋

4

转后的对应点，旋转后的抛物线与y轴相交于C,D两点.

(1)写出点2的坐标及求原抛物线的解析式；

(2)求证A,M,A三点在同一直线上；

(3)设点尸是旋转后抛物线上。断之间的一动点，是否存在一点P,使四边形PMiM。

的面积最大？如果存在，请求出点P的坐标及四边形PM\MD的面积；如果不存在，请

说明理由.

参考答案

一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）

1.|-9|的值是（）

A.9B.-9C.—D.±9

9

【分析】利用负数的绝对值等于它的相反数解答即可.

解：|-9|=9.

故选：A.

2.据报道，人类首张黑洞照片于北京时间2019年4月10日子全球六地同步发布，该黑洞

位于室女座一个巨椭圆星系M87的中心，距离地球5500万光年.其中5500万用科学记

数法表示为（）

A.55X106B.5.5X106C.0.55X108D.5.5X107

【分析】科学记数法的表示形式为"X10"的形式，其中n为整数.确定n

的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值210时，〃是正数；当原数的绝对值＜1时，力是负数.

解：5500万用科学记数法表示为5.5X107.

故选：D.

3.下列调查方式中适合的是（）

A.要了解一批节能灯的使用寿命，采用普查方式

B.调查你所在班级同学的身高，采用抽样调查方式

C.环保部门调查沱江某段水域的水质情况，采用抽样调查方式

D.调查全市中学生每天的就寝时间，采用普查方式

【分析】调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题

具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应

选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费

和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查.

解：A、了解一批节能灯的使用寿命，调查过程带有破坏性，只能采取抽样调查，而不能

将整批节能灯全部用于实验；

8、调查你所在班级同学的身高，要求精确、难度相对不大、实验无破坏性，应选择普查

方式；

C、了解环保部门调查沱江某段水域的水质情况，难度比较大，应该选取抽样调查的方式

才合适；

。、调查全市中学生每天的就寝时间，进行一次全面的调查，费大量的人力物力是得不偿

失的，采取抽样调查即可；

故选：C.

4.一几何体的三视图如图所示，这个几何体是（）

俯视图主视图左视图

A.四棱锥B,圆锥C.三棱柱D.四棱柱

【分析】如图所示，根据三视图的知识可使用排除法来解答.

解：根据主视图和左视图都为三角形，俯视图是矩形，可得这个几何体为四棱锥，

故选：A.

5.下列说法不一定成立的是（）

A.若则a+c>b+cB.若q+c>6+c,则。>b

C.若a>b,则ac1>bc1D.若a>b,则l+a>6-1

【分析】根据不等式的性质，可得答案.

解：A、两边都加c不等号的方向不变，故A不符合题意；

2、两边都减c不等号的方向不变，故2不符合题意；

C、c=0时，ac1=bc1,故C符合题意；

D、a>b,贝I]l+a>b+l>6-1,故。不符合题意；

故选：C.

6.在音乐比赛中，常采用一“打分类制”，经常采用这样的办法来得到一名选手的最后成

绩：将所有评委的打分组成一组数据，去掉一个最高分和一个最低分，得到一组新的数

据,再计算平均分.假设评委不少于10人，则比较两组数据，一定不会发生变化的是（）

A.平均数B.中位数C.众数D.方差

【分析】去掉一个最高分和最低分后不会对数据的中间的数产生影响，即中位数.

解：统计每位选手得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，这样做不会对数据的中间

的数产生影响，即中位数.

故选：B.

7.如图，在3X3的网格中，A,8均为格点，以点A为圆心，以A8的长为半径作弧，图

中的点C是该弧与格线的交点，贝Usin/BAC的值是（）

C.遮D.

【分析】如图作C”_LAB于H.在RtZ\ACH中，sin/BAC=2且=2即可解决问题;

AC3

解：如图作于H.

在RtZ\ACH中，sinZBAC=—=—,

AC3

故选：B.

