2021年四川省宜宾市中考数学试卷（含解析版）

2021年四川省宜宾市中考数学试卷一、选择题；本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡对应题目上。1．（4分）﹣2的绝对值是（）A．2 B．﹣2 C． D．﹣2．（4分）下列图形是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．（4分）2021年宜宾市中考人数已突破64000人，数据64000用科学记数法表示为（）A．64×103 B．6.4×104 C．0.64×105 D．6.4×1054．（4分）若长度分别是a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）A．1 B．2 C．4 D．85．（4分）一块含有45°的直角三角板和直尺如图放置，若∠1＝55°，则∠2的度数是（）A．30° B．35° C．40° D．45°6．（4分）下列运算正确的是（）A．a+a2＝a3 B．（2a2）3＝2a6 C．a6÷a2＝a3 D．a3•a2＝a57．（4分）下列说法正确的是（）A．平行四边形是轴对称图形 B．平行四边形的邻边相等 C．平行四边形的对角线互相垂直 D．平行四边形的对角线互相平分8．（4分）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣29．（4分）如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是（）A． B．2 C． D．10．（4分）若m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，则m2+4m+n的值是（）A．4 B．5 C．6 D．1211．（4分）在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，类似现在我们熟悉的“进位制”．如图所示是远古时期一位母亲记录孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（）A．27 B．42 C．55 D．21012．（4分）如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形的边AB、AD上，将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF的长是（）A．2 B． C． D．3二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请把答案直接填在答题卡对应题中横线上。13．（4分）不等式2x﹣1＞1的解集是．14．（4分）分解因式：a3﹣2a2+a＝．15．（4分）从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识决赛，经过两轮测试，他们的平均成绩都是88.9，方差分别是s甲2＝2.25，s乙2＝1.81，s丙2＝3.42，你认为最适合参加决赛的选手是（填“甲”或“乙”或“丙”）．16．（4分）据统计，2021年第一季度宜宾市实现地区生产总值约652亿元，若使该市第三季度实现地区生产总值960亿元，设该市第二、三季度地区生产总值平均增长率为x，则可列方程．17．（4分）如图，⊙O的直径AB＝4，P为⊙O上的动点，连结AP，Q为AP的中点，若点P在圆上运动一周，则点Q经过的路径长是．18．（4分）如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，对角线相交于点O，动点M从点B向点A运动（到点A即停止），点N是AD上一动点，且满足∠MON＝90°，连结MN．在点M、N运动过程中，则以下结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①点M、N的运动速度不相等；②存在某一时刻使S△AMN＝S△MON；③S△AMN逐渐减小；④MN2＝BM2+DN2．三、解答题；本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19．（10分）（1）计算：（π﹣3）0﹣+4sin60°﹣（）﹣1；（2）化简：（+1）÷．20．（10分）如图，已知OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD．求证：△AOB≌△COD．21．（10分）为帮助学生养成热爱美、发现美的艺术素养，某校开展了“一人一艺”的艺术选修课活动．学生根据自己的喜好选择一门艺术项目（A：书法，B：绘画，C：摄影，D：泥塑，E：剪纸），张老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后，制成了两幅不完整的统计图（如图所示）．（1）张老师调查的学生人数是．（2）若该校共有学生1000名，请估计有多少名学生选修泥塑；（3）现有4名学生，其中2人选修书法，1人选修绘画，1人选修摄影，张老师要从这4人中任选2人了解他们对艺术选修课的看法，请用画树状图或列表的方法，求所选2人都是选修书法的概率．22．（10分）全国历史文化名城宜宾有许多名胜古迹，始建于明朝的白塔是其中之一．如图，为了测量白塔的高度AB，在C处测得塔顶A的仰角为45°，再向白塔方向前进15米到达D处，又测得塔顶A的仰角为60°，点B、D、C在同一水平线上，求白塔的高度AB．（≈1.7，精确到1米）23．（12分）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A、B，与x轴交于点C（5，0），若OC＝AC，且S△OAC＝10．