2021年四川省遂宁市中考数学试卷（含解析版）

2021年四川省遂宁市中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求。）1．（4分）﹣2021的绝对值是（）A．﹣2021 B．2021 C．±2021 D．2．（4分）下列计算中，正确的是（）A．（a+3）2＝a2+9 B．a8÷a4＝a2 C．2（a﹣b）＝2a﹣b D．a2+a2＝2a23．（4分）如图所示的几何体是由6个完全相同的小正方体搭成，其主视图是（）A． B． C． D．4．（4分）国家统计局2021年5月11日公布了第七次全国人口普查结果，全国总人口约14.1亿人，将14.1亿用科学记数法表示为（）A．14.1×108 B．1.41×108 C．1.41×109 D．0.141×10105．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积是3cm2，则四边形BDEC的面积为（）A．12cm2 B．9cm2 C．6cm2 D．3cm26．（4分）下列说法正确的是（）A．角平分线上的点到角两边的距离相等 B．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 C．在代数式，2x，，985，+2b，+y中，，，+2b是分式 D．若一组数据2、3、x、1、5的平均数是3，则这组数据的中位数是47．（4分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．8．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C恰好落在AB边上的F处，则CE的长是（）A．1 B． C． D．9．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为4，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积为（）A．16π﹣12 B．16π﹣24 C．20π﹣12 D．20π﹣2410．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b2＜4ac；③2c＜3b；④a+b＞m（am+b）（m≠1）；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2．其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）11．（4分）若|a﹣2|+＝0，则ab＝．12．（4分）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则△ABD的周长是．13．（4分）已知关于x，y的二元一次方程组满足x﹣y＞0，则a的取值范围是．14．（4分）下面图形都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第个图形共有210个小球．15．（4分）如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连结BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连结AF，有以下五个结论：①∠ABF＝∠DBE；②△ABF∽△DBE；③AF⊥BD；④2BG2＝BH•BD；⑤若CE：DE＝1：3，则BH：DH＝17：16．你认为其中正确是．（填写序号）三、计算或解答题（本大题共10个小题，共90分）16．（7分）计算：（﹣）﹣1+tan60°﹣|2﹣|+（π﹣3）0﹣．（7分）先化简，再求值：÷（+m+3），其中m是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，且m是整数．18．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F．（1）求证：AE＝CF；（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．19．（9分）我市于2021年5月22﹣23日在遂宁观音湖举行了“龙舟赛”，吸引了全国各地选手参加．现对某校初中1000名学生就“比赛规则”的了解程度进行了抽样调查（参与调查的同学只能选择其中一项），并将调查结果绘制出两幅不完整的统计图表，请根据统计图表回答下列问题：类别频数频率不了解10m了解很少160.32基本了解b很了解4n合计a1（1）根据以上信息可知：a＝，b＝，m＝，n＝；（2）补全条形统计图；（3）估计该校1000名初中学生中“基本了解”的人数约有人；（4）“很了解”的4名学生是三男一女，现从这4人中随机抽取两人去参加全市举办的“龙舟赛”知识竞赛，请用画树状图或列表的方法说明，抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的概率是否相同．