8.如图，△AOB和△ACD均为正三角形，且顶点8、。均在双曲线y='（尤＞0）上，若

X

图中SAOS尸=4,则左的值为（）

A.2愿B.-2^3C.-4D.4

【分析】先根据△AO8和△ACD均为正三角形可知/AOB=/CAZ）=60°,故可得出A。

//OB,所以S》5P=1A0P,故Sz\A0B=&03P=4,过点B作BE_LOA于点£,由反比例函

数系数k的几何意义即可得出结论.

解：如图：•「△AOB和△ACD均为正三角形，

AZAOB=ZCAD=60°,

C.AD//OB,

••S^ABP=S△AOP，

・・SAAO6=SZ^O8P=4,

过点B作BE,04于点E,则S^OBE=SAABE=^S^AOB=2,

•：点B在反比例函数y=K的图象上，

X

S/\OBE=^k,

2

・•・左=4

9.在平面直角坐标系x0y中，对于任意一点尸(x,y),规定：/(羽y)=(；

llybIx|<.|y|

比如/(-4,-|-)=4,f(-2,-3)=3.当/(x,y)=2时，所有满足该条件的点尸

组成的图形为()

【分析】根据/（尤,y）的定义和y）=2可知国=2,|y|W2或|y|=2,|x|<2,然后

分两种情况分别进行讨论即可得到点P组成的图形.

解：\"f（X,y）=2,

.*.|x|=2,|y|W2或|y|=2,\x\<2.

①当I无1=2,|y|W2时，点P满足尤=2,-2WyW2或x=-2,-2WyW2,

在图象上，线段x=2,-2WyW2即为。选项中正方形的右边，线段x=-2,-2WyW2

即为。选项中正方形的左边；

②当|y|=2,|x|<2时，点P满足y=2,-2<x<2,或y=-2,-2<x<2,

在图象上，线段y=2,-2<x<2即为。选项中正方形的上边，线段y=-2,-2<x<2

即为。选项中正方形的下边.

故选：D.

10.如图，在矩形ABC。中，AB=3,BC=4,尸是对角线AC上的动点，连接。尸，将直线

DP绕点尸顺时针旋转使ZDAC,且过D作DE1PE,连接CE,则CE最小值

为（）

【分析】如图，作。于反，连接HE延长HE交于F，作71GLC。于E.证

明△ADPsADHE,推出定值，推出点G在射线H尸上运动，推出当

时，CE的值最小，想办法求出CG即可.

解：如图，作Z）8_LAC于X,连接HE延长HE交C£）于尸，作8G_LCr>于G.

\'DE_LPE,DHLAC,

：.ZDEP=ZDHA,

；/DPE=/DAH,

：.△ADHsAPDE,

...坦/ADH=/PDE,

DPDE

...ZADP=ZHDE,

・•・AADPsADHE,

：.ZDHE=ND4P=定值，

・,•点£在射线”尸上运动，

・••当CEJ_H尸时，CE的值最小，

・・•四边形A8CO是矩形，

ZAZ)C=90°,

：.ZADH+ZHDF=90°,

VZDAH+ZADH=90°,

・•・ZHDF=ZDAH=ZDHF,

:・FD=FH,

9：ZFCH+ZCDH=90°,ZFHC+ZFHD=90°,

ZFHC=/FCH,

：・FH=FC=DF=15,

在Rt^ADC中，VZADC=90°,AD=4,CD=3,

•1•AC=V32+42=5-•瞪，

Av3

•1•C//=7CD2-DH2=P

.“DH・CH36

CD25

■:/CFE=/HFG,ZCEF=ZHGF=90°,CF=HF,

.,.△CEF^AHGF(AAS),

CE的最小值为

25

故选：B.

二、填空题（本大题共有8小题，共10空，每题3分，共24分）

11.分解因式：4ox2-a=a(2x-1)(2尤+1)

【分析】直接提取公因式。，进而利用平方差公式分解因式得出答案.

解：-a

=a(4x2-1)

=a(2x-1)(2x+l).

故答案为：〃(2%-1)(2x+l).

12.如果分式恁有意义，那么x的取值范围是x#3.

x-3------------

【分析】根据分式有意义，分母不等于。列不等式求解即可.

