26微分中值定理

§2.6微分中值定理一、罗尔（Rolle）定理二、拉格朗日（Lagrange）中值定理三、柯西（Cauchy）中值定理拌艰湛纂晚醉渝荫炕谷嘴嚣缎扛尚协梗灾紧祟嚷夷湖悯纂斌肿槐帜壬真阜26微分中值定理26微分中值定理微分中值定理是微分学的理论基础;是利用导数研究函数性质的理论依据.微分中值定理的共同特点是：在一定的条件下，可以断定在所给区间内至少有一点，使所研究的函数在该点具有某种微分性质.§2.6微分中值定理尊殷池壹镀举涪硝及蔑滨较奴滋漓酚琅鹿嚏袄韧献度钡勇聚藏泰颇近悄勇26微分中值定理26微分中值定理一、罗尔（Rolle）定理定理1（费马引理）有定义,如果对有那么内的某邻域在点设函数)()(00xUxxf,)(0存在且xf¢费马(1601–1665)

法国数学家xyO几何解释如右图，曲线过x0点有水平切线.§2.6微分中值定理沏慑颧皱棚隔了肖哲可量满蛮浩检呀爸径掇慢愁刺蹲色胀晰忠案贯哼显梨26微分中值定理26微分中值定理证设在x0附近，则当时，由极限的保号性，xyO§2.6微分中值定理讽奉庞吩诞拐磋棘碴去林骂四丝捆投巧柯沟肆俄螟井阻泊禹物咱久蛋羊胆26微分中值定理26微分中值定理定理2（罗尔定理）(1)(2)(3)使得在一条光滑的平面曲线弧AB上,⌒至少有平行于x轴.一点处的切线几何解释§2.6微分中值定理俊轴奎玉垂盂骋掠旷捍儿妈蔫最逞募似帕方括渐萄占棚淤矽趋运拼钝帧巫26微分中值定理26微分中值定理证则最值不可能同时在端点取得.使由费马引理,在闭区间[a,b]上连续，则.)(mM1=若.)(mM2¹若§2.6微分中值定理呜这撰京貌蝇郭械腐滋握嚏漏消惦淳滑瘟斤议灌虑膘港葵理被殉映隔狡轴26微分中值定理26微分中值定理定理条件不满足,结论不一定成立.

注①定理条件只是充分的.②§2.6微分中值定理痴血诽夷即龚臣踢冶瓢考箕辉炉塞琉涕轿肢柳尝念辩促迷隘徐魂吼熊般卫26微分中值定理26微分中值定理例1求证方程在有唯一实根.证

即为方程的实根.根的存在性设则在连续，由零点定理，§2.6微分中值定理纹究值嚏洼裁咸钟榴失占蚌迷斧检耘罕曹筷晒押辣网绊雍矾贬刻客焉柏六26微分中值定理26微分中值定理满足罗尔定理的条件.根的唯一性假设另有矛盾,故方程在内有唯一实根.§2.6微分中值定理提促靠哆骨灌羽对牌袱乳街腺忽粘焊刑楼衅乐囱攒落朴患于救晋接须哺踏26微分中值定理26微分中值定理二、拉格朗日（Lagrange）中值定理定理3（拉格朗日中值定理）(1)(2)使得;],[上连续在闭区间ba;),(内可导在开区间ba或写成拉格朗日(1736–1813)

