2020-2021学年湖北省鄂州市八年级（下）期末数学试卷 （解析版）

20202021学年湖北省鄂州市八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（共10个小题，共30分）

1.若式子小有意义，则x的取值范围是()

A.x<0B.40C.x>0D.xWO

2.若正比例函数的图象经过点（2,4),则这个图象也必经过点（)

A.(2,1)B.-2)C.(1,-2)D.(4,2)

3.下列根式中是最简二次根式的是()

V4xB.&C.D.Vx2+y2

4.某学习小组9名学生参加“数学竞赛”，他们的得分情况如表:

人数（人）1341

分数（分）80859095

那么这9名学生所得分数的众数和中位数分别是（）

A.90,90B.90,85C.90,87.5D.85,85

5.如果一次函数y=^+b（ZWO）的图象经过第二象限，且与），轴的负半轴相交，那么（）

A.k>0,b<0B.k>0,b>0C.k<3b>0D.kVO,b<0

6.把（2-x），工的根号外的（2-x）适当变形后移入根号内，得（）

Vx-2

V2-xB・Vx-2C.-V2-xD.-Vx-2

7.小红同学周末在家做家务，不慎把家里的一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，

为了能从玻璃店配到一块与原来相同的玻璃，他应该带其中（）两块去玻璃店.

A.①②B.②④C.②③D.①③

8.如图，在△ABC中，在同一平面内，分别以A3、BC、AC为边向形外作等边△43E、等

边等边△ACG,若且A8=2,BC=3,则SAA8C=()

A.豆B.3C.J5D.-^1

2v2

9.如图，在平面直角坐标系中，直线/：y=x+l交x轴于点A,交y轴于点4,Ai,A3,…

在直线/上，点Bi,B2,&,…在x轴的正半轴上，若△AiOBi,△A2B1&,△A3B2B3,…,

依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第10个等腰直角三角形是AoB/io,

10.在边长为2的等边△ABC中，。是AC上一动点，连接8。，以B。、为邻边作平行

四边形BD4E,则对角线OE的最小值为（）

A.与B.1C.弧D.2

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

H.比较大小

12.某组数据的方差是"=占（XI-4）2+（X2-4）2+…+（X5-4）2］中，则该组数据的总

5

和等于.

13.如图，一个机器人从4地沿着西南方向先前进了4夜米到达8地，观察到原点。地在

它的南偏东60°的方向上，则A、。两地的距离等于米.

14.如图，在菱形ABC。中，E是A。上一点，沿BE折叠△ABE,点4恰好落在8。上的

点F处，连接CF,若/。FC=110°,则NA=

15.已知直线八：y=-2x+3和直线，2：y—x-6,若直线A：y=Ax-2与/人人不能围成三

角形，则&=.

16.如图，在△ABC中，ZACB=90°,边BC在x轴上，AC=9,A8=15,D、E两点分

别在边AC和y轴的正半轴上，现将边长为2的正方形OC£>E沿x轴向右平移，当点。

落在AB边上时，则正方形。CDE移动的距离为.

三、解答题（本大题共8小题，共72分）

17.计算：

⑴（V8-V2）义旧

（2）（n+1）V27+I-731.

18.如图是一个三级台阶，每级台阶都是长、宽和高分别等于90a",25cm和15c/n的长方

体，4和B是这个台阶的两个相对的端点.在A点处有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的

食物，请你算一算，这只蚂蚁从4点出发，沿着台阶面爬到8点，最短路程是多少？

90

19.我市某中学八年级二班数学教师在讲授“轴对称”时，设计了如下四种教学方法，①教

师讲，学生听；②学生自己做；③教师引导学生画图发现规律；④教师让学生对折纸,

观察发现的规律，然后画图.为了调查本班教学效果，要求每位学生选出自己喜欢的一

种，现将调查结果绘制成如图所示的两种统计图.

学生人数

嘉方法

请结合这两幅统计图，解决下列问题：

(1)本班一共有名学生.

(2)请补全条形统计图，并在图上标出相应人数.