解：由题意得，x-3W0,

解得％W3.

故答案为：xW3.

13.如图，A3为直径，ZBED=40°,则NACD=50度.

【分析】连接0。，由的度数，推出N80。的度数，然后由邻补角的性质即可推

出NAOZ)的度数，最后根据圆周角定理即可推出NAC。的度数.

解：连接O。，

VZBED=40°,

：.ZBOD=SO°,

TAB为直径，

AZAOB=1SO°,

：.ZAO£)=100°,

ZACD=50°.

故答案为50.

14.若一个多边形的内角和为1800。，则这个多边形是十二边形,其对角线条数是

54.

【分析】根据多边形的内角和公式求出边数，然后根据对角线的条数的公式进行计算即

可求解.

解：设多边形的边数是“，则

(n-2)780°=1800°,

解得w=12,

多边形的对角线的条数是：六二)=12：；<?23)=54,

22

故答案为：十二；54.

15.已知反比例函数、=丘1的图象经过点(2,-3),则I的值为-5.

X

【分析】把(2,-3)代入反比例函数>=岂3得上的方程，即可得到人的值.

X

解：•.•反比例函数尸事的图象经过点(2,-3),

x

：.k-1=2X(-3),

解得k=-5,

故答案为-5.

16.如图，Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=4,2C=6,点。在BC上，延长BC至点E,

使CE=^B。，/是人。的中点，连接所，则EF的长是_后_.

【分析】取3。中点G,使。G=G8,连接FG,FC,易证(SAS),即

可得出PG=EF,因为在△AO8中，FG为中位线，即尸G=53.再利用勾股定理求得

AB即可

解：如图，取8。中点G,使。G=G8,连接FG,FC,

A

:点尸为AD中点,

在RtAACD中，CF=DF=AF,

：.NFCD=ZFDC,

：.NECF=ZFDG,

,;CE=LBD,

2

：.DG=CE,

在△FDG和△■FCE中，

'DG=CE

<NFDG=NFCE，

DF=CF

:.AFDGqAFCE(SAS),

：.EF=FG,

在RtZXABC中，ZACB=90",AC=4,BC=6,

由勾股定理得，

42=%2+8。2=J42+62=2值,

在△AD8中，PG为中位线，

-'-FG=-^AB=yfl3>

：・EF=A.

故答案为：-713.

17.图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC,8。（点A与

点8重合），点。是夹子转轴位置，OELAC于点E,。尸，8。于点孔OE=OF=lcm,

AC=BD=6cm,CE=DF,CE-.AE=2：3.按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点。

转动.

（1）当E,尸两点的距离最大时，以点A,B,C,D为顶点的四边形的周长是」

（2）当夹子的开口最大（即点C与点。重合）时，A,8两点的距离为毁cm.

-13一

【分析】（1）当E,P两点的距离最大时，E,O,尸共线，此时四边形ABC。是矩形,

求出矩形的长和宽即可解决问题.

(2)如图3中，连接取交0C于想办法求出所，利用平行线分线段成比例定理即

可解决问题.

解：(1)当E,尸两点的距离最大时，E,O,尸共线，此时四边形ABC。是矩形，

'/OE=OF=1cm,

.,.EF=2cm,

.'.AB=CD=2cm,

此时四边形ABC£)的周长为2+2+6+6=16(cm),

故答案为16.

(2)如图3中，连接■交0C于〃.

*.*OE=OF=1cm,

・・・CO垂直平分线段EF

VCE2+OE2=J(卷)2(cm),

,：—•OE-EC=—­CO'EH,

22

IX—

：.EH=---*=卫(cm),

1313

24

；・EF=2EH=----(cm)

13

U：EF//AB,

,EF_=CE=_2

’下一旗一丁

5

：.AB=^-X24=60(cm)

2l3-l3

故答案为粤.

13

18.直线y=4x+4与X轴、y轴分别交于点A、B,抛物线、="2+汝-3。经过点A,将点2

向右平移5个单位长度，得到点C,若抛物线与线段8c恰有一个公共点，则。的取值范

围是aN』■或a＜-4或a=-1.

