第6章信号分析与处理

本章主要内容

傅立叶级数及周期信号频谱特点；傅立叶变换的概念；

DFT的概念及其公式推导；频谱混迭现象及采样定理；时域有限化和频谱泄漏；抑制频谱泄漏、栅栏效应的措施

DFT参数选择。6.信号分析与处理

信号的频谱分析是揭示信号在频域特征的信号分析方法。理论依据：由法国工程师傅立叶于1807年提出的，后人称为傅立叶分析理论。概述6.1

傅立叶级数6.1.1傅立叶级数的基本思想任一周期函数（信号）都可由基波及与基波频率成整数倍的幅值不同的三角函数合成，称之为傅立叶级数。对非周期函数，若是时限的，则将函数以其持续时间为周期，对信号进行周期延拓，变成周期信号后，可用傅立叶级数展开。

设为一周期信号并满足狄里赫利条件，则可用傅立叶级数展开，展开形式分实数（三角函数）形式和复数形式。6.1.2

傅里叶级数的数学基础

傅立叶级数的三角函数形式称为幅频谱；信号中的m次谐波分量的幅值；信号中的m次谐波分量的初相角；称为相频傅立叶级数的复数形式

式中为傅里叶级数系数，也称频谱系数。记为

6.1.3周期信号的频谱特点离散性谐波性收敛性物理解释6.2傅立叶变换和非周期信号频谱由傅立叶级数推导出傅立叶变换公式

非周期信号频谱的特点离散谱连续谱6.3

离散傅里叶变换（DFT）

6.3.1

基本概念

离散傅立叶变换是傅立叶变换CFT经过时域和频域有限化和离散化处理后导出的计算机系统分析信号频谱的公式。它实际来源于CFT。6.3.2离散傅立叶变换式的推导

在理解对信号在时域上离散化和有限化处理过程的基础上，加深对采样定理、频谱泄漏、栅栏效应等物理概念的理解，从而掌握对信号进行频谱分析时各主要参数的选择方法。

先将CFT的正、逆公式合写为：

对信号在时域上进行离散化：

采样的长度是有限的，信号长度为：

频域上离散化：

显然输出最高频率为：其它：代入（1）式中得：得正、逆离散傅立叶变换式：DFT：IDFT：

原连续信号在时域离散化后所得信号与原信号的频谱是否一致？都相应发生那些变化？

采样周期如何选择？对信号进行时域有限化处理后所得信号频谱会发生那些变化？

采样长度L如何选择？思考6.4

频谱混迭与采样定理6.4.1

频谱混迭

（a）无混叠现象（）（b）频谱混叠(）

为保证采样后信号能真实地保留原始模拟信号信息，信号采样频率必须至少为原信号中最高频率成分的2倍。称为采样定理。即：

信号经采样后，其频谱为原信号频谱的周期延拓，延拓的周期为，且在幅值上为原信号频谱幅值的倍。若连续信号的最高频率为,则当时，频域波形会产生混叠。香农采样定理抑制频谱混叠的方法：

采样定理：加预滤波器传感器预滤波器放大器数采卡用于降低被测信号的最高频率截止频率：限制X(t)的高频上限容易实现，避免过高苛刻要求6.5

时域有限化与频谱泄漏6.5.1

频谱泄漏产生的原因

以余弦信号为例，说明对一个非时限信号进行有限化处理所引起的泄漏问题。能量集中在处，高度为无限大由全部能量集中在处，分散到全部频率轴上。信号x(t)的频谱X()就是将(t)的频谱沿频率轴搬移

截短（有限化处理），就等于将该序列乘以一个矩形窗:

利用欧拉公式，可进一步表示为：

根据频移特性可得:

频域曲线产生很多“皱纹”，频率分量增加；如信号为两幅值一大一小频率很接近的余弦波形合成，当其中一个小幅值余弦波的主瓣落入大幅值余弦波的第一负旁瓣内时，其主瓣将被“吞没”。因而会产生分析误差；频谱泄漏所带来的问题频谱泄漏现象的实验演示6.５.2泄漏的抑制措施1、增大采样（截断）长度信号的采样长度增长，近似为0.3秒，对应的频谱所产生的泄漏现象明显减小。信号的采样长度为0.06秒，对应的频谱产生明显的泄漏现象。50Hz的方波信号2、合理选择窗函数：应当选择主瓣窄而旁瓣衰减较大的窗函数。常用的窗函数有汉宁窗、三角窗、哈明窗等。

3、合理选择截取长度：保证采样长度是信号周期的整数倍6.6

栅栏效应

如果是非周期函数，其频谱是连续的，经采样和DFT运算，得到的频谱则是离散的，那么，离散谱线之间的频率分量就被“挡住”而损失掉，这种效应称为栅栏效应。

周期函数也同样存在栅栏效应。谱线间隔

抑制措施：增大采样长度L；频谱泄露举例设余弦信号的频率为f0=100Hz，为方便起见，以f为横轴画X(f)频谱图（1）采样点数N＝256，采样间隔T=78.125

s，且频谱图X(f)-f如图1－25所示，则可计算得到下列数据：半带宽=

谱线间隔=可输出谱线：0，50，100，150，200，……（Hz）共256条；其中过零点的谱线：0，50，150，200，……（Hz）；实际输出普线：100Hz，故无栅栏效应也无泄漏。2）采样点数N＝256，采样间隔T’＝100

s

半带宽=谱线间隔=可输出谱线：0，39，78，117，156，……（Hz）；过零点的谱线：22，61，139，178，……（Hz）(以f0

为中心，向两边递减39Hz而得）；实际输出谱线：可输出谱线全部输出。然而，信号得频率f0=100Hz谱线却被栅栏挡住未能检测出来，而实际输出谱线0，39，78，117，156……（Hz）均是泄漏引起的，它们不是信号的真正谱线，如下下所示。

（3）N’=512,T’’=100

s

半带宽=谱线间隔=半带谱线间隔故可输出谱线：0，19.5，39，58.5，78，97.5，117，136.5……（Hz）；过零点谱线：2.5，22，41.5，61，80.5，119.5，139，……（Hz）；可输出谱线全部输出这个情况下，既存在栅栏效应，也存在泄漏，但谱线97.5Hz已经很接近信号实谱线100Hz，由泄漏引入的谱线均接近零点，数值很小。为了防止产生泄漏，应使窗长为信号周期整数倍。6.7DFT参数选择原则根据采样定理选择采样周期Ts；：根据频谱分辨力的要求选择采样长度L：若是周期信号，调节L使其为信号周期的整数倍使采样点数N满足2的幂次方，以实现DFT运算；选择原则例题信号由三个正弦组成，其频率分别是即：信号频谱，试确定相关参数。用DFT分析解：为使不发生频谱混叠，根据采样定理得：选定＝10Hz，即＝0.1s进行采样。欲分辨出三个频率，则频谱分辨率必须满足：采样点数为了能应用FFT算法，采样点数可选为512。