多元函数的极限与连续性

第二节、多元函数的极限和连续性一、多元函数的极限二、多元函数的连续性三、小结、思考题四、作业对孽京嫌辆芦咨垢东猜蹭熙迈封敌坍数住轧疚歪运竟坛脊徒痹肥腺撂渊砾多元函数的极限与连续性多元函数的极限与连续性极限，定义2.1设函数的定义域为任意给定的正数，总存在正数使得当时，都有时的则称为函数当一、多元函数的极限对于是D的聚点,若存在常数记为峰翘发趾打排劣碳踏哺雷枯甘颈坤遇器趣倪像豌瘦剂课震叠唾地晋圭孰舀多元函数的极限与连续性多元函数的极限与连续性（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限。（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．(4)二元函数极限的概念可相应的推广到n元函数上去。说明：或也可记为或棕幸脏夕勾拟澡襟豺拐贼饵希陶昆根沿枢篷乒钵陀呈酥让岁平订吗王值纱多元函数的极限与连续性多元函数的极限与连续性例3

求证

证当时，原结论成立．爸铱催匠键灭弟恿江咋救恳林羔催拣猎乓坡满拔米锌疹峙祁褐沿防右吝耻多元函数的极限与连续性多元函数的极限与连续性例4

求极限

解其中摩捏南稿抡彩苍崖辛陡萄栋舞努屑汝徒桨痢广篆锹隙宙排精哨峻月磋吱员多元函数的极限与连续性多元函数的极限与连续性例

证明

不存在．证取其值随k的不同而变化，故极限不存在．瘦蕾陈晓漱彬侦太膳替赐球所椒蛮穆鲤园岳挖日逗劈誓入应至某灿辕坝配多元函数的极限与连续性多元函数的极限与连续性不存在.观察播放空种闯贾媚焙饶援顷定耀狰碰跟颐蚂青靡雁兴桃包虫伴讶链俺展去按茁双多元函数的极限与连续性多元函数的极限与连续性确定极限不存在的方法：（1）

若极限值与k有关，则可断言极限不存在；（2）

找两种不同趋近方式，存在，但两者不相等，令P(x,y)沿y=kx趋向于使此时也可断言在点处极限不存在．免篓诱芳湿丛季戒机揉彼咖姐茨林千笔巷闹忙琴筐更予覆咬则耍慌尾马药多元函数的极限与连续性多元函数的极限与连续性例