20．（9分）已知平面直角坐标系中，点P（x0，y0）和直线Ax+By+C＝0（其中A，B不全为0），则点P到直线Ax+By+C＝0的距离d可用公式d＝来计算．例如：求点P（1，2）到直线y＝2x+1的距离，因为直线y＝2x+1可化为2x﹣y+1＝0，其中A＝2，B＝﹣1，C＝1，所以点P（1，2）到直线y＝2x+1的距离为：d＝＝＝＝．根据以上材料，解答下列问题：（1）求点M（0，3）到直线y＝x+9的距离；（2）在（1）的条件下，⊙M的半径r＝4，判断⊙M与直线y＝x+9的位置关系，若相交，设其弦长为n，求n的值；若不相交，说明理由．21．（9分）某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元．（1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？22．（9分）小明周末与父母一起到遂宁湿地公园进行数学实践活动，在A处看到B、C处各有一棵被湖水隔开的银杏树，他在A处测得B在北偏西45°方向，C在北偏东30°方向，他从A处走了20米到达B处，又在B处测得C在北偏东60°方向．（1）求∠C的度数；（2）求两棵银杏树B、C之间的距离（结果保留根号）．23．（10分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数y2＝（m≠0）的图象交于点A（1，2）和B（﹣2，a），与y轴交于点M．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）在y轴上取一点N，当△AMN的面积为3时，求点N的坐标；（3）将直线y1向下平移2个单位后得到直线y3，当函数值y1＞y2＞y3时，求x的取值范围．24．（10分）如图，⊙O的半径为1，点A是⊙O的直径BD延长线上的一点，C为⊙O上的一点，AD＝CD，∠A＝30°．（1）求证：直线AC是⊙O的切线；（2）求△ABC的面积；（3）点E在上运动（不与B、D重合），过点C作CE的垂线，与EB的延长线交于点F．①当点E运动到与点C关于直径BD对称时，求CF的长；②当点E运动到什么位置时，CF取到最大值，并求出此时CF的长．25．（12分）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B（﹣3，0）两点，与y轴交于C（0，﹣3），对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝﹣2x+m经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F．（1）求抛物线的解析式和m的值；（2）在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；（3）直线y＝1上有M、N两点（M在N的左侧），且MN＝2，若将线段MN在直线y＝1上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）．

2021年四川省遂宁市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求。）1．（4分）﹣2021的绝对值是（）A．﹣2021 B．2021 C．±2021 D．【分析】根据绝对值的代数意义即可求解．【解答】解：﹣2021的绝对值是2021，故选：B．【点评】本题考查了绝对值的代数意义，负数的绝对值等于它的相反数，这是解题的关键．2．（4分）下列计算中，正确的是（）A．（a+3）2＝a2+9 B．a8÷a4＝a2 C．2（a﹣b）＝2a﹣b D．a2+a2＝2a2【分析】根据完全平方公式，同底数幂的除法，乘法分配律，合并同类项解答即可．【解答】解：A选项，原式＝a2+6a+9，故该选项不符合题意；B选项，原式＝a4，故该选项不符合题意；C选项，原式＝2a﹣2b，故该选项不符合题意；D选项，原式＝2a2，故该选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了完全平方公式，同底数幂的除法，乘法分配律，合并同类项，注意完全平方公式的结构特点．3．（4分）如图所示的几何体是由6个完全相同的小正方体搭成，其主视图是（）A． B． C． D．【分析】根据简单组合体的三视图的意义画出相应的图形即可．【解答】解：该组合体的三视图如图，故选：D．【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提．4．（4分）国家统计局2021年5月11日公布了第七次全国人口普查结果，全国总人口约14.1亿人，将14.1亿用科学记数法表示为（）A．14.1×108 B．1.41×108 C．1.41×109 D．0.141×1010【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．