《空间点、直线、平面之间的位置关系》教学设计、导学案、同步练习

《8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系》教学设计【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章《立体几何初步》，本节课主要学习空间点、直线、平面之间的位置关系。教材从观察长方体中点、直线、平面之间的位置关系以及上一节所学点与直线、直线与平面的位置关系开始，认识空间中点、直线、平面之间的位置关系，通过大量图形、实验、和说理，使学生进一步了解点、直线、平面之间的位置关系。学习空间点、直线、平面之间的位置关系为下一步学习判断直线与平面的平行、垂直打基础。【教学目标与核心素养】课程目标学科素养儿了解空间中两条直线的三种位置关系，理解两异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线；B.了解直线与平面的三种位置关系，并会用图形语言和符号语,日表示；C.了解不重合的两个平面之间的两种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示..数学抽象：点、直线、平面之间的位置关系；.逻辑推理：直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系；.直观想象：两条直线的三种位置关系。【教学重点】：两条直线的三种位置关系，异面直线的定义，直线与平面的三种位置关系，两个平面之间的两种位置关系；【教学难点】：异面直线的定义，两个平面之间的两种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示。【教学过程】教学过程教学设计意图一、复习回顾，温故知新.点与直线的位置关系是什么？用数学符号怎样表示？【答案】点在直线上，点不在直线上.直线与平面的位置关系是什么？用数学符号怎样表示？通过复习上节所学知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比

【答案】点在平面内，点不在平面内二、探索新知思考1：我们知道，长方体有8个顶点，12条棱，6个面，12条棱对应12条棱所在的直线，6个面对应6个面所在的平面，如图所示的长方体，你能发现这些顶点、直线、平面之间的位置关系吗？【分析】点Aw直线AB,点A也直线ABb点Aw平面ABCD,点Ae平面A，BBCD',直线AB//直线CD,直线AB与直线BC在平面ABCD中，且交于点B。直线AB与直线CC'不同在任何一个平面内。(一)两直线的位置关系观察1：黑板两侧所在的直线与课桌边沿所在直线是什么位置关系?观察2：旗杆所在的直线与其正后方跑道所在直线是什么位置关系?L定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线(skewlines).空间两条直线的位置关系：推理的能力。通过思考，观察图形，引入新课，提高学生分析问题的能力。通过观察实际生活中的例子，引入异面直线，提高学生分析问题、概括能力。「丑而吉相交直线引一半面内；号又只有一人尽共点二回亘"力直线词T面内「次需公共元推理的能力。通过思考，观察图形，引入新课，提高学生分析问题的能力。通过观察实际生活中的例子，引入异面直线，提高学生分析问题、概括能力。,异面直线不同衣任何一个4面内，没有公共会」.异面直线的画法：为表示异面直线不共面的特点，常以平面衬托。练习：关于异面直线的定义，你认为下列哪个说法最合适?A.空间中既不平行又不相交的两条直线；B.平面内的一条直线和这平面外的一条直线；C.分别在不同平面内的两条直线；D.不在同一个平面内的两条直线；E.不同在任何一个平面内的两条直线.【答案】E通过练习，进一步理解异面直线的定义。思考2：通过练习，进一步理解异面直线的定义。【答案】不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。通过思考与练习，进一步巩固异面直线的定义，提高学生解决问题的能力。通过思考与练习，进一步巩固异面直线的定义，提高学生解决问题的能力。a■与b是异面直线&与b是相交直绫 a与b是平行直线练习：如图所示的是一个正方体的平面展开图，如果以阴影部分为底面将它还原为正方体，那么，AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？【答案】共3对：AB与CD，AB与GH，EF与GH（二）直线与平面的位置关系观察:一支笔所在的直线与一个作业本所在的平面，可能有哪几种位置关系？

思考3：在长方体ABCD-A'B'C'D'中，线段A'B所在直线与长方体六个面所在平面有几种位置关系？通过观察与思考，得到直线与平面的位置关系，提高学生的分析问题、观察思考能力。通过方法总结，提高学生的概括能力、解决问题的能力。通过观察与思考，得到直线与平面的位置关系，提高学生的分析问题、观察思考能力。通过方法总结，提高学生的概括能力、解决问题的能力。【答案】直线与平面的位置关系只有三种：①直线在平面内一-有无数个公共点；②直线与平面相交一-有且只有一个公共点；③直线与平面平行―-没有公共点。4.直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。以口直线在平面内V⑵直^与平面相交〕丁触直线与平面平行）直线在平面外方法;判断直线与平面的位置关系关键在于一一判断直线与平面的交点个数。（三）平面与平面之间的位置关系观察1:如图，围成长方体ABCD-A'B/CD/的六个面，两两之间

