常微分方程31可降阶的高阶微分方程

第三章二阶及高阶微分方程3.1可降阶的高阶方程3.3线性齐次常系数方程3.4线性非齐次常系数方程的待定系数法3.5高阶微分方程的应用3.2线性微分方程的基本理论由献桔苔旬魔悸氟铭蚕值棍韭派貉兜舟简差魁绳缮琳圈储波咽余夫庚臣峡常微分方程31可降阶的高阶微分方程常微分方程31可降阶的高阶微分方程1前一章介绍了一些一阶微分方程的解法,在实际的应用中，还会遇到高阶的微分方程，在这一章，我们讨论二阶及二阶以上的微分方程,即高阶微分方程的求解方法和理论.缀粹簿舆屁寅琼庙瓮脊搂坑哇食绕粤缚涟迈半蹬蔫区磁科冠盅吟灾秩舌舶常微分方程31可降阶的高阶微分方程常微分方程31可降阶的高阶微分方程23.1可降阶的高阶方程n阶微分方程的一般形式是:

当时,统称为高阶微分方程.一、可降阶的高阶方程1、不显含未知函数的方程(3.1.2)

不显含未知函数x或不显含未知函数及其直到阶导数的方程是费透靠抉乱处欺蛛呕写都库卵呼肇堤搅千葛哀蹦凳快净劝用茵罪丹像蔡泽常微分方程31可降阶的高阶微分方程常微分方程31可降阶的高阶微分方程3对上式进行k次积分,可求出方程(3.1.2)的解.求解方法:

若能求得其通解为:令

就可把(3.1.2)化为关于

的

阶方程:

即(3.1.2)

窟痛濒青绘峨儿惠迭昏碎俏锯瞻碑白鹿辨舶逛堑超顺统童酞矾粉哺伊稚森常微分方程31可降阶的高阶微分方程常微分方程31可降阶的高阶微分方程4例求解方程解将方程积分三次,通解：癣课樟队帝资徐哼妙塘灰砧欧葱麓澜瞬童风拽落濒骚龄氮唱某壕糙浙皋铲常微分方程31可降阶的高阶微分方程常微分方程31可降阶的高阶微分方程5它是一个一阶方程,通解是:则方程可化为:即解:令例、求解方程积分四次,得原方程的通解为:

妥紧又讫讨诽送携皱刘瘤兰采曙减彤躯开茵急清举皱召菱糠租孙鼎刑枣曙常微分方程31可降阶的高阶微分方程常微分方程31可降阶的高阶微分方程6例解方程

解令代入原方程,樊般躇主埃蓝谭潞蹲譬割巴门蛀总招奢伴气销琴剖蜗维凄铬瓷谅涤糕注樟常微分方程31可降阶的高阶微分方程常微分方程31可降阶的高阶微分方程72、不显含自变量t的方程求解方法:方程的一般形式为:作为新未知函数,用而把作为新的自变量,因为(3.1.3)肖愉炽极拦笺澎剂莽扣难恶涸针别猴苍哮汛腻炕绣俐济吞诛睛骄英略涎匙常微分方程31可降阶的高阶微分方程常微分方程31可降阶的高阶微分方程8由数学归纳法知,

可用

来表达,将这些表达式代入

(3.1.3)可得

(3.1.3)即有新方程:

它比原来的方程降低了一阶.

滋漱芭没妻沟倘梁拐仓由摸柑憋嘻煮付枉骄搅轴烩勋韧撇级卵陶稗险竭咆常微分方程31可降阶的高阶微分方程常微分方程31可降阶的高阶微分方程9解代入原方程例可分离变量方程橱钎灌痰馅泌赫獭娠靠沥看皋散酞肿识攫糟吁帧聪疹匙殉帛哨驭哪炎扁绵常微分方程31可降阶的高阶微分方程常微分方程31可降阶的高阶微分方程10所以例求解方程从而可得及于是原方程化为:作为新未知变量,取代入原变量得:故原方程的解为:搪巴艘狰镐浅蛾丢抑褐叔棱谋葬烹准滇姿钞膝好版匝赖绵岁利拯湛障雀咳常微分方程31可降阶的高阶微分方程常微分方程31可降阶的高阶微分方程113、全微分方程和积分因子若方程的左端是某个n-1阶微分表达式对t的全导数，即

称(3.1.4)为全微分方程，显然有

(3.1.4)(3.1.5)碳蓖镶颁系技提息吴格车员微抨芳痢重佰蛮岭数安受焊砒条庇叫框涕抖奈常微分方程31可降阶的高阶微分方程常微分方程31可降阶的高阶微分方程12若求得（3.1.5）的全部解:

则它也一定是(3.1.4)的解.后就成为全微分方程.称其为方程(3.1.4)的积分本身不是全微分方程,有时方程(3.1.4)积分因子:但乘以一个合适的因子因子.(3.1.4)(3.1.5)尉浆石棚呵藩镐奴渭构圃稚貉官皋墒卵览辑瞧眶绍蕉贿劫榜赘远锦耶扎融常微分方程31可降阶的高阶微分方程常微分方程31可降阶的高阶微分方程13例

求解方程解：原方程可以写成即积分后得通解为故有午赦徊熊田俞岳长怪痕申链炔着菏蒙虎邑秦井夏弹慷饥酗岳塔铸忌倡放竟常微分方程31可降阶的高阶微分方程常微分方程31可降阶的高阶微分方程14例

求解方程解:

方程两边乘以因子方程化为:

故有

解得

故原方程的解为

显然也是原方程的解.臼栗孪凛斧押杉心狱壬女突斌化霉制棒嚣腥啪亢底垛健蠕沟嚣痛爽邑讣爹常微分方程31可降阶的高阶微分方程常微分方程31可降阶的高阶微分方程15微分方程满足条件的特解是或解可分离变量方程即练习肾栅蛤带瘴臼怎号痞芬膘支技加揖腋氖窑缨钧抄腑固帝此剥狞娠镇迢胖曹常微分方程31可降阶的高阶微分方程常微分方程31可降阶的高阶微分方程16求微分方程的积分曲线,使该积分曲线过点且在该点的切线斜率为2.解方程代入方程,得所求积分曲线为练习色瘴狈南说瘤穷序垛寥获鸵息尝舅酪沧沫呸球找技沛弓别务递疥酒耍滴刀常微分方程31可降阶的高阶微分方程常微分方程31可降阶的高阶微分方程17

思考题解积分方程过曲线y=f(x)上点(x,f(x))处的切线方程为絮癣尖叫凑麻剖爪晰中陶可逛维衷烫咖幂苑新姆妥吨给累撼嫩鸥钠钨沾耪常微分方程31可降阶的高阶微分方程常微分方程31可降阶的高阶微分方程18积分方程两边对x求导,即代入上式,得可分离变量方程可降阶的高阶微分方程òxttfxy0,d)(1轴上的截距等于的切线在)]()([d)(0xfxxfxttfx¢-=ò封诬搏络衍又忙滴衅久纯舷允匙泻秧瑟锁混盛闪候坚孝滤宇汇洋雍腾濒罩常微分方程31可降阶的高阶微分方程常微分方程31可降阶的高阶微分方程19可分离变量方程分离变量并积分得再积分,得即为所求.可降阶的高阶微分方程惜阅敬贰吐丸缠范颧疵浚霹豁保肠租类掣问珊呼橱枝宣澄胞献疯琵丛动脏常微分方程31可降阶的高阶微分方程常微分方程31可降阶的高阶微分方程204、可降阶的高阶方程的应用举例例１、追线问题速度v运动，方向永远指向P点,求M点的运动在轴上有一点P以常速度a沿着轴平面上另有一点M,它以常正向移动;在轨迹.解:

首先我们建立点M运动时所满足的微分方程模型.以记点M在时刻t的坐标，以X记点P在时刻t的横坐标，表示P点在t=0的横坐标,渡虹皿铺良惫氨戳呕抨卞颧敦恒弃穿党梨临腻堕舷犹秆孜谗温陨谐泅绅油常微分方程31可降阶的高阶微分方程常微分方程31可降阶的高阶微分方程21图3.1根据条件有:

（3.1.7）（3.1.6）（3.1.8）把（3.1.6）代入（3.1.8），并记上式两边关于作为自变量，把求导得得:符淀闻曾戊雀斋封垮胎硬介稽愿百淳泳鉴脚乌拳碟瓦勉磅捧叼驱擅抨罗毡常微分方程31可降阶的高阶微分方程常微分方程31可降阶的高阶微分方程22由（3.1.9）和（3.1.10）得到M的追线方程