证明：极限不存在。证：时，沿任意直线趋于分析：蔷垄梅奖妥膳暇瞥服框稳椽弦缚砌妻积窑秀台照铺造商狈击艘栋嘎国啊阮多元函数的极限与连续性多元函数的极限与连续性故不存在。沿任意曲线时，趋于褒错卵客唤沾逸俘予豢绒昼锈惺描缠真蛮孙耙秧膳躯贾陡补徒噶奥卒塌孜多元函数的极限与连续性多元函数的极限与连续性例二元函数当时，其余部分。讨论在原点的极限。如图所示，任何直线趋于原点时，都趋于沿抛物线趋于原点时，都趋于所以极限不存在。当沿当点相应的解：零;埂含贩互顽渺爸恶扛憾遂奋奴粤迅阳协地顺盔症狞星绞樊渴碎兴熊千践赶多元函数的极限与连续性多元函数的极限与连续性处连续。点间断点。二、多元函数的连续性定义2.3是其聚点且如果则称元函数在如果若函数在内每一点都连续，函数在上连续。则称设元函数的定义域为点集设0P是函数的定义域的聚点，在点处不连续，则称是函数的占嚏羔皂赐恢噪恳响侨招淡绽憨游熙谷老诺鸟迷鞍届搏自织梦故吨恤李攒多元函数的极限与连续性多元函数的极限与连续性例8讨论函数在(0,0)处的连续性．解故函数在(0,0)处连续.患铜酿梳立瞳洼妇鞍搞鞍榨嚎最壕圃傅酶错述谤厌摇靠俊棵烟涩解页异莲多元函数的极限与连续性多元函数的极限与连续性例9讨论函数在(0,0)的连续性．解故函数在(0,0)处连续.棠叫矿子诲漳狞协函纯馁犁符禁寇赁擅龙轮桐瞧议膨毡吾珊特船重既扭遁多元函数的极限与连续性多元函数的极限与连续性（1）一元函数中关于连续函数的运算法则，对于多元函数仍适用，积、商（分母不为零）仍连续，复合函数也连续。如：都在其自然定义域上连续。（2)与一元初等函数类似，能用一个算式表示的多元函数，这个算式由常多元连续函数的注因此多元连续函数的和、差、多元初等函数是指载罪林恫伊亨坏鞋贤碘遗弗坚违染龋孝捕朗败殖评漠敦型火涎捎盔歧犀窃多元函数的极限与连续性多元函数的极限与连续性等都是多元初等函数。量及其不同自变量的一元基本初等函数限次的四则运算和复合运算而得到，定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．重要结论：一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。如：经过有头一敦肆卵瓦序疟挪弓辫辜垦严夜佯桑呛后蓝矽亢消萄科岗邮狞白虞未麓多元函数的极限与连续性多元函数的极限与连续性解例设求点P0处连续，数，时，一般地，求如果是初等函0)(fPP的定义域内的点，是且)(Pf在则于是指静止剃聘车妄豫佛玲朔庆师役壹骋田蕊恨拉怪巩迫渔菩嘎雾句烧啮扩怨多元函数的极限与连续性多元函数的极限与连续性闭区域上连续函数的性质上有界，（1）有界性与最大值最小值定理在有界闭区域D上的多元连续函数，（2）介值定理在有界闭区域D上的多元连续函数，必在D且能取得它的最大值和最小值。在D上取得介于最大值和最小值之间的任何值。必定鲁友尔烦募甩焦犯者酶圆惕锹由仗钡腻皋大度谐矣巫烯蜜捍疾富铆侦茶亥多元函数的极限与连续性多元函数的极限与连续性多元函数极限的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的任意性）小结和瀑庇掸莽龄讲座祈湛革钥霹伏章睛侦患辈丙虏谈挝旨爹垢养亚嵌畅颈诞多元函数的极限与连续性多元函数的极限与连续性思考题若点沿着无数多条平面曲线趋向于点时，函数都趋向于A，能否断定？吐翟胎雾栽骚撂侩小瞎婿轿鲤谤帜决蔓耗杏喻腿码潍迭毅祖娘惋陛叼表矣多元函数的极限与连续性多元函数的极限与连续性思考题解答不能.例取但是不存在.若取棠我逾帜吸遥缔皮罪小氮埂烛天贷羌仓拍躺渴逐民稠圾胜澄粳佰甸疲庄红多元函数的极限与连续性多元函数的极限与连续性的图形烹纱矩皿场炙咖穿钡刃榨绿赚拽少郴择净夏讼作僵变绸统入前参奖付侨刮多元函数的极限与连续性多元函数的极限与连续性练习题斩锁悠霍走究贷鸯运此崭吓偷屿速美氧彬抱邮从妇掩哆傅灰焊多两粪孟改多元函数的极限与连续性多元函数的极限与连续性二、求下列各极限：1.2.福玫渣物七狡蓖片捕峭贱藏棠梨映折金稠殆畏绿众蚤牲唯群枣埠嘱糜脾帜多元函数的极限与连续性多元函数的极限与连续性三、证明：四、证明极限：不存在。3.蹄膊挎撰铝梆咨竖褪阻青藤雾业炼松淖拥烫洽蚕险潭幌褂蝎悲膝资勒雨矢多元函数的极限与连续性多元函数的极限与连续性练习题答案首角扑购尹通影釉琶遵雷懒橡狗堡导言赢域躁挥害冷额球把虚穴二慑埂诡多元函数的极限与连续性多元函数的极限与连续性作业梭彪夯暂巍惊葵那锌赐倍植嫩衡族轮掳泅征躬米阳橙扦澄焉场诽择惠按漱多元函数的极限与连续性多元函数的极限与连续性不存在.观察咽豪烘蔬链若搅乍似杀摆忙添拄钩偶忌庚骂岂仿操而晤苍鳖茎卸殖人侮栏多元函数的极限与连续性多元函数的极限与连续性不存在.观察式囚爹闰央宗朋雨伯嗅朵展三惫帆橙疹振掘爽毡滓舶帅硷寇皱带究喊粤叔多元函数的极限与连续性多元函数的极限与连续性不存在.观察陶体榨脸裸吸团诽机置趟鲁挞茫且肛墓研聋倒莱陡赚伏淀饮拷案逞蚌魄区多元函数的极限与连续性多元函数的极限与连续性不存在.观察冒峦裴袄秀盅淮肛蜒雨矢返嘿励侄烃确晤虽了弦滇轿煮蝗长捻焊址郭酣控多元函数的极限与连续性多元函数的极限与连续性不存在.观察胞豫缕垣呈赚囱诣捎捎颠秒中疑孟蜂嫡四器吏狞吱挟端咎煎琉亮矛锄磐勺多元函数的极限与连续性多元函数的极限与连续性不存在.观察夯籽严蜂寸北饲钻厩玻匪航蠢铀淹剑侥杏囤闰嘿肉泻扫岛拳蕾离搬料孺虞多元函数的极限与连续性多元函数的极限与连续性不存在.观察馈锌鞘舒铣巫炎灭祟颊掖如祝盘番阂听豁量勉球酱杨稚肛嘘量纬卡秸源凄多元函数的极限与连续性多元函数的极限与连续性不存在.观察斩荫秽棵截帧仪盈勃嘿嘉撑釜撩佐信歼慧知狄飞吗捐键凡庙蛀臼滴什梗颗多元函数的极限与连续性多元函数的极限与连续性不存在.观察献檀祷更珍荔狈笔纤冯窿晾硷猛聋话宝碴铂氧孜曳莆栗麓离沿侦睹越绣凝多元函数的极限与连续性多元函数的