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）请直接写出不等式ax+b＞的解集．24．（12分）如图1，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若tan∠ADC＝，AC＝2，求⊙O的半径；（3）如图2，在（2）的条件下，∠ADB的平分线DE交⊙O于点E，交AB于点F，连结BE．求sin∠DBE的值．25．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．（1）求抛物线的表达式；（2）判断△BCE的形状，并说明理由；（3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP+EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

2021年四川省宜宾市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题；本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡对应题目上。1．（4分）﹣2的绝对值是（）A．2 B．﹣2 C． D．﹣【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．【解答】解：﹣2的绝对值是2，即|﹣2|＝2．故选：A．【点评】本题考查了绝对值的性质：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2．（4分）下列图形是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行分析即可．【解答】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；D．是轴对称图形，故本选项符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．3．（4分）2021年宜宾市中考人数已突破64000人，数据64000用科学记数法表示为（）A．64×103 B．6.4×104 C．0.64×105 D．6.4×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【解答】解：64000＝6.4×104，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定a的值以及n的值．4．（4分）若长度分别是a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）A．1 B．2 C．4 D．8【分析】根据三角形三边关系定理得出5﹣3＜a＜5+3，求出即可．【解答】解：由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜5+3，即2＜a＜8，即符合的只有4，故选：C．【点评】本题考查了三角形三边关系定理，能根据定理得出5﹣3＜a＜5+3是解此题的关键，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．5．（4分）一块含有45°的直角三角板和直尺如图放置，若∠1＝55°，则∠2的度数是（）A．30° B．35° C．40° D．45°【分析】根据平行线的性质及对顶角相等求解即可．【解答】解：如图，延长ME，交CD于点F，∵AB∥CD，∠1＝55°，∴∠MFC＝∠1＝55°，在Rt△NEF中，∠NEF＝90°，∴∠3＝90°﹣∠MFC＝35°，∴∠2＝∠3＝35°，故选：B．【点评】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理及对顶角相等是解题的关键．6．（4分）下列运算正确的是（）A．a+a2＝a3 B．（2a2）3＝2a6 C．a6÷a2＝a3 D．a3•a2＝a5【分析】分别根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、除法以及积的乘方运算法则计算逐一判断即可．【解答】解：A．a+a2，不是同类项，不能合并，故本选项不合题意；B．（2a2）3＝8a6，故本选项不合题意；C．a6÷a2＝a4，故本选项不合题意；D．a3•a2＝a5，故本选项符合题意；故选：D．【点评】此题考查了同底数幂的乘法、除法、幂的乘方及积的乘方运算，掌握其运算法则是解决此题关键．7．（4分）下列说法正确的是（）A．平行四边形是轴对称图形 B．平行四边形的邻边相等 C．平行四边形的对角线互相垂直 D．平行四边形的对角线互相平分【分析】根据平行四边形的性质以及平行四边形的对称性对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、平行四边形不是轴对称图形而是中心对称图形，故原命题错误，不符合题意；B、平行四边形的邻边不等，对边相等，故原命题错误，不符合题意；C、平行四边形对角线互相平分，错误，故本选项不符合题意；D、平行四边形对角线互相平分，正确，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了中轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．8．（4分）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】方程两边同时乘（x﹣2），将分式方程转化为整式方程，解这个整式方程得到方程的解，根据方程有增根，得到x＝2，列出方程计算出m的值即可．