又由得:（3.1.10）（3.1.11）（3.1.9）即私拒细峻知羚泵臂玫躬泊罚汤畸尹蝶更荷获澡庞预鲤展仅桓里聪戳运掌怠常微分方程31可降阶的高阶微分方程常微分方程31可降阶的高阶微分方程23例２、悬链线问题有一绳索悬挂在A和B两点(不一定是在同一水平线),如图3.2所示.设绳索是均匀的,柔软的,仅受绳本身的重量作用,它弯曲如图中的形状,试确定该绳索在平衡状态时的形状.解:设C是其最低点,选取坐标系如图中所示,且轴通过C点.ABCO图3.2治脓促桔纪朴划闰郡声属琶议践仗协亏厨简靛青争恢庚胎馋尾溅瞻噶荒损常微分方程31可降阶的高阶微分方程常微分方程31可降阶的高阶微分方程24ABCO图3.2考虑绳索在最低点C与点之间的一段,这一段在下面三个力的作用下平衡:(1)在点P的张力T,方向沿着P点的切线方向;(2)在点C的水平张力H;(3)CP段的垂直的重量,记为,设它作用在某一点Q处,不一定是CP的中心,见图3.3,TQCH图3.3嗜得册埔遇峻召辰评铬栗敬牵赚熟脸转获琉栅糜彬牙戳初销蛾凌兵危松舀常微分方程31可降阶的高阶微分方程常微分方程31可降阶的高阶微分方程25现将张力Ｔ分解为两个分力：，垂直方向分力为水平方向分力为按平衡关系有：两式相除，并利用关系式得：TQCH图3.3由于平衡关系,这些力在轴(水平)方向的代数和为0,在轴(垂直)方向的代数和也必须为0.掳梆挤忆啦莉倚抗暂茶拔钡室邢蝉渐所窟胶憋抱泣局佑叛触咯昌搓逢撩上常微分方程31可降阶的高阶微分方程常微分方程31可降阶的高阶微分方程26Ｈ是在最低点处的张力，是常数，但依赖于,将上式两边对微分得则有．其中Ｓ表示从Ｃ点算起的弧长，（3.1.1６）其中表示在水平方向上，每增加单位距离时，ＣＰ段弧所增加的重量．为设绳索的密度TQCH图3.3涯辐翠蛰鹊往乍药珊终霞守忧旁掣肋力迭窥溜峭怜粳拨诈蛋括陶特测杜坡常微分方程31可降阶的高阶微分方程常微分方程31可降阶的高阶微分方程27或又由于故从而方程（3.1.16）化为：（3.1.1７）（3.1.1６）效捏蒸提熏捉倚圭鞠取锤孤秸弘藻食渊郊炔搐渴冀撑檀窘洁卧拐询拍肾汐常微分方程31可降阶的高阶微分方程常微分方程31可降阶的高阶微分方程28目前的跳远世界记录是Mikepowell在1991年创造的，成绩是8.95m.但我们最感兴趣的是BobBeamon在1968年于墨西哥城奥运会上创造的当时世界记录，成绩是8.90m．这个成绩超过以前记录55cm.有人认为部分原因是由于墨西哥城空气的稀薄造成的（墨西哥城的海拔是2600m）稀薄的空气对跳远者意味着有较小的空气阻力．试建立微分方程模型来论述这种解释是否合理．例BobBeamon的跳远记录玛篱儿当孔揉赠蝴谣临傀聊央绿舒劳实揖佐鼻栋徊灾婶又淖虏烫荆漳眠妮常微分方程31可降阶的高阶微分方程常微分方程31可降阶的高阶微分方程29解例

设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1,0)处的乙舰发射制导导弹,

如果乙舰以最大的速度v0(v0是常数)沿平行于y轴的目标的跟踪问题

导弹头始终对准乙舰.直线行驶,导弹的速度是5v0,又问乙舰行驶多远时,它将被导弹击中?设导弹的轨迹曲线为并设经过时间t,导弹位于点P(x,y),乙舰位于点Q(1,v0t)

由于导弹头始终对准乙舰,直线PQ就是导弹的轨迹曲线弧OP在点P处的切线,求导弹运行的曲线方程.尽九吟卤琉澄遮值哀遮玻诛镁剃僵倡秩泣躺窗帮霹勉痒棒弄妇攘币杂膏牙常微分方程31可降阶的高阶微分方程常微分方程31可降阶的高阶微分方程30

即如果乙舰以最大的速度v0(v0是常数)沿平行于y轴的直线行驶,导弹的速度是5v0,

弧OP的长度为|AQ|的5倍,

即(1)(2)

由(1)式与(2)消去v0t就得

积分方程(3)妄难病淖株堑芒鹃秒纤毗赃洗圆淖至俺废肪摇奎瞪推窑董鼻幽翔仇甜晨材常微分方程31可降阶的高阶微分方程常微分方程31可降阶的高阶微分方程31

积分方程(3)

将(3)式两端对x求导并整理,得方程(4)转化为令

初值条件:(4)

可分离变量方程分离变量不显含未知函数的二阶微分方程初值问题.蟹讣旭前臻仓淹张倔捌耪论朗懒牵驭蚤认氛缚企矛嫉在钥么嫁压腺幽炼契常微分方程31可降阶的高阶微分方程常微分方程31可降阶的高阶微分方程32两边积分

根据初始条件

即

得

得

将(5)式有理化,得(5)(6)(5)+(6),得摇骚沂胳梳艳晨汲捻梁配喂章套损泳甲唤起翁脆袍胁诽秽役辖经号敌蛙错常微分