(3)若该校八年级共有500名学生，选择方法④约有多少名学生？

20.如图：直线y=2x+3的图象与x轴相交于点4,与y轴交于点B.

(1)求A、B两点的坐标.

(2)点C(a,0)为x轴上一个动点，过点C作x轴的垂线，交直线)，=2+3于点Q,

若线段COV5,求“的取值范围.

21.已知：如图，在平行四边形ABCO中，点E是8C的中点，连接AE并延长交DC的延

长线于点F,连接8F.

(1)求证：AABE丝AFCE.

(2)若4尸=4。，猜想：四边形ABFC是否是矩形？请证明猜想.

22.某药店购进N95型口罩和普通医用口罩共4000包，这两种口罩的进价和售价如下表所

75：

N95口罩普通医用口罩

进价(元/包)186

售价(元/包)229

若该药店购进普通医用口罩X包，两种口罩全部销售完后可获得利润为y元，请解决下

面问题.

(1)求出利润y与x的函数关系式.

(2)已知N95口罩的数量不多于普通医用口罩数量的3倍，该药店决定：不管何种类型

口罩，每销售一包口罩，就抽出a(a>0)元钱捐给正在接种新冠肺炎疫苗的医疗机构.所

有口罩都销售完后，若除去捐款后，所获得的最大利润为11000元，求a的值.

23.如图，四边形ABC。是正方形，点P是线段AB的延长线上一点，点M是线段A8上一

点，连接。M,以点M为直角顶点作交NCBP的角平分线于N,过点C作”

//MN交AD于E,连接EM,CN,DN.

(1)求证：DM=MN.

(2)求证：EM//CN.

24.如图1,在平面直角坐标系，点A(-3,0),点B(0,4),点E从点A出发，以每

秒1个单位的速度沿AB方向运动，同时点C从点0出发，以每秒0.6个单位长度沿OA

方向运动，设运动时间为f秒(0<?<5).

(1)当△AEC是等腰三角形且CE为底时(如图1),求AC的长.

(2)在(1)间的条件下，如图2,若点。(0,-|),连接CQ、DE,四边形ACDE能

否是菱形？试证明之.

(3)在第(2)问条件下，如图3,直线AQ上是否存在点凡满足若存

在，求出点尸的坐标，若不存在，说明理由.

参考答案

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1.若式子小有意义，则x的取值范围是（）

A.x<0B.x20C.x>0D.xWO

【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数，即可得出答案.

解：式子道有意义，则x的取值范围是x20.

故选：B.

2.若正比例函数的图象经过点（2,4）,则这个图象也必经过点（）

A.（2,I）B.（-1,-2）C.（1,-2）D.（4,2）

【分析】设正比例函数解析式将点（2,4）代入可求函数解析式y=2x,再结合

选项进行判断即可.

解：•.•正比例函数的图象经过点（2,4）,

设正比例函数解析式）=依，将点（2,4）代入可得上=2,

二・函数解析式y=2x,

将选项中点代入，可以判断（-1,-2）在函数图象上；

故选：B.

3.下列根式中是最简二次根式的是（）

A.V4xB.C.在D.i/x2+y2

【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可.

解：A.倔的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合

题意；

B.4的被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；

C.需的被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；

D.+y2是最简二次根式,故本选项符合题意；

故选：D.

4.某学习小组9名学生参加“数学竞赛”，他们的得分情况如表：

人数（人）1341

分数（分）80859095

那么这9名学生所得分数的众数和中位数分别是（）

A.90,90B.90,85C.90,87.5D.85,85

【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的

平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，可得答案.

解：在这一组数据中90是出现次数最多的，故众数是90；

排序后处于中间位置的那个数是90,那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是90；

故选：A.

5.如果一次函数〉=区+6（%#0）的图象经过第二象限，且与y轴的负半轴相交，那么（）

A.k>0,b<0B.k>0,b>0C.kVO,b>0D.Z<0,b<0

【分析】由一次函数图象经过第二象限及一次函数图象与），轴的负半轴相交，可得出一

次函数），=履+方awo）的图象经过第二、三、四象限，再利用一次函数图象与系数的关

系，可得出“<0,h<0.