【解答】解：14.1亿＝1410000000＝1.41×109．故选：C．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．5．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积是3cm2，则四边形BDEC的面积为（）A．12cm2 B．9cm2 C．6cm2 D．3cm2【分析】由DE都是中点，可得DE是△ABC的中位线，则DE∥BC，则△ADE∽△ABC，且相似比是1：2，则△ADE的面积和△ABC的面积比是1：4，则△ADE的面积：四边形BDEC的面积＝1：3，结合已知条件，可得结论．【解答】解：如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，且＝，∴△ADE∽△ABC，∴△ADE的面积：△ABC的面积＝1：4，∴△ADE的面积：四边形BDEC的面积＝1：3，∵△ADE的面积是3cm2，∴四边形BDEC的面积是9cm2，故选：B．【点评】本题主要考查三角形中位线的性质与判定，相似三角形的性质与判定，结合背景图形，找到已知和所求面积的关系是解题关键．6．（4分）下列说法正确的是（）A．角平分线上的点到角两边的距离相等 B．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 C．在代数式，2x，，985，+2b，+y中，，，+2b是分式 D．若一组数据2、3、x、1、5的平均数是3，则这组数据的中位数是4【分析】根据角平分线性质，平行四边形特点、分式定义、中位数定义即可判断．【解答】解：A、根据角平分线性质可得：角平分线上的点到角两边的距离相等，故正确，符合题意．B、平行四边形不是轴对称图形，但是中心对称图形，故错误，不符合题意．C、代数式，2x，，985，+2b，+y中，，+2b是分式，故错误，不符合题意．D、一组数据2、3、x、1、5的平均数是3，则x＝4，这组数据的中位数是3，故错误，不符合题意．故选：A．【点评】本题考查角平分线性质，平行四边形特点、分式定义、中位数定义等知识，关键在于掌握其定义或者性质．7．（4分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【分析】分别求出每一个不等式的解集，继而可得答案．【解答】解：解不等式2﹣x＞0，得：x＜2，解不等式≥﹣1，得：x≥﹣1，不等式组的解集为﹣1≤x＜2，在数轴上表示为：故选：C．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．8．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C恰好落在AB边上的F处，则CE的长是（）A．1 B． C． D．【分析】设CE＝x，则BE＝3﹣x由折叠性质可知，EF＝CE＝x，DF＝CD＝AB＝5，求出AF＝4，BF＝AB﹣AF＝1，在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，即（3﹣x）2+12＝x2，即可求解．【解答】解：设CE＝x，则BE＝3﹣x．由折叠性质可知，EF＝CE＝x，DF＝CD＝AB＝5．在Rt△DAF中，AD＝3，DF＝5．∴AF＝4．∴BF＝AB﹣AF＝1．在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2．即（3﹣x）2+12＝x2．解得x＝．故选：D．【点评】本题考查了矩形，熟练掌握矩形的性质以及勾股定理是解题的关键．9．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为4，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积为（）A．16π﹣12 B．16π﹣24 C．20π﹣12 D．20π﹣24【分析】连接AD，OE，先通过直径所对是圆周角是直角，证出∠CDF＝∠DAC，从而得出∠BAC＝2∠DAC＝30°，再通过S阴影＝S扇形OAE﹣S△AOE计算即可．【解答】解：连接AD，OE∵AB为直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠ADF+∠CDF＝90°，∵DF⊥AC，∴∠AFD＝90°，∴∠ADF+∠DAF＝90°，∴∠CDF＝∠DAC，∵∠CDF＝15°，∴∠DAC＝15°，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAC＝2∠DAC＝30°，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA＝30°，∴∠AOE＝120°，作OH⊥AE于H，在Rt△AOH中，OA＝4，∴OH＝sin30°×OA＝2，AH＝cos30°×OA＝6，∴AE＝2AH＝12，∴S阴影＝S扇形OAE﹣S△AOE＝＝16．