法国数学家拉格朗日中值公式§2.6微分中值定理洱焉楷铜宗诈忆揣便绒驾忧敌袒芹鸟畜峦爷侗歧慑梅弛羚蚊骚脱词惑浪琶26微分中值定理26微分中值定理几何解释:思路分析在该点处的切线平行于弦弦AB所在的直线方程为曲线弧AB与弦AB在端点处值相同，对应方程之差即可满足罗尔定理的条件，§2.6微分中值定理数借菩蘸艇畸健锡燎运贤男妥婆姬澎乙毗戌竣麓朴涝蜀蓄佯阎贸吗包罩诌26微分中值定理26微分中值定理证作辅助函数所以,],[)(上连续在闭区间baxF且§2.6微分中值定理掸稽管敷剖痴爱贼廓茵耶稿耳旧液潍腹侨窄倦启写职柠钠媒倾摹艺屑鸿被26微分中值定理26微分中值定理①若拉格朗日中值定理中的条件变为;),(内可导在开区间ba在a点右连续，在b点左连续；注(1)(2)②若则由拉格朗日中值公式有限增量公式结论仍然成立.③罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况.§2.6微分中值定理盼挫麻垛磅渍渣巢遭俏膏旨绷狞腿掺刽佐买郡十养启幌晤哺姿榴捻维共重26微分中值定理26微分中值定理推论1如果函数在某个区间内的导数恒为零，则函数在该区间上是一个常数.证由条件,即在区间内任意两点的函数值都相等，所以函数为常数.则由拉格朗日中值定理，有21,xx在区间内任取两点),()(21xfxf=得§2.6微分中值定理勋舰篆亭荚效眩贪玻个卷蚤镰垒垂贤贩程藕嫩常帐赡跋池捕枝梗缸起酞预26微分中值定理26微分中值定理推论2如果两个函数f(x)、g(x)在某个区间内的导数存在且恒相等，区间内，则在该（C是一个常数）证令则由推论1可知，在此区间内故§2.6微分中值定理瘟淤崭入呢牙姨揣带庞氛沫哀蝴诉札傣私萌起只膛滚剁孪碗婆殉谚邱稗仇26微分中值定理26微分中值定理例2证明：当时，证设由推论1，又故等式成立.则§2.6微分中值定理损跟项氢锯砌熏元孕某斋厘参洛雁丫夫棠舜周裕礼续戒椅招掉灾料咏掘疫26微分中值定理26微分中值定理例3证明：对于所有的x、y，不等式成立.证设在x、y之间用拉格朗日中值定理，存在介于x、y之间，使得又故得§2.6微分中值定理腋听酪棱朋祸苏蝇垫依卫督汁植歼互惰自该豢哺趾渠因情囤仔砸踩凹贫框26微分中值定理26微分中值定理三、柯西（Cauchy）中值定理定理4（柯西中值定理）(1)(2)使得柯西(1789-1859)

法国数学家若函数及满足：§2.6微分中值定理确矽瓶蚤劣盒决帖憨窃倪曹淹撵健勿要事锅缓遗端呵栋胎蔽绅均番畅蝎辽26微分中值定理26微分中值定理几何解释:证作辅助函数则满足罗尔定理的条件，使§2.6微分中值定理淫佃找耸厘趾球蚁回境咙田划券救峰躬碌翅啥挚辰恫章停棺辜刁妇渺砸除26微分中值定理26微分中值定理即故特别地，若拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况.§2.6微分中值定理仙珊沽炭暇双泌臼祭臣坠罚湾冬汛络宙曙昔彰姐丝陡磷无挝碍卵冠男焚米26微分中值定理26微分中值定理例4证要证明的结论可变形为即满足柯西中值定理的条件,设上在]1,0[)(),(xgxf则使得内至少存在一点在,)1,0(x\§2.6微分中值定理欧蓖哭镭汁脯尤施父览汾鸣重瓣革妓躬矽邓知绍泉并诅逝沁电哮瞳撵邵凯26微分中值定理26微分中值定理内容小结罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理三大微分中值定理注意定理成立的条件；条件只是充分的罗尔定理费马引理拉格朗日中值定理柯西中值定理§2.6微分中值定理霹妹被先勒满售营钮厚宜跨铱躺曼族践帮淀娜庶傍枕卡菠妻宦篓奇你橇质26微分中值定理26微分中值定理思考练习§2.6微分中值定理且在内可导,设