解：依题意可知：一次函数〉=依+匕（AWO）的图象经过第二、三、四象限，

：.k<0,b<0.

故选：D.

6.把（2-x）「工的根号外的（2-x）适当变形后移入根号内，得（）

Vx-2

A・V2_xB.弋._2C.--2-xD.-Vx-2

【分析】根据二次根式有意义的条件可以得到2-x<0,根号外的（2-幻提出负号后移

入根号内即可.

解：（27）怎=一（-2）怎=_,、_2）2><£=一仙，

故选：D.

7.小红同学周末在家做家务，不慎把家里的一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，

为了能从玻璃店配到一块与原来相同的玻璃，他应该带其中（）两块去玻璃店.

A.①②B.②④C.②③D.①③

【分析】确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题.

解：只有②④两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是

平行四边形的顶点,

...带②④两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小.

故选：B.

8.如图，在△ABC中，在同一平面内，分别以48、BC、AC为边向形外作等边△ABE、等

边△BCF、等边AACG,若SAAEB+S(MCG=SABCF,且AB=2,BC=3,则&ABC=()

G

F_

A.豆B.3C.J5D.

22_

【分析】根据等边△A8E、等边△BCF、等边△ACG,可得S^AEB^^-AB2,S"CG=1G,

44

SABCF-^-^-HC2,再根据5AAEB+5A4CG=SABCF,可以证明△ABC是直角三角形，根据勾股

4

定理可得AC的长，进而可得△ABC的面积.

解：...以A&BC、AC为边向形外作等边△A8E、等边△8CF、等边aACG,

2

：.S&AEB=^-AB,SAACG=®AC,SABCF=®BC,

444

SAAEB+SMCG=S>BCF,

：.返Af+返AG-返BC2,

444

.♦.4B2+A-

...△ABC是直角三角形,

AZBAC=90°,

"：AB=2,BC=3,

.•.AC=1BC2-AB2=巡，

S/\ABC―^XX2X

故选：C.

9.如图，在平面直角坐标系中，直线/：y=x+l交x轴于点A,交y轴于点Ai,A2,A3,…

在直线/上，点Bi,B2,…在x轴的正半轴上，若△AiOBi,△A281&,△A3B2B3,…，

依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第10个等腰直角三角形是AO&BM

【分析】根据题意分别求出B\(1,0),&(3,0),B3(7,0),由点的坐标规律可

得(2"-1,0).

解：直线y=x+l与x轴、y轴的交点分别为(-1,0),(0,1),

,04=1,

△■曲&,△A3&B3,…，依次均为等腰直角三角形，

：.B\(1,0),

AA2(1,2),

：.Bi(3,0),

."3(3,4),

".A3B2—4,

：.Bi(7,0),

顶点B“的坐标为&(2«-1,0),

二点80的横坐标为：21。-1=1023.

故选：B.

10.在边长为2的等边△A8C中，。是AC上一动点，连接8。，以80、A。为邻边作平行

四边形8D4E,则对角线。E的最小值为()

A

E，

~~\c

A.退B.1C.JgD.2

2

【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OOLAC时，线段。E取

最小值.

解：如图，AB与OE相交于点0,

在△ABC中，NBAC=6Q°,

•.•四边形4OBE是平行四边形，

：.OD=OE,0A=0B.

：.当0D取最小值时，线段DE最短，此时OOJ_AC.

:点。是A8的中点，

：.0A^—AB^l,

2

'：ZODA=9QQ,04=1,N84C=60°,

：.0D=叵,

2

:.ED=20D=M，

故选：C.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

H.比较大小<JQ.

【分析】根据2<3即可得出答案.

解：V2<3,

:.近

故答案为：V.

12.某组数据的方差是"=占（》-4）2+（也-4）2+…+（X5-4）2]中，则该组数据的总

5

和等于20.

【分析】样本方差S2=-^-X[（XI-4）2+（X2-4）2+…（X5-4）2],其中n是这个样本的

5

容量，W是样本的平均数.利用此公式直接求解.