故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，以及扇形的面积计算等知识，求出扇形的圆心角度数是解决问题的关键．10．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b2＜4ac；③2c＜3b；④a+b＞m（am+b）（m≠1）；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2．其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】由二次函数图象性质知，开口向下，则a＜0．再结合对称轴＞0，得b＞0．据二次函数图象与y轴正半轴相交得c＞0．由于二次函数图象与x轴交于不同两点，则b2﹣4ac＞0．【解答】解：①二次函数图象性质知，开口向下，则a＜0．再结合对称轴＞0，得b＞0．据二次函数图象与y轴正半轴相交得c＞0．∴abc＜0．①错．②二次函数图象与x轴交于不同两点，则b2﹣4ac＞0．∴b2＞4ac．②错．③∵，∴b＝﹣2a．又当x＝﹣1时，y＜0．即a﹣b+c＜0．∴2a﹣2b+2c＜0．∴﹣3b+2c＜0．2c＜3b．∴③正确．④要使a+b＞m（am+b）（m≠1）成立，只需a+b+c＞m（am+b）+c成立．即当x＝1时的y值大于当x＝m时的y值成立．由于x＝1时函数有最大值，所以上述式子成立．∴④正确．⑤将x轴下方二次函数图象翻折到x轴上方，则与直线y＝1有四个交点即可．由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为4．故⑤错．综上：③④正确，故选：A．【点评】本题考查二次函数图象性质，较为综合．需要对二次函数各项系数对图象的决定作用理解透彻，同时需要理解二次函数与方程的关系．会用数形结合的思想去解题．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）11．（4分）若|a﹣2|+＝0，则ab＝﹣4．【分析】直接利用非负数的性质得出a，b的值，进而得出答案．【解答】解：∵|a﹣2|+＝0，∴a﹣2＝0，a+b＝0，解得：a＝2，b＝﹣2，故ab＝2×（﹣2）＝﹣4．故答案为：﹣4．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出a，b的值是解题关键．12．（4分）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则△ABD的周长是12．【分析】依据垂直平分线的性质得DB＝DC．△ABD周长转化为AB+AC即可求解．【解答】解：∵DE垂直平分BC，∴DB＝DC．∴C△ABD＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝12．∴△ABD的周长是12．故答案为：12．【点评】本题主要考查中垂线性质：中垂线上一点到线段两端点距离相等．将所求周长转化为AB+AC的和即可．13．（4分）已知关于x，y的二元一次方程组满足x﹣y＞0，则a的取值范围是a＞1．【分析】根据方程组的特点，用第一个方程减第二个方程，即可得到x﹣y＝3a﹣3，再根据x﹣y＞0，即可得到3a﹣3＞0，从而可以求得a的取值范围．【解答】解：，①﹣②，得x﹣y＝3a﹣3，∵x﹣y＞0，∴3a﹣3＞0，解得a＞1，故答案为：a＞1．【点评】本题考查解一元一次不等式、二元一次方程组的解，解答本题的关键是明确利用加减消元法得到x﹣y的值．14．（4分）下面图形都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第20个图形共有210个小球．【分析】观察图形，找出图形变化的规律即可．【解答】解：第1个图中有1个小球，第2个图中有3个小球，3＝1+2，第3个图中有6个小球，6＝1+2+3，第4个图中有10个小球，10＝1+2+3+4，……照此规律，第n个图中有1+2+3+……+n＝个小球，当时，解之得：n1＝20，n2＝﹣21（舍），故答案为：20．【点评】本题考查了规律型问题，解题的关键是仔细观察图形并找到小球个数的规律．15．（4分）如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连结BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连结AF，有以下五个结论：①∠ABF＝∠DBE；②△ABF∽△DBE；③AF⊥BD；④2BG2＝BH•BD；⑤若CE：DE＝1：3，则BH：DH＝17：16．你认为其中正确是①②③④．