【解答】解：方程两边同时乘（x﹣2）得：x﹣3（x﹣2）＝m，解得：x＝3﹣m，∵方程有增根，∴x﹣2＝0，∴x＝2，∴3﹣m＝2，∴m＝2，故选：C．【点评】本题考查了分式方程的增根，理解增根产生的原因是解题的关键．9．（4分）如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是（）A． B．2 C． D．【分析】∠OBD放在Rt△OBD中利用三角函数定义即可求．【解答】解：如图：作OF⊥AB于F，∵AB＝AC，AD平分∠BAC．∴∠ODB＝90°．BD＝CD＝6．∴根据勾股定理得：AD＝＝8．∵BE平分∠ABC．∴OF＝OD，BF＝BD＝6，AF＝10﹣6＝4．设OD＝OF＝x，则AO＝8﹣x，在Rt△AOF中，根据勾股定理得：（8﹣x）2＝x2+42．∴x＝3．∴OD＝3．在Rt△OBD中，tan∠OBD＝＝＝．故选：A．【点评】本题考查勾股定理，角平分线性质及锐角三角函数的定义，构造直角三角形求线段的长是求解本题的关键．10．（4分）若m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，则m2+4m+n的值是（）A．4 B．5 C．6 D．12【分析】由于m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，根据根与系数的关系可得m+n＝﹣3，mn＝﹣9，而m是方程的一个根，可得m2+3m﹣9＝0，即m2+3m＝9，那么m2+4m+n＝m2+3m+m+n，再把m2+3m、m+n的值整体代入计算即可．【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，∴m+n＝﹣3，mn＝﹣9，∵m是x2+3x﹣9＝0的一个根，∴m2+3m﹣9＝0，∴m2+3m＝9，∴m2+4m+n＝m2+3m+m+n＝9+（m+n）＝9﹣3＝6．故选：C．【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根x1、x2之间的关系：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．11．（4分）在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，类似现在我们熟悉的“进位制”．如图所示是远古时期一位母亲记录孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（）A．27 B．42 C．55 D．210【分析】由题可知，孩子出生的天数的五进制数为132，化为十进制数即可．【解答】解：根据题意得：孩子出生的天数的五进制数为132，化为十进制数为：132＝1×52+3×51+2×50＝42．故选：B．【点评】本题主要考查了进位制，解题的关键是会将五进制转化成十进制．12．（4分）如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形的边AB、AD上，将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF的长是（）A．2 B． C． D．3【分析】由折叠的性质可得BC＝CH＝4，∠DCF＝∠GCF，BE＝EH＝2，∠B＝∠CHE＝90°，由“AAS”可证△CPH≌△CPN，可得NP＝PH，CH＝CN＝4，通过证明四边形BCNM是正方形，可得MN＝BM＝4，在Rt△EPM中，利用勾股定理可求NP的长，由锐角三角函数可求解．【解答】解：如图，延长EH交CF于点P，过点P作MN⊥CD于N，∵将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，∴BC＝CH＝4，∠DCF＝∠GCF，BE＝EH＝2，∠B＝∠CHE＝90°，在△CPH和△CPN中，，∴△CPH≌△CPN（AAS），∴NP＝PH，CH＝CN＝4，∵∠B＝∠BCD＝90°，MN⊥CD，∴四边形BCNM是矩形，又∵CN＝CB＝4，∴四边形BCNM是正方形，∴MN＝BM＝4，∴EM＝2，∵EP2＝EM2+PM2，∴（2+NP）2＝4+（4﹣NP）2，∴NP＝，∵tan∠DCF＝，∴，∴DF＝2，故选：A．【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请把答案直接填在答题卡对应题中横线上。13．（4分）不等式2x﹣1＞1的解集是x＞1．【分析】利用不等式的基本性质，将两边不等式同时加上1再除以2，不等号的方向不变．【解答】解：解不等式2x﹣1＞1得，2x＞2，解得x＞1．【点评】本题考查了同学们解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．14．（4分）分解因式：a3﹣2a2+a＝a（a﹣1）2．【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式a，再对余下的多项式进行观察，有3项，可利用完全平方公式继续分解．【解答】解：a3﹣2a2+a＝a（a2﹣2a+1）＝a（a﹣1）2．故答案为：a（a﹣1）2．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．15．（4分）从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识决赛，经过两轮测试，他们的平均成绩都是88.9，方差分别是s甲2＝2.25，s乙2＝1.81，s丙2＝3.42，你认为最适合参加决赛的选手是乙（填“甲”或“乙”或“丙”）．【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解．