2

解：VS=—X[（X1-4）2+（X2-4）2+…（⑥-4）2],

5

.♦•共有5个数据，这5个数据的平均数为4,

则该组数据的总和为4X5=20,

故答案为：20.

13.如图，一个机器人从4地沿着西南方向先前进了4&米到达8地，观察到原点。地在

它的南偏东60°的方向上，则A、。两地的距离等于—±巨）米.

--------3—

【分析】过点8作8C_LOA于C,由等腰直角三角形的性质得AC=BC=UX1B=4（米）,

_2

再由含30°角的直角三角形的性质得OC=±1BC=W返（米），即可求解.

33

解：如图，过点2作8CJ_OA于C,

在RtZk4BC中，AB=4&米，N8AC=45°,

：.AC=BC=J^AB=4（米）.

2

在RtZXOBC中，NOBC=90°-60°=30°,

.•."=退点=生区（米），

33

：.AO=AC+CO^（4+2叵）米，

_3

故答案为：（4+&区）.

3

14.如图，在菱形ABC。中，E是AO上一点，沿8E折叠△A8E,点4恰好落在8。上的

【分析】根据菱形的性质得到48=8C,根据折叠的性质得到A8=8F,根据等腰三角形

的性质得到户C=N3CF,求得/C8D=40°,根据平行线的性质即可得到结论.

解：•・•四边形A8CD是菱形，

：.AB=BC,

•・・折叠△ABE,点A恰好落在8。上的点尸处，

:.AB=BF9

：.BF=BC,

:./BFC=/BCF,

VZDFC=110°,

:./BFC=/BCF=70。,

AZCBD=40°,

・・・NA8C=2NOBC=80°,

•:AD//BC,

：.ZA=1800-ZABC=100°,

故答案为：100°.

15.已知直线/i：y=-2x+3和直线/2：y=x-6,若直线b：y=Ax-2与6、6不能围成三

角形，则左=-2或1或二.

【分析】根据"直线/3与/K，2不能围成三角形”可知人〃/3或/2〃/3或三条直线交于一

点，解之即可得女的值.

解：•••直线/3与/|、/2不能围成三角形，

，有三种情况：

/|〃，3或/2〃，3或三条直线交于一点，

.,.当人〃/3时,，k=-2,

当，2〃/3时，k=l,

当三条直线交于一点时，

Jy=-2x+3

Iy=x-6

（v=Q

解得1,即交点坐标为（3,-3）,

ly=-3

把（3,-3）代入，3得：-3=3%-2,

解得k=-

故答案为：-2或1或

O

16.如图，在△ABC中，ZACB=90°,边BC在x轴上，AC=9,AB=15,D、E两点分

别在边AC和y轴的正半轴上，现将边长为2的正方形OC£>E沿x轴向右平移，当点D

落在AB边上时，则正方形。CDE移动的距离为—.

—3-

【分析】根据已知条件得到8c=12,可得顶点A,B的坐标分别为（-2,9）和（10,0）,

根据正方形的性质得到OE=OC=OE=2,求得O'E'=0'C'=2,根据相似三角形

的性质得到BU=与于是得到结论.

解：如图，设正方形O'C'O'E'是正方形。CDE沿x轴向右平移后的正方形,

•••BC=VAB2-AC2=V152-92=12>

••,正方形OCDE边长为2,

二顶点A,8的坐标分别为(-2,9)和(10,0),

•.•四边形OCDE是正方形，

:.DE=OC=OE=2,

：.O'E'=0'C=2,

'：E'O'LBC,

：.ZBO'E'=NBC4=90°,

：.E'O'//AC,

:ABCD's^BCA,

.D'C'一BC'

ACBC-，

.2_BCy

912

：.BC=—,

3

：.OC=OB-BC=10--=—,

33

33

二当点。落在AB边上时，点。的坐标为（券，2）,

正方形OCDE移动的距离为学.

故答案为：害.

O

三、解答题（本大题共8小题，共72分）

17.计算：

（1）X

（2）（n+1）V27+I-V3l.

