导数的概念资料

江苏省洪泽中学高二数学教学案导数主备人邵刚PAGEPAGE5注重归纳，善于思考，勤于练习，把握细节，相信你一定会学好数学导数的概念【学习目标】1.理解瞬时速度与瞬时加速度的定义，掌握如何由平均速度和平均加速度“逼近”瞬时速度与瞬时加速度的过程。2.理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵。3.会求函数在某点的导数。【新知导学】1.设物体作直线运动所经过的路程为s=s(t).以t0为起始时刻，物体在Dt时间内的平均速度为,当Dt®0时，,这个常数就是物体在t0时刻的瞬时速度.2在求瞬时加速度时,先利用平均变化率求出,再令,求出瞬时加速度.3.导数：设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋近于0时，比值eq\f(Δy,Δx)＝

无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称常数A为函数f(x)在点x＝x0处的导数，记作4.导数的几何意义导数的几何意义就是曲线在点处的.5.导函数（导数）若对于区间内任一点都可导，则在各点的导数也随着自变量的变化而变化，因而也是自变量的函数，该函数称为，记作.【双基演练】1.已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为________.2.一木块沿一斜面下滑，下滑的水平距离与时间t之间的函数关系式为S＝eq\f(1,4)t2(S单位：m)，当t＝3s时，此木块在水平方向上的瞬时速度为________．3.函数y＝x3＋1在x＝1时的瞬时变化率是________．4.函数y＝2x2＋4x在x＝3处的导数为________．【范例解读】【例1】已知质点按规律做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)，(1)该质点在前3s内的平均速度；(2)当时，求；(3)求质点在时的瞬时速度．【例2】已知曲线上一点A(1，2)，求(1)点A处的切线的斜率；(2)点A处的切线方程．【例3】已知【随堂测试】1.已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16.则P点坐标为___.2.任一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是_______.3.一质点做加速直线运动，其速度与时间的关系是v＝t2＋t＋2(v单位：m/s；时间单位：s)，则质点在t＝2s时的瞬时加速度为_______.4.已知，求曲线在处的切线斜率和切线方程．解析eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝(Δx)2＋3Δx＋3；当Δx无限趋近于0时，(Δx)2＋3Δx＋3无限趋近于3，所以f(x)在x＝1时的瞬时变化率是3.答案34．函数y＝2x2＋4x在x＝3处的导数为________．解析因为Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝2(Δx)2＋16Δx，eq\f(Δy,Δx)＝2Δx＋16.从而当Δx→0时，2Δx＋16→16.所以函数f(x)在x＝3处的导数为16.答案16【范例解读】【例1】已知质点按规律做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)，(1)该质点在前3s内的平均速度；(2)当时，求；(3)求质点在时的瞬时速度．解：∵=4t+2Δt∴(1)当t=0，Δt=3时，=4×0+2×3=6cm/s(2)当t=2，Δt=0.001时，=4×2+2×0.001=8.002cm/s(3)当无限趋近于0时，无限趋近于8，即cm/s．【例2】已知曲线上一点A(1，2)，求(1)点A处的切线的斜率；(2)点A处的切线方程．解：(1)∵∴，，所以点A处的切线的斜率为4．(2)点A处的切线方程是即。【例3】已知解：∵∴【随堂测试】1.已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16.则P点坐标为__P(3,30)._.2.任一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是___3_____.3.一质点做加速直线运动，其速度与时间的关系是v＝t2＋t＋2(v单位：m/s；时间单位：s)，则质点在t＝2s时的瞬时加速度为___5m/s2._____.4.已知，求曲线在处的切线斜率和切线方程．【课后作业】1．若做直线运动的物体的速度(单位：m/s)与时间(单位：s)的关系为v(t)＝t2－2，则在前4s内的平均速度是________，在t＝4s时的瞬时速度是________．解析v＝eq\f(v（4）－v（0）,4－0)＝4(m/s)，v＝eq\f(v（4＋Δt）－v（4）,Δt)＝Δt＋8，当Δt趋向于0时，v趋向于8，因此，第4s末的瞬时速度为8m/s.答案4m/s82．函数y＝x3＋1在x＝1时的瞬时变化率是________．解析eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝(Δx)2＋3Δx＋3；当Δx无限趋近于0时，(Δx)2＋3Δx＋3无限趋近于3，所以f(x)在x＝1时的瞬时变化率是3.答案33．已知曲线y＝2x3上一点A(1，2)，则A处的切线斜率为________．解析∵y＝2x3，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2（x＋Δx）3－2x3,Δx)＝eq\f(2（Δx）3＋6x（Δx）2＋6x2（Δx）,Δx)＝2(Δx)2＋6x(Δx)＋6x2.∴当Δx无限趋近于0时，eq\f(Δy,Δx)无限趋近于6x2，∴点A(1，2)处切线的斜率为6.答案64．已知物体运动的速度与时间t之间的函数关系为v(t)＝t2＋2t＋2，则t＝1秒时的瞬时加速度为________．解析eq\f(Δv,Δt)＝eq\f([（1＋Δt）2＋2（1＋Δt）＋2]－（12＋2×1＋2）,Δt)＝4＋Δt，则当Δt无限趋近于0时，可得瞬时加速度为4.答案45．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝eq\f(3,2)处的瞬时变化率是________．解析∵eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(f（\f(3,2)＋Δx）－f（\f(3,2)）,Δx)＝－Δx－3，当Δx无限趋近于0时，eq\f(Δf,Δx)无限趋近于－3.答案－36．已知曲线y＝eq\f(1,2)x2－2上一点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(3,2)))，则过点P的切线的倾斜角为__45°______．7．在曲线y=x2上的点处的切线的倾斜角为8．已知直线x－y－1＝0与曲线y＝ax2相切，则a＝________.9．一质点沿直线运动，运动方程为s＝－4t2＋8t＋10，时间t的单位为s，路程s的单位为m.(1)计算[t，t＋Δt]内的平均速度；(2)求当t＝1s和t＝2s时的速度．解(1)v＝eq\f(s（t＋Δt）－s（t）,Δt)＝－4Δt＋8－8t；(2)当Δt无限趋向于0时，v无限趋向于8－8t，因此t＝1s时的速度为0m/s，t＝2s时的速度为－810．已知曲线y＝2x2＋1上一点A(2，9)，求曲线在点A处的切线斜率．解∵eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2（x＋Δx）2＋1－2x2－1,Δx)＝4x＋2Δx，∴当Δx无限趋近于0时，eq\f(Δy,Δx)无限趋近于4x，∴f(x)在点A(2，9)处的切线斜率为8.11．如果一个质点从固定点A开始运动，时间t的位移(单位：m)函数为y＝f(t)＝t3＋3，求当t＝4s时的瞬时速度．解∵质点在t＝4s到(4＋Δt)s的位移改变量Δy＝(Δt＋4)3＋3－(43＋3)＝(Δt)3＋12(Δt)2＋48Δt，∴该时间段内的平均速度v＝eq\f(Δy,Δt)＝eq\f(（Δt）3＋12（Δt）2＋48Δt,Δt)＝(Δt)2＋12Δt＋48.∴当Δt→0时，v→48.∴质点在t＝4s时的瞬时速度为48m12.利用导数的定义，求函数y＝eq\f(1,x2)＋2在点x＝1处的导数．解∵Δy＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,（x＋Δx）2)＋2