的位置关系有几种?通过观察，得到平面与平面的位置关系，提高学生的分析问题、观察思考能力。的位置关系有几种?通过观察，得到平面与平面的位置关系，提高学生的分析问题、观察思考能力。【答案】桌面与地面平行，墙面与地面：相交。6.两个平面的位置关系只有两种：即两个平面平行，两个平面相交.(1)两个平面平行---没有公共点；(2)两个平面相交---有一条公共直线.图形表示：yzyz通过探究，进一步熟悉直线、平面之间的位置关系，提高学生解决问题的能力。符号表示：a〃0通过探究，进一步熟悉直线、平面之间的位置关系，提高学生解决问题的能力。注意：画两个互相平行平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行。探究：如图，在长方体ABCD—A'BCD'中，连接A'B，DC，请你再举出一些图中表示空间直线、平面之间位置关系的例子，并用符号表示这些位置关系。

【答案】直线A'BPl平面ABCD=B,直线ArB//平面CDDC解：在（1）中，aPP=l,aPa=A,aPP=B.在（i）中，aPP=l,aua,bu0,aPl=P,bPl=P,aPb=P.例2.如图ABPa=B,A电肆,aua,B史a,直线AB与直线a具有通过例题的讲解，让学生进一步理解直线、平面之间的位置关系及其符号表示，提高学生解决与分析问题的能力。怎样的位置关系？为什么？通过例题的讲解，让学生进一步理解直线、平面之间的位置关系及其符号表示，提高学生解决与分析问题的能力。解：直线AB与a是异面直线。理由如下。若直线AB与直线a不是异面直线，则它们相交或平行。设它们确定的平面为P，则BeP,auP。由于经过点B与直线a有且仅有一个平面a,因此平面a与平面P重合，从而ABua,进而Aea,这与A右。矛盾。所以直线AB与a是异面直线。方法总结：判断两直线是异面直线的方法：与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线。达标检测1.判断正误

达标检测1.判断正误⑴在空间中，直线不平行就意味着相交.（）⑵直线在平面外是指直线与平面没有交点.（）⑶两个平面相交的时候，一定交于一条直线.（）【答案】⑴x（2）X⑶J.圆柱的两个底面的位置关系是（）A.相交 B.平行C.平行或异面 D.相交或异面【答案】B【解析】圆柱的两个底面无公共点，则它们平行..下列命题：①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若1,m是异面直线，l〃a,m〃B,则a〃仇其中错误命题的序号为.【答案】①②【解析】①中两个平面也可能相交；②a与B可能平行也可能相交.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。.如图，在正方体ABCD-ARC1D1中，分别指出直线B1C,D1B与正方体六个面所在平面的关系.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力，提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力，提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。【解析】根据图形，直线B1Cu平面B1c，直线B1c〃平面A1D,与其余四个面相交，直线D1B与正方体六个面均相交.四、小结.两条直线的位置关系；.直线与平面的位置关系；.平面与平面的位置关系。五、作业习题8.44,9题【教学反思】判断空间点、直线、平面之间的位置关系应多借助于模型，让学生多观察，发现它们之间的位置关系，多找模型，让学生自己动手去找模型，思考判断。《8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系》导学案【学习目标】.了解空间中两条直线的三种位置关系，理解两异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线；2．了解直线与平面的三种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示；3．了解不重合的两个平面之间的两种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示．【教学重点】：两条直线的三种位置关系，异面直线的定义，直线与平面的三种位置关系，两个平面之间的两种位置关系；【教学难点】：异面直线的定义，两个平面之间的两种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示。【知识梳理】1．异面直线(1)定义：不同在的两条直线.(2)异面直线的画法：2．空间两条直线的位置关系位置关系特点相交同一-平面内，有且只有——公共点平行同一-平面内， 公共点异面直线不同在 —内， _公共点3．直线与平面的位置关系位置关系直线&在平面a内直线&在平面a外直线&与平面a相交直线&与平面a平行公共点 公共点 公共点―公共点