【分析】(1)根据二次根式的乘法法则运算:

(2)根据零指数幕的意义、绝对值的意义和二次根式的性质计算.

解:(1)原式=

=2-1

=1;

(2)原式=1-3后F

=1-2百

18.如图是一个三级台阶，每级台阶都是长、宽和高分别等于90。"，25cm和15a”的长方

体，A和B是这个台阶的两个相对的端点.在A点处有一只蚂蚁，想到8点去吃可口的

食物，请你算一算，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到8点，最短路程是多少？

B

【分析】展开后得到直角三角形ACB,根据题意求出AC、BC,根据勾股定理求出即

可.

解：展开后由题意得：/C=90°,AC=3X25+3X15=120,BC=90,

22=

由勾股定理得：VAC+BCV1202+902=150c/w,

答：最短路程是150c”?.

19.我市某中学八年级二班数学教师在讲授“轴对称”时，设计了如下四种教学方法，①教

师讲，学生听；②学生自己做；③教师引导学生画图发现规律；④教师让学生对折纸，

观察发现的规律，然后画图.为了调查本班教学效果，要求每位学生选出自己喜欢的一

种，现将调查结果绘制成如图所示的两种统计图.

学生人数

22i-------

20-

18-

16-

14--------

12-

108-

6

4

2

0

方

法

①

请结合这两幅统计图，解决下列问题：

（1）本班一共有50名学生.

（2）请补全条形统计图，并在图上标出相应人数.

（3）若该校八年级共有500名学生，选择方法④约有多少名学生？

【分析】（1）根据本班的总人数=选择方法①的人数+选择方法①人数占本班总人数的

百分比；

（2）用本班总人数减去选择方法①、③、④的人数，得出选择方法②的人数，在条形统

计图中表示出来即可；

（3）样本中选择方法④的人数占了44%,根据样本估计总体求解即可.

【解答】（1）本班的学生总人数：64-12%=50（名）；

故答案为：50；

（2）选择方法②的人数：50-6-14-22=8（名），

不全条形统计图如下：

学生人数

教学方法

(3)500X44%=220(名)，

答：若该校八年级共有500名学生，选择方法④约有220名学生.

20.如图：直线y=〃+3的图象与》轴相交于点A,与y轴交于点3.

(1)求4、B两点的坐标.

(2)点C(a,0)为x轴上一个动点，过点C作x轴的垂线，交直线y=2x+3于点，

若线段CD<5,求〃的取值范围.

【分析】(1)令y=0,求出4(得，0),令x=0,求出B(0,3)；

(2)由题意可知。(a,2a+3),则CD=|2a+3|<5,解得：-4<a<l即为所求.

解：(I)当y=0时，x———■>

点的坐标为(,，0),

当x=0时，y=3,

••.B点的坐标为(0,3)；

(2)；CZ)_Lx轴，C(a,0),

:・D(a,2(7+3),

：.CD=\2a+3\=5f

解得：-4<〃V1,

・•・〃的取值范围是：-4V〃V1.

21.已知：如图，在平行四边形A5CD中，点七是8C的中点，连接AE并延长交。。的延

长线于点F,连接BF.

(1)求证：ABEQXFCE.

(2)若A尸=AO,猜想：四边形ABbC是否是矩形？请证明猜想.

D

【分析】(1)根据平行四边形的性质得出AB〃OC,根据平行线的性质得出NBAE=N

CFE,求出BE=CE,再根据全等三角形的判定定理4As推出即可；

(2)根据△A8E会△尸CE推出AB=FC,根据平行四边形的判定求出四边形ABFC是平

行四边形，求出AQ=8C=AF,再根据矩形的判定得出即可.

【解答】(1)证明：•••四边形ABC。是平行四边形，

J.AB//DC,

BPAB//DF,

：.NBAE=NCFE,

•・•点E是8c的中点，

；.BE=CE,

在△ABE和△氏?£中，

"ZBAE=ZCFE

<NAEB=/FEC，

BE=CE

:.△ABEgXFCE(AAS)；

(2)解：四边形ABFC是矩形，

理由是：VAABf^AFCE,

J.AB^FC,

'：AB//FC,

四边形A8FC是平行四边形，

四边形ABCD是平行四边形，

：.AD=BC,

\'AF^AD,

J.AF^BC,

四边形ABFC是矩形.