【解答】解：∵s甲2＝2.25，s乙2＝1.81，s丙2＝3.42，∴s丙2＞s甲2＞s乙2，∴最适合参加决赛的选手是乙．故答案为：乙．【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．16．（4分）据统计，2021年第一季度宜宾市实现地区生产总值约652亿元，若使该市第三季度实现地区生产总值960亿元，设该市第二、三季度地区生产总值平均增长率为x，则可列方程652（1+x）2＝960．【分析】设该市第二、三季度地区生产总值平均增长率为x，根据该地区第三季度的生产总值＝该地区第一季度的生产总值×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设该市第二、三季度地区生产总值平均增长率为x，依题意得：652（1+x）2＝960．故答案为：652（1+x）2＝960．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．17．（4分）如图，⊙O的直径AB＝4，P为⊙O上的动点，连结AP，Q为AP的中点，若点P在圆上运动一周，则点Q经过的路径长是2π．【分析】由垂径定理可得OQ⊥AP，则点Q在以AO为直径的圆上运动，即可求解．【解答】解：如图，连接OQ，∵AB＝4，∴AO＝2，∵Q为AP的中点，∴OQ⊥AP，∴∠AQO＝90°，∴点Q在以AO为直径的圆上运动，∴点Q经过的路径长为2π，故答案为：2π．【点评】本题考查了轨迹，点和圆的位置关系，确定点Q的运动轨迹是解题的关键．18．（4分）如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，对角线相交于点O，动点M从点B向点A运动（到点A即停止），点N是AD上一动点，且满足∠MON＝90°，连结MN．在点M、N运动过程中，则以下结论正确的是①②③④．（写出所有正确结论的序号）①点M、N的运动速度不相等；②存在某一时刻使S△AMN＝S△MON；③S△AMN逐渐减小；④MN2＝BM2+DN2．【分析】取M与B重合时和M在AB中点时两种特殊情况，判断运动情况和面积相等情况；令AB＝1，则AD＝，设BM＝x，根据△AMN的面积关于x的函数关系式即可判断面积大小的增减；根据运动速度判断BM和DN的关系，再根据勾股定理写出MN与BM和DN的关系式即可．方法二：延长MO交CD于M'，则BM＝DM'，再连接NM'，则MN＝NM'，根据勾股定理轻松得证④．【解答】解：如图，当M与B点重合时，此时NO⊥BD，∵在矩形ABCD中，AD＝AB，∴∠ADB＝∠DAC＝30°，∴∠AOD＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠NAO＝∠AOD﹣∠NOD＝120°﹣90°＝30°，∴∠DAO＝∠NOA＝30°，∴AN＝ON＝DN•sin30°＝DN，∵AN+DN＝AD，∴AN＝AD，当M点运动到M'位置时，此时OM'⊥AB，N点运动到了N'，∵AC和BD是矩形ABCD的对角线，∴M点运动的距离是MM'＝AB，N点运动的距离是NN'＝＝＝AD，又∵AD＝AB，∴NN'＝×AB＝AB＝MM'，∴N点的运动速度是M点的，故①正确，当M在M'位置时，∵∠OM'A＝90°，∠N'AB＝90°，∠M'ON'＝90°，∴四边形AM'ON'是矩形，∴此时S△AMN＝S△MON，故②正确，令AB＝1，则AD＝，设BM＝x，则N点运动的距离为x，∴AN＝AD+x＝+x，∴S△AMN＝AM•AN＝（AB﹣BM）•AN＝（1﹣x）（+x）＝﹣x2，∵0≤x≤1，在x的取值范围内函数﹣x2的图象随x增加而减小，∴S△AMN逐渐减小，故③正确，∵MN2＝（AB﹣BM）2+（AD﹣DN）2＝AB2﹣2AB•BM+BM2+AD2﹣2AD•DN+DN2＝（AB2﹣2AB•BM+3AB2﹣2•DN）+BM2+DN2＝（4AB2﹣2AB•BM﹣2AB•DN）+BM2+DN2，∵AN＝AD+BM＝AB+BM，∴DN＝AD﹣AN＝AB﹣（AB+BM）＝AB﹣BM，∵2AB•DN＝2AB×（AB﹣BM）＝4AB2﹣2AB•BM，∴MN2＝（4AB2﹣2AB•BM﹣2AB•DN）+BM2+DN2＝BM2+DN2，故④正确，方法二判定④：如图2，延长MO交CD于M'，∵∠MOB＝∠M'OD，OB＝OD，∠DBA＝∠BDC，∴△OMB≌△OM'D（ASA），∴BM＝DM'，OM＝OM'，连接NM'，∵NO⊥MM'，则MN＝NM'，∵NM'2＝DN2+DM'2，∴MN2＝BM2+DN2，故④正确，故答案为：①②③④．【点评】本题主要考查勾股定理，矩形的性质等知识点，熟练应用勾股定理，和特殊值的应用是解题的关键．三、解答题；本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19．（10分）（1）计算：（π﹣3）0﹣+4sin60°﹣（）﹣1；（2）化简：（+1）÷．【分析】（1）根据负整数指数幂，特殊角三角函数值，零指数幂先化简题目中的式子，然后再计算；（2）根据分式的加法和乘除法法则可以解答本题．【解答】解：（1）原式＝1﹣2+4×﹣2＝1﹣2+2﹣2＝﹣1；（2）原式＝（+）•＝（+）•＝•＝．【点评】本题考查了实数的运算和分式的混合运算．（1）解题的关键是先化简负整数指数幂，特殊角三角函数值，零指数幂的运算是解题关键；（2）解题的关键是明确分式混合运算的计算方法．20．（10分）如图，已知OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD．求证：△AOB≌△COD．【分析】先证明∠COD＝∠AOB，然后根据“SAS”可证明△AOB≌△COD．【解答】证明：∵∠AOC＝∠BOD，∴∠AOC﹣∠AOD＝∠BOD﹣∠AOD，即∠COD＝∠AOB，在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD（SAS）．