-------3-----------3---------------

【分析】根据坐标轴上点的坐标特征可求点B的坐标，根据平移的性质可求点C的坐标,

根据一次函数与无轴交点特征可求点A的坐标，进一步求得抛物线的对称轴，然后结合

图形，分三种情况：①。＞0;②。＜0,③抛物线的顶点在线段BC上；进行讨论即可求

解.

解：直线y=4x+4中，令x=0代入直线y=4x+4得y=4,令y=0代入直线y=4x+4得x

=-1,

.*.A(-1,0),B(0,4),

•・•点5向右平移5个单位长度，得到点C,

：.C(5,4)；

将点A(-1,0)代入抛物线y=ax1+bx-3〃中得0=〃-b-3a,即b=-2a,

•••抛物线的对称轴工=-旦=-字=1;

2a2a

,抛物线y=ax2+6x-3a经过点A(-1,0)且对称轴尤=1,

由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点(3,0),

①。＞0时，如图1,

将x=0代入抛物线得y=-3a,

•••抛物线与线段8C恰有一个公共点,

-3。＜4,

：.a>-―,

3

将x=5代入抛物线得y=12a,

；.12心4,

.>1

••—，

3

・.・〃三>1万;

O

将x=0代入抛物线得y=-3a,

V抛物线与线段8c恰有一个公共点,

-3a>4,

：.a<--

3

则顶点为（1,,如图3,

将点（1,4）代入抛物线得4=4-2〃-3〃,

解得a=-1.

综上所述，或a<-2■或a=-1.

33

故答案为：心］"或a<-暂或a=-1.

oO

三、解答题（本大题共有10小题，共96分）

19.⑴计算：4cos30。+（1-A/2）0-V12,

（2）化简：（a+b）2+（a-b）（2。+6）.

【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答;

（2）先去括号，再合并同类项，即可解答.

解：(1)4cos30°+(1W2)°-V12

=4*与+1-2a

=2a+1-2百

=1；

(2)(〃+。)2+(a-b)(2〃+b)

=〃2+2。/?+浮+2〃2-ab-b1

=3a2+ab.

20.（1）解方程：N-4%=1；

'4(x+l)<7x+10

（2）解不等式组4并写出尤的所有整数解.

【分析】（1）两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得;

（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、

大大小小找不到确定不等式组的解集.

解：⑴•尤2-4X=1,

.,.x2-4x+4—1+4,即(x-2)2=5,

•,-x-2—i,^5，

.,.xi=2+\而，尤2=2-代；

(2)解不等式4(x+1)W7x+10,得：x2-2,

解不等式x-4〈爷，得：x<2,

则不等式组的解集为-2Wx<2,

，不等式组的解集为-2、-1、0、1.

21.如图，在口ABC。中，点E、尸分别在边C。、AB±,且满足CE=AF.

(1)求证：△ADE2CBF；

(2)连接AC,若AC恰好平分NEAR试判断四边形AEC尸为何种特殊的四边形？并说

明理由.

【分析】(1)根据平行四边形的性质可得AO=BC,AB=DC,NB=/D,又CE=AF,

可得。E=8尸，根据“SAS”即可得出△ADEg△CBF；

(2)根据平行四边形的性质可得NOC4=NC48,根据角平分线的定义可得/应1C=N

CAB,进而得出/DCA=NEAC,可得AE=EC,然后证明四边形AECF为平行四边形，

再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形AECF为菱形.

解：(1)证明：在。A8G9中，AD=BC,AB=DC,/B=/D.

:CE^AF,

：.DC-CE=AB-AF,即DE=BF,

:.AADE9ACBF(SAS).

(2)四边形AECP是菱形.

在□ABC。中，AB//DC,

.,.ZDCA^ZCAB,

：AC恰好平分/EAF,

.,.ZEAC^ZCAB,

：.ZDCA=ZEAC,

：.AE^EC.

\'AB//DC,CE=AF,

，四边形AECF为平行四边形，

...四边形AECF为菱形.