（填写序号）【分析】①由∠ABD＝∠FBE＝45°，可知∠ABF＝∠DBE；②根据△ABD和△FBE都是等腰直角三角形，可得，从而得到△ABF∽△DBE；③由②相似知：∠FAB＝∠EDB＝45°，可得AF⊥BD；④由∠BEH＝∠EDB，∠EBH＝∠DBE可证△BEH∽△BDE，根据对应边成比例即可；⑤若CE：DE＝1：3，设CE＝x，DE＝3x，则BC＝4x，由勾股定理知BE＝，借助④的证明即可解答．【解答】解：①∵正方形ABCD和正方形BGEF，∴△ABD和△FBE都是等腰直角三角形，∴∠ABD＝∠FBE＝45°，∴∠ABF＝∠DBE；∴①正确，符合题意；②∵△ABD和△FBE都是等腰直角三角形，∴，又∵∠ABF＝∠DBE，∴△ABF∽△DBE，∴②正确，符合题意；③∵△ABF∽△DBE，∴∠FAB＝∠EDB＝45°，∴AF⊥BD；∴③正确，符合题意；④∵∠BEH＝∠EDB＝45°，∠EBH＝∠DBE，∴△BEH∽△BDE，∴，∴BE2＝BD×BH，∵BE＝BG，∴2BG2＝BD×BH，∴④正确，符合题意；⑤∵CE：DE＝1：3，∴设CE＝x，DE＝3x，∴BC＝4x，在Rt△BCE中，由勾股定理知：BE＝，∵BE2＝BD×BH，∴17x2＝×BH，∴，∴DH＝，∴BH：DH＝17：15，∴⑤错误，不符合题意；故答案为：①②③④．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定是解决问题的关键．三、计算或解答题（本大题共10个小题，共90分）16．（7分）计算：（﹣）﹣1+tan60°﹣|2﹣|+（π﹣3）0﹣．【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝﹣2+﹣（2﹣）+1﹣2＝﹣2+﹣2++1﹣2＝﹣3．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．17．（7分）先化简，再求值：÷（+m+3），其中m是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，且m是整数．【分析】根据分式的运算法则进行化简，然后将m的值代入原式即可求出答案．【解答】解：原式＝÷[+]＝÷＝÷＝•＝，∵m是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，∴3﹣2＜m＜3+2，即1＜m＜5，∵m为整数，∴m＝2、3、4，由分式有意义的条件可知：m≠0、2、3，∴m＝4，∴原式＝．【点评】本题考查分式的化简运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及分式有意义的条件，本题属于基础题型．18．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F．（1）求证：AE＝CF；（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．【分析】（1）根据平行四边形的性质OA＝OC，BE∥DF，求得∠E＝∠F，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）连结BF，DE，根据平行四边形的性质得到OB＝OD，根据全等三角形的性质得到OE＝OF，根据菱形的判定定理即可得到结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，BE∥DF，∴∠E＝∠F，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴AE＝CF；（2）当EF⊥BD时，四边形BFDE是菱形，理由如下：如图：连结BF，DE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∵△AOE≌△COF，∴OE＝OF，∴四边形BFDE是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BFDE是菱形．【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质以及菱形的判定，首先利用平行四边形的性质构造全等条件，然后利用全等三角形的性质解决问题．19．（9分）我市于2021年5月22﹣23日在遂宁观音湖举行了“龙舟赛”，吸引了全国各地选手参加．现对某校初中1000名学生就“比赛规则”的了解程度进行了抽样调查（参与调查的同学只能选择其中一项），并将调查结果绘制出两幅不完整的统计图表，请根据统计图表回答下列问题：类别频数频率不了解10m了解很少160.32基本了解b很了解4n合计a1（1）根据以上信息可知：a＝50，b＝20，m＝0.2，n＝0.08；（2）补全条形统计图；（3）估计该校1000名初中学生中“基本了解”的人数约有400人；（4）“很了解”的4名学生是三男一女，现从这4人中随机抽取两人去参加全市举办的“龙舟赛”知识竞赛，请用画树状图或列表的方法说明，抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的概率是否相同．