【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决此类问题的关键．21．（10分）为帮助学生养成热爱美、发现美的艺术素养，某校开展了“一人一艺”的艺术选修课活动．学生根据自己的喜好选择一门艺术项目（A：书法，B：绘画，C：摄影，D：泥塑，E：剪纸），张老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后，制成了两幅不完整的统计图（如图所示）．（1）张老师调查的学生人数是50名．（2）若该校共有学生1000名，请估计有多少名学生选修泥塑；（3）现有4名学生，其中2人选修书法，1人选修绘画，1人选修摄影，张老师要从这4人中任选2人了解他们对艺术选修课的看法，请用画树状图或列表的方法，求所选2人都是选修书法的概率．【分析】（1）由A的人数除以所占百分比即可；（2）求出条形统计图中D的人数，再由该校共有学生人数乘以选修泥塑的学生所占比例即可；（3）画树状图，共有12种等可能的结果，所选2人都是选修书法的结果有2种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）张老师调查的学生人数为：10÷20%＝50（名），故答案为：50名；（2）条形统计图中D的人数为：50﹣10﹣6﹣14﹣8＝12（名），∴1000×＝240（名），即估计有240名学生选修泥塑；（3）把2人选修书法的记为A、B，1人选修绘画的记为C，1人选修摄影的记为D，画树状图如图：共有12种等可能的结果，所选2人都是选修书法的结果有2种，∴所选2人都是选修书法的概率为＝．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．22．（10分）全国历史文化名城宜宾有许多名胜古迹，始建于明朝的白塔是其中之一．如图，为了测量白塔的高度AB，在C处测得塔顶A的仰角为45°，再向白塔方向前进15米到达D处，又测得塔顶A的仰角为60°，点B、D、C在同一水平线上，求白塔的高度AB．（≈1.7，精确到1米）【分析】设塔高AB＝x米，利用仰角定义得到∠BCA＝45°，∠BAD＝60°，先利用∠C＝45°得到BC＝BA＝x米，再利用正切定义得到BD＝，所以x+15＝x，然后解方程即可．【解答】解：设塔高AB＝x米，根据题意得∠BCA＝45°，∠BAD＝60°，CD＝15米，在Rt△ABC中，∵∠C＝45°，∴BC＝BA＝x米，在Rt△ABD中，∵tan∠BDA＝，∴BD＝＝＝，∵BD+CD＝BC，∴x+15＝x，解得x＝≈35（米）．答：白塔的高度AB为35米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题：根据题意画出几何图形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决．23．（12分）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A、B，与x轴交于点C（5，0），若OC＝AC，且S△OAC＝10．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）请直接写出不等式ax+b＞的解集．【分析】（1）因为C（5，0），所以OC＝5，又S△AOC＝10，过A作AE⊥x轴于E，可以得到AE＝4，在直角三角形中，利用勾股定理，求出CE长度，写出E点坐标，即可求出k和C的坐标，利用待定系数法，求解一次函数的表达式即可；（2）联立一次函数和反比例函数的解析式，求解一个方程组，得到交点A和B的坐标，根据图像，可以得到原不等式的解集．【解答】（1）如图1，过A作AE⊥x轴于E，∵C（5，0），OC＝AC，∴OC＝AC＝5，∵S△AOC＝10，∴，∴AE＝4，在Rt△ACE中，CE＝，∴OE＝8，∴A（8，4），∴k＝4×8＝32，将A和C的坐标代入到一次函数解析式中得，，∴，∴反比例函数的表达式为y＝，一次函数的表达式为；（2）联立两个函数解析式得，解得，，∴，由图象可得，当，x＞8或﹣3＜x＜0．【点评】此题是反比例函数与一次函数交点问题，根据题意列出方程即可解决问题，同时，还考查了用数形结合思想解不等式．24．（12分）如图1，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若tan∠ADC＝，AC＝2，求⊙O的半径；（3）如图2，在（2）的条件下，∠ADB的平分线DE交⊙O于点E，交AB于点F，连结BE．求sin∠DBE的值．【分析】（1）CD与⊙O相切，理由：连接OD，先判断出∠CDA＝∠ODB，再根据∠ADB＝∠ADO+∠ODB＝90°，判断出∠CDO＝90°，即可得出结论；（2）先判断出tan∠CBD＝，进而得出tan∠CBD＝＝，再判断出△CAD∽△CDB，得出，求出CD，CB，即可得出结论；（3）连接OE，过点E作EG⊥BD于G，先判断出∠BOE＝2∠BDE＝90°，进而求出BE＝3，再利用勾股定理求出AD＝，BD＝，再判断出DG＝EG，设DG＝EG＝x，则BG＝﹣x，再用勾股定理求出x，即可得出结论．【解答】解：（1）CD与⊙O相切，理由：如图1，连接OD，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠CBD，∵∠CDA＝∠CBD，∴∠CDA＝∠ODB，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ADO+∠ODB＝90°，∴∠CDA+∠ADO＝90°，∴∠CDO＝90°，∴OD⊥CD，∴CD与⊙O相切；（2）由（1）知，∠CBD＝∠ADC，∵tan∠ADC＝，∴tan∠CBD＝，