22.某药店购进N95型口罩和普通医用口罩共4000包，这两种口罩的进价和售价如下表所

z5：

N95口罩普通医用口罩

进价（元/包）186

售价（元/包）229

若该药店购进普通医用口罩x包，两种口罩全部销售完后可获得利润为y元，请解决下

面问题.

（1）求出利润y与x的函数关系式.

（2）已知N95口罩的数量不多于普通医用口罩数量的3倍，该药店决定：不管何种类型

口罩，每销售一包口罩，就抽出a（a＞0）元钱捐给正在接种新冠肺炎疫苗的医疗机构.所

有口罩都销售完后，若除去捐款后，所获得的最大利润为11000元，求a的值.

【分析】（1）根据利润=（售价-进价）X销售量列出y与x的函数关系式即可；

（2）由N95型口罩的数量不多于普通医用口罩数量的3倍，列出不等式解出自变量的取

值范围，得出y与x的函数关系式，利用获得的最大利润为11000元，求出〃的值即可.

解：（1）根据题意得：y=（4000-x）（22-18）+（9-6）x,

整理得：y--x+16000；

（2）依题意，＞•=-x+16000-4000a,

又驷』＜3，

x

A1000,又％=-lV0,

；.），随着x的增大而减小，

.,.当x=1000时,y最大=11000,

代入解析式中得11000=-1000+16000-4000a.

23.如图，四边形ABC。是正方形，点P是线段AB的延长线上一点，点M是线段4B上一

点，连接。M,以点M为直角顶点作交/C2P的角平分线于N,过点C作CE

//MN交AD于E,连接EM,CN,DN.

（1）求证：DM=MN.

（2）求证：EM//CN.

（3）若AE=1,8N=3&,求ON的长.

【分析】(1)在边DA上截取线段DF,使DF=MB,根据ASA证明

解答即可；

(2)根据4sA证明进而利用平行四边形的判定解答即可；

(3)过N作NQJ_AP垂足为。根据全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可.

•・•四边形A8CZ)是正方形，

：.AD=ABfZA=ZABC=90",

♦：DF=BM,

：.AF=AMf

・・・/\FAM是等腰直角三角形，

二•NA尸M=45°,

：.ZDFM=U5°,

・・・NC5尸的角平分线BN,

:./CBN=45°,

：.ZMBN=\35°,

:・NDFM=NMBN,

：.NNMB+/AMD=90°,

VZAMD+ZFDM=9QQ,

:"NMB=/FDM,

:・AMDF冬ANMB(ASA),

:.DM=MN.

(2),:CE〃MN,DM1,MN,

:.DM.LCE9

:・/DEC+NEDM=90°,

VZAMD+ZEDM=90Q,

:・/DEC=/AMD,

・・•四边形ABC。是正方形，

：.DC=AD,ZEDC=ZMAD=90°,

：./\EDC^/\MAD(ASA).

:,EC=DM,

•:DM=MN,

:・EC=MN,

■:EC//MN.

：.四边形EMNC为平行四边形.

J.EM//CN.

(3)过N作NQ_L4P垂足为。.

由(2)知，AEDC^AMAD,

:.DE=MA9

*：AD=AB,

：.AD-DE=AB-AM,

即AE=MB=l,

•:BN平分/CBP,

・・・NNBQ=45°,

•••△N8Q是等腰直角三角形，

222-

在RtANBQ中，设BQ=x,则NQ=BQ=x,BPx+x=(372)

，x=3.

:,NQ=3,MQ=1+3=4,

在Rt/\MQN中，MN=V32+42=5»

又「在RtZXQMN中，MN=5,DM=5,

；•DN=V52+52=&V2-

24.如图1,在平面直角坐标系，点A(-3,0),点、B(0,4),点E从点A出发，以每

秒1个单位的速度沿AB方向运动，同时点C从点O出