【分析】（1）由“了解很少”的人数及其对应频率可得被调查的总人数，再根据频数之和等于总人数可得b的值，由频率＝频数÷总人数可得m、n的值；（2）根据以上所求结果即可补全条形图；（3）总人数乘以样本中“基本了解”人数所占比例即可；（4）记4名学生中3名男生分别为A1，A2，A3，一名女生为B，列表得出所有等可能结果，从中找到抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的结果数，求出其概率即可得出答案．【解答】解：（1）a＝16÷0.32＝50，b＝50﹣（10+16+4）＝20，m＝10÷50＝0.2，n＝4÷50＝0.08，故答案为：50、20、0.2、0.08；（2）补全条形图如下：（3）估计该校1000名初中学生中“基本了解”的人数约有1000×＝400（人），故答案为：400；（4）记4名学生中3名男生分别为A1，A2，A3，一名女生为B，列表如下：A1A2A3BA1（A1，A2）（A1，A3）（A1，B）A2（A2，A1）（A2，A3）（A2，B）A3（A3，A1）（A3，A2）（A3，B）B（B，A1）（B，A2）（B，A3）从4人中任取两人的所有机会均等结果共有12种，抽到两名学生均为男生包含：A1A2、A1A3、A2A1、A2A3、A3A1、A3A2共6种等可能结果，∴P（抽到两名学生均为男生）＝＝，抽到一男一女包含：A1B、A2B、A3B、BA1、BA2、BA3共六种等可能结果，∴P（抽到一男一女）＝＝，故抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的概率相同．【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了样本估计总体、扇形统计图和条形统计图．20．（9分）已知平面直角坐标系中，点P（x0，y0）和直线Ax+By+C＝0（其中A，B不全为0），则点P到直线Ax+By+C＝0的距离d可用公式d＝来计算．例如：求点P（1，2）到直线y＝2x+1的距离，因为直线y＝2x+1可化为2x﹣y+1＝0，其中A＝2，B＝﹣1，C＝1，所以点P（1，2）到直线y＝2x+1的距离为：d＝＝＝＝．根据以上材料，解答下列问题：（1）求点M（0，3）到直线y＝x+9的距离；（2）在（1）的条件下，⊙M的半径r＝4，判断⊙M与直线y＝x+9的位置关系，若相交，设其弦长为n，求n的值；若不相交，说明理由．【分析】（1）直接利用新定义点到直线的距离公式求解，即可得出结论；（2）利用圆心到直线的距离与半径的大小关系，判断出直线与⊙M相交，再利用垂径定理得出EF＝2EH，最后用勾股定理求解，即可得出结论．【解答】解：（1）∵y＝x+9可变形为x﹣y+9＝0，则其中A＝，B＝﹣1，C＝9，由公式得，点M（0，3）到直线y＝x+9的距离，∴点M到直线y＝x+9的距离为3；（2）如图，由（1）可知：圆心到直线的距离d＝3，∵圆的半径r＝4，∴d＜r，∴直线y＝x+9与⊙M相交，两交点记作E，F，连接EM，过点M作MH⊥EF于H，则EF＝2EH，在Rt△EHM中，EM＝4，MH＝3，根据勾股定理得，EH＝＝＝，∴弦长n＝EF＝2EH＝2．【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了新定义，点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，理解和运用新定义是解本题的关键．21．（9分）某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元．（1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？【分析】（1）设销售单价提高x元，根据题意列出方程求解即可；（2）设销售利润为M元，求得函数关系式，利用二次函数的性质即可解决问题．【解答】解：（1）设T恤的销售单价提高x元，由题意列方程得：（x+40﹣30）（300﹣10x）＝3360，解得：x1＝2或x2＝18，∵要尽可能减少库存，∴x2＝18不合题意，应舍去．∴T恤的销售单价应提高2元，答：T恤的销售单价应提高2元；（2）设利润为M元，由题意可得：M＝（x+40﹣30）（300﹣10x），＝﹣10x2+200x+3000，＝﹣10（x﹣10）2+4000，∴当x＝10时，M最大值＝4000元，∴销售单价：40+10＝50（元），答：当服装店将销售单价定为50元时，得到最大利润是4000元．【点评】本题考查了二次函数及一元二次方程的应用，解题的关键是利用利润＝单件利润×销售量列出二次函数解析式．22．（9分）小明周末与父母一起到遂宁湿地公园进行数学实践活动，在A处看到B、C处各有一棵被湖水隔开的银杏树，他在A处测得B在北偏西45°方向，C在北偏东30°方向，他从A处走了20米到达B处，又在B处测得C在北偏东60°方向．