符号表示图形表示£±74．两个平面的位置关系位置关系两平面平行两平面相交公共点有一个公共点（在一条直线上）符号表示图形表示【学习过程】、探索新知思考1：我们知道，长方体有8个顶点，12条棱，6个面，12条棱对应12条棱所在的直线，6个面对应6个面所在的平面，如图所示的长方体，你能发现这些顶点、直线、平面之间的位置关系吗？（一）两直线的位置关系观察1：黑板两侧所在的直线与课桌边沿所在直线是什么位置关系？观察2：旗杆所在的直线与其正后方跑道所在直线是什么位置关系？1.定义：不同在内的两条直线叫做异面直线（skewlines）2.空间两条直线的位置关系：

共面直线相交直线（

平行直线（共面直线相交直线（

平行直线（异面直线（3.异面直线的画法：为表示异面直线不共面的特点，常以衬托。练习：关于异面直线的定义，你认为下列哪个说法最合适？空间中既不平行又不相交的两条直线；平面内的一条直线和这平面外的一条直线；分别在不同平面内的两条直线；不在同一个平面内的两条直线；不同在任何一个平面内的两条直线.思考2：分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？练习：如图所示的是一个正方体的平面展开图，如果以阴影部分为底面将它还原为正方体，那么，AB,CD,EF,GH体，那么，AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对?（二）直线与平面的位置关系观察:一支笔所在的直线与一个作业本所在的平面,可能有哪几种位置关系?思考：在长方体ABCD-A'B'C'D'思考：在长方体ABCD-A'B'C'D'中，线段A'B所在直线与长方体六个面所在平面有几种位置关系?4.直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。rd）直线在平面内［公直^与平面相交）L（3）直线与平面平行L（3）直线与平面平行」直线在平面外方法;判断直线与平面的位置关系关键在于——判断直线与平面的交点个数。6.图形表示：符号表示：（三）平面与平面之间的位置关系观察1：如图，围成长方体ABCD-A'B’C'D‘的六个面，两两之间的位置关系有几种？观察2：教室里的地面与桌面、黑板面所在墙面与地面之间有哪些关系？6.观察2：教室里的地面与桌面、黑板面所在墙面与地面之间有哪些关系？6.两个平面的位置关系只有两种：即两个平面平行，两个平面相交.（1）两个平面平行---公共点;(2)两个平面相交---.公共直线.图形表示：符号表示：注意：画两个互相平行平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行。探究：如图，在长方体ABCD—A'BCD'中，连接A'B，DC,请你再举出一些图中表示空间直线、平面之间位置关系的例子，并用符号表示这些位置关系。例1.如图，用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系。例2.如图ABna=B,Aea,aua,B电a,直线ab与直线a具有怎样的位置关系?为什么？方法总结：判断两直线是异面直线的方法：与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线。【达标检测】1．判断正误(1)在空间中，直线不平行就意味着相交．()(2)直线在平面外是指直线与平面没有交点．( )(3)两个平面相交的时候，一定交于一条直线．()2．圆柱的两个底面的位置关系是( )A.相交 B.平行C.平行或异面 D.相交或异面3.下列命题：①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若1,m是异面直线，l〃a,m〃B,则a〃仇其中错误命题的序号为.4.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，分别指出直线B1C,D1B与正方体六个面所在平面的关系.参考答案：思考1.点Ae直线AB,点A与直线A，B'点Ae平面ABCD,点A与平面A，B'CD',,直线AB//直线CD,直线AB与直线BC在平面ABCD中，且交于点B。直线AB与直线CC'不同在任何一个平面内。1.任何一个平面平面练习E思考2.不一定：它们可能异面,可能相交,也可能平行。a■与由是异面直线&与b是相交直线*与8是平行直线练习：共3对：AB与CD,AB与GH,EF与GH思考3.直线与平面的位置关系只有三种：①直线在平面内一-有无数个公共点；②直线与平面相交一-有且只有一个公共点；③直线与平面平行―-没有公共点。6.a//P探究：直线A'Bn平面ABCD=B直线ArB//平面CDD'C,例1.解：在（1）中，anP=l,ana=A,anP=B.在（1）中，anP=l,aua,bu0,anl=P,bnl=P,anb=P.例2.解：直线AB与a是异面直线。理由如下。若直线AB与直线a不是异面直线，则它们相交或平行。设它们确定的平面为P，则BgP,auP。由于经过点B与直线a有且仅有一个平面因此平面a与平面P重合，从而ABua，进而Aea，这与A国容矛盾。所以直线AB与a是异面直线。达标检测1.【答案】⑴X(2)X⑶J2【答案】B【解析】圆柱的两个底面无公共点，则它们平行．.【答案】①②【解析】①中两个平面也可能相交；②a与B可能平行也可能相交..【解析】根据图形，直线B1Cu平面B1c，直线B1c〃平面A1D,与其余四个面相交，直线D1B与正方体六个面均相交.《8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系》同步练习一、选择题1.如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB与CD的位置关系为( )A.相交B.平行C.异面而且垂直D.异面但不垂直.若直线a〃a，直线bua，则直线a与b的位置关系是()A.相交 B.异面 C.异面或平行 D.平行.如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是( )A.平行 B.相交C.平行或相交 D.不能确定.已知平面a和直线1,则a内至少有一条直线与l( )