22.某校想了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每周的课外阅

读时间X（单位：小时）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和

扇形统计图.

根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）补全频数分布直方图；

（2）求扇形统计图中山的值和“E”组对应的圆心角度数;

（3）请估计该校3000名学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数.

质量（人数）

【分析】（1）根据第二组频数为21,所占百分比为21%,求出数据总数，再用数据总

数减去其余各组频数得到第四组频数，进而补全频数分布直方图；

（2）用第三组频数除以数据总数，再乘以100,得到机的值；先求出“E”组所占百分

比，再乘以360°即可求出对应的圆心角度数；

（3）用3000乘以每周课外阅读时间不小于6小时的学生所占百分比即可.

解：（1）数据总数为：21+21%=100,

第四组频数为：100-10-21-40-4=25,

频数分布直方图补充如下:

质量（人数）

(2)祖=40+100X100=40；

“E”组对应的圆心角度数为：360°X-^-=14.4°；

100

4

(3)3000X(25%+―-)=870(人).

100

即估计该校3000名学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数是870人.

23.一个不透明的盒子中放有四张分别写有数字1,2,3,4的红色卡片和三张分别写有数

字1,2,3的蓝色卡片，卡片除颜色和数字外完全相同.

(1)从中任意抽取一张卡片，求该卡片上写有数字1的概率；

(2)将3张蓝色卡片取出后放入另外一个不透明的盒子内，然后在两个盒子内各任意抽

取一张卡片，以红色卡片上的数字作为十位数，蓝色卡片上的数字作为个位数组成一个

两位数，求这个两位数大于22的概率.

【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能和出现所有结果的可能，然

后根据概率公式求出该事件的概率.

解：(1).••在7张卡片中共有两张卡片写有数字1,(1分)

..•从中任意抽取一张卡片，卡片上写有数字1的概率是半；

(2)组成的所有两位数列表为:

十位数1234

个位数

111213141

212223242

313233343

或列树状图为:

十位数1234

个位数123123123123

(11)(12)(13)(21)(22)(23)(31)(32)(33)(41)(42)(43)

，这个两位数大于22的概率为卷.

24.如图，己知点M在直线/外，点N在直线/上，请用无刻度的直尺和圆规完成下列作

图，要求保留作图痕迹，不写作法.

Af

图①图②

（1）在图①中，以线段MN为一条对角线作菱形MPNQ,使菱形的边PN落在直线/上;

（2）在图②中，作O。，使。。过点且与直线/相切于点N.

【分析】（1）根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可在图①中，以线段为一

条对角线作菱形MPNQ-,

（2）根据线段垂直平分线的性质和经过半径外端垂直于半径的直线是切线即可作。。，

使O。过点M,且与直线/相切于点N.

25.某企业接到一批防护服生产任务，按要求15天完成，已知这批防护服的出厂价为每件

80元，为按时完成任务，该企业动员放假回家的工人及时返回加班赶制.该企业第尤天

生产的防护服数量为y件，y与龙之间的关系可以用图中的函数图象来刻画.

54x(0<x<5)

（1）直接写出y与x的函数关系式_y=,30x+120(5<x<15)—；

（2）由于特殊原因，原材料紧缺，服装的成本前5天为每件50元，从第6天起每件服

装的成本比前一天增加2元，设第x天创造的利润为卬元，直接利用（1）的结论，求w

与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元？（利润=出厂

价-成本）

【分析】(1)根据题意即可得出y与x的函数关系式；

(2)分0WxW5和5cxW15两种情况讨论，根据题意可得到w与x的关系式，再根据

一次函数与二次函数的性质解答.

解：(1)270+5=54,(570-270)4-(15-5)=30,

当5VxW15时，设y与x的函数关系式为(x为正整数)，根据题意得：

f5k+b=270,解得(k=30,

115k+b=570lb=120

.,.y=30x+120,

’54x(04x45)

U与x的函数关系式为y="二/4，

l30x+120(5<x<15)

川田辱jf54x(0<xV5)

故答案为：y=《

I30x+120(5<x<15)

(2)当0W尤W5时，w—(80-50)X54x=162Qr,

V1620>0,

随尤的增大而增大，

.•.当x=5时，w最大=1620X5=8100；

当5c尤W15时，w=[80-50-2(x-5)]X(30x+120)=-60尤2+960.计4800,

960

对称轴x--2X60-&

，X=8时，或最大=-60X82+960X8+4800=8640.