（1）求∠C的度数；（2）求两棵银杏树B、C之间的距离（结果保留根号）．【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BDG＝∠EBD＝60°，于是得到∠C＝∠BDG﹣∠CAD＝30°；（2）过点B作BG⊥AD于G．根据垂直的定义得到∠AGB＝∠BGD＝90°，在Rt△AGB中，根据三角函数的定义得到AG＝BG＝20×sin45°＝米，解直角三角形得到BD＝＝（米），DG＝＝（米），于是得到结论．【解答】解：（1）由题意得BE∥AD，∵BE∥AD且∠EBD＝60°，∴∠BDA＝∠EBD＝60°，∵∠BDA＝∠C+∠CAD且∠CAD＝30°，∴∠C＝∠BDA﹣∠CAD＝30°；（2）过点B作BG⊥AD于G．∵BG⊥AD，∴∠AGB＝∠BGD＝90°，在Rt△AGB中，AB＝20米，∠BAG＝45°，AG＝BG＝20×sin45°＝（米），在Rt△BGD中，∠BDG＝60°，∴BD＝＝（米），DG＝＝（米），∵∠C＝∠CAD＝30°，∴CD＝AD＝AG+DG＝（）（米），∴BC＝BD+CD＝（）米，答：两棵银杏树B、C之间的距离为（）米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解决此题的关键是构建含特殊角的直角三角形．23．（10分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数y2＝（m≠0）的图象交于点A（1，2）和B（﹣2，a），与y轴交于点M．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）在y轴上取一点N，当△AMN的面积为3时，求点N的坐标；（3）将直线y1向下平移2个单位后得到直线y3，当函数值y1＞y2＞y3时，求x的取值范围．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）由S△AMN＝MN•|xA|＝3且xA＝1，即可求解；（3）如图，设y2与y3的图像交于C，D两点，求出C（﹣1，﹣2），D（2，1），再观察函数图象即可求解．【解答】解：（1）∵过点A（1，2），∴m＝1×2＝2，即反比例函数：，当x＝﹣2时，a＝﹣1，即B（﹣2，﹣1），∵y1＝kx+b过A（1，2）和B（﹣2，﹣1），则，解得，∴y1＝x+1；（2）当x＝0时，代入y＝x+1中得，y＝1，即M（0，1），∵S△AMN＝MN•|xA|＝3且xA＝1，∴MN＝6，∴N（0，7）或（0，﹣5）；（3）如图，设y2与y3的图像交于C，D两点，∵y1向下平移两个单位得y3且y1＝x+1，∴y3＝x﹣1，联立，解得或，∴C（﹣1，﹣2），D（2，1），∵y1＞y2＞y3，∴﹣2＜x＜﹣1或1＜x＜2．【点评】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、图象的平移、面积的计算等，有一定的综合性，难度不大．24．（10分）如图，⊙O的半径为1，点A是⊙O的直径BD延长线上的一点，C为⊙O上的一点，AD＝CD，∠A＝30°．（1）求证：直线AC是⊙O的切线；（2）求△ABC的面积；（3）点E在上运动（不与B、D重合），过点C作CE的垂线，与EB的延长线交于点F．①当点E运动到与点C关于直径BD对称时，求CF的长；②当点E运动到什么位置时，CF取到最大值，并求出此时CF的长．【分析】（1）由等腰三角形的性质求出∠ACD＝30°，∠OCD＝60°，求出∠ACO＝∠ACD+∠OCD＝90°，则可求出答案；（2）证明△DCO是等边三角形，由等边三角形的性质得出CD＝AD＝OD＝1，作CH⊥BD于点H，则DH＝，由勾股定理求出CH的长，由三角形的面积公式可求出答案；（3）①由垂径定理可求出CE＝，由直角三角形的性质可求出答案；②由锐角三角函数的定义及直角三角形的性质可求出答案．【解答】（1）证明：连接OC，如图1，∵AD＝CD，∠A＝30°，∴∠ACD＝30°，∴∠CDB＝60°，∵OD＝OC，∴∠OCD＝60°，∴∠ACO＝∠ACD+∠OCD＝90°，∵OC是半径，∴直线AC是⊙O的切线；（2）解：∵∠OCD＝60°，OC＝OD，∴△DCO是等边三角形，∴CD＝AD＝OD＝1，作CH⊥BD于点H，则DH＝，如图2，∴CH＝＝＝，∵AB＝AD+BD＝3，∴S△ABC＝＝．（3）①当点E运动到与点C关于直径AB对称时，CE⊥AB于点K，如图3，∵BD为⊙O的直径，∴CE＝2CK＝，∵CF⊥CE，∴∠ECF＝90°，∵∠CDB＝∠CEB＝60°，∴CF＝CE•tan60°＝＝3，②∵点E在上运动过程中，∠CDB＝∠CEB＝60°，在Rt△ECF中，tan60°＝，∴CF＝CE，∴当CE最大时，CF取得最大值，∴当CE为直径，即CE＝2时，CF最大，最大值为2．【点评】本题是圆的综合题，考查了的切线的判定，等边三角形的判定与性质，垂径定理，直角三角形性质，轴对称的性质，熟练掌握切线的判定及直角三角形性质是解题的关键．25