人.异面 B.相交 C.平行 D.垂直.（多选题）已知A,B,C表示不同的点，l表示直线，a，P表示不同的平面，则下列推理正确的是（）Ael,Aea,Bel,BwanluaAea,AeP,Bea,BePnaQP=ABlga,AelnAeaAea,Ael,laanlca=A.(多选题)如图所示，在正方体ABCD—A1BC1D1中，M,N分别为棱C1D1,CC的中点,则以下四个结论正确的是()A.直线A.直线AM与CC是相交直线1B.直线AM与BN是平行直线C直线C直线BN与MB1是异面直线D.直线AM与DD1是异面直线二、填空题.以下四个命题中,正确命题的个数是 .①不共面的四点中,其中任意三点不共线；②若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则点A,B,C,D,E共面；③若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面..如图,试用适当的符号表示下列点､直线和平面之间的关系:

(1)点c与平面3:；(2)点A与平面a:；(3)直线AB与平面a:；(4)直线CD与平面a:(5)平面a与平面3:；.如图是表示一个正方体表面的一种平面展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有 对.io.(i)平面AB1rl平面44=(2)平面ACCAc平面AC三、解答题.按下列叙述画出图形(不必写出画法)：a。B=根，aua,buP,acm=N,

.如图，若P是△ABC所在平面外一点，PA主PB,PN±AB,N为垂足.M为AB的中点，求证：PN与MC为异面直线.《8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系》同步练习答案解析一、选择题.如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB与CD的位置关系为（ ）A.相交B.平行 C.异面而且垂直 D.异面但不垂直【答案】D【解析】利用展开图可知，线段AB与CD是正方体中的相邻两个面的面对角线，仅仅异面，所成的角为60。，因此选D.若直线a//a，直线bua，则直线a与b的位置关系是（）A.相交 B.异面 C.异面或平行 D.平行【答案】C【解析】由题意直线a〃a，直线bua,可得直线a,b一定没有公共点，故两直线的位置关系可以是异面或平行故选C..如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是（ ）B.相交A.B.相交C.平行或相交 D.不能确定【答案】C【解析】如下图所示：由图可知，两个平面平行或相交，故选C.已知平面a和直线l，则a内至少有一条直线与l（ ）人.异面 B.相交 C.平行 D.垂直【答案】D【解析】若直线l〃a,a内至少有一条直线与l垂直，当l与。相交时，a内至少有一条直线与l垂直.当lua,a内至少有一条直线与l垂直.故选D..（多选题）已知A,B,C表示不同的点，l表示直线，a，P表示不同的平面，则下列推理正确的是（）Ael,Aea,Bel,BwanluaAea,AeP,Bea,BePnap|P二ABlga,AelnAeaAea,Ael,laanlca=A【答案】ABD【解析】【分析】对于选项A：由公理1知，lua，故选项A正确；对于选项B：因为a，P表示不同的平面，由公理3知，平面a，P相交，且anP=AB,故选项B正确；对于选项C：laa分两种情况：l与a相交或l//a.当l与a相交时，若交点为A,则Aea，故选项C错误;

对于选项D：由公理1逆推可得结论成立,故选项D成立;故选:ABD.（多选题）如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M,N分别为棱C1D1,CC的中点，则以下四个结论正确的是（）A.直线A.直线AM与cc是相交直线1B.直线AM与BN是平行直线C.直线C.直线BN与MB1是异面直线D.直线AM与DD1是异面直线【答案】CD【解析】直线AM【解析】直线AM与CC是异面直线，1直线AM与BN也是异面直线，故A、B错误直线BN与MB1是异面直线，直线AM与DD1是异面直线，故c、D正确.故选CD.二、填空题.以下四个命题中,正确命题的个数是 .①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则点A,B,C,D,E共面；③若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面.【答案】1【解