V8640>8100,

...第8天时利润最大，最大利润是8640元.

26.如图，在菱形ABC。中，已知/氏4。=120°,对角线8。长为12.

(1)求菱形ABC。的周长；

(2)动点P从点A出发，沿A-8的方向，以每秒1个单位的速度向点8运动；在点P

出发的同时，动点。从点。出发，沿。一C-B的方向，以每秒2个单位的速度向点2

运动.设运动时间为f（s）.

①当PQ恰好被3。平分时，试求r的值；

②连接A。，试求：在整个运动过程中，当f取怎样的值时，△APQ恰好是一个直角三角

/BCD=/BAD=120°,ZBCO^—ZBCD^60°,OB=OD=LD=6,在RtABOC

22

中，由三角函数求出BC=4我，即可得出菱形ABC。的周长；

（2）①当点。在CD边上时，设尸。交8。于则PM=QM,由平行线求出BP=DQ,

根据题意得：AP=f,DQ=2t,则BP=4j§-t,得出4j§-f=2r,解方程即可；

当点。在CB边上时，不存在；

②当点。在。边上时，若/尸4。=90°,与平行线的性质得出/AQZ）=NPA0=9O°,

则/ZM0=3O。，由直角三角形的性质得出。Q=〈A£>=2百，即2/=2如，求出/的

值即可；

若/4尸。=90°,作AALLCD于N,则NPAN=90°,NQ=AP=t,由直角三角形的性

质得出ON=%O=2J5，得出方程2r=2j§+r,解方程即可；

当点。在CB边上时，证出/8尸。=90°,即/APQ=90°恒成立.得出当2向百

时△AP。都为直角三角形；即可得出答案.

解：（1）连接AC交8。于。，如图1所示：

•.•四边形ABC。是菱形，

：.AB=BC=CD=AD,AC1.BD,ZBCD=ZBAD=120°,ZBCO=—ZBCD=6Q0,

2

OB=OD=—BD=6,

2

在Rt^BOC中，BC=.L=7t-=4百,

sinoO—^―

...菱形ABC。的周长=4X4百=16百；

(2)①当点。在CO边上时，

设P。交8。于M,则PM=QM,

'.,AB//CD,

.BPPM1

**DQQM，

：.BP=DQ,

根据题意得：AP=tfDQ=2t,则BP=4^/3-t,

；・4日-t=2t,

解得：片全巨；

3

当点。在CB边上时，不存在；

②当点。在CD边上时，若/PAQ=90°,如图2所示:

9：AB//CD,

：.ZAQD=ZPAQ^90°,

：.ZDAQ=30°,

.-.DQ=^AD=2^3,

即2f=2，^,

解得：f=愿；

若/APQ=90°,如图3所示：

作AN_LC。于N,则NP/W=90°,NQ=AP=t,

：.ZDAN^30°,

:・DN=^AD=2M，

•：DQ=DN+NQ,

2t=2y/~2+t,

解得：/=2，§；

当点。在C8边上时，如图4所示：

根据题意得：AP=t,3尸=4y-3CQ=2t-4^/3，

•••8。=4我-（2-4加）=8我-27,

作QH_LBP于H,

VZABC=60°,

：.ZBQH=30°,

:.BH=fBQ=4a-t,

：.BP=BH,即H与尸重合,

：.ZBPQ^90°,

即/APQ=90°恒成立.

当2aWV4愿时△APQ都为直角三角形.

综上可得，当/=如或2我如时，△AP。恰好为直角三角形.

BC

图2

图1

27.阅读理解：

我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形.如图1,一个矩形发生变形后成为一个平行

四边形.设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为a,我们把的值叫

sinO.

做这个平行四边形的变形度.

(1)若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是150°